(完整word版)高中物理競賽-話題18：關(guān)聯(lián)速度問題

1、 話題18：關(guān)聯(lián)速度問題一、剛體的力學(xué)性質(zhì):討論的問題中，研究對象是剛體、剛性球、剛性桿或拉直的、不可伸長的線等，它們都具有剛體的力學(xué)性質(zhì)，是不會發(fā)生形變的理想化物體，剛體上任意兩點之間的相對距離是恒定不變的；任何剛體的任何一種復(fù)雜運動都是由平動與轉(zhuǎn)動復(fù)合而成的.如圖所示，三角板從位置ABC移動到位置ABC，可以認(rèn)為整個板一方面做平動，使板上點B移到點B，另一方面又以點B為軸轉(zhuǎn)動，使點A到達(dá)點A、點C到達(dá)點C.由于前述剛體的力學(xué)性質(zhì)所致，點A、C及板上各點的平動速度相同，否則板上各點的相對位置就會改變.這里，我們稱點B為基點.分析剛體的運動時，基點可以任意選擇.于是我們得到剛體運動的速度法則：

2、剛體上每一點的速度都是與基點速度相同的平動速度和相對于該基點的轉(zhuǎn)動速度的矢量和.我們知道轉(zhuǎn)動速度v二rw，r是轉(zhuǎn)動半徑，是剛體轉(zhuǎn)動角速度，剛體自身轉(zhuǎn)動角速度則與基點的選擇無關(guān).根據(jù)剛體運動的速度法則，對于既有平動又有轉(zhuǎn)動的剛性桿或不可伸長的線繩，每個時刻我們總可以找到某一點，這一點的速度恰是沿桿或繩的方向，以它為基點，桿或繩上其他點在同一時刻一定具有相同的沿桿或繩方向的分速度（與基點相同的平動速度）.結(jié)論一、桿或繩約束物系各點速度的相關(guān)特征是：在同一時刻必具有相同的沿桿或繩方向的分速度.再來研究接觸物系接觸點速度的特征.由剛體的力學(xué)性質(zhì)及“接觸”的約束可知，沿接觸面法線方向，接觸雙方必須具有相

3、同的法向分速度，否則將分離或形變，從而違反接觸或剛性的限制.至于沿接觸面的切向接觸雙方是否有相同的分速度，則取決于該方向上雙方有無相對滑動，若無相對滑動，則接觸雙方將具有完全相同的速度.因此，我們可以得到下面的結(jié)論.結(jié)論二、接觸物系接觸點速度的相關(guān)特征是：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對滑動時相同.相交物系交叉點速度的特征是什么呢?我們來看交叉的兩直線a、b，如圖所示，設(shè)直線a不動，當(dāng)直線b沿自身方向移動時，交點P并不移動，而當(dāng)直線b沿直線a的方向移動時，交點P便沿直線a移動，因交點P亦是直線b上一點，故與直線b具有相同的沿直線a方向的平移速度.同理，若直線b固定，直

4、線a移動，交點P的移動速度與直線a沿直線b方向平動的速度相同.根據(jù)運動合成原理，當(dāng)兩直線a、b各自運動，交點P的運動分別是兩直線沿對方直線方向運動的合運動.于是我們可以得到下面的結(jié)論.結(jié)論三、線狀相交物系交叉點的速度是相交雙方沿對方切向運動分速度的矢量和二、相關(guān)的速度所謂關(guān)聯(lián)速度就是兩個通過某種方式聯(lián)系起來的速度.比如一根桿上的兩個速度通過桿發(fā)生聯(lián)系，一根繩兩端的速度通過繩發(fā)生聯(lián)系.（一）、當(dāng)繩（桿）端在做既不沿繩（桿）方向，又不垂直于繩（桿）方向的運動時，一般要將繩（桿）端的運動分解為沿繩（桿）方向和垂直于繩（桿）方向二個分運動。1、如圖所示的情況，繩AB拉著物體m在水平面上運動，A端以速度

5、v做勻速運動，問m做什么運動？1有的同學(xué)會將繩的速度V分解成豎直分速度vSina和水平分速度vcosa，以為木塊的速度u=vcosa（uv），而且vB隨著a的增大而越來越大。2、如圖所示，桿AB沿滑下，A、B二端的速度v和v也是二個相AB關(guān)的速度。將-分解成沿桿方向的分速-和垂直于桿的分速va2,將v分解成沿桿方向的分速v和垂直于桿的分速vBB1B2vA2由于桿的長度不會發(fā)生變化，所以v二v,A1B1即vcosa=vsina，即ABv=vtanaAB3、如圖所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v沿水平面0向右運動，帶動從動桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點.求當(dāng)ZAOP時，AB桿的速度.

6、0分析與解這是接觸物系相關(guān)速度問題.由題可知，桿與凸輪在A點接觸，桿上A點速度v是豎直向上的，輪上AA點的速度V是水平向右的，根據(jù)接觸物系觸點速度相關(guān)特征,0兩者沿接觸面法向的分速度相同，如圖所示，即vcosa=vsina，則A0故AB桿的速度為vtana0（二）、兩桿交點的運動兩桿的交點同時參與了二桿的運動，而且相對每一根桿還有自己的運動，因而是一種比較復(fù)雜的運動。1、圖（a）中的AC、BD兩桿均以角速度繞A、B兩固定軸在同一豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動方向如圖示。當(dāng)t=0時,a=卩=60。,試求t時刻兩棒交點M點的速度和加速度。本問題實質(zhì)上也是關(guān)聯(lián)速度的問題，但其關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是兩桿的角速度相同，所以a

7、+P=1200不變，推知M點的軌跡在正三角形M外接圓上運動.由此可重點在幾何模型上去探求解法。當(dāng)t=0時，AABM為等邊三角形，因此AM=BM=l，它的I外接圓半徑R=OM=斗l，圖（b）。二桿旋轉(zhuǎn)過程中，a角增大的l(a)(b)角度一直等于0角減小的角度，所以M角的大小始終不變（等于600）,因此M點既不能偏向圓內(nèi)也不能偏向圓外，只能沿著圓周移動，因為ZMOM和ZMAM是對著同一段圓弧(MM)的圓心角和圓周角，所以ZMOM二2ZMAM，即M以2o的角速度繞O點做勻速圓周運動，任意時刻t的速度大小恒為2忑v=R(2)=l3向心加速度的大小恒為4J3a=R(2o)2=2l322OO=竺sin0O

8、O=爛sin0-l2在AOOO中:因為角和0角互補，所以O(shè)OO2二OO2+OO2-2OO-OOcos申cos申=一cos0OO=v2+v2+2vvcos0A1212sin0OO因此兩桿交點相對于紙平面的速度v=i：v2+v2+2vvcos0門0At1212sin0不難看出，經(jīng)過At時間后，原交點在l上的位置移動到了A位置，因此交點相對l的11位移就是AO,交點相對l的速度就是：1,(AO+OO)v=1At(vAt-cot0+二)_isin0Atvcos0+v_12sin0用同樣的方法可以求出交點相對l的速度2vcos0+vV_212sin0因為At可以取得無限小，因此上述討論與Vi,V2是否為

9、常量無關(guān)。如果Vi,V2是變量,上述表達(dá)式仍然可以表達(dá)二桿交點某一時刻的瞬時速度。B3、如圖所示，合頁構(gòu)件由三個菱形組成，其邊長之比為3：1，頂點A以速度v沿水平方向向右運動，3求當(dāng)構(gòu)件所有角都為直角時，頂點B的速度.2分析與解:頂點B作為BA桿上的一點，其速度是沿BA桿方向的速度V及垂直于BA2112121桿方向速度V的合成；同時作為桿BA上的一點,122其速度又是沿B2A2桿方向的速度V2及垂直于號2桿方向的速度V；的合成.由于兩桿互成直角的特定條件，由圖顯見，VV，21v_v12-故頂點%的速度可通過分篤速度的矢量和求得，而根據(jù)桿的約束的特征，得A2VV12A12A2于是可得vB2岸V)

10、2+岸V)22A12A2由幾何關(guān)系可知:VA2:v_AA:AA:AA_3:5:6A30102035vvA1A2由此求得上述解析，我們是選取了速度為沿桿方向的某一點為基點來考察頂點B的速度的.當(dāng)2然我們也可以選取其他合適的點為基點來分析.如圖O所示,若以A、A點為基點，則B點122作為BA桿上的點，其速度是21與A點相同的平動速度v和TOC o 1-5 h z1A對A點的轉(zhuǎn)動速度v之合成，同時B點作為BA桿上的點，其速度是與A點相同的平1竹2222動速度v和對A點的轉(zhuǎn)動速度v之合成，再注意到題給的幾何條件，從矢量三角形中由A22n2余弦定理得v=；v2+v2-2vvcos135oB2WA1n1A

11、1n1而由矢量圖可知兩解殊途同歸.4、如圖所示，水平直桿AB在圓心為O、半徑為r的固定圓圈上以勻速U豎直下落，試求套在該直桿和圓圈的交點處一小滑環(huán)M的速度，設(shè)OM與豎直方向的夾角為9.分析與解當(dāng)小環(huán)從圓圈頂點滑過圓心角為9的一段弧時，據(jù)交叉點速度相關(guān)特征，將桿的速度u沿桿方向與圓圈切線方向分解，則M的速度為uv=sin9C5、如圖所示，直角曲桿OBC繞O軸在如圖所示的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,使套在其上的光滑小環(huán)沿固定直桿OA滑動.已知OB=10cm,曲桿的角速度3=0.5rad/s，求二60。時，小環(huán)M的速度.MB分析與解本題首先應(yīng)該求出交叉點M作為桿BC上一點的速度v，而后根據(jù)交叉點速度相關(guān)特征，求出該

12、速度沿OA方向的分量即為小環(huán)速度.由于剛性曲桿OBC以O(shè)為軸轉(zhuǎn)動，故其上與OA直桿交叉點的速度方向垂直于轉(zhuǎn)動半徑OM、大小是將其沿MA、MB方向分解成兩個分速度，如圖所示，即得小環(huán)M的速度為v=v=vtanp=103cm/s.MMAd之間的關(guān)系.軸環(huán)很薄且第二個軸環(huán)緊鄰第一個軸環(huán).分析與解軸環(huán)O2速度為v，將此速度沿軸環(huán)O1、O2的交叉點A處的切線方向分解成v、v兩個分量，如圖，由線狀相交物系交叉點相關(guān)速12度規(guī)律可知，交叉點A的速度即為沿對方速度分量注意到圖中顯示的幾何關(guān)系便可得vvv=a2sin92三、關(guān)聯(lián)速度問題是運動的合成和分解的一個基本模型關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是轉(zhuǎn)動和平動的關(guān)聯(lián)，分析時既要考慮

13、運動的獨立性原理，又要考慮物體實際的運動軌跡，還要考慮連繩的長度，建立好正確的幾何模型對解題至關(guān)重要。1、如圖所示，桿AB的A端以速度v做勻速運動，在桿運動時恒與一靜止的半圓周相切，半圓周的半徑為R,當(dāng)桿與水平線的交角為9時,求桿的角速度及桿上與半圓相切點C的速度.分析與解考察切點C的情況.由于半圓靜止，桿上點C速度的法向分量為零，故點C速度必沿桿的方向.以點C為基點，將桿上點A速度V分解成沿桿方向分量V1和垂直于桿方向分量v（如圖所示），則v是點A與點C相同21CBRAO的沿桿方向平動速度，V是點A對點C的轉(zhuǎn)動速度，故可求得點C的速度為2v=v=v-cos9，C1又v=v-sinAC2由題給

14、幾何關(guān)系知，A點對C點的轉(zhuǎn)動半徑為AC二R-cot9代入前式中即可解得=vsin29Rcos9度是多大?分析與解首先根據(jù)繩約束特點，任何時刻繩BD段上各點有與繩端D相同的沿繩BD段方向的分速度v，再看繩的這個速度與物體A移動速度的關(guān)系：設(shè)物體A右移速度為v，則相對于物體A（或動滑輪B的軸心），繩上B點的速度為v，即xxv二v，BAx方向沿繩BD方向；而根據(jù)運動合成法則，在沿繩BD方向上，繩上B點速度是相對于參照系A(chǔ)（或動滑輪B的軸心）的速度v與參照系A(chǔ)對靜止參照系速度vcosa的合成，即xxv=v+vcosa,BAx由上述兩方面可得vxv1+cosa3、如圖所示，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的

15、光滑釘子A上,以恒定的速度v拉繩，當(dāng)繩與豎直方向成a角時，求線軸中心O的運動速度v.設(shè)線軸的外徑為R，內(nèi)徑為r，線軸沿水平面做無滑0動的滾動.分析與解當(dāng)線軸以恒定的速度v拉繩時，線軸沿順時針方向運動.從繩端速度v到軸心速度v，是通過繩、軸相切接觸相關(guān)的.考察切點B的速度：本題中0繩與線軸間無滑動，故繩上B點與軸上B點速度完全相同，即無論沿切點法向或切向，兩者均有相同的分速度.圖是軸上B點與繩上B點速度矢量圖：軸上B點具有與軸心相同的平動速度v及對軸心的0轉(zhuǎn)動速度rw（w為軸的角速度），那么沿切向軸上B點的速度為r-v0sina；而繩上B點速度的切向分量正是沿繩方向、大小為速度v，于是有關(guān)系式,

16、即rwvsina=v.0又由于線軸沿水平地面做純滾動，故與水平地面相切點C的速度為零，則軸心速度為v二Rw，0由以上兩式可解得Rvv=0r-RsinaRv分析與解設(shè)木板與線軸相切于C點，則板上C點與線軸上C點有相同的法向速度v，而板上C點的這個法向速度正是C點關(guān)于Bn軸的轉(zhuǎn)動速度，如圖所示，即avBC=Rcot-n2現(xiàn)在再來考察線軸上C點的速度：它應(yīng)是C點對軸心O的轉(zhuǎn)動速度v和與軸心相同的平動Cn速度v的矢量和，而v是沿C點切向的，則C點法向速度v應(yīng)是0Cnn又由于線軸為剛體且做純滾動，故以線軸與水平面切點為基點,應(yīng)有vvR+rR.vva將v=vsma、=-0兩式代入vRcoty式中，得1-c

17、osa=(R+r)v的速度va相同的方向是水平方向線軸的運動由兩個運動合成：平行于斜面的直線運動，其速度為v0；繞軸心的順時針轉(zhuǎn)動，其角速度等于。在題中情況下，A點的速度（圖a）等于丁=丁+A0不難看出，v=R，且v丄v，由此可得ARv=0sina同理可以求出線軸與斜面相切C點的速度（圖b）齊=丁+卩C0其速度在斜面方向的投影為v=v一RC0將v=代人v=v-R得0sinaC0(b)1-sinasina6、輪子在直線軌道上作純滾動，輪子邊緣點的運動軌道曲線稱為滾輪線設(shè)輪子半徑為R,輪子邊緣點P對應(yīng)的滾輪線如圖所示，試求此滾輪線在最高點曲率半徑P和在最低點曲率半徑P12P解為計算P、P，可將輪子

18、的滾動設(shè)計為最簡單的勻速純滾動，并將輪心相對直線軌道12的勻速度記為v.0P點相對直線軌道的運動速度等于P點相對輪心運動速度與輪心相對直線軌道運動速度之和，在最高點這一速度大小應(yīng)為v=2v10在最低點這一速度大小則降為v=0。0P點相對直線軌道的加速度等于P點相對輪心的加速度a，與輪心相對直線軌道的加速度之和，后者為零，故有a=av2a即為勻速圓周運動的向心加速度，方向隨時變化，大小恒為a=a=P在最高點和在最低點的a顯然全部用作向心加速度，因此同有a心=v2-0Rv2據(jù)算式p=，可得a心v2p=4R1a心v2p=0度解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P的速度一定沿

19、繩的方向，那么P的速度V=vcos9現(xiàn)取Q為參考系，因為Q無加速度，所以P在Q系中的加速度等于P在地面系中的加速度。aa+aptn在Q系中，P有一個垂直于PQ的速度vvsin9。10v2v2sin29a0nllaViV0人血9sin(0+A0)sin9=sin9cosA0+cos9sinA0sin9迪tAtAtAtAtAt解法一、這是一個比較復(fù)雜的運動，將此運動看成兩個運動的合成：一個是B滑輪不動,卷揚機以速度v收吊索；另一個是AB段吊索長度不變，B滑塊以0vV向右運動。第一個運動使A滑塊得到了一個速度V=ism9第二個運動使A滑塊得到另一個速度v=-v-cot92v-vcos9A的真實速度v

20、=v+v-A12sin9將A的速度分解成沿吊索方向的分量鈿和垂直吊索方向的分量v:丄cos9v-vcos90sin9B速度的垂直于吊索的分量B丄所以A相對于B垂直于吊索方向的速度v-vcos9v=vv=0A丄B丄A丄sin9v2v2cos9A物體的向心加速度a=a丄=a丄l/cos9l00分析A的受力情況可知Tmgsin9Ncos9=maTcos9=N聯(lián)立，即可求得T解法二、以滑輪B為參照物，A物體速度可看成水平方向的速度v和豎直方向的速度v的合成，卷揚機雖然也有向左的速度v，但不影響吊索的速度，所以物體A沿吊索方向的速度亦為v.即0vvcos9v=vcos9+vsin9得v=o0sin9vvcos9A速度垂直吊索的分量v=vsin9-vcos9=A丄sin9以下同解法一。四、物理學(xué)中特殊的