!第八章壓桿穩(wěn)定性要點

1、15-1兩端為球鉸的壓桿，當(dāng)它的橫截面為圖示各種不同形狀時，試問桿件會在哪個平面內(nèi)失去穩(wěn)定(即在失穩(wěn)時，桿的截面繞哪一根軸轉(zhuǎn)動)？解：(a),(b),(e)任意方向轉(zhuǎn)動，(c),(d),(f)繞圖示Z軸轉(zhuǎn)動。15-2圖示各圓截面壓桿，橫截面積及材料都相同，直徑d=1.6cm，桿材A3鋼的彈性模量E=200MPa,各桿長度及支承形式如圖示，試求其中最大的與最小的臨界力之值。.2x30解:(a)柔度：九二二1500.4卩l(xiāng)=2x0.3=0.6m1x50二二1250.4卩l(xiāng)=1x0.5=0.5m0.7x70(c)柔度：九二二122.5相當(dāng)長度：(b)柔度：九相當(dāng)長度：相當(dāng)長度：(d)柔度：九相當(dāng)長度

2、：0.4卩l(xiāng)=0.7x0.7=0.49m二蘭竺0二112.50.4卩l(xiāng)=0.5x0.9=0.45m(e)柔度：九=112.50.4相當(dāng)長度：卩l(xiāng)=1x0.45=0.45m廠兀2EJ由E=200Gpa及各柔度值看出：各壓桿的臨界力可用歐拉公式計算。即：P二各壓cr(山J2桿的EJ均相同，故相當(dāng)長度最大的壓桿(a)臨界力最小，壓桿(d)與(e)的臨界力最大，分別為：兀兀2X200 x109xx1.64x10-8p=cr(卩l(xiāng)匕0.62兀2EJ64=17.64x103N兀兀2x200 x109xx1.64x10-8TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark36 o Curr

3、ent Document p2EJ=64cr(山匕0.452=31.30 xl03N15-3某種鋼材G=230MPa,G=274MPa,E=200GPa，直線公式G二3381.22九,pscr試計算該材料壓桿的九及九值，并繪制0150范圍內(nèi)的臨界應(yīng)力總圖。九=兀p解：pSE：200X1092r=兀=92.6G(MPa)G二GejZg=338-1.22九ej兀2EG=ej九227427422521613787九n工作P2.33w該桿的穩(wěn)定性足夠。15-5設(shè)圖示千斤頂?shù)淖畲蟪休d壓力為P=150kN，螺桿內(nèi)徑d=52mm,/=50cm.材料為A3鋼，E=200GPa。穩(wěn)定安全系數(shù)規(guī)定為n=3。試校核

4、其穩(wěn)定性。W解：千斤頂螺桿簡化為一端固定一端自由的壓桿，故p=2。柔度應(yīng)為：九=亍5=77v九=100i1x52p4應(yīng)采用經(jīng)驗公式計算其臨界力：由表中查出：a=304MPab=1.12MPa。則：o=a-bX=304-1.12x77=218MPaejPejn工作兀oA=218x103xx0.0522=462KNej4P462=亠=3.08n=3P150w所以滿足穩(wěn)定性要求。D15-610t船用輕型吊貨桿AB,長為16cm，截面為空心圓管，壁厚t=35，軸向壓縮力P=222kN，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)n=5.5，材料為A3鋼，E=210GPa，吊桿兩端均為鉸支座。試W確定用桿的截面尺寸。解：先按大柔度

5、桿解兀2x210 x109xP=兀2EJ=cr(pl)2兀64f2D、4D2-V35J丿(lx16)28.3458x107NP8.3458x107xD4crn=5.5=5.5Pw222x103222x553458x104t=10mm35校核應(yīng)用的公式是否對D=347mm口350mmd=330mmi=D2-d2=1J3502-3302=120.26mm44ul1x16000九=133九i120.26p所以上面的計算有效。15-7圖示托架中的AB桿，直徑d=40mm，長/=800mm，兩端鉸支，材料為A3鋼，試求托架的權(quán)限載荷Q；max600300njQ一腫/5q|題57圖二若工作載荷Q=70kN

6、，穩(wěn)定安全系數(shù)n=2.0，問此托架是否安全？解：(1)AB桿p=1,i=10mm4Th*j*鄉(xiāng)F-十、-一16ml=800mm一ul=1x800=80i10A鋼九=1003p九九屬于等桿o=crpa-bX=304-1.12x80=214.4MPa兀P=oA=214.4xx402=269.4KN=Ncrcr4ABQx900=Psin0 x600極限cr。極限8002-60026Px600丄800=118.8KN900Q118.8n=-限=工作Q70工作所以托架不安全。=1.70nw=2.015-8兩端固支的A3鋼管，長6m,內(nèi)徑為60mm,外徑為70mm,在T=20。C時安裝，此時管子不受力。已

7、知鋼的線膨脹系數(shù)Q=12.5x10-61/。C，彈性模量E=206GPa.當(dāng)溫度升高到多少度時,管子將失穩(wěn)？解：_i=J=*D2一d2=702一602=2.3cm_比_0.5x600/V=i2.3=130.5八=100p屬大柔度桿設(shè)溫度AtC；則管子變形6=aAtl伸長Pl管子受壓力P=P變形人=育縮短crEA變形協(xié)調(diào)條件6+A=0或者6=AaAtlPl=兀2EAlEA=TTUUEa=46.4o兀2兀2九2a(130.5)2x12.5x10-6即升至T=20+46.4=66.4C的管子失穩(wěn).15-9有一結(jié)構(gòu)ABCD，由3根直徑均為d的圓截面鋼桿組成如圖，在B點鉸支，而在C點和D點固定，A點為鉸

8、接。L=似。若此結(jié)構(gòu)由于桿件在ABCD平面內(nèi)彈性失穩(wěn)而喪失承載能力。解：AB桿為鉸支卩=1AC，AD桿為一端鉸支一端固定u=0.7AB失穩(wěn)此結(jié)構(gòu)仍能繼續(xù)承載，直到AC,AD桿也失穩(wěn)，此時整個結(jié)構(gòu)才喪失承載能力。由于對稱(P)=(P)crACcrAD工y=0:P=(P)+2(P)cos30TOC o 1-5 h zcrcrABcrAC兀2EJc兀2EJ“36.1EJ=+2xcos30=l2 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document (l、2丁。120.7xIIcos30丿15-10鉸接桿系A(chǔ)BC如圖示，是由兩根具有相同截面和同樣材料的細(xì)長桿所組成，若由

9、于桿件在ABC平面內(nèi)失穩(wěn)而引起毀壞。試確定載荷P為最大時的。角。廠001oI2丿解：當(dāng)AB,BC桿的軸力同時達(dá)到臨界力時，P最大。兩桿的臨界力為：(P)=Pco0=EJTOC o 1-5 h zcrABl2AB(P)=Ps四crACl2AC設(shè)BC間距為L,貝ijl=Lcos卩,l=Lsin卩代入上式ABACPcos0=A兀2EJLsin2卩Psin0=兀2EJLsin2卩兀2EJ兀2EJL2cos2卩cos0L2sin2卩sin0即：tg0=ctg2卩.0=arct(g15-11某快鍛水壓機(jī)工作臺油缸柱塞如圖示。已知油壓力p=32MPa,柱塞直徑d=120mm,伸入油缸的最大行程l=1600m

10、m,材料為45鋼，E=210Gpa。試求柱塞的工作安全系數(shù)。解：工作壓力P=pA=32x106xx(0.12)2=361.73(KN)TOC o 1-5 h z工作4|lx=2.0l=1.6m-=1d=012=0.03(m) HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 44 HYPERLINK l bookmark176 o Current Document aul2x1.6.九=106.7i0.0345鋼210竺二86280 x106屬細(xì)長桿.GcrGG耳=cr工作GP工作=5.7兀2E兀2x210 x109九2P106.72x32x10615-12

11、蒸汽機(jī)車的連桿如圖所示，截面為工字形，材料為A3鋼，連桿所受最大輸向壓力為465kN。連桿在擺動平面（xy平面）內(nèi)發(fā)生彎曲時，兩端可認(rèn)為是固定支座，試確定其安全系數(shù)。148co題1572圖85,140題1571圖單位：mm解：（1）xy平面內(nèi)：卩=1,l=3100mmi12x140385312=1.7755x107mm4A=140 x96一85x（96-14）=6470mm2.i=52.39mm=59.2.=山=1x3100=i52.39A鋼：九=100,九=1063psxy面內(nèi)屬短桿九.P=g4=235x106x6470 xlO-6=1520（KN）crsLI.qxy2）xz面內(nèi)：P工作46

12、?=3.27mm口=0.5,l=3100mmiJ=x85x143+2x(140-85)x9634.074x106mm4i=25.10mm.山2x3100“、.九=247八i25.10p兀2x200 x109x6470 x10-6所以屬細(xì)長桿廠兀2E2472.PCr=TTI=209(KN)TOC o 1-5 h zP209.q=九i0.04p兀2E兀兀2x200 x109/.N=A=x0.042x=61.9KNcrX24/當(dāng)q=20N/mm時：Nly=bd-BEA22002NN所以桿件失穩(wěn)破壞。BDcr15-15由兩槽鋼組成的立主如圖示，兩端均為球鉸支承，柱長l=4m。受載荷P=800kN,型鋼

13、材料為A3鋼，許用壓應(yīng)力IoJ=120MPa，試選選槽鋼的型號，并求兩槽鋼間的距離2b及連接板間的距離a。解：(1)選槽鋼設(shè)=0.90ip800 x103A=7.4x10-3m2=74cm2(c)0.9X120X106i選22號槽鋼A=36.24cm2J=2571.4cm4;i=8.42cmzJ=176.4cm4;i=2.21cmyX=2.03cm0pl1x400X=47.5;=0.90i8.42/800X103故合適c=P=800X103=110.4MPac=108MPaA2x36.24x10-4110.4-108但=2.2%仍可用108(2)求2b應(yīng)使組合截面的J=Jzy2J=2J+(b-

14、X)2Ay02x2571.4=2176.4+(b-2.03匕x36.24故b=10.16cm(3)求a九整=尢局卩l(xiāng)1X400,;九=pl=1xai8.421x400=1xa8.42=221a=1.05mi2.2115-16圖示萬匹柴油機(jī)連桿作為等截面壓桿考慮，D=260mm,d=80mm,許用壓應(yīng)力L=150MPa,材料為高強(qiáng)度鋼，試計算許用壓力P。解：I=兀(D4一d4)=2.223x10-4m464A=1兀(D2一d2)=4.807x10-2m24=6.801x10-2mi=此連桿有兩種失穩(wěn)形式(1)在xy平面內(nèi)：(6)卩=1,l=2.88.九=42.35九ip查九-甲表得Q二0.918

15、；故許用壓力為PbA=0.9925x1.5x10sx4.807x10-2=7.16x106N結(jié)論：該連桿的許用壓力為6.61x103KN15-17試用撓曲線近似微分方程式及邊界條件推導(dǎo)兩端均為固定支座壓桿的臨界力如圖15-7(a)。解：根據(jù)上下對稱知兩支座處水平反力為零，其反力偶相等。因此，在桿的任何一截面x上的彎矩為：M(x)=Pv-M(1)cre由撓曲線近似微分力和有：EIv=M-PvecrPM令K2=曠得：v”+k2v=k2LEIPcrM上式的通解為：v=Asinkx+Bcoskx+ecr2)3)4)求導(dǎo)可得：v=Akcoskx一Bksinkx5)M由邊界條件：x=0;v=0,v=0得A

16、=0,B=cr代入(4)得v=Me(1coskx)Pcrx=L;v=0,v=0得再由邊界條件1-coskL=0,sinkL=0即要求kL=2加(n=0,12冷其最小非零解為kL=2兀7)由此得該壓桿臨界力P的歐拉公式crPcr兀2EI(0.L上端自由的等截面壓桿，如圖a),為提高其承壓能力,在長度中央增設(shè)肩撐如圖(b),使其在橫向不能橫移。計算與加固前的臨界力的比值。解：當(dāng)0 xL時，M(x)=P(6-v)+Q(L-x)cr了了QQ，有v+k2v=k26+xcr15-18一根長為2L,下端固定,由EIv”=-M(x)1.v=Asinkx+Bcoskx+6(Lx)111Pecrv=Akcoskx

17、Bksinkx+6+-111Pcr(4)試求加固后壓桿的臨界力計算公式，并(1)PLJcr(3)當(dāng)Lx2L時M(x)=-P(8-v)(5)由EIv”=-M(x)有v”+k2v=k26222cr:.vAsinkx+Bcoskx+6222vAkcoskx-Bksinkx222由邊界條件x0；v0,v0得-0,0L-6A,B61kP1Pcrcr由邊界條件x2L;v6有Asin20L+Bcos20L022由邊界條件xL；vv,vv有1212AsinkL+BcoskLAsinkL+BcoskL11220AkcoskLBksinkL+AkcoskLBksinkL1P22cr由(11)(12)聯(lián)立，解得：0

18、B-sin2kL+2kPcr0Acos20L-2kPcr(7)(8)(9)(10)(11)(12)中L、-6cos2kLIP丿cr(0L一6IP丿crcos20Lcos0LsinkL將A,A,B,B代入(12),整理可得12126PsinkL-sin20LrrXkkL+0cos20L又由邊界條件xL；v=v0得12AsinkL+BcoskL+6011代入A,B得116PkLcoskL-sinkLcrXk0coskL-1由式(15)(17)得sin0L-sin20LkLcoskL-sinkLkL+17)(13)(14)15)16)coskL-1cos20L整理上式，得穩(wěn)定方程kLcos20L+（

19、2-3coskL）sinkL0P式中k2才EL解放程（19）可得7兀k25iL（取最小正k）故加固后臨界力計算公式為P兀2EIcr（2.51L）218)19)加固前臨界力pcr兀2El加固后P42_加固前P2512*cr即加固后臨界力為加固前的2.54倍。15-19一等截面壓桿，下端固定，上端由一彈簧常數(shù)為C(N/m)的彈簧支持，但設(shè)失穩(wěn)時的撓曲線為y=f1-cos竺、I2l丿試用能量法確定它的臨界力。提示：當(dāng)oA桿撓曲時，A點下移8二J心少dx,p力完成功為P8，而當(dāng)A點側(cè)移f時,20得1彈簧力也將完成功-Cf2。_.兀X解：由y=f1-cosI21丿兀f.兀xy=sm2l2l兀2f兀Xy”=cos4l22l“EIf,(,EI兀4lEI兀4f2應(yīng)變能：U=JWy”2dx=Xf2x=2o216l4264l3P外力做功：-P8=-PxJ1(y)crcr201彈簧力做功：cf2壓桿總勢能1H=U-P九+cf2cr24l2dX=-XX策fI；Sin2分=-Pr由f=0，得臨界力Pcr16l(cEI兀4)+1264l3丿15-20兩端鉸支壓桿AB,在其中點C處受有一