《不等式及其性質》等式與不等式課件

1、2.2.1 不等式及其性質等式與不等式一二知識點一、不等關系與不等式填空:(1)不等式中自然語言與符號語言之間的轉換.(2)不等式的定義:含有不等號的式子. 三四一二知識點二、實數(shù)大小的比較1.思考怎樣比較a2+b2與2ab的大小關系?提示:(作差法)a2+b2-2ab=(a-b)20,a2+b22ab.三四一二2.填空:(1)數(shù)軸上的兩點A,B的位置關系與其對應實數(shù)a,b的大小關系.數(shù)軸上的任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.數(shù)軸上點的位置與實數(shù)大小的關系(表示實數(shù)a和b的兩個點分別為A和B),如下:三四一二(2)比較兩個實數(shù)的大小. 三四一二答案:C 三四一二三四知識點三、不

2、等式的性質1.不等式的性質(1)性質1:如果ab,那么a+cb+c;(2)性質2:如果ab,c0,那么acbc;(3)性質3:如果ab,c0,那么acb,bc,那么ac.(5)性質5:abbc,則ac-b;(2)推論2:如果ab,cd,那么a+cb+d;(3)推論3:如果ab0,cd0,那么acbd;(4)推論4:如果ab0,那么anbn(nN,n1);一二三四3.利用不等式性質應注意哪些問題?提示:在使用不等式時,一定要弄清不等式(組)成立的前提條件.不可強化或弱化成立的條件.如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符號”等都需要注意.4.做一做已知ab

3、,可以推出()解析:c20,ab,ac2bc2.答案:B一二三四5.做一做判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“”,錯誤的打“”.(1)若ab,cb-d.()(2)若ab,則1ab0,cd0,則adbc.()(4)已知ab,ef,c0,則f-ace-bc.()答案:(1)(2)(3)(4)一二三四知識點四、直接證明與間接證明1.直接證明(1)綜合法:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結論,則綜合法可用框圖表示為:PQ1Q1Q2Q2Q3Q

4、nQ一二三四(2)分析法:一般地,從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.用Q表示要證明的結論,則分析法可用框圖表示為:QP1P1P2P2P3得到一個明顯成立的條件2.間接證明反證法:一般地,假設原命題不成立(即在原命題的條件下,結論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.一二三四答案:C 探究一探究二探究三探究四思維辨析應用不等式的性質證明不等式 當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟證明不等式的

5、解題策略1.利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎上,記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.2.應用不等式的性質進行推導時,應注意緊扣不等式的性質成立的條件,且不可省略條件或跳步推導,更不能隨意構造性質與法則.3.除了熟練掌握不等式的性質外,還應掌握一些常用的證明方法.如作差比較法、作商比較法、分析法等.當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析利用不等式的性質求范圍例2 (1)已知-6a8,2b3,則2a+b的取值范圍是, a-b的取值范圍是.(2)已知函數(shù)f(x)=ax2-c,且-4f(1)-1,-

6、1f(2)5,求f(3)的取值范圍.(1)答案:(-10,19)(-9,6)當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟利用不等式的性質求代數(shù)式的范圍要注意的問題1.恰當設計解題步驟,合理利用不等式的性質.2.運用不等式的性質時要切實注意不等式性質的前提條件,切不可用似乎是很顯然的理由,代替不等式范圍的求解.當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究在本例2(1)條件下,求ab和 的取值范圍.解:(1)因為-6a8,2b3,所以當0a8時,0ab24,當-6a0時,0-a6,所以0-ab18,所以-18ab0,由知-18ab24.(2)因為-6a8,2b0,求證:3a3+2b33a2

7、b+2ab2.(請用分析法和綜合法兩種方法證明)證明:方法一:(綜合法)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因為ab0,所以a-b0,3a2-2b20,從而(3a2-2b2)(a-b)0,所以3a3+2b33a2b+2ab2.方法二:(分析法)要證3a3+2b33a2b+2ab2,只需證3a2(a-b)-2b2(a-b)0,只需證(3a2-2b2)(a-b)0,ab0,a-b0,3a2-2b22a2-2b20,(3a2-2b2)(a-b)0成立,原不等式得證.當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟 分析綜合法的解題

8、思路分析綜合法的解題思路是:根據(jù)條件的結構特點去轉化結論,得到中間結論Q;根據(jù)結論的結構特點去轉化條件,得到中間結論P;若由P可推出Q,即可得證.當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析答案:ab且a0,b0 當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析不等式性質的實際應用例4 建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于 ,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究現(xiàn)有A,B,

9、C,D四個長方體容器,A,B的底面積均為a2,C,D的底面積均為b2,A,C的高都是a,B,D的高都是b,且ab.現(xiàn)在規(guī)定一種游戲規(guī)則:每人一次從四種容器中取兩個,盛水總和多者為勝.請研究對于先取者是否有必勝的方案?如果有,有幾種?分析:通過建立起問題的數(shù)學模型,可以發(fā)現(xiàn)其實質就是比較其中兩個容器的容積之和與另外兩個容器的容積之和的大小關系.為此,需先計算出A,B,C,D四個容器的容積,再運用作差比較法進行比較大小.當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析解:設A,B,C,D四個容器的容積依次為VA,VB,VC,VD.由題意,有VA=a3,VB=a2b,VC=ab2,VD=b3.將A,B,C,

10、D兩兩一組進行比較有下列三種可能:(VA+VB)-(VC+VD)=a3+a2b-ab2-b3=(a-b)(a+b)2,(VA+VC)-(VB+VD)=a3+ab2-a2b-b3=(a-b)(a2+b2),(VA+VD)-(VB+VC)=a3+b3-a2b-b2a=(a+b)(a-b)2.由題設知,a0,b0,ab,因此只有(VA+VD)-(VB+VC)=(a+b)(a-b)2能判斷其大于0,而其他兩組結果的正負依賴于a,b的取值.ab時為正,a0,試比較a與 的大小.(2)已知xR,mR,比較x2+x+1與-2m2+2mx的大小.分析:(1)本題需要分類討論.(2)分別把“x2+x+1”與“-

11、2m2+2mx”視為整體,利用作差比較法進行比較.當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析方法點睛 作差法和作商法是比較實數(shù)大小和證明不等式的重要方法,但是它們又有各自的適用范圍,對于不同的問題應當選擇不同的方法進行解決.(1)一般實數(shù)大小的比較都可以采用作差法,但是我們要考慮作差后與0的比較,通常要進行因式分解,配方或者其他變形操作,所以,作差后必須容易變形到能看出與0的大小關系的式子.(2)作商法主要適用于那些能夠判斷出恒為正數(shù)的數(shù)或者式子,具有一定的局限性,作商后要與1進行比較,所以,作商后必須易于變成能與1比較大小的式子,此種方法主要適用于那些含

12、有冪指數(shù)的數(shù)或式子的大小的比較.當堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當堂檢測1.已知a0,-1babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a解析:本題可以根據(jù)不等式的性質來解,由于-1b0,所以0b21.所以aab20,易得答案D.本題也可以根據(jù)a,b的取值范圍取特殊值,比如令a=-1,b=- ,也容易得到正確答案.答案:D2.設a,b,cR,且ab,則()解析:選項A中c有可能為負值或零,故錯誤;選項B中當a0,b0時錯誤;選項C中當ba0時,不成立.答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析當堂檢測3.已知a0,-1babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2

13、a解析:本題可以根據(jù)不等式的性質來解,由于-1b0,所以0b21.所以aab20,易得答案D.本題也可以根據(jù)a,b的取值范圍取特殊值,比如令a=-1,b=- ,也容易得到正確答案.答案:D4.設a,b,cR,且ab,則()C.a2b2 D.a3b3解析:選項A中c有可能為負值或零,故錯誤;選項B中當a0,b0時錯誤;選項C中當ba0時,不成立.答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析當堂檢測5.設m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,則m,n的大小關系是.解析:m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a20.答案:mn有時候，人太清醒反而覺得累，覺得不快樂，但是想要學會裝糊涂還真是難。不要等

14、到人生垂暮，才想起俯拾朝花，且行且珍惜。你可能在一個人面前一文不值，卻在另一個人面前是無價之寶。謹記自己的價值所在。路再遠，也有盡頭;苦再深，也會結束，只要不放棄，就有希望。只是，在漫漫的長途中跋涉，在深深的痛苦中掙扎，我們常常為環(huán)境所迫，被困難所迷惑，放棄了希望，厭倦了生活，覺得路越走越窄，苦越來越深。其實，窄的不是路，是思想與感情，深的不是苦，是感受與心情，路邊是路，苦中有甜，看得是你自己。許多人，不是擦肩，就是錯過，總是無緣;許多事，不是無能，就是無情，總是無緣。人生，就是一次艱辛的旅行，得意時，頓生許多豪情，期盼著，瀏覽更多美好的風景;失意時，憑添許多傷心，渴望著，走出困境擺脫愁情。人

15、生所有的一切，得意也好，失意也罷，圓滿很少，完美不多，人如此，事這樣，如意很少。人生，有許多無奈，好多人或事，明明喜歡，偏偏不能;明明熱愛，恰恰不能;生活，有許多無能，好多事情，明明討厭，常常不做不行;明明厭倦，往往不做不成。想做的不能，想說的不行;不愿做的，卻又不能，不想說的，就是不行。我們就是這樣無奈，無能。何時，能隨心如愿，給心身最大的自由，那該多好。這個世界有兩件事我們不能不做：一是趕路，二是停下來看看自己是否擁有一份好心態(tài)。好心態(tài)是人們一生中的好伴侶，讓人愉悅和健康。人生感悟：要有陽光般的心態(tài)。沒有愛的生活就像一片荒漠，贈人玫瑰，手有余香“學會愛別人，其實就是愛自己”，讓愛如同午后陽

16、光，溫暖每個人的心房。人生感悟：學會愛別人多去尊重理解別人，常懷寬容和感激之心，寬容是一種美德，是一種智慧，海納百川才有了海的廣闊，感激你的朋友，是他們給了你幫助：感激你的敵人，是讓你變得堅強。人生感悟：懂得寬容和感恩。管好自己的嘴，講話不要只顧一時痛快信口開河，“良言一句三冬暖，傷人一語六月寒”說話要用腦子。不揚人惡，自然能化敵為友。人生感悟：切記禍從口出！人情、人情，人之常情，要樂善好施，常與交往，“平時多燒香，急時有人幫”，所以，“人情要多儲存，就像銀行存款，存的越多，時間越長，紅利就越大。人生感悟：多儲存人情。遇事不要急躁！不要急于下結論特別是生氣的時候做決斷，要學會換位思考，或者等一

17、等，大事化小，小事化了。把復雜的事情盡量簡單處理，千萬不要把簡單的事情復雜化。人生感悟：遇事莫急躁！真正學會知足。人生最大的煩惱是從沒有意義的比較開始，大千世界總有比如你的和比你強的人，“當我哭泣沒鞋穿的時候，我發(fā)現(xiàn)有人卻沒腳”。人生感悟：真正學會知足。如果敵人讓你生氣，那說明你還有勝他的把握，根本不必回頭去看咒罵你的人是誰。如果有一條瘋狗咬你一口，難道你也要趴下去反咬它一口嗎？人生感悟：不和小人生氣計較。別把工作當負擔，既然目前改不了行，也沒有更好的選擇，與其生氣埋怨，不如積極快樂的去面對。當你把工作當做生活和藝術時，你就會享受到生活的樂趣。人生感悟：享受工作的快樂。人活著一天就是福氣，就該

18、珍惜，人生短短幾十年，不要給自己留下更多的遺憾。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不鉆牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。人生感悟：珍惜自己的生活。1.人生就像蒲公英，看似自由，卻往往身不由己。生活沒有如果，只有結果，自己盡力了，努力了，就好。有的人像WIFI熱點，即使遠了，但是只要你沒改密碼，再相見的時候也會自動連上，只是改不改密碼，也是人家的事了。要么敢愛敢恨快意人生，要么沒心每肺扮傻到底，別讓自己活成了那種，懂得很多道理卻過不好這一生的人。成大事的人，往往做小事也認真，而做小事不認真的人，往往也做不成大事?？磩e人不順眼，其實是自已的修養(yǎng)不夠。人生在世，順少逆多，一輩子不容易，千萬不要總是跟別人過不去，更不要跟自已過不去。如果是一堆蘋果，有好有壞，你就應該先吃好的，把壞的扔掉，如果你先吃壞的，好的也會變壞，你將永遠吃不到好的，人生亦如此。人，總愛跟別人比較，看看有誰比自己好，又有誰比不上自己。而其實，為你的煩惱和憂傷墊底的，從來不是別人的不幸和痛苦，而是你自己的態(tài)度。學習中經(jīng)常取得成功可能會導致更大的學習興趣，并改善學生作為學習的自我概念。為了成功地生活，少年人必須學習自立，鏟除埋伏各處的障礙，在家庭要教養(yǎng)他，使他具有為人所認可的獨立人格。勞動教養(yǎng)了身體，學習教養(yǎng)了心靈我們的事業(yè)就是學習再學習，努