我的計算能力很差

1、 我的計算能力很差，連做簡單的加法都很少不出錯！ （法）數(shù)學(xué)家彭加萊數(shù)感1“數(shù)感” 這一術(shù)語的提出傳遞了一個清晰的信息：發(fā)展數(shù)感成為小學(xué)數(shù)學(xué)最重要的教學(xué)目標(biāo).關(guān)于數(shù)的教學(xué)要超越“計算訓(xùn)練”，讓學(xué)生在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中獲得更豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗,學(xué)到到更好的數(shù)學(xué)！“數(shù)感”的提出，涉及到對小學(xué)數(shù)學(xué)進行全面的改革：教學(xué)的目標(biāo)、內(nèi)容、教學(xué)策略與評價方法等等。 2（一） 什么？為什么？3什么是“數(shù)感” ？簡單的回答：關(guān)于數(shù)的一種很好的直覺（包括與之有關(guān)的各種關(guān)系）每個學(xué)生都有自己特有的“數(shù)的世界” ：概念的、直覺的與計算的這個“數(shù)的世界” 是如此的豐富多彩，很難用“計算技能”等來表達?！皵?shù)感”一詞能更好的反映這種

2、多樣性具有這種直覺學(xué)生才能以一種“聰明”的方式來使用數(shù)4“數(shù)感”是怎樣形成的？它是在豐富多樣的實踐活動中逐漸發(fā)展起來的（包括生活經(jīng)驗）：學(xué)校課程為學(xué)生提供了大量的實踐機會；日常經(jīng)驗也是學(xué)生的“數(shù)感” 發(fā)展的重要資源5在這些實踐活動中：學(xué)生感受到數(shù)的具體存在；“看”到數(shù)的作用；用各種方法表示這些數(shù)；用數(shù)解決遇到的問題；對數(shù)進行“計算”操作；用數(shù)進行交流；對數(shù)的各種關(guān)系進行探索；等等。在這個“潤物細無聲” 的積累過程，每個學(xué)生都形成自己特有的“數(shù)的世界” ：概念的、直覺的與計算的6為什么強調(diào)“數(shù)感”？為什么在談“概念”的同時，還要強調(diào)“數(shù)感”的發(fā)展？一種共識，一種共同的追求：一方面數(shù)學(xué)不是“知識與

3、計算”的簡單堆砌；數(shù)學(xué)不是“冷冰冰的鋼鐵機器” ！在學(xué)生心目中的“數(shù)”也不應(yīng)當(dāng)是一堆干巴巴的數(shù)字加上一些機械的計算程序！我們的學(xué)生也不應(yīng)當(dāng)僅僅是能進行熟練計算的“計算器”！7“數(shù)感”的提出反映了我們的追求：期望學(xué)生能夠?qū)W到更好的數(shù)學(xué)！學(xué)到有意義（他們能領(lǐng)會）的數(shù)學(xué)！對“數(shù)感”的強調(diào)，正反映了這種追求：數(shù)是一個復(fù)雜的概念. 關(guān)于數(shù)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)超越數(shù)的計算訓(xùn)練，使學(xué)生發(fā)展對數(shù)的更豐富的體驗與認(rèn)識，包括形成更靈活的關(guān)于數(shù)的直覺。 8（二）例子“數(shù)感”有哪些具體表現(xiàn)?我們的教師能從行為與言談中,敏銳的發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對于數(shù)的理解, 了解學(xué)生是如何把握數(shù)的 9學(xué)生對數(shù)的“感悟” 會以各種方式表現(xiàn)出來，是處處”可

4、見”的：既見之于解決數(shù)學(xué)問題的過程,也表現(xiàn)在日常行為中. 計算技能仍然是”數(shù)感” 的構(gòu)成要素之一，但僅僅是“之一”而已。學(xué)生的”數(shù)感”，他們的“數(shù)世界”遠比這要豐富。重要的是從各種不同角度來認(rèn)識數(shù),感受數(shù),形成關(guān)于數(shù)的更豐滿的體驗.10例1女孩數(shù)數(shù)。(H. Freudenthal)一個學(xué)前女孩學(xué)習(xí)寫數(shù).她寫下1, 2, 3, 9, (這時需要幫一下)10,11, 12, 19, (這時又可能需要幫一下) 90, 99 (這時需要幫一下)100, 109110, 199 寫到1024.到此,她不愿再寫下去了,說道: 就這樣繼續(xù)下去!11 您對這個活動有何評論？ 這個女孩學(xué)到了什么？ 您的評價有什

5、么依據(jù)？12這是很了不起的！“就這樣繼續(xù)下去！”就是數(shù)學(xué)對人類來講，對這個女孩來講，她正在創(chuàng)造自己最早的數(shù)學(xué)，而且是偉大而又重要的數(shù)學(xué)，還是最深奧的數(shù)學(xué)。 13依據(jù)：表面上看，寫在紙上的數(shù)列還在繼續(xù)，但準(zhǔn)確的講，這是數(shù)的記號在繼續(xù)。這個女孩突然發(fā)現(xiàn)了寫出所有數(shù)的，非常簡單的原理：0的后繼是1，。（后繼）她也知道，這可以無限的進行下去。由此 可以斷言，她已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了無限。這在數(shù)學(xué)上是了不起的。這正是數(shù)學(xué)的出發(fā)點，也是數(shù)學(xué)的歸宿。14“就這樣繼續(xù)下去”的原理貫穿于全部算術(shù)，無論 是時間的無限，還是空間的無限，都靠這個原則去把握?！薄盁o論從歷史的，發(fā)生學(xué)的還是從系統(tǒng)的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石。可

6、以說，沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)?！?問題：你如何解釋這一觀點?！八袩o限過程，如都是想象為時間上的無窮無盡，” 15發(fā)現(xiàn)學(xué)生 - H.佛羅登塔的分析對我們的啟示 熱情 教師應(yīng)當(dāng)以巨大智慧與的熱情和，“如數(shù)家珍” 似的鑒賞 學(xué)生的工作：從平凡中發(fā)現(xiàn)偉大，發(fā)現(xiàn)具有潛在價值的 “苗子”。 問題 如何發(fā)現(xiàn)學(xué)生活動的價值？ 這樣分析的依據(jù)是什么？ 智慧這就是數(shù)感！ 從數(shù)學(xué)本身的角度 - 后繼與無限；序數(shù)； 從學(xué)生發(fā)展的角度看 - 頓悟？16 例睡蓮問題17 睡蓮問題 湖面有一片睡蓮,它的覆蓋面積每天要擴大一倍.到第28天,這片睡蓮恰好蓋滿湖面.問:這片睡蓮要用幾天才能蓋滿該湖面的一半?18四個蘇格蘭14歲

7、的學(xué)生在討論一道題,他們的老師站在一邊看著.并用錄象將談話記錄下來,然后再整理之. 學(xué)生: A,B,C和D; 教師: T 問題: 從下面所提供的這個活動，您觀察到什么關(guān)注什么信息?19A 嗨,這題有點意思!B 那還不變臭啦.C 睡蓮活不了 28 天!A 怪題.D 1 天, 1 平方寸. 加倍, 2 平方寸, 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128B 可我們不知道池塘有多大.D 我知道,它在28天蓋滿池塘. 246.C 不! 256.D 你是對的; 312 , 不 412 , 不 512 ,不,錯了 2048,8002. 20B 你干什么呢?A 他錯了.B 我跟你想的不一樣.它要你

8、求多長,沒問你有 多大.A 那你也得知道有多大 (這時其他人都在計算,并且對 2 的冪的得數(shù), 直到 16384)D 現(xiàn)在我們做到 15了.C 現(xiàn)在該做什么了?B 還得繼續(xù)請求它的大小,我們還沒有求出要用多長時間(繼續(xù)求數(shù))21T 再讀一遍題.B 哈,27個晚上 沒意思. 我懂了真傻! 太容易了!其他人: 太明顯了. （活動結(jié)束）22 65536 65536131072 32 768 32 768 65 536 4096 4096 8412 16384 16384 327681 2 4 8 16 32 64 128 256 5 121024 20 43 4 0 96 8 1 82 103 84

9、32708 655 36 13 10 12 27個晚上 (可COPY )蓮（6）23 問題從以上活動，您注意到什么？學(xué)生的解題過程大致有什么特點？ 他們遇到了什么困難？他們使用 的策 略是什么？學(xué)生是如何使用數(shù)的？當(dāng)學(xué)生以小組形式進行探究(問題 解決)活動時，數(shù)學(xué)教師還關(guān)心什么？每個學(xué)生的工作方式有何特點？ 他們怎么合作的？每個人的作用 是什么？24（三） “菜單”能把“數(shù)感”所包含的內(nèi)容說得更具體些嗎？你能開一張“菜單”嗎？25”數(shù)感” 應(yīng)當(dāng)包括如下成分:理解數(shù)的意義；用多種方法表示數(shù)；能在具體情景中把握數(shù)的大??；用數(shù)表達和交流信息；為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估計運算的結(jié)果;能對結(jié)果的合

10、理性做出解釋。其他？26對”數(shù)的意義” 的理解 重要的是認(rèn)識與感受 ”數(shù)”的意義，特別是“數(shù)” 所包含的模式. 從可感知的現(xiàn)實背景, 理解數(shù)的實際含義：一朵花有六個花瓣,而那朵花也有六個花瓣。而后數(shù) “六” 成為抽象的獨立事物. 這就是模式! 我們不是孤立的看數(shù). 例1中的那個女孩，她感受到了”繼續(xù)下去”,知道“0的后面是1”，“1 的后面是2”， . 發(fā)現(xiàn)了”后繼數(shù)”! 這就是最重要的模式或規(guī)律. 27學(xué)生抽象思維的發(fā)展可能會存在巨大的差異.例如, 有的學(xué)生可能很難把分?jǐn)?shù)”1/2” 與具體的”西瓜”蛋糕” 分開. 我們應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生在不同的抽象水平理解數(shù), 等待并創(chuàng)造機會使這些學(xué)生逐步越上新的

11、思維水平28l 用符號表示數(shù) 人們發(fā)明了各種符號表示數(shù).學(xué)生要經(jīng)歷與體驗關(guān)于數(shù)的符號的發(fā)生過程, 理解”位值” (各種進位法)這一重要的表示法. 多種表示例1中的那個女孩正是從數(shù)的符號中,看到了某種模式. 29l 計算與估算計算本身就是”數(shù)系”的一個有機部分.根據(jù)規(guī)則對數(shù)（數(shù)學(xué)符號）進行操作,這是“數(shù)感” 的重要內(nèi)容.但計算應(yīng)當(dāng)是有意義的活動,而不是”符號游戲”!例2學(xué)生D擅長計算, 他最后算出了215 !但對筆下的215意味著什么,卻麻木不仁. 學(xué)生B 卻能一種“聰明”的方式來使用數(shù). 30l 數(shù)之間的關(guān)系（如大小關(guān)系） ”數(shù)系”的另一個有機部分是數(shù)之間的關(guān)系,（例如大小關(guān)系）. 計算也是揭

12、示數(shù)之間關(guān)系的重要手段.除了根據(jù)“算法”，可以對數(shù)做精確的比較外，還能憑直覺的感知，判斷這個數(shù)很大，那個數(shù)比較小。在 例2中，當(dāng)學(xué)生們把28天和睡蓮聯(lián)系起來后，便得出推論：睡蓮活不了這么久，會變腐爛的！但是，例3中的學(xué)生們顯然不能想象“一百萬粒黃豆”有多少！ 31l交流在交流中，恰當(dāng)?shù)挠脭?shù)表達和解釋信息這涉及到觀察，對現(xiàn)實事物中的數(shù)具有敏銳感知，也涉及到用數(shù)來描述周邊的事物（例如，事物的大小、門牌號數(shù)等）。交流是雙向的：會講“會聽”：當(dāng)他人的講述用到數(shù)來交流信息時，能根據(jù)背景理解數(shù)的含義，并能進行交流。 32l 解決問題 對于遇到的問題(包括生活中問題), 能有應(yīng)用數(shù)的意識,并能恰當(dāng)?shù)倪x擇數(shù)及

13、算法。綜合: 進行觀察; 提出問題;做出判斷;構(gòu)造假設(shè);做出選擇;實施計劃;性自我監(jiān)督; 合作交流;計算結(jié)果的預(yù)測;評價反思。數(shù)33 (四) 教學(xué)策略如何培養(yǎng)學(xué)生的”數(shù)感”? 34 發(fā)展“數(shù)感” 使我們的教師擺脫了某些束縛, 獲得了更大的自由, 使他們能在教學(xué)方法上有更多的選擇. 從新的視角認(rèn)識與揚棄傳統(tǒng)的成功教學(xué)經(jīng)驗。關(guān)鍵是: 為了發(fā)展對數(shù)的更豐富的體驗與認(rèn)識，包括形成更靈活的關(guān)于數(shù)的直覺(對數(shù)的駕御能力), 我們不再把目光集中在狹小的 ”計算訓(xùn)練”范圍. 35l 注意現(xiàn)實與數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個好傳統(tǒng)也許是：注意聯(lián)系實際。對數(shù)感的強調(diào)，也許能使我們更好發(fā)揚這個傳統(tǒng), 從“數(shù)感”發(fā)

14、展的角度，設(shè)計新的實際情境. 讓學(xué)生經(jīng)歷”數(shù)學(xué)化”：“知識形成過程，就是”數(shù)學(xué)化”的過程！這是最重要的數(shù)學(xué)思想.例1女孩她在“機械”的數(shù)數(shù)過程中發(fā)現(xiàn)了重要的規(guī)律。她不能用語言來表達，但卻感受到寫出自然數(shù)的規(guī)律。她用這個數(shù)學(xué)思想來把握數(shù)(數(shù)學(xué)化)! 對這個規(guī)律的認(rèn)識（甚至只是模糊的）也是以后掌握數(shù)的運算的基礎(chǔ)。36l 在數(shù)的運算中發(fā)展數(shù)感對“數(shù)感”的強調(diào)，使我們反思：為什么要培養(yǎng)計算能力？應(yīng)當(dāng)重視計算能力的培養(yǎng)，因為必要的計算技能是建立“數(shù)感”的前提?！笆炷苌伞?- 熟練的運算有助于發(fā)展對數(shù)感的某些方面.但過分沉溺于機械化技能, 追求無用的雕蟲小技,不利于“數(shù)感”的發(fā)展, 反而有害?問題是:

15、如何把握適度? 在計算教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)注意: 對運算方法的判斷; 對運算結(jié)果的估計; 對口算的訓(xùn)練;對算法多樣的倡導(dǎo). 例2中的學(xué)生D 就是一個例子。他非常認(rèn)真的忙于計算，但不知道自己要做什么. 37-例3 “千和萬的認(rèn)識” - 湖南一師林玲老師的一堂課 二年級下; 時間:2006年5月25日教師出示用透明塑料口袋包裝的花生米,問學(xué)生: “有多少花生米?”學(xué)生回答: 1千!5萬!1 百萬! 38目的：l 從時間與空間上認(rèn)識計數(shù)單位百、千和萬；l 知道相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率是“10”；l 掌握個位至萬的數(shù)位順序；l 會讀寫整百、整千和整萬。學(xué)具：花生米、杯子、大小不等的容器、計數(shù)器等。39教學(xué)過

16、程:1 出示用透明塑料口袋包裝的花生米,問學(xué)生: “有多少花生米?”學(xué)生回答: 1千,5萬,1 百萬認(rèn)識千和萬的活動 十個十是一百。選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，?shù)一百?；ㄉ?，裝入之；十個一百是一千。選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，?shù)一千?；ㄉ?，裝入之； 十個一百是一千。數(shù)一萬粒花生，選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，裝入之。 401. 提出的問題：你能說出一些比一百大的數(shù)嗎？猜一猜，塑料袋里有多少花生米？這里有100?；ㄉ?，你能根據(jù)這100粒花生占有的空間，選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，裝一千粒花生嗎？ 你們是用什么方法數(shù)出一千?；ㄉ? 裝一萬粒花生呢？ 數(shù)100粒花生要用多少時間？（為了統(tǒng)計數(shù)花生所用的時間，可以分組活動，并適當(dāng)?shù)姆止?。）假設(shè)咪咪小

17、組數(shù)100?；ㄉ?，用了1 分鐘，問：用同樣的方法，數(shù)1，000?；ㄉ?，大約要用多少時間？ 問：用同樣的方法，數(shù)1，000?；ㄉ?，大約要用多少時間？ 你能用其他方法數(shù)嗎？你能用自己喜歡的方法來表現(xiàn)1，10，100，1，000和10，000的大小 41評論: 為什么學(xué)生的估計差異如此大?一些數(shù)學(xué)系畢業(yè)學(xué)生回顧過去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)歷,都有一個共同的感受: 缺乏“數(shù)感”.討論: 感受大數(shù)感受大數(shù)的基礎(chǔ)是對”大數(shù)”本身的認(rèn)識: 100；1，000；10，000，從數(shù)學(xué)本身的角度: 10n.從數(shù)學(xué)與生活實踐的結(jié)合的角度(從時間和空間) 42“數(shù)感” 這一術(shù)語的提出傳遞了一個清晰的信息：發(fā)展數(shù)感成為小學(xué)數(shù)學(xué)最重要的教學(xué)目標(biāo).關(guān)于數(shù)的教學(xué)要超越“計算訓(xùn)練”，讓學(xué)生在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中獲得更豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗,學(xué)到到更好的數(shù)學(xué)！“數(shù)感”的提出，涉及到對小學(xué)數(shù)學(xué)