數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗

1、數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗總復(fù)習(xí)(fx)共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗一、 緒論什么是數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式，算法、表格、圖示等。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模需要一下幾方面的能力：數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力、計算機的運用能

2、力、論文的寫作能力。共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模的特點 模型的逼真性和可行性：希望模型盡可能逼近研究對象，越逼真的模型越復(fù)雜，數(shù)學(xué)上有時難以處理，實用上不一定可行，通常要在逼真性與可行性之間做出折衷與抉擇； 模型的漸進性：復(fù)雜的實際問題的建模通常不可能一次完成，包括由簡到繁，也包括由繁到簡，以獲得滿意的數(shù)學(xué)模型； 模型的可轉(zhuǎn)移性：模型是現(xiàn)實對象的抽象化、理想化的產(chǎn)物(chnw)，不為對象所屬領(lǐng)域所獨有，具有應(yīng)用的極端廣泛性； 模型的非預(yù)測性：建模本身是事先沒有答案的，在建模過程中有時會伴隨新的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生； 除此之外，建模還具有條理性、局限性等。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗西安建筑科技大學(xué)

3、共一百零三頁數(shù)學(xué)模型的分類(fn li)1依據(jù)對實際問題的了解程度可以分為(fn wi)：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。2依據(jù)模型中的變量特征可以分為：連續(xù)型模型、離散型模型或者確定性模型、隨機性模型等。3依據(jù)建模中所用的數(shù)學(xué)方法可以分為：初等數(shù)學(xué)模型、微分方程模型、優(yōu)化模型、統(tǒng)計分析模型、控制論模型等。還有其他的不同分類方法。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗西安建筑科技大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模的一般步驟數(shù)學(xué)(shxu)建模的步驟：1模型的準備：了解問題的實際背景，明確建模的目的，搜集建模所需的各種信息（如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等），弄清研究對象的特征、機理等，由此初步確定用哪一類模型； 2問題的假設(shè)：由于

4、實際問題比較復(fù)雜，直接建模比較困難，所以合理的假設(shè)可以簡化建模的難度，但也不能過于簡化，否則所得到的模型與實際問題會有比較大的差異。合理的假設(shè)要符合客觀事實，又要有一定的依據(jù)。由于考慮問題的視點不同，所作的簡化假設(shè)不同，因而對同一問題會得到不同的數(shù)學(xué)模型。作假設(shè)的依據(jù)，首先是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認識，其次是來自對數(shù)據(jù)、現(xiàn)象的分析，或者是二者的結(jié)合。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗西安建筑科技大學(xué)共一百零三頁 3模型的建立：主要說明建模的思路與依據(jù)。充分表述自己的思路與所用到的依據(jù)，表述要簡潔(jinji)、清晰，論據(jù)要充分，推理及運算要正確。 4模型的求解(qi ji)：對于已經(jīng)建立的模型給出一個正確的解答

5、，應(yīng)用所學(xué)過的知識，也可以借助于計算機，并應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件等。 5模型分析：對模型求解進行數(shù)學(xué)上的分析，主要是進行誤差分析、穩(wěn)定性分析及靈敏性分析等。6模型的檢驗與推廣：把數(shù)學(xué)上的分析結(jié)果“翻譯”回到實際問題，并用實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。這是建模成敗的關(guān)鍵。模型檢驗的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實際，應(yīng)該對模型簡化假設(shè)部分再做進一步的修改、補充，重新建立模型。針對已經(jīng)建立的模型指出其優(yōu)點與不足，同時將模型改進、推廣以適應(yīng)更大的應(yīng)用范圍。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗西安建筑科技大學(xué)共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗二、 Matlab

6、Matlab繪圖 二維plot函數(shù)格式共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)例3 圖共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)3. 圖形標注說明 為了對圖形進行清晰的說明，可以使用MATLAB標注函數(shù)將標題、坐標軸標記、網(wǎng)格線及文字注釋加注到圖形上。相關(guān)函數(shù)如下表所示。其中，axis的用法還有： axis(xmin xmax ymin ymax) 用行向

7、量中給出的值設(shè)定坐標軸的最大和最小值。 如axis (-2 2 0 5)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué) axis(equal) 將兩坐標軸設(shè)為相等 axis on(off) 顯示和關(guān)閉坐標軸的標記、標志 axis auto 將坐標軸設(shè)置返回自動缺省值常用二維特殊圖形函數(shù)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)多圖形繪圖共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模

8、與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)三維繪圖 plot3函數(shù)plot3 函數(shù)說明 plot3是函數(shù)plot的三維擴展。使用格式與plot相似，二維圖形的所有基本特性對三維圖形全都適用，只是增加了一個維數(shù)而已。共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)定義三維坐標軸大小axis(xmin xmax ymin ymax zmin zmax ) grid on(off) 繪制三維網(wǎng)格 text(x,y,z,string) 三維圖形標注 子圖和多窗口也可以用到三維圖形中例1：用plot3(x,y,z)格式，繪制參數(shù)方程 x=sin(t)，y=cos(

9、t)，z=t。2. plot3 函數(shù)舉例共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)常用網(wǎng)圖函數(shù) 函數(shù)meshgrid將給定的區(qū)域按一定的方式劃分成平面網(wǎng)格，該平面網(wǎng)格可以用來繪制三維曲面給定x軸的范圍，給定y軸的范圍，生成xoy平面內(nèi)的該區(qū)域劃分平面網(wǎng)格，給出網(wǎng)格點坐標矩陣（同維），便于繼續(xù)計算xoy平面內(nèi)的點對應(yīng)的z坐標。共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大

10、學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)其他三維圖形函數(shù)MATLAB還提供了不少特殊的三維圖形函數(shù)，如下表所示。共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗三、 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型線性規(guī)劃線性規(guī)劃的一般形式如下：(1.3)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)可以用向量矩陣形式表示上述優(yōu)化問題。于是上述優(yōu)化問題可表示成如下形式：共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)1.2.2 線性規(guī)劃的MATLAB求解 在MATLAB優(yōu)化工具箱中

11、，求解線性規(guī)劃的命令為linprog。對于形如(1.4)形式的線性規(guī)劃，linprog的調(diào)用格式為：x,fval=linprog(c,A,B,Aeq,Beq,lb,ub)其中輸出變量x為最優(yōu)解，fval為最優(yōu)值。 共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)1.2.3 線性規(guī)劃建模舉例 例6. 某車間有甲、乙兩臺機床，可用于加工三種工件。假定這兩臺車床的可用臺時數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺時

12、數(shù)和加工費用如下表。問怎樣分配車床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費用最低？共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)MATLAB求解程序如下： c = 13 9 10 11 12 8; A = 0.4 1.1 1 0 0 0; 0 0 0 0.5 1.2 1.3; b = 800; 900; Aeq=eye(3) eye(3);beq=400 600 500; vb = zeros(6,1); x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vb

13、)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué) 在最優(yōu)化模型中，若目標函數(shù)或約束條件中至少有一個為非線性的，則稱這類模型為非線性規(guī)劃問題。非線性規(guī)劃的一般形式如下：非線性規(guī)劃共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)1.3.1 無約束化問題的MATLAB求解 求解無約束優(yōu)化問題常用的MATLAB函數(shù)是fminunc，調(diào)用格式如下: x,fval,exitflag=fminunc(FUN, x0)其中FUN為目標函數(shù)，x0為初始值，x為最優(yōu)解，fval為最優(yōu)值，exitflag為算法終止標志：若exitflag=1，則輸出的最

14、優(yōu)結(jié)果可靠；若exitflag=0，則輸出的最優(yōu)結(jié)果不可靠。共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)x=linspace(0,20);y=sin(x)./x;plot(x,y);xlabel(x);ylabel(y);title(sinc(x);grid onsinc曲線如右圖所示：共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)下面建立sinc函數(shù)文件： function y=sinc(x) y=sin(x)./x;初值x0分別取2和8，求最小值的命令為 x1 f1 e1=fminunc(sinc,2); x2 f2 e2=

15、fminunc(sinc,8);輸出最優(yōu)解x1 =4.4934, x2 =10.9041, 最優(yōu)值為f1 =-0.2172, f2 =-0.0913。由此可以看出：fminunc只能尋找到初值x0附近的局部最優(yōu)解。共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)含約束化問題的MATLAB求解 將非線性規(guī)劃(1.5)的約束按線性和非線分開表示，則它可表示如下的標準型：共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué) 用MATLAB求解上述問題，基本步驟分三步： 1 首先建立M文件fun.m,用來定義目標函數(shù)F(X): functi

16、on f=fun(X); f=F(X);2. 若約束條件中有非線性約束:C(X) 0或Ceq(X)=0,則建立M文件nonlcon.m定義函數(shù)C(X)與Ceq(X): function C,Ceq=nonlcon(X) C=; Ceq= ;共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)3 建立主程序.求解非線性規(guī)劃的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(fun,X0,A,b, Aeq,beq,lb,lu) (4

17、) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq, lb,lu,nonlcon) (5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq, lb,lu,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon() (7) x,fval,exitflag= fmincon() (8)x,fval,exitflag,output= fmincon()輸出極值點M文件迭代的初值變量上下限參數(shù)說明共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)因此，可用fmincon函數(shù)求解(1.6)，講義常用調(diào)用格式為： x,fval,exitfla

18、g = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)先將目標函數(shù)表示為M文件： function f = fun2(x) f = -x(1)*x(2)*x(3); x0 = 10;10;10; A=-1 -2 -2;1 2 2;b=0;72; x,f = fmincon(fun2,x0,A,b)結(jié)果為x =24.0000 12.0000 12.0000，f =-3.4560e+003。共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)多目標

19、優(yōu)化模型及求解（了解） 多目標優(yōu)化是在給定的約束范圍內(nèi)求多個目標的最值，一般形式如下：共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)(1) 求解程序為：c=-3 -1 0 0;A=2 -1 0 0;b=12;Aeq=3 3 1 0;4 -4 0 1;beq=30;16;lb=zeros(4,1);x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)課后題：共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與

20、數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)解：對目標函數(shù)建立M文件：function f=ex2(x)f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);對非線性約束建立M文件：function c ceq=ex2con(x)c=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;ceq=;主程序為 Aeq=1 1;beq=0;x0=1 -1;x fval exitflag=fmincon(ex2,x0,Aeq,beq,ex2con)共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大

21、學(xué)2、營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg的蛋白質(zhì)，0.14kg的脂肪，花 費28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg的蛋白質(zhì)，0.07kg的脂肪，花費21元。為了滿足營養(yǎng)學(xué)家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？ 共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)求解程序為c=28 21; A=-0.105 0.105;0.07 0.14;0.14 0.07;b=-0.075;0

22、.06;0.06;x=linprog(c, A,b,0;0,);最優(yōu)結(jié)果為：x=0.1429 0.5714.共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑科技(kj)大學(xué)3. 某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品。今已知上述三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4kg、4kg和5kg；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時分別為6臺時、3臺時和6臺時。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能供應(yīng)180kg，工時每天只有150臺時。另外，三種產(chǎn)品的利潤分別為400元每件、250元每件和300元每件。試建立能獲得最大利潤的優(yōu)化模型，并進行求解。共一百零三頁數(shù)學(xué)(shxu)建模與

23、數(shù)學(xué)(shxu)實驗西安建筑(jinzh)科技大學(xué)求解程序為c=-400 250 300;A=4 4 5;6 3 6;b=180;150;x f=linprog(c,A,b,0 0 0,); -f共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗 MATLAB優(yōu)化工具箱提供了求解0-1線性規(guī)劃的函數(shù)命令bintprog。考慮如下形式的0-1線性規(guī)劃：0-1線性規(guī)劃的MATLAB求解 (3)bintprog調(diào)用格式為： x,z = bintprog(c, A, b, Aeq, beq)四、 整數(shù)規(guī)劃模型共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(s

24、hxu)實驗例4. 求解解：c = -9 5 6 4; A = 6 3 5 2; 0 0 1 1; -1 0 1 0; 0 -1 0 1; b = 9 1 0 0; x z = bintprog(c,A,b)共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗2.2.3 整數(shù)線性規(guī)劃的MATLAB求解 下面給出使用分支界定法求解整數(shù)線性規(guī)劃的MATLAB函數(shù)程序。 function x,fval,status = intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) global I e e= 0.00001;I = 1:length(c) if nargi

25、n 7, ub = ; if nargin 6, lb = ; if nargin 5, beq = ; if nargin 4, Aeq = ; end, end, end, end共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗options = optimset(display,off);x0,fval0,exitflag = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options);if exitflag 0 disp(無整數(shù)解); x = x0;fval = fval0; status = exitflag; return;else

26、 bound = inf; x,fval,status = branchbound (c,A,b,x0,fval0,bound,Aeq,beq,lb,ub);end共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗%以下為子函數(shù)function x_new,fval_new,status,bound_new = branchbound(c,A,b,x,fval,bound,Aeq,beq,lb,ub)global I eoptions = optimset(display,off);x0,fval0,status0=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,

27、ub,options);if status0 = bound x_new = x; fval_new = fval; bound_new = bound; status = status0; return;end共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗int_index = find(abs(x0(I) - round(x0(I) e);if isempty(int_index) x_new(I) = round(x0(I);fval_new = fval0; bound_new = fval0;status = 1; return;endn = I

28、(int_index(1);addA = zeros(1,length(c);addA(n) = 1;A = A;addA;b = b;floor(x(n); x1,fval1,status1,bound1= branchbound(c,A,b,x0,fval0,bound,Aeq,beq,lb,ub);共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗A(end,:) = ;b(end,:) = ;status = status1;if status1 0 & bound1 0 & bound2 bound status = status2; x_new =

29、 x2;fval_new = fval2; bound_new = bound2;end共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗例5. 求解解：clear c=1 3; A=0 -1;-22 -34;b=-3.13; 285; lb=0;0; x,fval,status = intprog(c,A,b,lb);x,fval,status = intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗解：c=3 -2 5; A=1 2 -1;1 4 -1;1 1 0;0 4 1;

30、b=2 4 3 6; x z=bintprog(c,A,b)課后題：共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗解：clearc=-1 1 -4;A=1 1 2;1 1 -1;-1 1 1;b=9 2 4;lb=0 0 0;x,fval,status = intprog(c,A,b,lb);fval=-fval;共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗2. 有一份中文說明書，需翻譯成英、日、德、俄、法五種語言?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五個人，他們用各種語言翻譯所用時間如下表，問如何指派時間最少 ?共一百零三頁西安

31、建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗該指派問題的優(yōu)化模型為共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗程序：Data=3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5; 8 4 2 3 5;9 10 6 9 10;c=Data(:);Aeq=zeros(10,25);for i=1:5Aeq(i,i:5:25)=1;Aeq(i+5,1:5+(i-1)*5)=1;endbeq=ones(10,1);x fval exitflag=bintpr

32、og(c,Aeq,beq);reshape(x,5,5)共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗微分方程的MATLAB求解微分方程的解析解 在MATLAB中，求解微分方程(組)的函數(shù)是desolve，調(diào)用格式如下： r = dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,. , v)或 r = dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,. , v)微分方程模型共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗 解：命令為 r=dsolve(Dy=a*x,x) 結(jié)果為r=1/2*a*x2+C1。解：命令

33、為 r=dsolve(Dx=x+sin(t),x(0)=1,t) 結(jié)果為r =-1/2*cos(t)-1/2*sin(t)+3/2*exp(t)。 其中eq1,eq2,用來表示常微分方程(組)，cond1, cond2,表示初始或邊界條件，v表示自變量，缺省時默認為t。共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗 解：命令為 r=dsolve(D2y-Dy2/y=0,y(0)=1,Dy(0)=2, x) 結(jié)果為r =exp(2*x)。解：命令為x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t),t)共一百零三頁西安建筑科技

34、(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗2.2 微分方程的數(shù)值解 解含初始條件的常微分方程的MATLAB格式 t,Y = solver(odefun,tspan,y0)其中，odefun表示以函數(shù)文件存儲的微分方程(不含初始條件)，tspan為二維向量，用來表示區(qū)間的起點和終點，y0表示自變量取tspan區(qū)間起點時的初始條件。solver指ode45、ode23、 ode113、ode15s、ode23s、ode23t和ode23tb七種求解方法中的一種。共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)

35、數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗 例8. 求下列微分方程解：先建立函數(shù)文件來表示微分方程： function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % dy應(yīng)為列向量 dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗再在腳本函數(shù)或命令窗口中輸入：t,Y = ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(t,Y(:,1),ro-,t,Y(:,2),g*:,t,Y(:,3),bx

36、-)xlabel(t,FontSize,15)legend(y_1,y_2,y_3,3)運行后得右圖.共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗 例9. 求下列微分方程在t0,3000上的數(shù)值解，并繪出曲線。 解：先將上述高階微分方程轉(zhuǎn)化為下列微分方程組：共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗建立函數(shù)文件來表示微分方程：function dy = vdp1000(t,y)dy = zeros(2,1); % dy應(yīng)為列向量dy(1) = y(2);dy(2) = 1000*(1 - y(1)2)*y(2) - y

37、(1);在腳本函數(shù)或命令窗口中輸入：t,Y = ode15s(vdp1000,0 3000,0 1); % ode45運行時間較長plot(t,Y(:,1),r.-)xlabel(t,FontSize,15)運行結(jié)果如右圖。共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗微分方程建模案例人口預(yù)測模型3.1 問題提出 在當(dāng)前世界，人口問題已成為人們所面對的最為嚴峻的問題之一。較大的人口基數(shù)給自然生態(tài)、人類健康和人口素質(zhì)帶來的嚴重的影響?？刂坪皖A(yù)測人口數(shù)量是當(dāng)前人口問題的核心問題。表1給出了陜西省1955年至2010年每間隔5年的人口數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)

38、模型，并預(yù)測2015年和2020年陜西省的總?cè)丝凇９惨话倭闳撐靼步ㄖ萍?kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗3.2 幾何模型共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗上述線性方程組的最小二乘解為：從而 共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗下面給出了求解r的MATLAB程序：pop=1711.8 1954.2 2144.3 2427 2692.1 2831.4 3001.7 3316 35143644 3720 37

39、35;u=mean(log(pop(2:end)/pop(1)./(1:length(pop)-1);r=exp(u)-1;繪制實際人口與預(yù)測人口對比圖、相對誤差圖的程序為：figure(1)plot(0:11*5+1955,pop,ro-)popp=zeros(size(pop);popp(1)=pop(1);for i=2:length(pop) popp(i)=popp(i-1)*(1+r);end共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗hold onplot(0:11*5+1955,popp,gs:)xlabel(年份),ylabel(人口 (單位

40、：萬)legend(實際人口,預(yù)測人口,2)axis(1955 2010 1500 5500)grid onfigure(2)plot(0:11*5+1955,100*abs(popp-pop)./pop,ro-)xlabel(年份)ylabel(相對誤差 (%)axis(1955 2010 0 40)grid on共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗結(jié)果如圖圖7 幾何模型的實際與預(yù)測人口 圖8 幾何模型的相對誤差共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗 從圖7和圖8可以看出，在前期，相對誤差較??；在后期相對

41、誤差非常大， 2010年的預(yù)測人口的相對誤差高達35.73%。因此，此模型不適合來預(yù)測2015年和2020年的人口。3.3 指數(shù)模型共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗即因為所以可建立含初始條件的微分方程共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗求解上述微分方程得： 上述模型即為指數(shù)增長模型，也稱為馬爾薩斯人口模型，它最早由英國人口學(xué)家馬爾薩斯在1798年提出。為了根據(jù)擬合方法求解參數(shù)r，對上述公式兩邊取對數(shù)：共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗MATLAB求解程序為：

42、t=0:11;y=log(pop);pop0=pop(1);r=t(y-log(pop0);下面分析指數(shù)增長模型的性能，程序如下：tt=1955:5:2010;plot(tt,pop,o-,tt,pop0*exp(r*t),gs-,MarkerSize,10)xlabel(年份) ylabel(人口 (單位：萬)legend(實際人口,預(yù)測人口,2)axis(1955 2010 1500 4500)grid on共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗figure(2)plot(tt,100*abs(pop-pop0*exp(r*t)./ pop,r

43、o-,MarkerSize,10)xlabel(年份) ylabel(相對誤差 (%)axis(1955 2010 0 20)grid on 實驗結(jié)果如圖9和圖10所示。從圖9可以看出：在多數(shù)時刻，預(yù)測模型都有稍大的誤差；從圖10可以看出：指數(shù)模型的相對誤差相對穩(wěn)定，最大值為16.35%，比幾何模型的相對誤差低很多。共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗圖9 指數(shù)模型的實際與預(yù)測人口圖10 指數(shù)模型的相對誤差共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗3.4 阻滯增長模型共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(s

44、hxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗于是建立下列微分方程：共一百零三頁西安建筑(jinzh)科技大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗則共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗附：x=0:0.01:1;dx=0.1*(1-x).*x;plot(x,dx,-)axis(0 1.1 0 0.04)hold onplot(0.5*ones(1,26),0:0.001:0.025,r:)text(0.5-0.03,-0.002,x_m/2)text(1-0.03,-0.002,x_

45、m)text(1.1,-0.002,x)text(0-0.01,0-0.001,O)text(0-0.1,0.04,dx/dt)%=t=0:0.05:30;r=0.2237;x0=1711;xm=4310;x=xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*t);plot(t,x)axis(0 32 0 4400)box offhold onplot(t,xm*ones(length(t),r:)共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗function x=fun(beta,t)x0=1711.8;x=beta(1)./(1+(beta(1)/x0-1)*

46、exp(-beta(2)*t);建立M-函數(shù)共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗cleart=0:11;x=1711.8 1954.2 2144.3 2427 2692.1 2831.4 3001.7 3316 3514 3644 3720 3735;beta0=5000 0.08;beta=lsqcurvefit(fun,beta0,t,x)輸出 beta= 4310.9 0.2237;用最小二乘法求解上述函數(shù)共一百零三頁西安建筑科技(kj)大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模與數(shù)學(xué)(shxu)實驗tt=1955:5:2010;plot(tt,x, ro-,tt,fun(beta,t),s-,MarkerSize,10)xlabel(年份)ylabel(人口 (單位：萬)legend(實際人口,預(yù)測人口,2)axis(1955 2010