根的判別式與韋達定理

1、一元二次方程根與系數(shù)的關系應用例析及訓練b b 2 4ac TOC o 1-5 h z 對于一元二次方程毅2 + bx + c = 0(a。0)，當判別式 = b2 - 4ac 0時，其求根公式為：x12 =曷；當.-bc 一一 . 一 0時，設一元二次方程的兩根為x、x，有：x + x =-，x ,x =；根與系數(shù)的這種關系又稱為韋達定理；它的212 a 12 abc逆定理也是成立的，即當x + x =一一，x - x =一時，那么x、x則是方程ax2 + bx + c = 0( a。0)的兩根。一元二次方程 12 a 12 ai 2的根與系數(shù)的關系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數(shù)學中占有

2、極重要的地位，也是數(shù)學學習中的重點。學習中，除了要 求熟記一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a。0)根的判別式 = b2-4ac存在的三種情況外，還常常要求應用韋達定理解答一些 變式題目，以及應用求根公式求出方程ax2 + bx + c = 0(a。0)的兩個根氣、x2，進而分解因式，即 ax2 + bx + c = a(x-氣)(x-x2)。下面就對韋達定理的應用可能出現(xiàn)的問題舉例做些分析，希望能帶來小小的幫助。一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關于x的方程(1)x2 -(1 - 2a)x + a2-3 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，且關于x的方程(2)x2 - 2x

3、 + 2a -1 = 0沒 有實數(shù)根，問a取什么整數(shù)時，方程(1)有整數(shù)解？分析：在同時滿足方程(1)，(2)條件的a的取值范圍中篩選符合條件的a的整數(shù)值。解：說明：熟悉一元二次方程實數(shù)根存在條件是解答此題的基礎，正確確定a的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技 能和一定的邏輯推理，從而篩選出a，這是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號。例2：不解方程，判別方程2x2 + 3x - 7 = 0兩根的符號。判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關系”結(jié)合起來進行確定，倘若由題中;x2 0，仍需考慮x + x的正負，倘若x + x 0，則方程有兩個正數(shù)根；倘若x + x

4、0，應舍去不合題意的m。四、運用判別式及根與系數(shù)的關系解題。例5：已知x、x是關于x的一元二次方程4x2 + 4(m -1)x + m2 = 0的兩個非零實數(shù)根，問x和x能否同號？若能同號， 1212請求出相應的m的取值范圍；若不能同號，請說明理由。解：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關一元二次方程根 的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創(chuàng)新能力 試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，是重點練習的內(nèi)容。五、運用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關系解題。？例6：

5、已知以、P是方程x2 + 2x-5 = 0的兩個實數(shù)根，求a2 +ap + 2a的值。分析：本題可充分運用根的意義和根與系數(shù)的關系解題，應摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡解。解法一：解法二：說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。有關一 元二次方程根的計算問題，當根是無理數(shù)時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關系解題 可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力。？六、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。？例7：已知兩方程X2 - mx + m + 5

6、= 0和x2-(7m +1)x + 13m + 7 = 0至少有一個相同的實數(shù)根，求這兩個方程的四個實 數(shù)根的乘積。分析：可設兩方程的相同根為a，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關于a和m的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關系求 值。解：說明：本題的易錯點為求解出關于a、m的二元方程組后，忽略m對方程和判別式的討論。與葦達定理綜合訓練一、填空題:1、2、3、如果關于x的方程x2 + 6x + k = 0的兩根之差為2，那么k=?。?已知關于x的一元二次方程(a2 -1)x2 - (a +1)x +1 = 0兩根互為倒數(shù)，則a=?。113x2，且一 + 一 二 一彳，則 m,=?。12x2 + x2 =

7、?； (x + 1)( x + 1) = ?已知關于x的方程x2 -3mx + 2(m -1) = 0的兩根為氣、已知氣、x2是方程2x2 - 7x一 4 = 0的兩個根，那么：|x - x | = ?。?5、已知關于x的一元二次方程mx2 - 4 x 一 6 = 0的兩根為x、x，且x + x =-2，貝m=?1212(x + x ) ” x2 = ?。?126、如果關于X的一元二次方程w+tx + a = 0的一個根是1-克,那么另一個根是？?？, a的值 TOC o 1-5 h z .為？。 ? HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 7、 已

8、知 2 +、3 是x2 4x + k = 0 的一根，則另一根為?？，k 的值為？?？?？?？。8、一個一元二次方程的兩個根是2 + * 6和2 -6，那么這個一元二次方程為：?。?二、求值題：？1、已知氣、X2是方程2 X 2 - 3X - 1 = 0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求X2 +X1X的值。2、已知氣、X2是方程3X2-2X - 1 = 0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求(X12-X2)2 的值。3、已知X1、X2是方程2X2 +3x - 4 = 0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，4、已知兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。5、已知關于x的方程2x2-(m-1)x + m +

9、1 = 0的兩根滿足關系式X1 - x2 =1，求m的值及方程的兩個根。？6、已知方程x2 + mx + 4 = 0和x2 - (m - 2)x-16 = 0有一個相同的根，求m的值及這個相同的根。三、能力提升題：？1、實數(shù)k為何值時，方程kx2 - 2kx + (k 1) = 0有正的實數(shù)根？2、已知關于x的一元二次方程x2 +(m 一 2)x + m 一 3 = 0?(1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根。?(2)若這個方程的兩個實數(shù)根x、x滿足2x + x = m +1，求m的值。1212-,_、1 八m3、若n0，關于籍勺方程x2-(m - 2n)x+4 mn

10、= 0有兩個相等的正的實數(shù)根，求萬的值。如果存在，試求出滿足4、是否存在實數(shù)k，使關于邢方程9x2 - (47# + 6切=0的兩個實根氣、x2，條件的k的值，如果不存在，請說明理由。115、已知關于x的一元二次方程m2x2 + 2（3 - m）x +1 = 0（m。0）的兩實數(shù)根為氣、x2，若m = + ，求m的值。？12mn + 4m +16、實數(shù)m、n分別滿足方程19m2 + 99m +1 = 0和19 + 99n + n2 = 0，求代數(shù)式？的值。？n答案與提示：？一、填空題：？1、提示：瓦+無! = 一6，瓦明=先，互一 = 2,.（瓦_滬=4,（瓦+ ）4瓦 = 4?.（一6滬_聯(lián)

11、=4,解得：上二8山+ 12、 提示：瓦,專=，由韋達定理得：】1， t 檢驗，有意義，.=必。?3、 提示：由于韋達定理得：利+形=3跳，句形伽1），1m = 一 TOC o 1-5 h z 解得：3。?74、提示：由韋達定理得：2，電形=E，_75（5）（5）f5J+i = =5；由瓦 + HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 11_ a+i-1，.決-1，?解得：=處，代入12/-11 + 1 _ 3 工1+形 _3 3m _ 3 1 勺 4，?.，.冰 T）礦, 2 _ / .-.2 _ 0= （） - 2 X （-2）=再+碼一（瓦+圣）

12、一 2再邑？24 ；7C-I _2，恐=可判定方程的兩根異號。有兩種情況: TOC o 1-5 h z 設工 10，互 0，gkiflf = JSif） = 七為 互 4 x ；設瓦 0， f、9k _工一（電一道）=一云則I街心一2。_ 4_ 64 _工+ X -I X X.-! _ _ _5、提示：由韋達定理得：刑，刑，.瓦十專=一，.酬，歐=一2, .瓦,位!=乙.01十花J=（-2）3=-86、提示：設互=1一 J，由韋達定理得：瓦+花! 二J，有山，.1_ +形=_柜，解得：呵二一1，電叱!= =（-也）5 =思，即7。x2 = 2 - 5/37? = (2 + /6)+ (2-/6

13、) = 47、提示：設盂1 = 2 +頊由韋達定理得：魚+勺=4 ,工=止，.2 +必+花! =4 , 二（2-75）（2 + ） = 128、提示：設所求的一元二次方程為x +嚇+弓=0，那么街+專=,瓦圣=弓， 即責=-4； g = （2 +扼）（2-扼）=-2；.設所求的一元二次方程為：了_牝-2 = 0? 二、求值題：1和 + 電= X1 X2 = 1、提示：由韋達定理得：2 ,2= _lxrri)2 + 2xl = - 2、.頂?shù)Z+砂：=皿3 +偵？二仲(瓦+寸-新切2X 2 + X2 82 瓦+呵二_ 3、提示：由韋達定理得：3=（-）2x（-）2-4x（-1）=3338113（工

14、：-工：滬=（而-形）=- 4瓦氏,4、提示：由韋達定理得：一一 2,互形=_七.瓦項泌+工：工：=（每明尸0：+工：）=（互。打）氣瓦+勺）（x： +泌甘矽=（互,形）氣互+呵）（互+打） 3互如3399=（-2）2 x （-）（-）2-3x（-2） = -乙乙U5、提示：設這兩個數(shù)為有 形，于是有瓦+卅=氣互花=4，因此電 ?？煽醋鞣匠潭?w+q = 0的兩根，即 利+形=” = $，利勺= q = 4，所以可得方程:亍-6工+ 4=0，解得：瓦= 3 + J5，w = 3 J5，所以所求的兩個數(shù) 分別是3 + 75，3-右。m-幽+ 1利+形= 瓦氏=6、提示：由韋達定理得2 ，2/酬一

15、 1、力幽+ 1（） -4x.2二1 %2，化簡得：洗一10地一11 = 0 ；解得:?當嶼二11時m- =瓦+歐一 = 5當部/T時m-電 + 曲=- = 一1X2=.(瓦 一 )=， .（瓦+心）一4瓦勺 = 11，刑=1;以下分兩種情況：X. + X., = 5(1)1 = 3電_勺=1？解這個方程組得：1河=2+互=-1fx1 = 0小勺=；解這個方程組得：飛二Ta2 +am+4 = 0=1，組成方程組:瓦一筆=】，組成方程組:1，27、提示：設+ + 4 = 0和x （橫_2_16 = 0相同的根為x*，于是可得方程組:+得：當俱二時，13孑，/一風幽一 2) 16 =。 ;133

16、(2)IQI-J_ Q?3+占-6 = ，解這個方程得:的=一知”；以下分兩種情況：（1）當?shù)?T時，代入得代入得峰=一氣所以/+瀕+ 4 = 0和_（折_明-16 = 0相同的根為知=一3,昭=2,酬的值分別歐 為三、能力提升題:1、提示：方程有正的實數(shù)根的條件必須同時具備：判別式A0* ,勺0，和 f0；于是可得不等式組:一戲尸一快優(yōu)一1)蘭0L把?解這個不等式組得：北1/ + 伽一 2)工 +【刑一 3 =。= b2 -Aac = (m-2)2 - 4(m-3)隹=.r z 2?2、提示：(1)2的判別式2 =m m + 16二伽一為+70,所以無論狀取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等

17、的實數(shù)根。(2)利用韋達定理，并根據(jù)已知條件可得： TOC o 1-5 h z (xl+x2 = -(m-2)_2瓦+ =刑+ 1解這個關于街 心的方程組，可得到：瓦=2幽一1,心=3一 3刑，由于卅。尸,所以可得 m-3= (23 -1) (3 - 3m)_ -=2，解這個方程，可得：幽1 = ，2；=o可得：(刑-物伽) = 0,3、提示：可利用韋達定理得出道,曲0,再+形0；于是得到不等式組：IA = -(m-2?3)2-4求得不等式組的解，且兼顧 ；即可得到部 代，再由接下去即可根據(jù)打0,狀，得到洗=朱，即：冉=44、答案：存在。提示：因為花!=勿(RH 0)；由韋達定理得:+ x2 = （4 止-7） = 2a+3a9，-(Ak-l) = 5a 92X、* =好=& ,茶心=6/；于是可得方程組：3777a2=氏、=一 灼=時， 刃；所以止的值有兩個： 11；19；?2(3-)1瓦+= 2 瓦毛=y5、 提示：由韋達定理得：林 ，腕解得：幽=26、提示：利用求根公式可分別表示出方程19妒+99酬+ 1 =_1_解這個方程組得：