希爾伯特-黃變換(Hilbert-HuangTransform,HHT)

1、希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform, HHT)0前言傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析方法都是基于線性和平穩(wěn)信號的假設(shè)，然而對實(shí)際系統(tǒng)，無論是自然的還是人為建 立的，數(shù)據(jù)最有可能是非線性、非平穩(wěn)的。希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang Transform, HHT）是一種經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法，其擴(kuò)展是自適應(yīng)性 的，所以它可以描述非線性、非平穩(wěn)過程數(shù)據(jù)的物理意義。1 HHT簡介賀禮平.希爾伯特-黃變換在電力諧波分析中的應(yīng)用研究D.湖南：中南大學(xué),2009HHT的發(fā)展。1995年，Norden E.Huang為研究水表面波構(gòu)思出一種所謂“EMD-HSA”的時間序列分析法，通過這 種方

2、法他發(fā)現(xiàn)水波的演化不是連續(xù)的，而是突變、離散、局部的。1998年，Norden E.Huang等人提出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法，并引入了 Hilbert譜的概念和Hilbert譜 分析的方法，美國國家航空和宇航局（NASA）將這一方法命名為Hilbert-Huang Transform，簡稱HHT， 即希爾伯特-黃變換。HHT是一種新的分析非線性非平穩(wěn)信號的時頻分析方法，由兩部分組成：第一部分為經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition， EMD）（the sifting process，篩選過 程），它是由Huang提出的，基于一個假設(shè)：任何復(fù)雜信號都可以分解為有限數(shù)目

3、且具有一定物理定義的 固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function， IMF；也稱作本征模態(tài)函數(shù)）；EMD方法能根據(jù)信號的特點(diǎn)， 自適應(yīng)地將信號分解成從高到低不同頻率的一系列IMF；該方法直接從信號本身獲取基函數(shù)，因此具有自 適應(yīng)性，同時也存在計算量大和模態(tài)混疊的缺點(diǎn)。第二部分為 Hilbert 譜分析（Hilbert Spectrum Analysis，HSA），利用 Hilbert 變換求解每一階 IMF 的瞬時頻率，從而得到信號的時頻表示，即Hilbert譜。簡單說來，HHT處理非平穩(wěn)信號的基本過程是：首先，利用EMD方法將給定的信號分解為若干IMF， 這些IMF是滿足一

4、定條件的分量；然后，對每一個IMF進(jìn)行Hilbert變換，得到相應(yīng)的Hilbert譜，即 將每個IMF表示在聯(lián)合的時頻域中；最后，匯總所有IMF的Hilbert譜就會得到原始信號的時間-頻率- 能量分布，即Hilbert譜。在HHT中，為了能把復(fù)雜的信號分解為簡單的單分量信號的組合，在進(jìn)行EMD方法時，所獲得的IMF 必須滿足下列兩個條件：1）在整個信號長度上，一個IMF的極值點(diǎn)和過零點(diǎn)數(shù)目必須相等或至多只相差一點(diǎn)。2）在任意時刻，由極大值點(diǎn)定義的上包絡(luò)線和由極小值點(diǎn)定義的下包絡(luò)線的平均值為零，也就是說IMF的上下包絡(luò)線對稱于時間軸。滿足上述兩個條件的IMF就是一個單分量信號。連續(xù)時間信號x(

5、t)的Hilbert變換x(t)定義為：11 +8X(T )1 +8X(t T )x(t) = x(t) * =dT =dT .nt 兀一81 t兀一8 tHHT理論經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)對于給定的信號，Huang所介紹的EMD方法是：首先找到信號的極大值和極小值，用三次樣條插值擬合上下包絡(luò)線(t)和v(t)，計算上下包絡(luò) 線在每一點(diǎn)上的平均值，從而獲得一平均值曲線m 1，即m1 = u(t) + v(t)/2 ；(2)設(shè)分析信號為x(t)，用x(t)減去平均值m1(t)，即h1 = x (t) m 1 .如果，h1滿足IMF的兩個條件

6、，那么h1就是x(t)的第一個IMF分量；否則，將h1作為原始信號，重 復(fù)(1)(2)，得上下包絡(luò)的平均值m11，再判斷h11 = h1 m11是否滿足IMF的兩個條件；若不滿足，重復(fù)循環(huán)k次，得到h1k =h1(k1)-m1k，直到h1k滿足IMF的兩個條件。記q為信號x(t)經(jīng)EMD得到的第1個IMF分量。其中，有兩種不同的篩分停止標(biāo)準(zhǔn): |h1(_ 1) h1k類似柯西收斂準(zhǔn)則的叫=心1 * 11k ；當(dāng)SDk小于一個預(yù)定值時，篩選停止。61)t=0篩分次數(shù)預(yù)先選定，在s次連續(xù)篩選內(nèi)，當(dāng)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)相等或最多相差一個，篩選過程將停 止。困難：如何設(shè)定篩選次數(shù)?(3)將C從x(t)中分離

7、出來，得到r = x(t) C1 ；將r1作為原始數(shù)據(jù)，重復(fù)(1)(3)，得到x (t)的第2個I MF分量c2 ；重復(fù)循環(huán)n次，得到信號x(t)的n個IMF分量，則有nx(t) = ci + rni=1式中rn稱為殘余分量，分解結(jié)束時是一個恒定值或單調(diào)函數(shù)，代表信號的平均趨勢。上面的分解過程可以解釋為尺度濾波過程，每一個IMF分量都反映了信號的特征尺度，代表著非線性非平穩(wěn)信號的內(nèi)在模態(tài)特征。Hilbert 譜分析(Hilbert Spectrum Analysis, HSA)獲得了信號的IMF分量以后，即可對每一階IMF做Hilbert變換；設(shè)勺(t)的Hilbert變換為弓(t)， 則有弓

8、(t) = Ci (t) * 1 = 1 j+8 四赤=1 j+8 dnt 兀-8 t-T兀-8T從而，信號x(t)的解析信號(analytic signal)為勺(t)=c (t)+jC (t)=% (t 為尸)這里a(t)=Cj2(t)+ C2(t)，即瞬時振幅；0i(t) = arctg 也，即瞬時相位。1 C (t)解析信號的極坐標(biāo)形式反映了 Hilbert變換的物理含義：它通過一正弦曲線的頻率和幅值調(diào)制獲得 局部的最佳逼近。根據(jù)瞬時頻率的定義，IMF分量的瞬時頻率為林(t)=些，方(t)=_!些 TOC o 1-5 h z I dt 12兀dt于是，Z(t) = C-(t) + jC

9、(t) = a-(t)ej0 (t)= a-(t)ej,丁W (t)d， ziCiC iai e iai e 0 i對每一階IMF作Hilbert變換，并求出相應(yīng)的解析函數(shù)的幅值譜和瞬時頻率，從而原始信號x(t)可 以表示為x(t) = Z 閂(t) = Re 乙，(t) = Re a, (t)e，強(qiáng))=Re Z a, (t)加出 i=1i=1i=1i=1其數(shù)學(xué)表達(dá)式反映了 HHT是FT的一種擴(kuò)展形式。上式反映了信號幅值、時間和瞬時頻率之間的關(guān)系。信號的幅值可表示為時間、瞬時頻率的函數(shù)H(。t)，從而獲得信號幅值的時間、頻率分布一一Hilbert譜，即H,t) = ai(t)ej3idti=1

10、進(jìn)而，對時間積分可獲得信號的Hilbert邊際譜一 rT一h() = j H(o, t)dt.H(o,t)描述了信號的幅值在整個頻率上隨時間和頻率的變化規(guī)律;而h(o)描述了信號在每個頻率上 的總振幅(或能量)。HHT的優(yōu)點(diǎn)與傳統(tǒng)的信號或數(shù)據(jù)處理方法相比，HHT具有如下特點(diǎn)：（1）HHT能分析非線性非平穩(wěn)信號。傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法，如傅立葉變換只能處理線性非平穩(wěn)的信號，小波變換雖然在理論上能處理非 線性非平穩(wěn)信號，但在實(shí)際算法實(shí)現(xiàn)中卻只能處理線性非平穩(wěn)信號。歷史上還出現(xiàn)過不少信號處理方法， 然而它們不是受線性束縛，就是受平穩(wěn)性束縛，并不能完全意義上處理非線性非平穩(wěn)信號HHT則不同于 這些傳統(tǒng)方法

11、，它徹底擺脫了線性和平穩(wěn)性束縛，適用于分析非線性非平穩(wěn)信號。（2）HHT具有完全自適應(yīng)性。HHT能夠自適應(yīng)產(chǎn)生“基”，即由“篩選”過程產(chǎn)生的IMF。這點(diǎn)不同于傅立葉變換和小波變換。傅 立葉變換的基是三角函數(shù)，小波變換的基是滿足“可容性條件”的小波基，小波基也是預(yù)先選定的。在 實(shí)際工程中，如何選擇小波基不是一件容易的事，選擇不同的小波基可能產(chǎn)生不同的處理結(jié)果。我們也 沒有理由認(rèn)為所選的小波基能夠反映被分析數(shù)據(jù)或信號的特性。（3）HHT不受Heisenberg測不準(zhǔn)原理制約適合突變信號。傅立葉變換、短時傅立葉變換、小波變換都受Heisenberg測不準(zhǔn)原理制約，即時間窗口與頻率窗口 的乘積為一個常

12、數(shù)。這就意味著如果要提高時間精度就得犧牲頻率精度，反之亦然，故不能在時間和頻 率同時達(dá)到很高的精度，這就給信號分析處理帶來一定的不便。而HHT不受Heisenberg測不準(zhǔn)原理制約， 它可以在時間和頻率同時達(dá)到很高的精度，這使它非常適用于分析突變信號。（4）HHT的瞬時頻率是采用求導(dǎo)得到的。傅立葉變換、短時傅立葉變換、小波變換有一個共同的特點(diǎn)，就是預(yù)先選擇基函數(shù)，其計算方式是 通過與基函數(shù)的卷積產(chǎn)生的HHT不同于這些方法，它借助Hilbert變換求得相位函數(shù)，再對相位函數(shù)求 導(dǎo)產(chǎn)生瞬時頻率。這樣求出的瞬時頻率是局部性的，而傅立葉變換的頻率是全局性的，小波變換的頻率 是區(qū)域性的。HHT存在的問題

13、HHT的關(guān)鍵技術(shù)是EMD方法，然而EMD存在以下幾個困難：1）包絡(luò)曲線和均值曲線的擬合。Huang的方法在整個數(shù)據(jù)長度上采用三次樣條插值擬合包絡(luò)曲線， 在數(shù)據(jù)長度大且波動劇烈的情況下，其計算量將是很大的，這種方法要占用大量的機(jī)時，實(shí)時性太差。采用不同的包絡(luò)算法會產(chǎn)生不同的IMF，如何包絡(luò)算法的優(yōu)劣？如何判斷采用某種包絡(luò)算法，EMD是 收斂的（即經(jīng)過有限次“篩選”獲得有限階I MF）？賀禮平.希爾伯特-黃變換在電力諧波分析中的應(yīng)用研究D. 湖南：中南大學(xué),20092）邊界處理問題。對有限長信號的分析一般都會遭遇邊界處理問題，如小波分解等。但小波分解中 的邊界處理誤差，如果采用直接時間算法不會在各

14、小波分量間傳遞，而HHT的分解過程注定了其邊界處理結(jié)果將在分解過程中一直傳播下去，引起結(jié)果的較大擺動，這就決定了研究HHT邊界處理算法的重要 性。3）模態(tài)混疊。由于EMD分解過程可解釋為尺度濾波的過程，因此獲得的C（i = 1 n）在尺度上表現(xiàn)為 從小到大變化，解釋為頻率就是從高頻到低頻的分解過程。但勺未必嚴(yán)格單調(diào)從小到大變化，可能會產(chǎn) 生尺度交叉現(xiàn)象，其結(jié)果有可能產(chǎn)生尺度混疊的現(xiàn)象。4）篩法。篩法是HHT的核心，它包括兩方面的問題：一是篩法的依據(jù)問題，即篩法有沒有可靠的理 論依據(jù)，如果篩法沒有將會導(dǎo)致分析結(jié)果不唯一或者錯誤；二是篩法的效率問題，就是要提高篩法的速 度。由于Huang等人在提出

15、EMD時采用的是包絡(luò)線擬合經(jīng)驗(yàn)篩法，每次篩選需要擬合兩條曲線，因而速 度慢。提高運(yùn)算速度的一種自然設(shè)想是直接擬合均值曲線，而不通過擬合兩條包絡(luò)線，這樣運(yùn)算量幾乎 可以減少一倍，但總結(jié)現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)篩法，無論是Huang等人提出的連續(xù)均值篩法（SMS），還是余泊提出 的自適應(yīng)時變?yōu)V波分解（ATVFD）和蓋強(qiáng)提出的極值域均值模式分解（EMMD），都沒有從理論上說明直接 擬合信號均值曲線的理論依據(jù)。Huang本人提出了確定一個篩分過程停止的準(zhǔn)則。該條件準(zhǔn)則可以通過限 制標(biāo)準(zhǔn)差的大小來實(shí)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)差SD通過兩個連續(xù)的處理結(jié)果來計算得出：/ h1（k-1）- h1k I2SD = 0.E-1）t=0SD稱為篩

16、分門限值，一般取0.20.3。如果SD小于這個門限值，篩分過程就停止，從而認(rèn)為七.為 第一階IMF。而法國學(xué)者Gabriel Rilling等提出中止條件，在我們大多數(shù)人手中的EMD的程序中，定義函數(shù)a（t）= 虹（e ，e 分別為上下包絡(luò)線）e emax min作為判定是否中止篩選過程的判據(jù)。設(shè)定三個門限值%、3 2、a，規(guī)定當(dāng)a（t）里面小于氣的比率達(dá)到a， 且不存在大于3的值時，中止篩選過程。默認(rèn)值為，3 =0.05，0 =0.5，a=0.95.2125）HHT是基于EMD的時頻分析方法；因而，缺少合適的方法或準(zhǔn)則對其結(jié)果進(jìn)行評估和判定安懷志.希爾 伯特-黃變換的理論和應(yīng)用的研究D.黑龍

17、江:哈爾濱工程大學(xué),2008。6）如何將HHT從一維空間發(fā)展到二維空間或者高維空間 安懷志.希爾伯特-黃變換的理論和應(yīng)用的研究D.黑龍江:哈爾濱工程大學(xué),2008。7）端點(diǎn)延拓問題安懷志. 希爾伯特-黃變換的理論和應(yīng)用的研究D.黑龍江:哈爾濱工程大學(xué),2008。文獻(xiàn)譚善文.多分辨希爾伯特-黃（Hilbert-Huang）變換方法的研究D.重慶:重慶大學(xué),2001 在EMD 方法的基礎(chǔ)上引入了多分辨分析技術(shù)，提出了分段IMF,建立了多分辨EMD方法，通過可調(diào)的時間矩形窗 對信號進(jìn)行篩分，實(shí)現(xiàn)了信號的多尺度分解，并且顯著地減小了計算量，增加了信號處理的實(shí)時性，有 效地消除了 IMF中的模態(tài)混疊現(xiàn)象。由于多分辨EMD方法是基于信號的局部時間尺度特征的，因此該方 法特別適合于分