第七節(jié)非線性規(guī)劃

1、第七節(jié) 非線性規(guī)劃潮流算法 潮流計(jì)算問題的實(shí)質(zhì)就是求解一個(gè)非線性代數(shù)方程組，通過對(duì)電力系統(tǒng)固有的物理特性相結(jié)合，已經(jīng)提出了多種求解該方程組的有效算法。 在實(shí)際計(jì)算中，對(duì)于一些病態(tài)系統(tǒng)（如重負(fù)荷系統(tǒng)、具有梳子狀放射結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)以及具有鄰近多根運(yùn)行條件的系統(tǒng)等），卻往往會(huì)出現(xiàn)計(jì)算過程震蕩甚至不收斂的現(xiàn)象。 現(xiàn)象出現(xiàn)的原因 ： 1）由于潮流算法本身不夠完善？ 2）從一定初值出發(fā)，在給定的運(yùn)行條件下，從數(shù)學(xué)上來講，非線性潮流方程組本來就是無解的？ 20世紀(jì)60年代末，一些學(xué)者相繼提出了潮流計(jì)算問題在數(shù)學(xué)上也可以表示為某一個(gè)由潮流方程構(gòu)成的函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）的最小值問題，并以此來代替數(shù)學(xué)方程組的直接求解

2、。這就形成了一種采用數(shù)學(xué)規(guī)劃或最小化技術(shù)的、和前面介紹的各種算法在原理上完全不同的方法，并稱之為非線性規(guī)劃潮流算法。用這種方法計(jì)算潮流的一個(gè)顯著特點(diǎn)是從原理上保證了計(jì)算過程永不發(fā)散。只要在給定的運(yùn)行條件下，潮流問題有解，則上述的目標(biāo)函數(shù)的最小值就迅速趨近于零；如7/25/20221果從某一個(gè)初值出發(fā)，潮流問題無解，則目標(biāo)函數(shù)就先是逐漸減小，但最后卻停留在某一個(gè)不為零的正值上。這便有效地解決了病態(tài)電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算并為給定條件下潮流問題的有解與無解提供了一個(gè)明確的判斷途徑。 早期提出的完全應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的非線性規(guī)劃潮流算法在內(nèi)存需要量和計(jì)算速度方面都無法和本章前面介紹過的各種常規(guī)潮流算法相競爭

3、，因而未得到實(shí)際推廣應(yīng)用。以后，通過對(duì)非線性規(guī)劃算法的改進(jìn)，并將數(shù)學(xué)規(guī)劃原理和常規(guī)的牛頓潮流算法有機(jī)地結(jié)合起來，形成了一種新的潮流計(jì)算方法帶有最優(yōu)乘子的牛頓算法，簡稱為最優(yōu)乘子法，這種算法能夠有效地解決病態(tài)電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算問題，并已得到廣泛使用。一、非線性規(guī)劃潮流算法的數(shù)學(xué)模型 設(shè)將潮流計(jì)算問題概括為求解如下的非線性代數(shù)方程組或i=(1,2, ,n）7/25/20222 式中：x 為待求的n 維向量，bi為給定的常量。 可以構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)為：或 若式f(x)=0表示的非線性代數(shù)方程組的解存在，則以平方和形式出現(xiàn)的標(biāo)量函數(shù)F(x)的最小值應(yīng)該為零。若此最小值不能變?yōu)榱?，則說明不存在能滿足原方程組

4、的解。這樣，就把原來的解代數(shù)方程組的問題轉(zhuǎn)化為求 。從而使 的問題。 從而可將潮流計(jì)算問題歸為如下的非線性規(guī)劃問題： 這里沒有附加的約束條件，因此在數(shù)學(xué)規(guī)劃中屬于無約束非線性規(guī)劃的范疇。7/25/20223二、非線性規(guī)劃潮流算法的計(jì)算過程 要求出目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，按照數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，通常由下述步驟組成（k為迭代次數(shù)）： 確定一個(gè)初始估計(jì)值x(0); 置迭代次數(shù)k=0； 從x(k)出發(fā)，按照能使目標(biāo)函數(shù)下降的原則，確定一個(gè)搜索或?qū)?yōu)方向； 沿著搜索方向確定能使目標(biāo)函數(shù)下降得最多的一個(gè)點(diǎn)，也就是決定移動(dòng)的步長。由此得到了一個(gè)新的迭代點(diǎn)，即 式中： 為步長因子，其數(shù)值的選擇應(yīng)使目標(biāo)函數(shù)下降最多，用算

5、式表示為7/25/20224 校驗(yàn) 是否成立。如成立，則 就是要求的解；否則，令 ，轉(zhuǎn)向步驟（3），重復(fù)循環(huán)計(jì)算。 圖2-9所示為應(yīng)用上述步驟求目標(biāo)函數(shù)最小值的過程，這里假設(shè)變量向量是二維的。 由上可見，為了求得問題的解，關(guān)鍵要解決兩個(gè)問題： 確定第k次迭代的搜索方向 ； 確定第k次迭代的最優(yōu)步長因子 。7/25/20225三、帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法 為了改進(jìn)上述的非線性規(guī)劃潮流算法，首先在決定搜索方向 的問題上，利用常規(guī)牛頓潮流算法每次迭代所求出的修正量向量 作為搜索方向，并稱之為目標(biāo)函數(shù)在 處的牛頓方向。 接著是如何決定最優(yōu)步長因子 的問題。 對(duì)一定的 ，目標(biāo)函數(shù) 是步長因子 的一個(gè)一

6、元函數(shù) 問題的關(guān)鍵是如何寫出這個(gè)一元函數(shù)的解析表達(dá)式 。如果有了它，則 可以很容易地通過下式而求得7/25/20226采用直角坐標(biāo)的潮流方程的泰勒展開式可以精確地表示為引入標(biāo)量乘子以調(diào)節(jié)變量x的修正步長，于是有其中簡明起見，定義如下向量于是，可以簡寫成7/25/20227原來的目標(biāo)函數(shù)可以寫為上式對(duì) 求導(dǎo)，令其等于零，由此可以求得最優(yōu)乘子將上式展開，可得7/25/20228其中 上式是一個(gè)關(guān)于 的三次代數(shù)方程，可以用卡丹公式或牛頓法等求解，所得的解就是 。 帶有最優(yōu)乘子的牛頓算法的具體應(yīng)用可以分成以下三種不同情況： 從一定的初值出發(fā)，原來的潮流問題有解。7/25/20229目標(biāo)函數(shù) ， 從一定

7、初值出發(fā)原來的潮流問題無解。 有別于以上兩種情況。這種情況的原因可能是解存在，但計(jì)算精度不夠。為計(jì)算最優(yōu)乘子而增加的計(jì)算量很少，見圖2-10。7/25/202210第八節(jié) 幾種特殊性質(zhì)的潮流計(jì)算問題簡介 以下簡單介紹幾種比較重要、但其應(yīng)用目的和性質(zhì)都與前面不同的潮流問題。一、直流潮流（靜態(tài)安全分析中采用） 在有些場合如進(jìn)行系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)，原始數(shù)據(jù)本身就并不很精確而規(guī)劃方案卻十分眾多；再如在實(shí)時(shí)安全分析中，要進(jìn)行大量的預(yù)想事故篩選等等。這些場合在計(jì)算精度和速度這一對(duì)矛盾中，后者占了主導(dǎo)地位，因此就產(chǎn)生了采用近似模型的直流法潮流，其計(jì)算速度是所有潮流算法中最快的。 交流網(wǎng)絡(luò)中某條支路中所通過的功率表達(dá)式為 做以下假定： 高壓輸電線路的電阻遠(yuǎn)小于電抗，即7/25/202211一條支路的等值電路圖 輸電線路兩端電壓相角差不大，可以認(rèn)為 假定系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)電壓標(biāo)幺值都等于1，即 不計(jì)接地支路的影響。于是，可以得到簡化后的功率表達(dá)式 這樣，可以不計(jì)支路的無功潮流之后，一條交流支路就可以看成是一條直流支路。如下圖所示。7/25/202212 對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)，設(shè)定平衡節(jié)點(diǎn)s的相角 ，根據(jù)節(jié)點(diǎn)功率等于與節(jié)點(diǎn)相連的支路功率之和，可得其中式中： 分別是以 為支路導(dǎo)納建立起來的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的自導(dǎo)納及互