勾股定理和方程

1、關(guān)于勾股定理與方程第一張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月BCA直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理第二張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月勾股定理的常見(jiàn)表達(dá)式和變形式第三張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月在直角三角中，如果已知兩邊的長(zhǎng)，利用勾股定理就可以求第三邊的長(zhǎng)；那么如果已知一條邊長(zhǎng)及另兩邊的數(shù)量關(guān)系，能否求各邊長(zhǎng)呢？第四張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月感受新知1第五張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（二）例題【問(wèn)題1】如何在實(shí)際問(wèn)題中，利用勾股定理解決問(wèn)題呢？例1 .有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為l0尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出水面

2、l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少? 第六張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1 .有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為l0尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少? 設(shè)計(jì)意圖： 1.能利用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；2.通過(guò)用代數(shù)式、方程等表述數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)；3.初步學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；4

3、.本題是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的問(wèn)題，展現(xiàn)我國(guó)古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果.第七張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 解決與勾股定理有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，先要抽象出幾何圖形，從中找出直角三角形，再設(shè)未知數(shù)，找出各邊的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理求解.小結(jié)：第九張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月AB的中垂線DE交BC于點(diǎn)DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD=3 如圖，在RtABC中，C=90, AC=1，BC=3. AB的中垂線DE交BC于點(diǎn)D, 連結(jié)AD，則AD的長(zhǎng)為.x3-x感受新知2第十張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月在直

4、角三角形中（已知兩邊的數(shù)量關(guān)系）設(shè)其中一邊為x 利用勾股定理列方程 解方程求各邊長(zhǎng) 基本過(guò)程第十一張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm, 現(xiàn)將直角邊沿直線AD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E，求CD的長(zhǎng).CBADE66例 1第十二張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：在RtABC中 AC=6cm，BC=8cm AB=10cm設(shè)CDDExcm，則BD（8-x）cm 由折疊可知AEAC6cm，CDDE, C= AED=90 解得x3 CD=DE=3cmBE10-64cm, BED=90在RtBDE中由勾股定理可得（8-x）2

5、 x2+42CBADE66例 1第十三張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月【問(wèn)題2】如果一道題目中有多個(gè)直角三角形，我們?nèi)绾芜x擇在哪個(gè)直角三角形中利用勾股定理求解呢？例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長(zhǎng).第十四張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長(zhǎng).方法一第十五張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月方法二第十六張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C

6、落在同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長(zhǎng).1.如果一道題目中有多個(gè)直角三角形，要選擇能夠用一個(gè)未知數(shù)表示出三條邊的直角三角形（邊也可為常數(shù)），在這個(gè)三角形中利用勾股定理求解. 2.解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵：在動(dòng)、靜的轉(zhuǎn)化中找出不變量.小結(jié)： 第十七張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長(zhǎng).注意： 1.基本圖形：“平行、角平分線、等腰三角形”知二推一 2.折疊問(wèn)題：折疊圖形前后兩個(gè)圖形全等，最好在圖中標(biāo)出相等的線段和角.第十八張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于20

7、22年6月練習(xí)第十九張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考11、如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為 兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知 DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上 建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到 E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km 處？CAEBD第二十張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：設(shè)AE= x km，則 BE=（25-x）km根據(jù)勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：E站應(yīng)建在離A站10km

8、處。x25-xCAEBD1510思考1第二十一張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 在一棵樹(shù)BD的5m高A處有兩只小猴子，其中一只猴子爬到樹(shù)頂D后跳到離樹(shù)10m的地面C處，另外一只猴子爬下樹(shù)后恰好也走到地面C處，如果兩個(gè)猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹(shù)有多高？ABCD5m10m思考2第二十二張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月ABCD解：如圖，D為樹(shù)頂，AB=5 m,BC=10 m. 設(shè)AD長(zhǎng)為x m，則樹(shù)高為(x+5)m. AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 15 - x.在RtABC中，根據(jù)勾股定理得解得x=2.5 答：樹(shù)高為7.5米。5m10m x+

9、5=2.5+5=7.510 2+ (5 + x )2= (15 x)2思考2第二十三張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 【問(wèn)題3】如果題目中既沒(méi)有直角三角形，也沒(méi)有直角，怎么利用勾股定理求解？設(shè)計(jì)意圖： 經(jīng)歷對(duì)幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用分割圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想;第二十四張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 方法一：第二十五張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3. 已知：如圖，ABC中

10、，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 方法二： 第二十六張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 小結(jié)： 1.題目中既沒(méi)有直角三角形，也沒(méi)有直角，可考慮利用作垂線段，分割圖形的方法，構(gòu)造直角三角形; 2. “斜化直”即：斜三角形化為直角三角形求解. 第二十七張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 注意： 1.本題可選擇列方程或方程組求解，當(dāng)列方程組求解時(shí)，要注意開(kāi)平方時(shí)，是兩種情況，要舍去負(fù)值；當(dāng)列方程求解CD時(shí)，最好

11、寫(xiě)“ ”，可以省去后面的討論; 2.本題也可以過(guò)A或B作對(duì)邊的高. 第二十八張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月【問(wèn)題4】如果題目中沒(méi)有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？第二十九張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)計(jì)意圖： 【問(wèn)題4】如果題目中沒(méi)有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？1.經(jīng)歷對(duì)幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用“補(bǔ)”圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想;2.題目中設(shè)置的已知量并不是整數(shù)，意在增強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算能力.第三十張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)： 題目中沒(méi)有直角三角形，

12、但存在直角，可以考慮“補(bǔ)”出直角三角形求解.實(shí)際上，本題利用“割”也有多種做法. 第三十二張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)： 題目中沒(méi)有直角三角形，但存在直角，可以考慮“補(bǔ)”出直角三角形求解.實(shí)際上，本題利用“割”也有多種做法.第三十三張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注意： 1.本題的解法很多，但是解法上卻有的簡(jiǎn)單，有的復(fù)雜，要選擇好方法; 2.注意不要跳步.不能直接用結(jié)論：“含有30的直角三角形的三邊的比為： ”;如：要求CE，需先求DE，再由勾股定理求CE. 第三十四張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月【問(wèn)題5】如果將勾股定理中“直角三角形”改為“斜三角形”， 的關(guān)

13、系會(huì)是怎樣呢？思考題：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如圖，根據(jù)勾股定理，則 ，若ABC不是直角三角形，如圖和圖，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 第三十五張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如圖，根據(jù)勾股定理，則 ，若ABC不是直角三角形，如圖和圖，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 設(shè)計(jì)意圖： 1.從證明方法角度看，通過(guò)利用“割”、“補(bǔ)”圖形構(gòu)造直角三角形的方法，得出類似勾股定理的結(jié)論，它是本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用； 2.從結(jié)論上看，三角形的邊長(zhǎng)由具體的數(shù)變成了字母，結(jié)論具有普遍性，它也是本章第18.1小節(jié)勾股定理的推廣，體現(xiàn)了特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想.第三十六張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如圖，根據(jù)勾股定理，則 ，若ABC不是直角三角形，如圖和圖，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 小結(jié)： 若ABC是銳角三角形，則有 ，若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有 . 第三十七張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題：在ABC中，BC=a，A