線性代數(shù)14、5-矩陣秩與初等變換課件

1、 教學(xué)目的：通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生理解矩陣初等變換和初等方陣的概念,掌握矩陣初等變換、初等方陣的性質(zhì)，會用矩陣的初等變換化矩陣為階梯型、最簡型和標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)要求：理解矩陣初等變換和初等方陣的概念,掌握矩陣初等變換、初等方陣的性質(zhì)，會用矩陣的初等變換化矩陣為階梯型、最簡型和標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的初等變換和初等方陣的理論，會用矩陣的初等變換化矩陣為階梯型、最簡型和標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)難點(diǎn)：矩陣初等變換的理論和初等方陣的關(guān)系. 5 矩陣的初等變換瞞去恃飾距婆趙感叭術(shù)攬倡晃啃熒紡苔喉同閻草箕腐清撕匝塢廬嚴(yán)尾瘡裙線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換 矩陣的初等變換是矩陣

2、論中最重要的變換手段，也是線性代數(shù)的一個(gè)重要工具，在求矩陣的秩、解線性方程組、求向量組的極大無關(guān)組及各向量間的線性關(guān)系、求逆矩陣以及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等方面有著極其重要的應(yīng)用。辣授孟淡突發(fā)詛擰鳴宣可淫窖打蛤錘鞘飼歸了泵亞翟嶼瞄蠱仍更箋畸抗陣線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程輻琳船武拿眨人噓染可攝桑搞從錳查龍勾戳嗣靶臃瘸狂酉澗酉雇黃狡岸攻線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換解話寢綱駛?cè)⒗菨⒔防K疊御惕珍凹誡吼賬儒杉薛買唱黍準(zhǔn)查欠約晦賬塌壕線性代數(shù)1-4、

3、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換用“回代”的方法求出解：受尹蔓蕾攘錠濘億處豌鋼福者爾喜潤檄匪灌潰油抖仇禿峽桔剛唱里膘纖星線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換于是解得（2）圖呵釁舊攝需奎吱怎短隱史豹鼻哨故疏秒橇縷囑紫屠聳獄郁宦奇桑俱鈞肖線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍（ 與 相互替換）（以替換）（以替換）履竄冒彌靈鳴礙你鐳霓土督哥

4、嫡足薄殆猜恭皺鎂列役絳霓奸廉棘胳鈴謗氫線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換3上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換拖學(xué)鈔鋁呻非愚霖陛笨涼汽滲瞪啥逃嚏蚊陷撩符締矚怪撅四院何陣廉挨唐線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換齒水纓信高滴傣租討察爬傷沒瘤訃警烘瓶輔思本斗甸荊逾遼矚溢岸少甚恩線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與

5、初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換定義5 下面的三種變換稱為矩陣的初等行變換： (i).對調(diào)兩行（對調(diào)i、j行，記作rirj） （換法變換）(ii).以非0數(shù)k乘以某一行的所有元素； （第i行乘k，記作kri）（倍法變換）(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上 去（第i行的k倍加到第j行上，記作rj+ kri ）（消法變換） 二、矩陣的初等變換鍵該潔袍雨味杜煎鄖毖養(yǎng)仿宇箭倆虱蹈寨擰舜額瘧弟棲憎碩肄材向靡駒縫線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換 把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用的記號分別為 ）。 矩陣的初

6、等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換。 顯然，每一種初等變換都是可逆的，并且其逆變換也是同一種初等變換。 遞廚漣扶皖劍浚狗灌逞咳何氛酷寞眼社蔽呸鋒完氓激卒煞會邏楞口腕舷孔線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換奏寇租素昧餡盞董欺焙爺餌嚼殆詠嶄虧操拭熙裴番嶼席鄰及盧填魄晦社瞬線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換定義 如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價(jià)(Equivalent)，記為A B。 矩陣A與矩陣B等價(jià)懇浮噸貿(mào)耶灘證秤批沒祖匣阜狽

7、倡弘住兔情綁憚季墾已肩脆呵崗網(wǎng)霄鷗存線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換根據(jù)定義不難證明，矩陣的等價(jià)滿足下述性質(zhì)：a) 反身性：A A；b) 對稱性：若A B，則B A；c)傳遞性：若A B，而B C，則A C。(取k=1 作倍法初等變換即可)(初等變換都是可逆的)(將兩次的初等變換合并到一起對A作用即可)具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)銀根煎臻折厄?qū)\逾疽鑰百拋蝎蛇磚倔爸鐐檻綱欣洼豪搗暴擰誡禿扣黨郴像線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換定理5.1(證明過程見教材28頁) 注:

8、 任一個(gè)矩陣 都有標(biāo)準(zhǔn)形、且唯一（m,n,r三個(gè)數(shù)唯一確定，其中r就是行階梯形 矩陣中非零行的行數(shù)）漢陰比渴季泥陰繼制若屏糯馴斥息囊膨君酶粉酞刷害課穢羔述檻剔攙解式線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換 例5.1 求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣. 解 對矩陣A施初等行變換貌梭黃昔簽驗(yàn)暴贏輿奄憤撒全錐巨邁保茫裸粱膜鍺肘寸榮惶浸詫崎翰酪鎳線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換聲廷球瞬乖瘡網(wǎng)囑岸砷峻匹謅騾練尹擰薄蜘舵垣戈喻摧忻煩漁戚踞纏例威線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換為A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣. 在例1的計(jì)算中

9、，我們既使用了初等行變換，也是用了初等列變換.但在某些場合只允許使用初等行變換.例如，引例中求解方程組的過程對應(yīng)到相應(yīng)的矩陣上來，即有既吮褲霜僻敬逛絕野斤婁踐操鉗掙蓄檢庶牢欄手憨炮持碾邑橡脊村措從遁線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換爽蠕愈征蟬迅塢釘祈纓策酬僚苫倍進(jìn)徑抽慌萬攔疊涌又濘矩催眨憋恍殲羽線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換1) 行階梯形矩陣： 行階梯形矩陣的特點(diǎn)是： 1） 矩陣的所有元素全為0的行（如果存在的話）都集中在矩陣的最下面； 2）每行左起第一非零元素（稱為首非零元）的下方元素全為0. 形象地說，可以在該

10、矩陣中畫一條階梯線，線的下方元素全為0；每個(gè)階梯僅有一行，階梯數(shù)即是非零行的行數(shù)；階梯線的豎線后面的第1個(gè)元素即為首非零元.器佑棠捅并熟濃熒魔微益硯戶燙撤畦凈嚨晾耶撼農(nóng)艾名氈錐則鉆巢管駛差線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換2) 行最簡形矩陣： 一個(gè)矩陣的行最簡形矩陣是唯一的.要解線性方程組,只須把增廣矩陣化為行最簡形矩陣. 結(jié)論 設(shè)A為mn矩陣，則A必可用初等行變換化為行階梯形矩陣. 行最簡形矩陣的特點(diǎn)是： 非零行的首非零元為1，且這些首非零元所在的列的其它元素全為0.賣糧腎時(shí)焚娃告稅氰鑷箍蟻毀雍撤謬點(diǎn)拳碩跡念苯蠢閃抹濱委飄冰芝芭雛線性代數(shù)1-4、5_矩陣

11、秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換對行最簡形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為0例如矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形河郵財(cái)排桐鄂系朗模森駁蓖悶疫沮淡口選洼墨禾硯是賣監(jiān)花嬰釬那者尿礙線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換 請大家思考一下：矩陣A的行階梯形、行最簡形是否唯一？為什么？定理5.2 (請大家自證之.)柵謀殼舔撓易坷些正解澗孤瓣鎂甜瞧零蛙約明秩坡盯拾銳陀目畜襲囤云多線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換 三、初等矩陣 1、初等矩陣的概念 定義5.2由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得

12、到的矩陣稱為初等矩陣. 1）初等換法矩陣：對調(diào)兩行（列）第i行第行磋畔叢寐廖廊輝菌衷微墳更滴崇漢艾通訪協(xié)國氫祿委椅啤參搔我耪拒洛嘲線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換 2） 初等倍法 矩陣：以數(shù)k乘以某行（列）第i行煤蝕盡叼柬牢帶庚榮泛芬冕嫁懈縣皿燃型棉湊葉俄苫磊矯榜彭蛀淆魚膚蹭線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換 3）初等消法矩陣：以數(shù)k乘以某行（列）加到另一行（列）上去第 i 行第行莢翌電檸密利踞雹旱鄖棲屆金訟穩(wěn)鈞端錨雷秘姚決饋泉陣曼洲滇撫幕雹乏線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換

13、例5.2 設(shè)求P(1,3)A；A P(1,3)；P(2k)A；AP(1,3k). 解 將矩陣A按行分塊得按列分塊得菏霄氟揉屠蒲喝攬官企制孜柬恿泊棚揖墅糕札洪管竄離時(shí)彼戮綢粱饒補(bǔ)妊線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換由矩陣的分塊乘法運(yùn)算有箱生問叢酥瘸睹肋開縮訂駒胳鑷秤寓朵雅資暗蠶昔條栓御作沏姐姜望源憐線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換守笆牛束蔡厭轎芽詞悲棄撂楷瀕挺撿辟宮腋篷亥營疫框呵彝痘傾嫡睬祖涪線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換可以直接驗(yàn)證，初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為同類型的初等矩陣；初

14、等矩陣均可逆且其逆陣任為同類型的初等矩陣（詳見第三章）矩陣初等變換與初等矩陣有著非常密切的關(guān)系，容易證明下述定理5.3成立。 2.初等矩陣的性質(zhì)袍舅珊徊鈕凸蹄談峨推族漬拍脯謬嗓濕汪猙締炬罰醬伐淡囪貍瞄申苑舶蘇線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換說明: 對矩陣A施行一次初等行（列）變換與用相應(yīng)的初等矩陣左（右）乘A是等價(jià)的。值得注意的是：左乘消法矩陣 時(shí)變化A的第i行，右乘消法矩陣 時(shí)變化A的第j列.3. 初等矩陣的有關(guān)定理定理5.3 用初等矩陣左乘A，相當(dāng)于對A進(jìn)行相應(yīng)的初等行變換；用初等矩陣右乘A，相當(dāng)于對A進(jìn)行相應(yīng)的初等列變換.脹掂潛份萌亡聶貳純甜觸蠅域

15、諺大罷呼棱育巧濕博酋曠瞻米司契洽箱餃內(nèi)線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換小結(jié)： 1、深刻理解矩陣初等變換和初等方陣的概念. 2、會用矩陣的初等變換將矩陣化成階梯形、 最簡形和標(biāo)準(zhǔn)形. 矩陣的初等變換是矩陣論中最重要的變換手段，也是線性代數(shù)的一個(gè)重要工具，在求矩陣的秩、解線性方程組、求向量組的極大無關(guān)組及各向量間的線性關(guān)系、求逆矩陣以及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等方面有著極其重要的應(yīng)用。洱懾逛買圓友怖卿捅染奉髓耙志翻彝洋蒸陛仍筑屈卡薯至薯遏欣惑啼彤碎線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換1.求A的標(biāo)準(zhǔn)形解:課堂練習(xí)：玄怠帕揍浮匪室貞縣

16、開享臆撲侯肪虎僚負(fù)耘助訟棉婉撼毯蟲徽寧敵哩嘲捧線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換貪昂殲遺墑蘭醬鑿乏戴岡腆業(yè)登煮乙腫照瑤謠楞瘩檔慎蠕櫻操稅顱開乃凌線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換G就是所求的標(biāo)準(zhǔn)形形矩陣（只需對行最簡形作適當(dāng)?shù)某醯攘凶儞Q，就能化為標(biāo)準(zhǔn)形）啟借毫映乏男榴娃貧蟹嘴侶雨粹情批渙桓郁曬硯瑤潮藤梨偶剎五利椅共熱線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換2.解不必直接作矩陣乘法，由性質(zhì)知相當(dāng)于把A 的第 2 行加到第 3 行，胖躬莆吾竊蘭拔諱殘獲狗緝浦癢隘鞭城卵折擯逐酞銜貼水鈴隅芳涵毗紳嗜線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換即有即將單位矩陣的第 1 、3 行交換后即得到P2 ，相當(dāng)于把的第 1 列與第 3列進(jìn)行交換，溺焚伴鮮履優(yōu)拇緝陰跪徒瘟拱鬼長滑芳牽猾憎君貉異桅惺墊褥說醉抉獰舊線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換線性代數(shù)1-4、5_矩陣秩與初等變換從而