統(tǒng)計(jì)學(xué)第四章數(shù)據(jù)的描述性分析課件

1、第四章數(shù)據(jù)的描述性分析本章內(nèi)容一、 集中趨勢(shì)的描述二、 離散程度的描述三、 分布的偏態(tài)與峰度集中趨勢(shì)的描述數(shù)值平均數(shù)1. 算術(shù)平均數(shù)2. 調(diào)和平均數(shù)3. 幾何平均數(shù)集中趨勢(shì)的描述位置平均數(shù)1. 中位數(shù)2. 眾數(shù)對(duì)比離散程度的描述絕對(duì)指標(biāo)1. 極差與四分位差2. 平均差3. 標(biāo)準(zhǔn)差與方差相對(duì)指標(biāo)離散系數(shù)離散程度的描述數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化分布的偏態(tài)與峰度原點(diǎn)距中心距分布的偏態(tài)與峰度分布的偏態(tài)分布的峰度集中趨勢(shì) 集中趨勢(shì)（Central Tendency）是一組數(shù)據(jù)向其中心靠攏的傾向。測(cè)定集中趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。集中趨勢(shì)往往使用平均指標(biāo)來(lái)測(cè)度 算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic

2、 mean）是總體中各個(gè)體的某個(gè)數(shù)量標(biāo)志的總和與個(gè)體總數(shù)的比值，一般用符號(hào) 表示。 簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)分組數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì) 簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)分組某廠某車(chē)間20名工人加工某種零件的產(chǎn)量資料如下：-單項(xiàng)式變量分布數(shù)列20名工人零件生產(chǎn)數(shù)量分組資料按日產(chǎn)量分組（件）x工人人數(shù)（人）f總產(chǎn)量（件）xf14151617182485128601288518合計(jì)20319加權(quán)算術(shù)平均數(shù)權(quán)數(shù)組距式加權(quán)均值(權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響) 甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)及其分布數(shù)據(jù)如下 甲組： 考試成績(jī)（X ）: 0 20 100 人數(shù)分布（F ）：1 1 8 乙組： 考試成績(jī)（X ）

3、: 0 20 100 人數(shù)分布（F ）：8 1 1X甲01+201+1008n10i=1Xi 82（分）X乙08+201+1001n10i=1Xi 12（分）選擇-4權(quán)數(shù) 次數(shù)f的作用：當(dāng)變量值比較大的次數(shù)多時(shí)，平均數(shù)就接近于變量值大的一方；當(dāng)變量值比較小的次數(shù)多時(shí)，平均數(shù)就接近于變量值小的一方。可見(jiàn)，次數(shù)對(duì)變量值在平均數(shù)中的影響起著某種權(quán)衡輕重的作用，因此被稱(chēng)為權(quán)數(shù)。有時(shí)權(quán)數(shù)也用比重（頻率）來(lái)表示算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)各變量值關(guān)于算術(shù)平均數(shù)的偏離，在平方的意義下達(dá)到最小調(diào)和平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)（Harmonic mean）是各變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。由于它是根據(jù)變量值倒數(shù)計(jì)算的，所以又稱(chēng)作

4、倒數(shù)平均數(shù)，通常用 表示。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形 調(diào)和平均數(shù)某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交量數(shù)據(jù)如下，計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格。蔬菜名稱(chēng)批發(fā)價(jià)格(元)x成交量(公斤)f甲乙丙1.200.500.8015000250008000合計(jì)-48000算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)若已知成交額，未知成交量，資料如下：蔬菜名稱(chēng)批發(fā)價(jià)格(元)x成交額(元)m甲乙丙1.200.500.8018000125006400合計(jì)-36900加權(quán)調(diào)和平均數(shù)變量值倒數(shù)簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形調(diào)和平均數(shù)是標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù),它和算術(shù)平均數(shù)的實(shí)際意義是相同的,計(jì)算公式

5、也可以互推幾何平均數(shù) 幾何平均數(shù)（Geometric mean）是n個(gè)變量值連乘積的n次方根。它主要用于計(jì)算比率或速度的平均，當(dāng)所掌握的變量值本身是比率的形式，而且各比率的乘積等于總的比率時(shí)，就應(yīng)采用幾何平均法計(jì)算平均比率。 簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)案例：某水泥廠1995年的水泥產(chǎn)量為100萬(wàn)噸，1996年與1995年相比增長(zhǎng)率為9，1997年比1996相比增長(zhǎng)率為6，1998年比1997年相比增長(zhǎng)率為20，求這三年的年平均增長(zhǎng)率簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)案例2：一位投資者在1996年初買(mǎi)進(jìn)一種股票，1996，1997，1998，1999這四年的收益率分別為4.5，2，3.5，5.4，計(jì)

6、算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率r簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)位置平均數(shù)1. 中位數(shù)2. 眾數(shù)中位數(shù) 中位數(shù)（Median）是一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的那個(gè)變量值，通常用 表示。由未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù)由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)分位數(shù)數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (5個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù): 24 22 21 26 20排 序: 20 21 22 24 26位 置: 1 2 3 4 5中位數(shù) 22數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8排 序: 5 6 8 9 10 12位 置: 1 2 3 4 5 6位置N+126+123.5中位數(shù)8 + 928.

7、5由未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù) 對(duì)未分組數(shù)據(jù)資料，需先將各變量值按大小順序排列，并按公式 確定中位數(shù)的位置。當(dāng)一個(gè)序列中的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則處于序列中間位置的變量值就是中位數(shù)。 例： 7、6、8、2、3 當(dāng)一個(gè)序列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則應(yīng)取中間兩個(gè)數(shù)的中點(diǎn)值作為中位數(shù)，即取中間兩個(gè)變量值的平均數(shù)為中位數(shù)。 例： 2、5、7、8、11、12 未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(計(jì)算公式)分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù)-單項(xiàng)式，組距式(見(jiàn)分位數(shù)）由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)按公式 確定中位數(shù)的位置并對(duì)照累計(jì)次數(shù)確定中位數(shù)。由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù) 先計(jì)算各組的累計(jì)次數(shù)，再按公式 確定中位數(shù)的位置，并對(duì)照累計(jì)次數(shù)確定中位數(shù)。分位數(shù) 三個(gè)數(shù)值可以將變量

8、數(shù)列劃分為項(xiàng)數(shù)相等的四部分，這三個(gè)數(shù)值就定義為四分位數(shù)(Quartiles)。九個(gè)數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項(xiàng)數(shù)相等的十部分，這九個(gè)數(shù)值就定義為十分位數(shù) (Dectile)99個(gè)數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項(xiàng)數(shù)相等的100部分，這99個(gè)數(shù)值就定義為百分位數(shù) (Percentile)四分位數(shù)第一個(gè)四分位數(shù)稱(chēng)為下四分位數(shù)第三個(gè)四分位數(shù)稱(chēng)為上四分位數(shù)QLQMQU25%25%25%25%1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2.排序后處于25%和75%位置上的值未分組資料和單項(xiàng)資料的四分位數(shù)先排序，若為單項(xiàng)分組資料，需計(jì)算累計(jì)頻數(shù)再通過(guò)公式確定位置：如果四分位數(shù)的位置不在某變量值上，必須按比例分?jǐn)傋兞恐担源_定四分位數(shù)。

9、數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (7個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù): 23 21 30 32 28 25 26排 序: 21 23 25 26 28 30 32位 置: 1 2 3 4 5 6 7 N+1QL= 237+1QL位置 =4=4= 2QU位置 =3(N+1)43(7+1)4 = 6QU = 303. 不易受極端值的影響(數(shù)據(jù)中有極大值或極小值時(shí)，影響不大）數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù): 23 21 30 28 25 26排 序: 21 23 25 26 28 30位 置: 1 2 3 4 5 6QL= 21+0.75(23-21) = 22. 5QL位置 =N+14=

10、6+14= 1.75QU位置 =3(N+1)43(6+1)4= 5.25QU = 28+0.25(30-28) = 28.52、分組資料先求累積頻數(shù)再確定位置最后依公式求四分位數(shù)（也是按比例分?jǐn)偅┢渲袨樵摲治粩?shù)組的下限；為總次數(shù)；為較小累計(jì)該分位數(shù)所在組前一組的累計(jì)次數(shù)為分位數(shù)組的次數(shù)；為分位數(shù)組的組距。以第一四分位數(shù)公式說(shuō)明參數(shù)眾數(shù) 眾數(shù)(Mode)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)變量值，通常用 表示。由未分組數(shù)據(jù)確定眾數(shù)由單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)由組距數(shù)列確定眾數(shù)由未分組數(shù)據(jù)確定眾數(shù)例1： 7、6、8、2、3例2： 7、6、8、2、3 、4、3、2、3例3： 7、6、8、2、3 、4、3、2、3、2

11、由單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)由組距式數(shù)列確定眾數(shù)先確定眾數(shù)組；再用下述公式計(jì)算：符號(hào)含義：（A）L為眾數(shù)組的下限，U為上限；（B）i為眾數(shù)組的組距；（C）1=fmfm-1，即眾數(shù)組的次數(shù)與前一組次數(shù)之差； 2=fm fm+1，即眾數(shù)組的次數(shù)與后一組次數(shù)之差。STAT40 50 60 70 80 90 10050 40 30 20 10BCEDx y(L) (U)Mo=L+x=U-yOAF重點(diǎn)考察眾數(shù)位置和相鄰兩組次數(shù)的關(guān)系眾數(shù)取值的特點(diǎn)： 眾數(shù)的數(shù)值始終偏向相鄰組中次數(shù)較大的組，當(dāng)相鄰兩組的次數(shù)相等時(shí)，眾數(shù)則是眾數(shù)組的組中值。注意問(wèn)題（1）優(yōu)點(diǎn)：不易受極端值的影響。（2）缺點(diǎn)：未利用所有信息，缺乏敏感性

12、和不適合代數(shù)運(yùn)算對(duì)比1. 眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系確定分布是否有偏，偏斜情況如何已知某班學(xué)生的平均年齡為17.8歲，18歲的人數(shù)最多，則該分布屬于（ ）。A正態(tài) B左偏C右偏 D無(wú)法判斷對(duì)比2. 眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用場(chǎng)合位置平均數(shù)不易受極端值的影響，比較穩(wěn)健。位置平均數(shù)的取值只與中間位置的一或兩個(gè)數(shù)值有關(guān)，利用信 息不充分，忽略了其它數(shù)據(jù)的大小，并且不適合于代數(shù)運(yùn)算。平均數(shù)所用的的數(shù)據(jù)信息比較完整，但易受極端值影響 1.計(jì)算平均指標(biāo)最常用的方法和最基本的形式是（）。A.中位數(shù) B.眾數(shù) C.算術(shù)平均數(shù) D.調(diào)和平數(shù) 2受極端數(shù)值影響最小的集中趨勢(shì)值是（ ）。A算術(shù)平均數(shù)

13、B調(diào)和平均數(shù)C幾何平均數(shù) D眾數(shù)4位置平均數(shù)是指（）A算術(shù)均值B調(diào)和均值C幾何均值D眾數(shù)E中位數(shù)極差與四分位差 極差（Range）也叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之離差，即： 四分位差（Interquartile range）是指第三四分位數(shù)與第一四分位數(shù)之差，也稱(chēng)為內(nèi)距或四分間距，用表示。四分位差的計(jì)算公式為： 離散程度刻畫(huà)指標(biāo)極差： 是數(shù)據(jù)離散程度的一種簡(jiǎn)單刻畫(huà)，其中只考慮了兩端數(shù)值，沒(méi)有體現(xiàn)各單位變量值的變異程度，且易受極端值影響 四分位差：反映了數(shù)據(jù)排序后中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，其值越小，說(shuō)明中間50%數(shù)據(jù)越集中；四分位差是由位置平均數(shù)定義，不易受極端值影響，在某種程度上彌補(bǔ)了極

14、差的不足，但同樣沒(méi)有考慮所有數(shù)據(jù) 特點(diǎn)平均差 平均差（Mean deviation）也稱(chēng)平均離差，是各變量值與其平均數(shù)離差絕對(duì)值的平均數(shù)，通常用 MD表示。簡(jiǎn)單式平均差加權(quán)式平均差簡(jiǎn)單式平均差平均差：Avedev( )甲組乙組日產(chǎn)量離差離差絕對(duì)值日產(chǎn)量離差離差絕對(duì)值xx8090100110120-20-10010202010010209095100105110-10-505101050510合計(jì)60合計(jì)30加權(quán)式平均差標(biāo)準(zhǔn)差與方差 標(biāo)準(zhǔn)差（Standard deviation）又稱(chēng)均方差，它是各單位變量值與其平均數(shù)離差平方的平均數(shù)的方根，通常用 表示。它是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的最主要方法。方差（V

15、ariance）是各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方和的平均數(shù)，即是標(biāo)準(zhǔn)差的平方；用 表示總體的方差；用 表示樣本的方差標(biāo)準(zhǔn)差。，而樣本標(biāo)準(zhǔn)差記為s 標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式總體與樣本標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)單式標(biāo)準(zhǔn)差 加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)單式標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差Stdevp( )結(jié)論：平均差和標(biāo)準(zhǔn)差的大小，甲組乙組日產(chǎn)量離差離差平方日產(chǎn)量離差離差平方xx8090100110120-20-100102040010001004009095100105110-10-5051010025025100合計(jì)1000合計(jì)250加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差總體與樣本標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)單式加權(quán)式總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差Stdev( ) 總體標(biāo)準(zhǔn)差Stdevp( )方差：樣

16、本方差Var( ) 總體方差Varp( )離散系數(shù) 對(duì)于平均數(shù)不等或計(jì)量單位不同的不同組別的變量值，是不能直接用離散程度的絕對(duì)指標(biāo)比較其離散程度的。為了消除變量平均數(shù)不等和計(jì)量單位不同對(duì)離散程度測(cè)度值的影響，需要計(jì)算離散程度的相對(duì)指標(biāo)，即離散系數(shù)，又稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)(無(wú)名數(shù)）。其一般公式是：離散系數(shù)例：某地隨機(jī)抽取一組男青年和女青年，測(cè)量他們的平均體重和標(biāo)準(zhǔn)差如下離散系數(shù)為說(shuō)明女青年間體重的差異比男青年要大一些數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化判斷是否有離群點(diǎn) 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值是變量值與其平均數(shù)的離差除以標(biāo)準(zhǔn)差后的值，也稱(chēng)為z分?jǐn)?shù)或標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值為z，則有： 度量的是數(shù)據(jù)偏離平均值有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差；經(jīng)驗(yàn)表明：當(dāng)數(shù)據(jù)分布對(duì)

17、稱(chēng)時(shí)約有68.27%的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，約有95.45%的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，約有99.73%的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)；可見(jiàn)，偏離3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)時(shí)很少的；一般，偏離3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)就稱(chēng)為是離群點(diǎn)或異常值也就是說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)化之后約有99.73%（95.45%）的結(jié)果是在+-3（+-2）之間-實(shí)際中有此特性的是正態(tài)分布變量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化判斷是否有離群點(diǎn)如果我們認(rèn)為偏離超過(guò)3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差即為離群點(diǎn)，那么-3.6所對(duì)應(yīng)的數(shù)值為離群點(diǎn)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化判斷是否有離群點(diǎn)Normsdist(z)=p(x1.5)=2(normsdist(-1.5)=0.1336

18、Normsinv (probability):返回p(xz)=probability所對(duì)應(yīng)的znormsinv (0.975)= 1.96根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，有normsinv(0.025)=-1.96標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的有關(guān)函數(shù)課后單選12 ：-normsinv (0.01)=2.33 -normsinv (0.06)=1.55 數(shù)據(jù)分成k組，每組的次數(shù)ni,i=1.2.k,記 為第i組的第j個(gè)數(shù)據(jù)， 為第i組的平均數(shù)為第i組的組內(nèi)方差，則各組內(nèi)方差的加權(quán)平均數(shù)：總方差，組間方差，組內(nèi)方差組內(nèi)離差平方和記 為總平均數(shù)組間方差：總方差：可證明也被稱(chēng)為方差加法定理組間離差平方和總離差平方和第三章描述統(tǒng)計(jì)學(xué)：數(shù)

19、量方法STAT例題：教材數(shù)據(jù)（ch4-方差分解）原點(diǎn)矩k階原點(diǎn)矩一階原點(diǎn)矩二階原點(diǎn)矩k階樣本原點(diǎn)矩一階樣本原點(diǎn)矩二階樣本原點(diǎn)矩中心矩k階原點(diǎn)矩二階原點(diǎn)矩k階樣本原點(diǎn)矩二階樣本原點(diǎn)矩一般式-k階原點(diǎn)矩一階原點(diǎn)矩-加權(quán)算術(shù)平均數(shù)對(duì)于分組數(shù)據(jù)中心矩一般式-K階中心矩三階中心矩四階中心矩二階中心矩-分組數(shù)據(jù)的方差偏態(tài) 偏態(tài)（Skewness）是對(duì)分布偏斜方向和程度的測(cè)度。變量分組后，總體中各個(gè)體在不同的分組變量值下分布并不均勻?qū)ΨQ(chēng)，而呈現(xiàn)出偏斜的分布狀況，統(tǒng)計(jì)上將其稱(chēng)為偏態(tài)分布。 偏態(tài)系數(shù) 的數(shù)值一般在0與3之間，越接近0，分布的偏斜度越??；越接近3，分布的偏斜度越大。大于0稱(chēng)為是正偏(右偏),小于0稱(chēng)為是負(fù)偏(左偏)例題偏斜度：Skew( )偏態(tài)系數(shù)計(jì)算我國(guó)1997年農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算偏態(tài)系數(shù)按純收入分組組中值比重5以下5-1010-1515-2020-2525-3030-3535-4040-4545-5050以上2.57.512.517.522.527.532.537.542.547.552.52.2812.4520.3519.5214.9