高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系學(xué)案理新人教A版

1、學(xué)案42空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的含義.2. 了解可以作為推理依據(jù)的公理和 定理3能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.回扣教材夯實(shí)基礎(chǔ)【自主梳理】1.平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的 在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2:過(guò) 的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有 過(guò)該點(diǎn)的公 共直線.2.直線與直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類共面直線異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)（2）異面直線所成的角定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn) O作直線az /a, b

2、 /b,把a(bǔ) 與b所成的 叫做異面直線a, b所成的角（或夾角）.范圍：.直線與平面的位置關(guān)系有 、三種情況.平面與平面的位置關(guān)系有 、兩種情況.平行公理平行于 的兩條直線互相平行.定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 .【自我檢測(cè)】. （2011 泉州月考）若直線a與b是異面直線，直線 b與c是異面直線，則直線 a與 c的位置關(guān)系是（）A.相交B相交或異面C.平行或異面D平行、相交或異面.已知a, b是異面直線，直線 c/直線a,則c與b（ ）A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D不可能是相交直線.如圖所示，點(diǎn) 巳Q R, S分別在正方體的四條棱上，且是所

3、在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是（）. （2010 全國(guó) I ）直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若/ BAC= 90 , AB= AC= AA1,則異面直 線BA與AC所成的角等于（）A 30B. 45C. 60D 905.下列命題：空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合；空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；三角形是平面圖形；平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；垂直于同一直線的兩直線平行；一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是 .（填序號(hào)）課堂活動(dòng)區(qū)探究點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)【例1】如圖所示，空間四

4、邊形 ABCD43, E、F、G分別在AB BC CD上，且滿足 AE： EB= CF： FB =2 ： 1, CG： GD= 3 ： 1,過(guò) E、F、G 的平面交 ADT H,連接 EH.（1）求 AH： HD（2）求證:EH FG BD三線共點(diǎn).變式遷移如圖，E、F、G H分別是空間四邊形 AB BC CD DA上的點(diǎn)，且EH與FG相交于點(diǎn)O. 求證：B、D O三點(diǎn)共線.探究點(diǎn)二異面直線所成的角例2(2009 全國(guó)I )已知三棱柱 ABG- AiBiCi的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等， Ai在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線 AB與CC所成的角的余弦值為(A峭 BfC若變式遷移2 (20

5、11 淮南月考)在空間四邊形 ABC邛，已知AA 1,BC=，3，且ADLBC 對(duì)角線BD= 寫,AC=半，求AC和BD所成的角.滲透教學(xué)思想轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用【例】Pfi(12分)如圖所示，在四棱錐 P ABCDK底面是邊長(zhǎng)為 2的菱形，/ DAB= 60 ,對(duì)角 線AC與BD交于點(diǎn) Q PQL平面 ABCD PB與平面ABC所成角為60 .(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線 DE與PA所成角的余弦值.多角度審題】對(duì)(1)只需求出高PQ易得體積；對(duì)(2)可利用定義，過(guò) E點(diǎn)作PA的平 行線，構(gòu)造三角形再求解.【答題模板】解 (1)在四棱錐 P-ABCD43,PQL平面

6、 ABCD / PBO是PB與平面 ABCD成的角,即/ PBQ= 60 ,2分在 RtAOB 中， BO AB- sin 30 =1,又 PQL OB，PQ= BQ tan 60.底面菱形的面積 S= 2X；X2X2X*=243,，四棱錐 PABCM體積 V-abc產(chǎn)；*233=2.6 分3(2)取AB的中點(diǎn)F,連接EF, DF,E 為 PB中點(diǎn)，. EF/ PADEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角). 8分在RtMOB中，AO= AB- cos 30 = 3,在 RtPOA中，PA=0,，EF=弓.在正三角形 AB/口正三角形 PDB中，DF= DE= ，人一DE2+EF2-D八由余

7、弦定理得cos/ DEF= C匚匚匚10分2DE, EF小唱一出21亞=29 4 .所以異面直線 DE與PA所成角的余弦值為 乎.12分【突破思維障礙】求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn).總之，頂點(diǎn)的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計(jì)算，具體步驟如下：(1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角；(

8、3)利用三角形來(lái)求解， 異面直線所 成角的范圍是(0 , 90 .【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】.求異面直線所成的角時(shí)，僅指明哪個(gè)角，而不進(jìn)行證明.忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負(fù)值.課堂小結(jié).利用平面基本性質(zhì)證明“線共點(diǎn)”或“點(diǎn)共線”問(wèn)題：(1)證明共點(diǎn)問(wèn)題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直 線上，有時(shí)也可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三點(diǎn)共線.(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理 3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.異面直線的判定方法：1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi).2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線.3.

9、求異面直線所成的角的步驟：(1) 一般是用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角;(2)證明作出的角就是所求的角；(3)利用條件求出這個(gè)角；(4)如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ) 角才是要求的角.謖后糠司區(qū)精題精練規(guī)范答題（滿分：75分）A.C.、選擇題（每小題5分，共25分）和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是（）異面平行給出下列命題:B.相交D.異面或相交A.C.3. （2011 寧德月考）D.H若平面a上的直線a與平面3上的直線b為異面直線，直線 C是a與3的交線， 那么c至多與a、b中的一條相交；若直線 a與b異面

10、，直線b與c異面，則直線a與c 異面；一定存在平面 a同時(shí)和異面直線a、b都平行.其中正確的命題為 （）H如圖所示，在正三角形 ABC中，D E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G H、I、J分別為AFAD BE、DE的中點(diǎn)，將 ABC沿DE EF、DF折成三棱錐以后,A 9060（2009 全國(guó)II ）已知正四棱柱 面直線BE與CD所成角的余弦值為（45ABCD- A1B1GD 中, )GH與IJ所成角的度數(shù)為（）0AA = 2AR E為AA的中點(diǎn)，則異A*A 10b53 .110, 10D3（2011 三明模擬）正四棱錐SABCD勺側(cè)棱長(zhǎng)為42,底面邊長(zhǎng)為 小，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線 BE和SC所

11、成的角為（3045)6090二、填空題（每小題4分，共12分）D一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：AB! EF;AB與CM所成的角為60 ;EF與MN異面直線；MM/ CD,則正確結(jié) 論的序號(hào)是.八1曲B（2009 四川）如圖所示，已知正三棱柱 ABC-A1BC1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC的中點(diǎn)，則異面直線 AB和BM所成的角白大小是 .如圖所示，正四面體 PABC中，M為棱AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為三、解答題（共38分）（12分）（2011 溫州月考）如圖所示，正方體 ABCD-AiBiCiD中，E, F分別是AB和AA的中點(diǎn).求證：（1）E , C

12、, D, F四點(diǎn)共面；（2）CE, DF, DA三線共點(diǎn).（12 分）在棱長(zhǎng)為a的正方體 ABCD- ABGDi中, 過(guò)這三點(diǎn)的截面，并求這個(gè)截面的周長(zhǎng).巳 Q R分別是棱 CC, AQ, AB的中點(diǎn)，畫出（14分）（2011 舟山模擬）如圖，正方體 ABCD-A1B1GD的棱長(zhǎng)為2, E為AB的中點(diǎn).（1）求證：ACL平面BDD;（2）求異面直線BD與CE所成角的余弦值.（3）求點(diǎn)B到平面AEC的距離.學(xué)案42 空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系自主梳理1.兩點(diǎn)不在一條直線上一條 2.(1)平行相交(2)銳角或直角 0, 2 3 3.平行 相交 在平面內(nèi)4.平行相交 5.同一條直線6.相等或互補(bǔ)自

13、我檢測(cè)D a , c都與直線b異面，并不能確定直線a, c的關(guān)系.C a, b是異面直線，直線 c/直線a.因而cD b,否則，若c/b,則a / b與已知矛盾，因而cD b.C A中 PQ/ RS B中 RS/ PQD中RS和PQ相交.C a d.將直三棱柱 ABC-A1B1G補(bǔ)成如圖所示的幾何體.由已知易知：該幾何體為正方體.連接 GD,則 GD/ BA.異面直線BA與AC所成的角為/ ACiD(或補(bǔ)角)，在等邊AACiD 中，Z ACiD= 60 .5.課堂活動(dòng)區(qū)【例1】 解題導(dǎo)引 證明線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問(wèn)題，其基本理論是把 直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，

14、由公理 3得證.AE CF (1)解E1r 奇 2, .4/ AC.EF/ 平面 ACD而 EF?平面 EFGH 且平面 EFG用平面 ACD= GH EF/ GH. 而 EF/ AC .AC/ GH.AH CG_.3,即 AH： HD= 3 ： 1.HD GD(2)證明 EF/ GH 且 EC= 3 黑 J AC 3 AC 4.EFw GH，四邊形 EFGHM弟形.令 EHn FG= P,貝U PC EH 而 EH?平面 ABDPC FG FG?平面 BCD平面ABDT平面BCD= BD.PC BD. .EH FG BD三線共點(diǎn).變式遷移1 證明EC AB, HC AD,.EC 平面 ABD

15、 HC 平面 ABD.1 .EH?平面 ABD. Em FG= O, . .OC 平面 ABD.同理可證oe平面bcd.oe平面 abdt平面 bcd即oe bdb d o三點(diǎn)共線.例2 解題導(dǎo)引高考中對(duì)異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為：(1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常 選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn).(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角.(3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.(4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角0的取值范圍是0 0 9

16、00 ,所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.D 國(guó)如圖，ADL平面ABC且D為BC的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱的各棱長(zhǎng)為1,則AD=乎，由AD 1112_L平面 ABC知 AQ=萬(wàn)，RtZABD中，易求 AB=4+ 4= 2.CC/ A/A,AB AA所成的角即為 A* CC所成的角.在.1 112 33知cos / AAB= = - AB與CC所成的角的余弦值為-. 2X1X1 44AiBA中，由余弦定理可變式遷移2解如圖所示，分別取AD CDABBD的中點(diǎn)E、F、GH,連接EF FH HG GE GF由三角形的中位線定理知，EF/ AC且EF=*，GB BD,且GE= 呼.G%口

17、EF所成的銳角(或直角)就是AC BD所成的角.13同理，GH/ AD HF/ BCGH= 3, HF=又 ADL BC / GHF= 90 ,GU=GH+ hU=1. 在EFG, eG+E1=1 = GF, .Z GEF90 ,即AC和BD所成的角為90 .課后練習(xí)區(qū)DC 錯(cuò)，c可與a、b都相交；錯(cuò)，因?yàn)閍、c可能相交也可能平行；正確，例如過(guò)異面直線 a、b的公垂線段的中點(diǎn)且與公垂線垂直的平面即可滿足條件.B Aie,oEHG與IJ為一對(duì)異面直線，過(guò) D分別作HG與IJ的平將三角形折成三棱錐，如圖所示, 行線，因 GH DFIJ / AD所以/ ADF為所求，因此HG與IJ所成角為60 .C

18、 如圖所示，連接 AB,則AB/ C D故異面直線 BE與CD所成的角即為 BE與AB所成的角.設(shè) AB= a,則 AE= a, A B= 5a,BE= 2a. ABE中，由余弦定理得cos / A BE=BU+AE2 A1E22BE- AiB2a2 + 5a2-a2 _310-2x A/2ax5a- 10 .5. C 設(shè)AC中點(diǎn)為Q則OB SC連接BO則/ BEO或其補(bǔ)角）即為異面直線 BE和 SC所成的角，_ 1-2-16EO= SC=玄，BO= BD=萬(wàn)，在 SAB43, cosA百+AEB=.2 AB AE BE= 2.在 BEOKcos / BEOB= eO BO 1=一2BE- E

19、O2 ./ BEO= 606.AABL EF, AB/ CM解析 把正方體的平面展開圖還原成原來(lái)的正方體，如圖所示，易知 EF與MN#面，MNLCD故正確.7. 90解析 延長(zhǎng)AB至D,使AiBi=BiD,則AB/ BD/MBtM是直線AB和BM所成的角.設(shè)三棱柱的各條棱長(zhǎng)為2,則BM=鄧,BD= 2班,C C2=Ai D2+Ai C2-2A D- Ai C cos 60 =1 6 + 4 2X4= 1 2.dM= CC2+CM=1 3,bM+bDdM.-cosZ DBIW- = 0, ./ DBIW90 .2 BM- BD解析如圖，取PB中點(diǎn)N,連接CN MN / CMN； PA與。麗成白角

20、（或補(bǔ)角），設(shè)PA= 2,則CM=布,MN= 1, CN=木.MN+ CM CN 3 C0S/CMN=2MN CM = 69.證明 （1）如圖所示，連接 CD, EF, AB,E、F分別是AB和AA的中點(diǎn)，_1 _ .EF/ AB,且 EF= AB, （2 分）又 AD 觸 BC，四邊形ABCD是平行四邊形，.AB/ CD, . EF/ CD,EF與CD確定一個(gè)平面 色 ,E, F, C, DC”，即E, C, D, F四點(diǎn)共面.（6分）, 一 ，11（2）由（1）知 EF/ CD,且 EF= CD,四邊形CDFE是梯形，CE與DF必相交，設(shè)交點(diǎn)為 P, （8分）則PC C日平面ABCD且PC DF?平面AADD,.PC 平面 ABCD! PC 平面 AiADD（10 分）又平面 ABC。平面 AADD= AD.PC AD . CE DF, DA三線共點(diǎn).（12 分）10.解 如圖所示，連接 QR并延長(zhǎng)，分別與 CiBi, CD的延長(zhǎng)線交于E, F兩點(diǎn).連接EP交BB于M點(diǎn)，連接FP交DD