全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題詳解

1、2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，那么的大小關(guān)系是 （ C ）A. B. C. D.解答：，由顯然：2方程的整數(shù)解的組數(shù)為 （ B ）A3. B4. C5. D6.解答：由0、1、2、3、4、5、6的平分別是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+29=34故得共4組解。3已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E為BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE1，連接AE，與CD交于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)與線段DE交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為 （ D ）A B C D解答：如圖，做GHBE于H，易證RtABERtGHB，設(shè)GH=a，則HE=a，BH=2-a，由，

2、故BG=。4已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 （ B ）A. B0. C1. D.解答：考查以ab整體為自變量的函數(shù)的圖像為拋物線其對(duì)稱軸為由知又，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值0。5若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)的所有可能的值之和為 （ B ）A0. B. C. D.解答：方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故。滿足故=由得即=4 整理得 解得 .6由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求滿足.這樣的四位數(shù)共有 （ C ）A36個(gè). B40個(gè). C44個(gè). D48個(gè).解答：分為4類：1）由同一個(gè)數(shù)字組成 如1111 共4個(gè)數(shù)2）由兩個(gè)不同數(shù)字組成 如1221 1122 2112 2211 而從

3、4個(gè)數(shù)里面取2個(gè)共六種取法故此類 可構(gòu)成46=24個(gè)數(shù)3）由三個(gè)不同數(shù)字組成 如1232 3212 2123 2321 此類只有兩種組合即1+3=2+2和2+4=3+3故可構(gòu)成24=8個(gè)數(shù)4）由四個(gè)不同數(shù)字組成 如1243 1342 4213 4312 2134 2431 3124 3421共8個(gè)綜上所有的數(shù)共4+24+8+8=44個(gè)二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則解答：由得， 整理得即同理得：若，則為二次方程的解這與互不相等矛盾，不滿足題意，故即2使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個(gè)數(shù)為 1 解答：=，由題知為完全平方數(shù)，故設(shè)1）若得2）不合題意。綜上符合題意的只

4、有一個(gè)。3在ABC中，已知ABAC，A40，P為AB上一點(diǎn)，ACP20，則解答：如上圖，作ADBC于點(diǎn)D，交CP于點(diǎn)F，在AD上找點(diǎn)D，使ECD30，如上圖，12=BAC=20，3=204=70-20-30=20AF=FC,APFCEF.在RtDEC中，故4已知實(shí)數(shù)滿足，則解答：同理：故化簡(jiǎn)得：解得：由得：第二試 （A）一、（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，周長(zhǎng)為30，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以. 根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)

5、且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜邊長(zhǎng)，三角形的外接圓的面積為. 二（本題滿分25分）如圖，PA為O的切線，PBC為O的割線，ADOP于點(diǎn)D.證明：.證明：連接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 又由切割線定理可得，D、B、C、O四點(diǎn)共圓，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD，. 三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，PA是ABC的外接圓的切線.設(shè)M，若AM/BC，求拋物線的解析式.解 易求得點(diǎn)P，點(diǎn)C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，則點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為.顯然，是一元

6、二次方程的兩根，所以，又AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以AE.因?yàn)镻A為D的切線，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 又因?yàn)锳M/BC，所以，即. 把代入解得（另一解舍去）.因此，拋物線的解析式為. 第二試 （B）一（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，周長(zhǎng)為60，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以. 根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡(jiǎn)得，所以， 因?yàn)榫鶠檎麛?shù)且，所以只可能是或解得或 當(dāng)

7、時(shí)，三角形的外接圓的面積為；當(dāng)時(shí)，三角形的外接圓的面積為. 二（本題滿分25分）如圖，PA為O的切線，PBC為O的割線，ADOP于點(diǎn)D，ADC的外接圓與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：BAEACB. 證明：連接OA，OB，OC，BD.OAAP，ADOP，由射影定理可得，.又由切割線定理可得，D、B、C、O四點(diǎn)共圓，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD， ，. 又BDABDP90ODC90ADC，BDAADC， BADACD，AB是ADC的外接圓的切線，BAEACB.三（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，PA是ABC的外接圓的切線.將拋物線向左平移個(gè)單位，得到的新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)Q，且QBOOBC.求拋物線的解析式.解 拋物線的方程即，所以點(diǎn)P，點(diǎn)C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，則點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，又AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以AE. 因?yàn)镻A為D的切線，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC