【學習課件】第二章質點動力學

1、 質點動力學研究的是質點運動與力的關系。本章學習的基本規(guī)律是牛頓定律以及由此推出的三個質點運動定理：動量定理、動能定理和角動量定理。重點學習這些基本規(guī)律的應用。第二章 質點動力學 三百年前，牛頓站在巨人的肩膀上，建立了動力學三大定律和萬有引力定律。若沒有后者，就不能充分顯示前者的光輝。海王星的發(fā)現，把牛頓力學推上榮耀的頂峰。 自然和自然規(guī)律隱藏在黑暗之中，上帝說“讓牛頓降生吧”，一切就有了光明；但是，光明并不久長，魔鬼又出現了，上帝咆哮說：“讓愛因斯坦降生吧”，就恢復到現在這個樣子。 魔鬼的烏云并沒有把牛頓力學推跨，她在更加堅實的基礎上確立了自己的使用范圍。宇宙時代，給牛頓力學帶來了又一個繁花

2、似錦的春天。2.1.1 慣性定律和慣性參考系 它定性地闡明了力的涵義，力是改變物體運動狀態(tài)的原因。 牛頓第一定律 指明了任何物體都具有保持其原有運動狀態(tài)不變的特性慣性，因此又稱第一定律為慣性定律。實際上第一定律所描述的是力處于平衡時物體的運動規(guī)律。2.1 牛頓運動定律牛頓第一定律： 一個質點，如果沒有受到其他物體的作用，就將保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài)。 或者說 一個自由粒子永遠靜止或作勻速直線運動。甲是慣性系，乙是非慣性系非慣性系：牛頓第一定律不成立的參考系滿足牛頓第一定律的參照系慣性系：甲看A:滿足第一定律乙看A:不滿足第一定律乙甲A 一個參考系是不是慣性系,只能由實驗確定。 天體運動的研

3、究指出：以太陽中心為原點,以指向某些恒星的直線為坐標軸,則所觀察到的天文現象都與 牛頓定律和萬有引力定律推出的結論相符合,因此,這樣的日心參考系是慣性系。 研究人造地球衛(wèi)星和遠程導彈的運動，地心參考系是近似程度相當好的慣性系。 在研究地球表面附近物體的運動時，地面系（或固定在地面上的物體）就是近似程度相當好的慣性系。 日心系ZXY地心系o地面系2.1.2 力的概念引力：存在于任何兩個物體間的吸引力。是長程力。電磁力：存在于靜止電荷間的電性力及存在于運動電荷間的電性力和磁性力，總稱為電磁力。也是長程力。 由于分子或原子都是由電荷組成的，它們之間的作用力屬于電磁力。強相互作用力：強相互作用力存在于

4、核子、介子、超子等粒子之間的一種相互作用力，作用范圍約在10-15米量級, 比庫侖力大約102 量級。弱相互作用力：粒子之間的另一種作用力，力程短、力弱，約為強相互作用的1013 量級.弱相互作用導致衰變。一般表述：物體受到外力作用時，所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質量成反比，其方向與合外力的方向相同。即 運動的變化與所加的動力成正比，并且發(fā)生在這力所沿直線的方向上。 牛頓自述：2.1.3 牛頓第二定律宏觀低速運動情況下，m不變1. 上式是一個瞬時關系式，即等式兩邊的各物理量 都是同一時刻的物理量。 是作用在質點上各力的矢量和。2. 3. 在一般情況下力 是一個變力 5、牛

5、頓第二定律只適用于質點的運動，適用于宏觀低速的慣性系。 4、質量是物體慣性的量度，稱為慣性質量。注意2.1.4 牛頓第三定律討論： 作用力與反作用力大小相等，方向相反，分別作用在兩個不同的物體上，而且屬于同一性質的力。 指出了力的起源：力是物體間的相互作用。力總是成對出現，同時產生，同時消失，沒有主從之分。（該性質只實用于接觸力和“超距力”。） 第三定律不涉及物體的運動，與參照系無關，無論在慣性系還是非慣性系中均成立。表述：當物體 給物體 一個作用力 時，物體 也必定同時給物體 一個反作用力 ；作用力與反作用力大小相等，方向相反，而且作用在同一條直線上。即2.2 力學中常見的力1、開普勒行星三

6、定律: （1）行星的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上。 （2）行星的矢徑在相等的時間內掃過相等的面積。 （3）行星公轉周期的平方與它們軌道半長徑的立方成正比。太陽行星即恒量（恒量值決定于中心天體的質量 ）2、萬有引力和重力萬有引力：存在于任何兩個物體之間的吸引力。即2.2 為地球上以地心為圓心的半徑為 r 的球的質量。地球內的物體 所受地球的引力為重力：地球表面附近的物體因地球吸引而受到的力，方向豎直向下。忽略地球自轉，則其中3、彈性力 物體受力形變時，有企圖恢復原狀的趨勢，這種抵抗外力而力圖恢復原狀的力稱為彈性力。常見三種表現形式：（1）壓力：兩個物體由于積壓彼此發(fā)生形變，產生對對方的彈

7、力，稱為壓力或支持力，其方向與接觸面垂直。 如圖所示，墻壁對細桿的壓力 和支持力 。例：如圖所示，試分析靜止圓球所受的力。 接觸是產生彈性力的必要條件，而不是充分條件。圓球和斜面雖有接觸但球與斜面之間無相互作用的彈力。（2）拉力：繩或線對物體的拉力f ，其方向總是沿著繩而指向繩要收縮的方向 ，如圖1所示。 繩被拉緊時， 繩的內部各段之間的相互作用力T稱為張力。如圖2 所示，繩中P點的張力T為A和B兩部分之間的相互作用力 。P圖1 圖2 在繩中任取一段 ，其質量為 ，如圖3所示，根據牛頓第二定律：圖3可見：重繩加速運動時，繩中各處的張力不等。忽略繩的質量時，各點的張力才會相等。（3）彈簧的彈力：

8、又稱彈性恢復力。在彈性限度內，遵守胡克定律：4、摩擦力滑動摩擦力：當物體間發(fā)生相對滑動時，在接觸面上出現的阻止物體間相對滑動的力。實驗表明：方向與相對滑動的方向相反。靜摩擦力：當兩個物體相對靜止但有相對滑動趨勢時，接觸面間產生的摩擦力。實驗表明，最大靜摩擦力為（1） 靜摩擦力在達到最大值之前，其大小始終與外力相等，而且隨外力的變化而變化。 （2）擦系數 取決于接觸面的材料和表面的粗糙程度。 一般情況下， 。在通常計算中，均可視為常數，并且近似相等。說明：以自行車前后輪為例，說明摩擦力的方向。v后輪FFvB前輪F2.3 牛頓第二定律的應用（1）已知運動求力：（2）已知力求運動：物體受力的幾種情況

9、：力是常數力是位置的函數力是時間的函數力是速度的函數彈性力策動力阻尼力如：1、動力學的兩大類問題2.3（1）隔離物體 將所研究的物體從周圍的物體中隔離出來，單獨畫出它的受力圖。（2）受力分析按重力、彈力、摩擦力的順序分析物體的受力情況，畫出受力圖。（3）選取坐標系 根據物體的運動情況，選取適當的坐標系。若不知軌道，取直角坐標系；若已知運動軌道，可取自然坐標系；若物體作有心運動，取極坐標系。2、解題步驟：（4）列方程，求解（對二維運動）直角坐標系：自然坐標系：極坐標系：例2-1：計算一小球在水中豎直沉降的速度 ，已知小球質量為m，水對小球的浮力為B，水對小球運動的阻力為 式中K是一常量。解 ：受

10、力分析如圖所示：x GBRa 分離變量得：根據牛頓第二定律，有積分得：初始條件：t=0 時 v=0（收尾速度）當例2-2：升降機內有一固定光滑斜面，傾角為，如圖所示。當升降機以勻加速 上升時，質量為m的物體A沿斜面滑下，求A對地面的加速度。A對地的加速度為YXmg解：設A相對于斜面的加速度為得：根據牛頓第二定律，有解：如圖所示由水面構成的曲面滿足：積分得：例2-3：一桶水繞豎直對稱軸轉動，角速度 恒定，轉動穩(wěn)定后，桶內水面為一凹面，試確定水面的形狀。因此有水面為一旋轉拋物面郭琴溪:郭琴溪:2.4.1 動量定理2.4 質點的動量定理大?。簃v 方向：速度的方向單位：kg m/s 量綱：MLT11

11、、動量 （描述質點運動狀態(tài)，矢量）方向：速度變化的方向單位：Ns 量綱：MLT12、沖量 （力的作用對時間的積累，矢量）（1） 常力的沖量2.4當力連續(xù)變化時（2） 變力的沖量的方向不同!注意：沖量的方向和瞬時力3、質點的動量定理根據牛頓第二定律：得，動量定理的微分式動量定理的積分式 上式表明，質點所受的合外力在一段時間內的沖量，等于這段時間內質點動量的增量。即 力對時間的積累作用導致物體動量的變化。因此，沖量的方向與動量增量的方向一致。如果力的方向不變，沖量的方向才與力的方向一致。顯然，當質點所受的合外力為零時，動量守恒，它意味著質點作勻速直線運動。動量定理的分量式： （對于二維運動）可見注

12、意：動量為狀態(tài)量，沖量為過程量。 2.4.2 動量定理的應用F 沖力的特點：作用時間極短，作用力極大而且變化很快，如圖所示。因此，動量定理主要解決打擊、碰撞一類問題 ，這里重點強調其矢量性。平均沖力： 根據動量定理，質點動量的改變主要是由碰撞過程中的沖量來決定。為了估計沖力的大小，引入平均沖力的概念。解題步驟：1）確定研究對象（質點）2）進行受力分析3）應用動量定理列方程：采用幾何法，利用（1）式求解；或采用解析法，利用（2）式求解。例2.4.1、質量為2.5g的乒乓球以10 m/s 的速率飛來，被板推擋后，又以 20 m/s 的速率飛出。設兩速度在垂直于板面的同一平面內，且它們與板面法線的夾

13、角分別為 45o 和30o，求：（1）乒乓球得到的沖量；（2）若撞擊時間為0.01s，求板施于球的平均沖力的大小和方向。45o 30o nv2v145o 30o nv2v1Oxy解：取擋板和球為研究對象，由于作用時間很短，忽略重力影響。設擋板對球的沖力為則有：取坐標系，將上式投影，有：為I與x方向的夾角。此題也可用矢量法解，作矢量圖用余弦定理和正弦定理，可得：mv2mv1mv1例2.4.2：煤與傳送帶的連續(xù)碰撞 如圖所示，煤由傳送帶A落到B，已知煤下落的高度為 ，兩傳送帶的速率均為 ，A帶水平，B帶與水平夾角 ， 單位時間內煤的輸送量為 。 求煤對B帶的作用力。 解：建立直角坐標系，采用矢量式

14、求解。 取極短時間 內落到B帶上的煤為 可視為質點，應用質點的動量定量。方法 一 ：對由平拋到碰撞整個過程應用動量定理 則有其中， 。忽略二階無窮小量，解得，煤受到得作用力為B帶受到的作用力為方法二：只對碰撞過程應用動量定理則有其中， 。忽略二階無窮小量，解得，煤受到得作用力為B帶受到的作用力為2.5 質點的動能定理和機械能守恒2.5.1 功和功率 力對空間的積累效果用力做的功來表示。功的單位：J 量綱：ML2T21、 功：作用于質點的力在質點位移方向上的分量與該位移大小的乘積。總功為2）變力沿曲線做功位移無限小時元功2.5.11）恒力沿直線做功（3）合力的功 合力對物體所做的功等于其中各個分

15、力分別 對該物體所做功的代數和。注意：1、功是過程量，一般來說，與路徑有關。 2、功是標量，但有正負。 3、合力的功為各分力的功的代數和。若物體同時受到 的作用，總功為：結論于是，有2、功率：單位時間內力所做的功。則有平面直角坐標系： 平面自然坐標系：（4）用不同坐標系計算功3、功的計算舉例（1）重力的功（恒力沿曲線做功） 如圖所示，質量為 的質點只在重力的作用下由 點到達 點。因為所以，重力做功為重力做功與路徑無關，只與始末位置有關。結果表明（2）彈力的功（變力沿直線做功） 如圖所示， 點為平衡位置，質點在彈力作用下由 處到達 處。根據胡克定律，彈力為彈力的功為彈力做功也與路徑無關，只與始末

16、位置有關。結果表明（3）萬有引力的功： （變力沿曲線做功） 如圖所示,設太陽的質量為 ，固定不動。行星質量為 ，繞太陽由 點轉到 點。行星受到的萬有引力為引力的元功為行星由 到 ，引力所做的總功為引力做功也與路徑無關，只與始末位置有關。結果表明（4）摩擦力的功： 如圖所示，質量為 的物體在粗糙的水平面上沿半徑為 圓周運行一周，摩擦系數為 。摩擦力為摩擦力的元功為總功為摩擦力做功與路徑有關。結果表明2.5.2 保守力、勢能1、保守力：若力所做的功與中間路徑無關，只與始末位置有關，或者說，力沿閉合路徑所做的功等于零。這種力稱為保守力。即重力、彈力、萬有引力為保守力。2.5.22、勢能 （又稱位能）

17、：由物體的位置狀態(tài)決定的能量。 用 和 分別表示始末位置的勢能，根據保守力做功的特點 ，則有上式表明，保守力所做的功等于質點相應的勢能的減少量。 做功與路徑有關的力稱為非保守力或耗散力。摩擦力為非保守力。 勢能是相對量，要確定某一位置的勢能，必須選取勢能為零的參考點。在理論上，零勢能點的選取是任意的。在實際應用中，一般取法為：重力勢能：取地面為零勢能面，則有（可正、可負）彈性勢能：取彈簧自然長處為零勢能點，則有（恒為正值）引力勢能：取無限遠處為零勢能點。則有（恒為負值）注 意1、只要有保守力，就可引入相應的勢能。2、計算勢能必須規(guī)定零勢能參考點。質點在某一點的勢能大小等于在相應的保守力的作用下

18、，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功。3、勢能僅有相對意義，所以必須指出零勢能參考點。兩點間的勢能差是絕對的，即勢能是質點間相對位置的單值函數。4、勢能是屬于具有保守力相互作用的質點系統(tǒng)的。小結2.5.3 動能定理和機械能守恒定律1、動能定理由牛頓第二定律，兩邊標乘 ，得則有（稱為動能定理的微分形式）兩邊積分得動能定理得積分形式 上式表明：作用于質點的合力所做的功等于質點的動能的增量。2.5.32、功能原理若質點所受的力為保守力和非保守力，則其中則有 質點在運動過程中，非保守力作的功等于其機械能的增量。稱為功能原理。定義機械能：即3、機械能守恒定律如果 ，則有此式表明，僅有保守力做功時質點

19、的機械能守恒。說明 勢能是由質點的位置決定的能，動能是由運動狀態(tài)決定的能，二者都是狀態(tài)量。力在做功的過程中，質點的狀態(tài)發(fā)生變化，所以功是一個過程量。質點的動能定理只適用于慣性參考系。 勢能、動能和功的單位相同均為 J （焦耳），量綱都是 。（常量）例 2.5.1 作用在質點上的力為在下列情況下求質點從處運動到處該力作的功：1. 質點的運動軌道為拋物線2. 質點的運動軌道為直線XYOXYO做功與路徑有關解：兩種情況下所做的功分別為例2.5.2 保守力作用下質點的圓周運動 如圖所示，質量為 小珠，穿在半徑為 的固定于豎直平 面內的光滑圓圈上，并可滑動。一條自然長為 ， 勁度系數為 的彈性輕繩一端固

20、定于 點，另一端系住小珠。今使小珠從 點以速率 開始運動，當運動到彈性繩為自然長時，求：（1）小珠的速率；（2）小珠與圓軌道間的相互作用力。 解： （1）小珠運動過程中僅有保守力做功，機械能守恒。取 點為零勢能點，則有其中解得小珠在 點的速率 （2）設軌道對小珠的作用力 方向如圖所示，根據牛頓第二定律，沿軌道法線方向有其中則在 點軌道對小珠的作用力為負號說明作用力 的方向沿半徑指向圓心。2.6 質點的角動量定理和角動量守恒2.6.1 質點對定點的角動量定理及守恒定律1、力矩：是反映力對物體轉動的作用效果。力矩定義為 受力質點相對于固定點O 的位置矢量 與力 的矢量積 。即力矩的大?。菏街?是固定點到力的作用線的垂直距離，稱為力臂。單位：量綱：2.6.1力矩的方向： 如圖所示，力矩的方向垂直于 和 決定的平面，且 、 和 服從右手螺旋法則。在直角坐標系中：則有三個分量為：2、角動量：描述質點轉動狀態(tài)的物理量 。角動量的方向 垂直與于 和 決定的平面，服從右手螺旋法則。角動量的大?。ㄓ址Q動量矩）量綱：L2MT-1如，質點做圓周運動。角動量定義為 質點相對于固定點 的位置矢量 與動量 的矢量積。即單位：3、角動量定理由牛頓第二定律知，用 叉乘等式的兩邊得此式表明：質點所受得合外力矩等于它的角動量對時間的變化率。注4、角動量守恒定律：若 ， 則 。 即 當質點所受