車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計02A課件

1、數(shù)學(xué)建模競賽題選講(2)第1頁，共36頁。車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計 （2002 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 A 題） 汽車頭部的車燈形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，其對稱軸水平地指向正前方，并已知其開口半徑為36毫米，深度為21.6毫米. 經(jīng)過車燈的焦點F，在與對稱軸相垂直的水平方向上，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源. 要求在某一設(shè)計規(guī)范標準下確定線光源的長度。該設(shè)計規(guī)范可簡單描述如下： 在焦點F正前方25米處的A點放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光. 在屏上過A 點引出第2頁，共36頁。一條與地面相平行的直線，在該直線A點的同側(cè)取B點和C點，使AC=2AB=2.6米. 要求C點的光強度不小

2、于某一額定值（可取為1個單位），B點的光強度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）. 我們需要解決的是： 滿足該設(shè)計規(guī)范的條件下，計算線光源長度，使線光源的功率最小 . 得到的線光源長度，在有標尺的坐標系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū) . 討論該設(shè)計規(guī)范的合理性 .第3頁，共36頁。1、線光源寬度與其長度相比小得多的發(fā)光體.2、光通量光源在單位時間內(nèi)輻射出的光能，用 c 國際規(guī)定的眼（對光適應(yīng)的眼）的靈 c 敏度來估定.3、發(fā)光效率光源每消耗1瓦特功率可輻射出的光c 通量，又叫光效.4、照 度單位面積所接受的光通量，單位為勒 c 克斯.一、幾個概念第4頁，共36頁。 首先解決本問題的一個難點：由

3、于問題討論的主要對象是線光源，而線光源處理起來不太容易，因此想到用微元法將線光源劃分為若干小段（微元），每一段可視為一個點光源. 這樣就將線光源的問題轉(zhuǎn)化為了點光源的疊加問題.二、問題分析 由于該線光源照射到測試屏上，有兩種途徑：直射和反射. 因此我們在考慮某點的光強時，必須同時考慮兩種情況 . 還需解決的幾個關(guān)鍵問題是如何度量光強，光強的額定值為多少，如何建立起功率與光強的關(guān)系 .第5頁，共36頁。三、模型假設(shè)1、光在反射時及整個傳播過程中，能量均無損耗;2、只計此線光源的長度，其體積忽略不計;3、此線光源均勻分布，各點同性; 且任意一點向整個空間各個方向均勻輻射能量; 4、光強額定值為1勒

4、克斯;5、不考慮光的干涉、衍射等現(xiàn)象;6、光強在某點疊加時，可直接取其代數(shù)和;7、只考慮一次反射 .第6頁，共36頁。四、符號說明 1、 C 焦距 （m ） 2、 p 線光源的功率 （W ） 3、 光通量 （lm 流明 ） 4、 發(fā)光效率 （lm/W ） 5、 E 照度 （lx(lm/m2) 勒克斯 （ lx=1 lm/m2） ） 6、E0 照度額定值 （ lx(lm/m2) ） 7、 k 發(fā)光功率線密度 （W/m ） 8、 L 線光源長度 （m ）第7頁，共36頁。五、模型的建立首先，建立如圖坐標系如下：第8頁，共36頁。于是, 推出此旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為 設(shè) (x0, y0, z0) 為此拋

5、物面上任意一點，求得過此點的切面方程為 結(jié)論: 在旋轉(zhuǎn)拋物面上，每個反射點的法線都與對稱 c 軸相交。 從上圖，可以看出此旋轉(zhuǎn)拋物面是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的。第9頁，共36頁。進而得法線方程為 聯(lián)立對稱軸方程得到交點坐標為（0，y0+c，0） 將開口半徑及深度等數(shù)據(jù)代入（1）式，得出焦距 c/2=15mm=0.015（m） 然后代入，推得該線光源的范圍為 0.03, 0.03m。 然后代入, y=0.015, 推得該線光源的范圍為 c 0.03, 0.03m .第10頁，共36頁。六、模型的求解 光源功率與照度的關(guān)系 可見，在點光源垂直照射的情況下，被照面上的照度跟光源的發(fā)光強度成正比，跟表面法

6、線與光線方向之間夾角的余弦成正比，與光源到被照面問的距離的平方成反比 .第一問：計算線光源長度說明：將對B點進行分析，對于C點，所用方法及運算c 過程完全類似 . 如果光源的發(fā)光強度為 I，光源與被照面的距離是R,光線方向與被照面法線的夾角為 . 那么，這個面上的照度就是第11頁，共36頁。由物理知識知，光通量與發(fā)光強度之間的關(guān)系式為：聯(lián)立得光源功率為 即可推出 對于功率線密度為k瓦米，發(fā)光效率為流明瓦的線光源，在距它 r 米的物體表面，照度為第12頁，共36頁。 用微元法將線光源轉(zhuǎn)化為點光源 對于線光源來說，利用微元法的思想，將其分為若干小段（l），每一段可視為一個點光源，各自獨立向四周輻射

7、光能 . 而在測試屏上的任意一受光點的照度等于各點光源在此處的照度代數(shù)和 . 這樣，就把對線光源的討論轉(zhuǎn)化成了對點光源的討論 .第13頁，共36頁。 求直射光的強度 線光源上任一點光源 D 直射到測試屏上 B 點處有且只有一條光線. 因為 D 發(fā)出的光是以球面波的形式向空間傳播的，設(shè)該點到 B 點的半徑為 r，則在 B 點處的波面面積為 據(jù) 式，可得任意一點光源直射到 B 點時該點的照度為：第14頁，共36頁。=25.034(米)于是得出此線光源的直射光在 B 點輻射出的總照度為：而此時線光源所消耗的功率 p=kL 可以看出此量與距離有關(guān)，也就是說，不同的點光源在 B 點所對應(yīng)的照度值不同.

8、但注意到所有的差別太小，因此在實際計算中，我們對作近似處理，令它為一個常數(shù)：第15頁，共36頁。D 線光源上任一點 N 對應(yīng)于D點的反射點 G 法線與中軸線的交點 求反射光的強度 為了便于分析，我們將圖一抽象出來，并旋轉(zhuǎn)一定角度后得右圖：第16頁，共36頁。 對于線光源上的任意一點D(設(shè)坐標為(t，0.015，0),假設(shè)從它發(fā)出的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面上的點N反射后，可以射到B點上. 下面利用向量來推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)拋物面上滿足此條件的所有反射點N的坐標 . 設(shè)反射點 N 的坐標為 (x，y，z)，由以上的證明可知，在旋轉(zhuǎn)拋物面上，每個反射點的法線都與對稱軸相交，且交點 G 的坐標為 (0，y+c，0). 又

9、已知點B的坐標為(-1.3，25.015，0)，點D 的坐標為(t，0.015，0). 經(jīng)分析可知，點N 必須滿足以下三個條件：第17頁，共36頁。1）NG是BND的角平分線，即： BNG= DNG故有 cos BNG =cos DNG第18頁，共36頁。3）點N在拋物面上，故應(yīng)滿足拋物面方程： 聯(lián)立方程、，即可求解出與線光源上一點D對應(yīng)的所有的反射點N .2）點G、B、N、D四點共面，故有從而有第19頁，共36頁。 但實際上我們并不關(guān)心 N 點的具體坐標值，而看重的是線光源上每一點能發(fā)出多少光線經(jīng)拋物面反射后照到 B 或 C 點. 由于光源發(fā)出的光能否反射受燈反射面幾何尺寸大小的限制，并且B

10、、C點的位置相對燈而言是處在斜前方，所以，N點的位置并不具有對稱性 . 對于線光源上不同的點，與其對應(yīng)的N點數(shù)目也不同. 但在線光源上位置十分相鄰的兩點，可認為它們對應(yīng)的N點數(shù)目相同. 即它們發(fā)出的光中有相同數(shù)目的光線經(jīng)拋物面反射后恰好照射到B點(或C點).第20頁，共36頁。 我們采用在小區(qū)域采集離散點的方法，使用Mathematic軟件，通過改變微小l,得到線光源上當前D點對應(yīng)的反射點（即N點）的數(shù)目. 以此作為此微小區(qū)域 l, l+ l 內(nèi)各點所對應(yīng)的N點數(shù)目 . 0.000 222-0.000 2000.000 422-0.000 4000.000 622-0.000 6000.000

11、 862-0.000 8000.001 052-0.001 0000.001 252-0.001 2000.001 452-0.001 4000.001 654-0.001 6000.001 856-0.001 8000.002 046-0.002 000t 的取值到B 的反射光的條數(shù)到C 的反射光的條數(shù)t 的取值到B 的反射光的條數(shù)到C 的反射光的條數(shù)第21頁，共36頁。t 的取值到B 的反射光的條數(shù)到C 的反射光的條數(shù) t 的取值到B 的反射光的條數(shù)到C 的反射光的條數(shù)0.002 246-0.002 2000.002 445-0.002 4000.002 645-0.002 6000.00

12、2 846-0.002 8000.003 046-0.003 0000.003 245-0.003 2000.003 445-0.003 4000.003 646-0.003 6000.003 845-0.003 8000.004 045-0.004 0000.004 245-0.004 2000.004 445-0.004 4000.004 645-0.004 6000.004 844-0.004 8000.005 044-0.005 000表中t為點光源x的坐標第22頁，共36頁。于是，可以得到 如果把整個線光源劃成個相等的微小區(qū)間，則由上述分析，第個微小區(qū)間的點發(fā)出的光線經(jīng)拋物面反射，如

13、果能恰好射到B點（或者C點），那么在B點的照度為第23頁，共36頁。 求光源長度的優(yōu)化解至此，已分別求得了E直、E反，于是可以得到通過條件，建立線光源長度的優(yōu)化模型：第24頁，共36頁。 代入照度額定值(1勒克斯)、高壓毛細汞燈和鹵素燈的參數(shù)，得到以下結(jié)果：材料發(fā)光效率（流明/瓦）功率線密度（瓦/毫米）B點照度（勒克斯）C點照度（勒克斯）線光源的長度（毫米）高壓毛細汞燈50302.012 11.367 742鹵素燈30202.126 71.512 279第一問的問題全部解決.第25頁，共36頁。 線光源反射光的亮區(qū)可以近似的看作線光源上一系列離散的點光源的反射光亮區(qū)的疊加. 通過如下方式產(chǎn)生線

14、光源反射光的亮區(qū)： 首先我們稱光能照射到的區(qū)域為亮區(qū). 以常用的高壓毛細汞燈為例（即深度= 4.2mm），來繪制出測試屏上反射光的亮區(qū).亮區(qū)圖的繪制步驟：第二問：反射光亮區(qū)的繪制第26頁，共36頁。1) 在線光源上等間距的選取一系列的點作為點光源;2) 在旋轉(zhuǎn)拋物面上產(chǎn)生均勻排列的網(wǎng)格作為反光點；3) 對于每一點光源，計算它到所有反光點的入射光 的方向向量及其法線方向向量；4) 通過入射光方向向量及其法線方向向量計算反射 光方向向量；5) 通過反射光方向向量及反射點的坐標求出反射光 的解析式，進而求出反射光在測試屏上的投影坐標， 并在此處描點. 其中，由入射光方向向量及其法線方向向量計算反射光

15、方向向量具體過程如下：第27頁，共36頁。 將入射光方向向量 X及其法線方向向量 Y 均轉(zhuǎn) c化為單位向量（如下圖所示）；任一點光源的向量反射光路圖 所以 Z 即為反射光的方向向量. 由幾何關(guān)系可知： 取入射光方向向量X 的反方向向量X；第28頁，共36頁。亮區(qū)圖 測試屏上反射光的亮區(qū)圖第29頁，共36頁。 第三問 設(shè)計規(guī)范合理性的討論 要解釋此設(shè)計規(guī)范的合理性，就需要解釋清楚只選擇A、B、C點(即25米、1.3米、2.6米這些距離上的點) 并要求這些受光點處的光強不小于某一額定值的原因這需要從幾個方面來闡述 . 從實際著眼，司機在夜晚行車，難免有一定的安全隱患，如前方突然出現(xiàn)一橫穿公路的行人

16、，或者前方有影響正常、安全行駛的障礙物等等. 要避免交通事故的發(fā)生，就需要在一定遠的距離外，司機能看到這些突發(fā)事件并及時作出反應(yīng)，采取措施 ( 如立即剎車等) .第30頁，共36頁。 而司機在遇到突發(fā)事件后總有一定的反應(yīng)時間，因此剎車總距離(也稱停車視距)為司機反應(yīng)時間距離，剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時間距離和剎車距離三者合一. 為了確保安全，就必須保證進入停車視距的突發(fā)事件被充分照亮(即該處所接受的光強不小于某一額定值).下面分兩種情況來計算停車視距 . 第31頁，共36頁。 情況一 正前方發(fā)生突發(fā)事件，司機或者立即剎車，或 者調(diào)整方向，繞道而行.司機反應(yīng)時間距離為 對這兩種救急措施，我們認為其停車視距的

17、計算可歸為一類，即計算上面定義的剎車總距離.資料顯示人的反應(yīng)時間一般為1s，普通公路上車速一般為60km/h，剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時間距離和剎車距離一般為8m.下面來計算停車視距.所以其停車視距為 16.7+8=24.7（m） 但由于剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時間距離和剎車距離隨路面附著系數(shù)不同而不同，所以此種情況下的停車視距一般在2430米之間波動. 因此可以看出保證25米處光強足夠大能在一定程度上確保安全性.第32頁，共36頁。情況二 相鄰車道發(fā)生突發(fā)事件，司機立即剎車. 同時從經(jīng)濟的角度講，不選取更長的距離作為規(guī)范，是因為在已經(jīng)保證安全性的前提下，避免造成浪費. 以上的討論從實際、安全、經(jīng)濟多角度出發(fā)，說明了

18、該設(shè)計規(guī)范是合理的 . 基于情況一，我們進一步深入. 通過查資料，我們了解到一般公路的車道寬度為 2.54 米，我們以 3 米為例，這時若有行人處于相鄰車道的中線，且與車垂直距離為 25 米，正欲橫穿本車道，我們來計算一下：假定行人行走速度為 1.5m/s，其余參數(shù)同上. 則易算出行人在快要到達本車道中線時，車也剛剛 駛到，自然會出現(xiàn)事故. 因此必須照亮相鄰車道的部分情況來 使司機提前采取應(yīng)急措施. 針對不同的車道寬度，可算出此值為2.54 米。這說明僅照亮正前方 25 米還不夠，必須同時保證左右偏大約 2.6 米的地方也被照亮 .第33頁，共36頁。 7.1 優(yōu)缺點評價 1、運用的數(shù)學(xué)工具簡單，模型清楚易懂，可讀性好，實用性強 . 2、運用近似計算的思想，將運算過程大大簡化，且對結(jié)果影響不大，增強了該模型的可運行性和可移植性 . 3、引進向量，使模型統(tǒng)一性好，巧妙地避開了運用初等幾何知識分析時需進行的大量復(fù)雜的討論 . 4、引入發(fā)光效率，照度等物理概念來準確描述功率與光強的關(guān)系，受光強度等量，而且通過查資料得到一般測試光強的額定值等重要參數(shù)，實際背景較強 . 5、但在距離求和的運算中，考慮到毫米與米在數(shù)量級上差4個單位，因此我們忽略了毫米的微小影