奧運(yùn)會獎牌榜預(yù)測問題

1、2016年中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模模擬競賽參賽基本信息專用頁承諾書我們仔細(xì)閱讀了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。參賽學(xué)生基本信息題目里約奧運(yùn)會獎牌榜預(yù)測評閱編號（由組委會統(tǒng)一填寫）姓名（打印）班級電

2、話本人簽名日期：年月日里約奧運(yùn)會獎牌榜預(yù)測摘要本文主要探討了奧運(yùn)會獎牌榜的預(yù)測問題，通過建立模型對2016年里約奧運(yùn)會獎牌榜進(jìn)行預(yù)測。本文主要通過建立比較時間序列模型、多遠(yuǎn)線性模型喝灰色預(yù)測模型，使用MATLAB和SPSS軟件對歷屆奧運(yùn)會獎牌榜進(jìn)行分析并最終得到最優(yōu)預(yù)測模型。在模型一的建立中，我們假設(shè)奧運(yùn)會獎牌榜之語往屆奧運(yùn)會獎牌榜有關(guān)，使用時間序列法來進(jìn)行預(yù)測，通過對數(shù)據(jù)擬合建立回歸模型。由于模型一得預(yù)測結(jié)果與實(shí)際獎牌榜出入較大，在模型二的建立中，我們綜合考慮了國家GDP、人口數(shù)量、經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、人口結(jié)構(gòu)和東道主效應(yīng)等因素建立多元回歸模型。關(guān)鍵詞：一、問題的重述奧運(yùn)會是競技體育頂級盛會，其所

3、獲獎牌數(shù)及國家排名在一定程度上是衡量一個國家體育水平的尺度，也是一個國家的經(jīng)濟(jì)、政治和綜合實(shí)力的具體體現(xiàn)之一。2016年8月6日早上7:00在巴西的里約熱內(nèi)盧隆重開幕（以下簡稱里約奧運(yùn)會），對于正在舉行的里約奧運(yùn)會，大家普遍關(guān)心的問題就是獎牌榜的排名，奧運(yùn)會獎牌榜成了大家關(guān)心的熱點(diǎn)問題?，F(xiàn)請查閱資料，并根據(jù)以往各國獎牌榜排名情況，以及各國經(jīng)濟(jì)發(fā)展、人口體質(zhì)、政府政策等各種能影響到獎牌榜的因素，建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測2016里約奧運(yùn)會的獎牌榜前十名。并據(jù)此對各國體育水平進(jìn)行分類。二、問題的分析三、模型假設(shè)俄羅斯隊(duì)因?yàn)榻愒蚪Y(jié)果取預(yù)測值的2/3世界銀行和奧委會提供的資料真實(shí)可靠今年奧運(yùn)會共頒發(fā)302

4、塊金牌，960塊獎牌四、符號說明i國家編號t奧運(yùn)會屆數(shù)M每個國家的金牌總數(shù)y每個國家獎牌總數(shù)POP國家的人口總數(shù)GDP國民生產(chǎn)總值Host奧運(yùn)會主辦國Sys社會制度Gen青少年在總?cè)丝诳偹急壤?、建立模型及求?.1、模型一得建立與求解5.1.1、模型一的建立：最簡單的增長模型就是馬爾薩斯的指數(shù)增長模型，設(shè)某年的獎牌數(shù)為M(),n年后的獎牌數(shù)為M()，屆增長率為常數(shù)k，則有：M(n)二M()(1+k)n(1)雖然該模型可以較好的預(yù)當(dāng)參賽國家較少時的奧運(yùn)獎牌榜，但在實(shí)際中增長率k并不是常數(shù)且由于各種原因增長率差別較大，所以此模型無法有效的預(yù)測本屆奧運(yùn)會獎牌榜。時間序列模型是描述時間序列統(tǒng)一性的

5、一種常用方法，在預(yù)測未來事件時，通過該事件的歷史數(shù)據(jù)揭示事假未來的發(fā)展規(guī)律，從而對該事件的未來做出預(yù)測。時間序列模型強(qiáng)調(diào)時間因素在預(yù)測中的主體作用，暫不考慮外界因素的影響。所以在模型的建立中我們假設(shè)奧運(yùn)會獎牌榜只與歷屆奧運(yùn)會成績相關(guān)，暫不考慮其他因素的影響。因?yàn)槊恳粚脢W運(yùn)會比賽項(xiàng)目都在發(fā)生變化，獎牌總數(shù)也隨之變化，為了使任意兩屆奧運(yùn)會獎牌數(shù)目具有可比性，本文采取獎牌數(shù)目的相對值來進(jìn)行計(jì)算，從而消除獎牌數(shù)目變化帶來影響，即使用Ms=M一來計(jì)算。iYMii=1,2,3在模型的建立當(dāng)中，我們使用線性回歸模型來預(yù)測2016年奧運(yùn)會獎牌榜。奧運(yùn)獎牌總數(shù)和時間之間的一元線性回歸模型為：y=a+at+u(2

6、)1其中t為時間，a、a為待定參數(shù)，u為隨機(jī)變量，用MATLAB擬合后得到總獎牌數(shù)目擬1合曲線。5.1.2、模型一的求解以德國為例進(jìn)行2016年奧運(yùn)會獎牌榜排名：表一：1992-2012年德國奧運(yùn)會獎牌數(shù)年份金牌數(shù)金牌占比獎牌總數(shù)獎牌總數(shù)占比19884819.92%14217.91%19923312.69%821.6%199627.94%658.82%2000134.36%566.7%2004144.64%485.16%2008165.3%414.28%2012113.64%444.57%由于1988年德國分為聯(lián)邦德國和民主德國進(jìn)行參賽，數(shù)據(jù)不具有參考價值，擬合時不予考慮。德國歷屆奧運(yùn)會獎牌總

7、數(shù)擬合結(jié)果：圖一：德國歷屆獎牌總數(shù)線性回歸擬合曲線回歸系數(shù)回歸系數(shù)值估計(jì)a00.394a1-0.012R2=0.877F=28.649p=0.006屆數(shù)總獎牌占比011111124252627282930312186Jo-0-0ooO04a20a表二：獎牌總數(shù)線性回歸結(jié)果：德國獎牌總數(shù)線性回歸結(jié)果為：y=0.0121+0.394使用SPSS軟件預(yù)測德國隊(duì)在今年奧運(yùn)會中拿到的總獎牌占比為0.0649。使用同樣方法對其他國家進(jìn)行線性擬合結(jié)果如表三所示：、表三：各國獎牌總數(shù)占比擬合結(jié)果：國家擬合方程美國y=0.003t+0.232中國y=0.108t0.407俄羅斯y=0.0161+0.550英國y

8、=0.0050.123澳大利亞y=0.002t0.032法國y=0.001t+3x10人（-6）日本y=0.003t0.052德國y=0.0121+0.394意大利y=0.001t+0.005韓國y=0.012t+0.394荷蘭y=0.00071+0.00108匈牙利y=0.003t+0.019通過對各個國家歷屆獎牌數(shù)目占比進(jìn)行線性擬合，我們得到了每個國家金牌占比M和總獎牌占比y與奧運(yùn)會舉辦屆數(shù)t的線性關(guān)系，榜排名。表四：第31屆奧運(yùn)會獎牌榜預(yù)測并由此得到第26界奧運(yùn)會的獎牌國家獎牌總數(shù)獎牌總數(shù)排名金牌數(shù)金牌數(shù)排名美國991421中國972312英國503124澳大利亞464115俄羅斯425

9、183法國376117日本377711德國378106意大利349108韓國25101095.2、模型二的建立與求解5.2.1、模型二的建立：由于在模型一中僅考慮時間因素，線性擬合結(jié)果不理想。考慮到是否為東道主對比賽結(jié)果特別是金牌數(shù)量，具有顯著影響，因此在模型二中，采用了灰色GM(1,1)模型與東道主因素相互結(jié)合的方法進(jìn)行預(yù)測，假設(shè)獎牌榜上各成員成績只與是否為東道主和在往屆的表現(xiàn)有關(guān)?？陀^世界中既有大量已知信息又有大量未知信息，相互交織。如果將已知信息稱為白色信息，未知或非確知信息稱為黑色信息，既含有已知信息又含有未知或非確知信息的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)。這些系統(tǒng)僅具有以時間為序列的數(shù)據(jù)，因此在研究

10、時可將時間序列轉(zhuǎn)化為微分方程，建立抽象系統(tǒng)發(fā)展變化的動態(tài)模型，這就是灰色DM或GM模型。在模型二中，為排除東道主所產(chǎn)生的顯著影響，首先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，將東道主當(dāng)年獎牌與金牌占有量修正為上下兩屆的平均數(shù)。同時考慮到各國的體育水平更多地由金牌(或獎牌)占有量體現(xiàn)，而不是由純粹的數(shù)量決定，因此為了使任意兩屆奧運(yùn)會獎牌數(shù)目具有可比性，本文采取獎牌數(shù)目的相對值來進(jìn)行計(jì)算，從而消除獎牌數(shù)目變化帶6)7)i=1i=1i=1來影響，即使用Ms=理一來計(jì)算。特別的，為簡化運(yùn)算假設(shè)本屆將有金牌量為302i工Mii=l,2,3個，獎牌量為960個，因此M二302DMs，y二960QMs。iiiiGM(n,h)

11、模型是指n序列h階線性動態(tài)模型，在模型二中我們采取單序列一階線性動態(tài)模型，即GM(1,1)模型。假設(shè)按照時間排列的處理后的金牌榜數(shù)據(jù)為M(o)=M(o)(k)1k二1,2,3利用累加生成法得到新數(shù)列M，其中：3)M(k)=丈M(o)(i)i=1生成的數(shù)列M(i)(k)為一階一個參數(shù)的灰色微分方程，記為GM(1,1)，即dMdt+aM=u4)其中a，u為待定常數(shù)，t為時間變量。該微分方程的解為:MM(k+1)=M(1)_-aueak+a5)該式的參數(shù)列為M=(a,u)t用最小二乘法求出a=(BtB)-1BtHN由灰色GM(1，1)模型，有B=MM(1)(2)+M(1)(3)M(1)(n)H=1N

12、M(0)(2),M(0)(3)M(0)(n)T根據(jù)線性代數(shù)的相關(guān)知識可以求解、化簡得到：m=(n-1)藝(b)2-(藝b)2iii=1i=1a=(n一1)藝b匚h藝b藝h一miiii8)(b)2藝hiii=1由微分方程的解的表達(dá)式可求得M(k+1)因此第n項(xiàng)的估測值為:M(o)(k+1)=M(i)(k+1)-M(i)(k)(9)通過以上計(jì)算得到的擬合值、預(yù)測值，與給定數(shù)列存在一定誤差，稱為殘差。構(gòu)造殘差數(shù)列E(0)(k)=M(0)(k)-MM(0)(k)(10)殘差數(shù)列可以揭示數(shù)據(jù)擬合值與實(shí)際值的差額，也可利用此序列再次應(yīng)用GM(1,1)模型進(jìn)行同樣的計(jì)算，得到預(yù)測值的修正值。將金牌榜獎牌榜數(shù)

13、據(jù)代入，可得到預(yù)測的金牌榜獎牌榜數(shù)據(jù)及排名。獎牌預(yù)測同理。5.2.2、模型二的求解以韓國的金牌數(shù)預(yù)測為例，對模型二進(jìn)行求解。首先，對韓國歷屆獲得金牌數(shù)量排除東道主因素的影響，并利用韓國每一屆的金牌占比得到經(jīng)過修正的金牌數(shù)，如下表所示：表五韓國歷屆奧運(yùn)會金牌獲得情況年份金牌數(shù)金牌占比修正金牌數(shù)1988120.04979253113.938461992120.04615384613.93846199670.0277777788.388889200080.0268456388.107383200490.02980132592008130.043046358132012130.04304635813利

14、用式(3)得到待處理數(shù)據(jù)：數(shù)列M(0)(k)、M(1)(k)，如下表所示表六灰色模型待處理數(shù)據(jù)年份1988199219962000200420082012序號k1234567M(0)(k)13.9384613.938468.3888898.10738391313M(1)(k)13.9384627.8769236.2658144.3731953.3731966.3731979.37319為求出a、u由MM(i)(n)H=M（o）（2）,M（o）（3）M（o）（n）TN兩個式子可計(jì)算出矩陣B、H中各元素，即h（i）與b（i）的值，具體數(shù)值如下表所示表七灰色模型計(jì)算過程量123456Sumh(i)1

15、3.948.398.119.0013.0013.0065.43b(i)-20.91-32.07-40.32-48.87-59.87-72.87-274.92b2(i)437.131028.571625.662388.593584.805310.5014375.26b(i)Di(i)-291.42-269.04-326.89-439.86-778.35-947.35-3052.91由上表數(shù)據(jù)，以及式（6）、（7）、（8）可以求出a、u的值，由式（5）可知所構(gòu)造的一階微分方程的解為M（k+1）=M（1）（1）e-ak+_aa將k依次代入,得到韓國各屆奧運(yùn)金牌的預(yù)測值，并根據(jù)式（10）求出殘差。所求

16、數(shù)據(jù)如下表所示：表八韓國各屆奧運(yùn)金牌預(yù)測值及殘差年份19881992199620002004200820122016序號k12345678衍(0)(k)13.9410.0810.3910.7211.0511.4011.7612.12M(1)(k)13.9424.0234.4145.1356.1867.5879.3491.46殘差E（k）0.00-3.862.012.612.05-1.60-1.24擬合值與原值曲線如下圖二韓國各屆奧運(yùn)金牌數(shù)與預(yù)測金牌數(shù)曲線國家金牌金牌名次獎牌獎牌名次中國4611011美國402982英國283593澳大利亞124445韓國1252710日本126406俄羅斯11

17、7444德國108377法國99358意大利9102995.3、模型三的建立與求解：5.2.1、模型三的建立：在實(shí)際問題中，不同國家性質(zhì)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平都極大的影響奧運(yùn)會獎牌榜排名，在模型二的建立中我們引入一國國民經(jīng)濟(jì)總收入（GDP）、人口總數(shù)（POP）、青少年在總?cè)丝谥兴急壤℅en）主辦國（Host）和政治體系（Sys）等因素進(jìn)行綜合分析預(yù)測?；跉v屆奧運(yùn)會獎牌榜，以各個國家獎牌榜占比作為因變量，各影響因素作為自變量，其中國家體制和東道主效應(yīng)是虛擬變量，建立線性模型如下：M二B+PGDP+PPOP+PGen+pHost+pSys+（3）01S2S345其中GDP、POP、Gen均取奧運(yùn)會舉

18、辦前一年的數(shù)據(jù)，奧運(yùn)會東道主國家取1,非東道主國家取0；社會主義國家取1，非社會主義國家取0。5.2.2、模型三的求解：5.2.2.1、變量的統(tǒng)計(jì)描述和標(biāo)準(zhǔn)化：由于世界發(fā)展的不斷變化，影響奧運(yùn)會獎牌榜的各個因素在不同的時期差異頗大，為使各個因素在不同時期具有可比性，首先對影響奧運(yùn)會各個參賽國獎牌榜排名的的因素進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，計(jì)算了每個國家各個指標(biāo)的份額，即X(j)=,X表示影響變量，工X(j)j表示每一項(xiàng)指標(biāo)。5.2.2.1、模型三的求解：以美國為例求解模型三：表五：1988-2015年每屆奧運(yùn)會美國各項(xiàng)指標(biāo)年份屆數(shù)金牌占比獎牌占比GDP占比人口占比青年占比GDP增長率i-、東道主19882414.94%12.72%37.82%4.65%21.6