n維歐氏空間中的點(diǎn)集

1、第1節(jié) n維歐氏空間Rn中的點(diǎn)集的初步知識n維歐氏空間n維歐氏空間中點(diǎn)列的極限與完備性n維歐氏空間的各類點(diǎn)集：開集、閉集、區(qū)域本節(jié)將研究一種特殊的集合n維歐氏空間中的點(diǎn)集。向量空間往往成為數(shù)學(xué)研究的載體和對象。分析學(xué)科所關(guān)心的空間的結(jié)構(gòu)包括度量、范數(shù)、開集、閉集等。本節(jié)的主要內(nèi)容為n維歐氏空間中的各類點(diǎn)集，這將為我們研究新的積分奠定基礎(chǔ)。1. n維Euclid歐氏空間See P.2定義距離 定義(鄰域)：向量空間Rn中所有和定點(diǎn)a的距離小于定數(shù)d的點(diǎn)的全體,即集合稱為點(diǎn)a的d鄰域,記作顯然，在R1, R2, R3 , U(a,d)分別是以a為中心以d為半徑的開區(qū)間、開圓和開球.鄰域具有如下的基

2、本性質(zhì)：(1)(2) 對于P的兩個鄰域存在鄰域(3) 對于存在Q的鄰域(4) 對于存在P和Q的鄰域使得2. Rn中點(diǎn)列的極限點(diǎn)列的極限(I) e-N式定義：(II) 鄰域式定義：See P.2,定義1.1 定理1.1 n維歐氏空間點(diǎn)列的收斂是按坐標(biāo)收斂.See P.3定理1.1例子性質(zhì)：1. 點(diǎn)列的極限是唯一的；3. 點(diǎn)列的收斂滿足線性性；See P.3定理1.2收斂點(diǎn)列必為有界點(diǎn)集6. n維歐氏空間中的收斂點(diǎn)列等價于Rn中Cauchy點(diǎn)列See P.3 定理1.4See P.3 定理1.3,5.n維歐氏空間的有界點(diǎn)列必有收斂的子（點(diǎn)）列.Bolzano-Weierstrass定理定義 如果對

3、n維歐氏空間中的點(diǎn)列點(diǎn)集的直徑：一個非空點(diǎn)集A的直徑定義為有界點(diǎn)集：一個非空點(diǎn)集A稱為有界集合，若直徑及有界點(diǎn)集點(diǎn)集的距離兩個非空點(diǎn)集A, B的距離定義為注：若A=P*，即A為單點(diǎn)集，則可記歐氏空間中點(diǎn)集的一些基本概念區(qū)間若將其中的不等式全部換成則上述點(diǎn)集分別稱為閉區(qū)間、左開右閉區(qū)間、左閉右開區(qū)間，統(tǒng)稱為區(qū)間，記作I。稱為I的第i個邊長；稱為I的體積，記作|I|.定義：中的點(diǎn)集稱為一個開區(qū)間；3. 歐氏空間中的各類點(diǎn)集考慮向量空間Rn中的點(diǎn)與給定點(diǎn)集之間的關(guān)系。設(shè)A為Rn中的一個點(diǎn)集，a為Rn中的點(diǎn)，則a和A的關(guān)系具有如下幾種：(1) a附近全是A的點(diǎn)，即存在a的某鄰域此時,稱a為A的內(nèi)點(diǎn)；(

4、2) a附近全不是A的點(diǎn)，即存在a的某鄰域此時稱a為A的外點(diǎn)；(3) a附近既有A的點(diǎn)，又有不屬于A的點(diǎn)，即對a的任意鄰域U(a),此時稱a為A的邊界點(diǎn)，簡稱界點(diǎn)；(4) a附近有A的無窮多個點(diǎn)，即對a的任意鄰域U(a),為無限集合，此時稱a為A的聚點(diǎn)；(5) a附近除a外沒有A的點(diǎn)，即存在a的鄰域U(a),此時稱a為A的孤立點(diǎn)。點(diǎn)與點(diǎn)集間的關(guān)系顯然，空間中任意的點(diǎn)a是且只能是上述(1)(2)(3)中的一個，或者是且只能是上述(2)(4)(5)中的一個，即(1) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，外點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)；(2) 聚點(diǎn)可以是內(nèi)點(diǎn)，也可以是界點(diǎn)，但不能是外點(diǎn)；(3) 孤立點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)或外點(diǎn)，一定是

5、界點(diǎn)；(4) A中的點(diǎn)要么是聚點(diǎn)，要么是孤立點(diǎn)；(5) 界點(diǎn)要么是聚點(diǎn)，要么是孤立點(diǎn)。聚點(diǎn)關(guān)于聚點(diǎn)，下面三條是等價的：a是A的聚點(diǎn)；a的任意鄰域內(nèi)，至少含有一個屬于A而異于a點(diǎn)；存在A中互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列See P.4定義1.2內(nèi)部、邊界、外部、導(dǎo)集、閉包定義：(1) A的全體內(nèi)點(diǎn)所成的集合，稱為A的內(nèi)部，記作(3) A的全體外點(diǎn)所成的集合，稱為A的外部，記作(2) A的全體邊界點(diǎn)所成的集合，稱為A的邊界，記作(5) A與A的導(dǎo)集的并集，稱為A的閉包，記作閉包是一個非常重要的概念，我們有如下結(jié)論：這樣可知：See P.4定義1.2See P.6例1.1-1.2(4) A的全體聚點(diǎn)所成的集合，稱

6、為A的導(dǎo)集，記作開集和閉集定義：若集合A的每一點(diǎn)都是A的內(nèi)點(diǎn)，則稱A為開集； 若集合A的每一個聚點(diǎn)都屬于A，則稱A為閉集.開集和閉集是最重要的兩類點(diǎn)集，它們具有以下的性質(zhì)：(1) 對任意的點(diǎn)集A，(2) 點(diǎn)集A是開集當(dāng)且僅當(dāng)A是閉集當(dāng)且僅當(dāng)(3)See P.6定義1.5(4) 若A為開集，則A的余集為閉集，若A為閉集， 則A的余集為開集；(5) 任意多個開集的并集以及有限多個開集的交集仍為開集；任意多個閉集的交集以及有限多個閉集的并集仍為閉集；(6) 對于任意兩個互不相交的閉集，一定存在兩個互不相交的開集分別包含這兩個閉集。See P.7定理1.6See P.8定理1.7Rn中的有界集和緊集S

7、ee P.9定義1.6定義(連通集)開域、閉域、區(qū)域開域若非空開集 A 具有連通性, 即 A中任意兩 點(diǎn)之間都可用一條完全含于A的有限折線相連接, 則稱 A 為開域. 簡單地說, 開域就是非空連通開集. 閉域 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域. 區(qū)域 開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所成的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域. 不難證明: 閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域. See P.9定義1.7凸區(qū)域 若區(qū)域 D 上任意兩點(diǎn)的連線都含于 D, 則稱 D 為凸區(qū)域 (如圖). 這就是說, 若 D 為 一切 恒有凸 非凸 例1，在平面R2上開區(qū)域閉區(qū)域 整個平面 點(diǎn)集 是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉

8、域；但非區(qū)域 .o 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) MD 與某定點(diǎn) A 的距離 AM K ,則稱 D 為有界域 , 界域 .否則稱為無例2 以下兩種說法在一般情形下為什么是錯的? (i) 既然說開域是“非空連通開集”，那么閉域就是 “非空連通閉集”；(ii) 要判別一個點(diǎn)集是否是閉域, 只要看其去除 邊界后所得的是否為一開域, 即 答 (i) 例如取 這是一個非空連 通閉集. 但因它是第一和第三象限的集合 G 與其邊 界 (二坐標(biāo)軸) 的并集 (即), 而 G 不是 開域, 故 S 不是閉域 (不符合閉域的定義). (a) (b) (c) (ii) 如圖所示, 集為 (c) 中的點(diǎn)集為 易見 E 為一開域, 據(jù)定義 F 則為閉域；然而 (a)中的點(diǎn)集為 D; (b)中的點(diǎn)顯然不符合它為閉域的定義. 由此又可見到:復(fù) 習(xí) 思 考 題 1. 試問在 R 中的開集、閉集、開域、閉域、區(qū)域 等集合是實(shí)直線上怎樣一些