大學(xué)物理(許瑞珍-賈誼明) 第13章答案

1、第十三章振動(dòng)131一質(zhì)點(diǎn)按如下規(guī)律沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：x=0.1cos(8nt+2n/3)(SI),求此振動(dòng)的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。解：周期T=2n/w=0.25s振幅A=0.1m初相位0=2n/3V=wA=0.8nm/s(=2.5m/s)maya=w2A=6.4n2m/s(=63m/s2)may132一質(zhì)量為0.02kg的質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：x=0.60cos(5t-n/2)(SI)。求：(1)質(zhì)點(diǎn)的初速度；(2)質(zhì)點(diǎn)在正向最大位移一半處所受的力。解：(1)v=dx=-3.0sin(5t-n)(SI)dt2(2)x=3.0ma=-m32x0F=ma=-m32xx=

2、A/2時(shí),F=-0.2x52x0.3=-1.5N133如本題圖所示，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=24N/m，重物的質(zhì)量m=6kg，重物靜止在平衡位置上，設(shè)以一水平恒力F=10N向左作用于物體(不計(jì)摩擦)，使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m,此時(shí)撤去力F，當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),求物體的運(yùn)動(dòng)方程。習(xí)題133圖解：設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：x=Acos(wt+0)恒外力所做的功即為彈簧振子的能量：Fx0.05=0.5J當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到左方最位置時(shí)，彈簧的最大彈性勢(shì)能為0.5J，即：1/2kA=0.5J.A=0.204mA即振幅w2=k/m=4(rad/s)2w=2rad/s按題目所述時(shí)刻

3、計(jì)時(shí)，初相為0=n.物體運(yùn)動(dòng)方程為x=0.204cos(21+n)(SI)134一水平放置的彈簧系一小球。已知球經(jīng)平衡位置向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，v=100cms-1,周期T=1.0s，求再經(jīng)過(guò)1/3秒時(shí)間，小球的動(dòng)能是原來(lái)的多少倍？彈簧的質(zhì)量不計(jì)。解：設(shè)小球的速度方程為：v=vcos(2n/Tt+0)m以經(jīng)平衡位置的時(shí)刻為t=0根據(jù)題意t=o時(shí)v=v0=小球的動(dòng)能過(guò)1/3秒后，速度為100cms-1且v0.v=v0=0m0Ek0=1/2mv02v=v0cos(2n/T.1/3)=-VQ/2動(dòng)能E=1/2mv2=1/2m1/4v2k0.Ek/E0=1/4動(dòng)能是原來(lái)的1/4倍K0135設(shè)地球是一個(gè)半徑為R的

4、均勻球體，密度p=5.5x103kgmv。現(xiàn)假定沿直徑鑿一條隧道。若有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在此隧道內(nèi)做無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)。（1）證明此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）計(jì)算其周期。解：（1）取圖所示坐標(biāo)。當(dāng)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于x處時(shí)，它受地球的引力為mmF=_Gxx2式中G為引力常量，m是以x為半徑的球體質(zhì)量，即m=4叩x3/3。令xxk=4叩Gm/3，則質(zhì)點(diǎn)受力F=4兀pGmx/3=kx因此，質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（2）質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為T=2兀Jm/k=J3兀/Gp=5.07x103s136在一塊平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0kg的重物?，F(xiàn)使平板沿豎直方向做上下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為0.50s，振幅為2.0 x10

5、m。求：（1）平板到最低點(diǎn)時(shí)，重物對(duì)平板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？（3）若振幅不變，則平板以多大的頻率振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？分析：按題意作示意圖，如圖所示。物體在平衡位置附近隨板作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其間受重力P和板支持力FN作用，F(xiàn)n是一個(gè)變力。按牛頓定律，有d2y1)F=mgF=m-由于物體是隨板一起作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因而有Ndt2d2ya=A2cos(t+p)dt2則式（1）可改寫為2)F=mg+mA2cos(t十申)N（1）根據(jù)板運(yùn)動(dòng)的位置，確定此刻振動(dòng)的相位t+申，由式（2）可求板與物體之間的作用力。（2）由式（2）可知支持力Fn的值與振幅A、角頻率和相

6、位t+申有關(guān)。在振動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t+申=兀時(shí)Fn最小。而重物恰好跳離平板的條件為Fn=0,因此由式（2）可分別求出重物跳離平板所需的頻率或振幅。解：（1）由分析可知，重物在最低點(diǎn)時(shí)，相位3t+9=0，物體受板的支持力為F=mg+mA2=mg+mA（2兀.7）2=12.96NN重物對(duì)木塊的作用力Fn與Fn大小相等，方向相反。（2）當(dāng)頻率不變時(shí)，設(shè)振幅變?yōu)锳。根據(jù)分析中所述，將Fn=0及3+9=兀代入分析中式（2），可得Amg/m32=gT2/4兀2=6.2x10-2m（3）當(dāng)振幅不變時(shí)，設(shè)頻率變?yōu)関。同樣將Fn=0及3t+9=兀代入分析中式（2）,可得,31v=mg/mA3.52Hz2兀2兀、13

7、7物體沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為0.06m,周期為2.0s,當(dāng)t=0時(shí)位移為0.03m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）t=0.5s時(shí)，物體的位移、速度和加速度；（2）物體從x=0.03m處向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，到平衡位置，至少需要多少時(shí)間？解：（1）由題意知A=0.06m、3=2兀/T=兀s-1由旋轉(zhuǎn)矢量圖可確定初相則90=-兀；3,振動(dòng)方程為兀x0.06cos（兀t一）3當(dāng)t=0.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度分別為兀兀x0.06cos（一）0.052mTOC o 1-5 h z23 HYPERLINK l bookmark56 vdx0.06兀sin（-）-0.094m/sdt23d2xa=牯

8、=一曲2COs（廠亍=-513m/S2（2）質(zhì)點(diǎn)從x=-0.03m運(yùn)動(dòng)到平衡位置的過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)矢量從圖中的位置M轉(zhuǎn)至位置N,矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度（即相位差）劉=5兀/6。該過(guò)程所需時(shí)間為At竺0.833s3138有一密度均勻的金屬T字形細(xì)尺，如本題圖所示，它由兩根金屬米尺組成。若它可繞通過(guò)點(diǎn)O的垂直紙面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求其微小振動(dòng)的周期。解：T字形尺的微小振動(dòng)是復(fù)擺振動(dòng)。T字形尺繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。由兩部分組成,其中尺OD對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=ml213尺AB對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，根據(jù)平行軸定理可得J=ml2+ml2=ml221212故有習(xí)題138圖圖中T字形尺的質(zhì)心C至點(diǎn)O的距離為lC由質(zhì)心定義可

9、得lC=0.75l。則T字形尺的振動(dòng)周期為T=2兀$Jo.，2mgl。=2兀J171/18g=1.95s139如本題圖所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其下掛有一質(zhì)量為m的空盤.現(xiàn)有一質(zhì)量為m2的物體從盤上方高為h處自由落到盤中，并和盤粘在一起振動(dòng).問(wèn)：（1）此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤作振動(dòng)的周期有何不同？（2）此時(shí)的振幅為多大？分析：原有空盤振動(dòng)系統(tǒng)由于下落物體的加入，振子質(zhì)量由m1變?yōu)閙1+m2，因此新系統(tǒng)的角頻率（或周期）要改變。由于A=：x2+（v,/o）2因此，確定初始速度v0和初始位移x00000是求解振幅A的關(guān)鍵。物體落到盤中，與盤作完全非彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律可確定盤與物體的共同初速度

10、v0，這也是該振動(dòng)系統(tǒng)的初始速度。在確定初始時(shí)刻的位移x0時(shí)，應(yīng)注意新振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置應(yīng)是盤和物體懸掛在彈簧上的平衡位置。因此，本題中初始位移x0，也就是空盤時(shí)的平衡位置相對(duì)新系統(tǒng)的平衡位置的位移。解：（1）空盤時(shí)和物體落入盤中后的振動(dòng)周期分別為T=2兀/=2兀JmfkT=2兀;3=2叭（m+m）;k可見(jiàn)TT，即振動(dòng)周期變大了。（2）如圖所示，取新系統(tǒng)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O。則根據(jù)分析中所述，初始位移為空盤時(shí)的平衡位置相對(duì)粘上物體后新系統(tǒng)平衡位置的位移，即習(xí)題139圖mgm+mmgx=l一l=1一一1芬g=-2012kkk式中l(wèi)1=m1gjk為空盤靜止時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，l=（m+m）g-k為物

11、體粘在盤上11212后，靜止時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量。由動(dòng)量守恒定律可得振動(dòng)系統(tǒng)的初始速度，即盤與物體相碰后的速度令w=x-g/1。=910n12m2V=m+m12式中v=2gh是物體由h高下落至盤時(shí)的速度。故系統(tǒng)振動(dòng)的振幅為A=；x2+(v2)2二2：1+2kh-00kY(m+m)g本題也可用機(jī)械能守恒定律求振幅A。1310質(zhì)量M的物體在光滑水平上作諧振動(dòng)，振幅是12cm，在距平衡位置6cm處速度是24cm/s,求(1)周期T；(2)當(dāng)速度是12cm/s時(shí)的位移。解：設(shè)振動(dòng)方程為x=Acoswt,則x=Awsint(1)在x=6cm,x=24cm/s狀態(tài)下有6=12cost,24=-12wsint,解

12、以上兩式得=4/“3,t=2n/=v3n/2=2.72s(2)設(shè)對(duì)應(yīng)于x=12cm/s的時(shí)刻為12，則由x=-Asint得12=-12X4/運(yùn)Xsin1,2解得上式得sin21=0.18752相應(yīng)的位移為x=Acos12=土A*1sin2w=108cm1311若在一豎直輕彈簧的下端懸掛一小球，彈簧被拉長(zhǎng)10=1.2cm而平衡，經(jīng)推動(dòng)后，該小球在豎直方向作振幅為A=2cm的振動(dòng)，試證明此振動(dòng)為諧振動(dòng)；若選小球在正最大位移處開(kāi)始計(jì)時(shí)，寫出此振動(dòng)的數(shù)值表達(dá)式。解：設(shè)小球的質(zhì)量為m,由彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=mg/10選平衡位置為原點(diǎn)，向下為正方向，小球在x處，根據(jù)牛頓定律得mgk(10+x)=md2x/d

13、t2將倔強(qiáng)系數(shù)k=mg/10代入整理后得d2x/dt2+gx/10=0此振動(dòng)為諧振動(dòng)解得x=Acos(Wt+申)A=2X10-2由題意：t=0時(shí)，xo=A,*o=0,.0=0Ax=2X10-2cos(9.1療t)(SI)1312臺(tái)擺鐘的等效擺長(zhǎng)l=0.995m，擺錘可上、下移動(dòng)以調(diào)節(jié)其周期，該鐘每天快1分27秒，假如將此擺當(dāng)作質(zhì)量集中在擺錘中心的一個(gè)單擺來(lái)考慮，則應(yīng)將擺錘向下移動(dòng)多少距離，才能使鐘走得準(zhǔn)確？:鐘擺周期的相對(duì)誤差A(yù)T/T=鐘的相對(duì)誤差t，等效單擺的周期設(shè)重力加速度g不變，則有令并考慮到則擺錘向下移動(dòng)的距離T=2n、TTg2dT/T=dl/lT=dT，At=d1，T/T=t/t，1

14、=2lAt/t=2.00mm擺錘應(yīng)向下移2.00mm,才能使鐘走得準(zhǔn)確。1313一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為：x=6.0 x10-2cos(nt/3-n/4)(SI)(1)當(dāng)x值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半？(2)質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到此位置所需最短時(shí)間為多少？解:勢(shì)能Wp=kx2/2，總能E=kA2/2由題意(2)周期kx2/2=kA2/4，x=4.24X10-2mT=2n/w=6s從平衡位置運(yùn)動(dòng)到x=AN2的最短時(shí)間為T/8A6/8=0.75s1314試證明：(1)在一個(gè)周期中，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)時(shí)間的平均值都等于kA2/4；(2)在一個(gè)周期中，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)位置的平均值

15、分別等于kA2/3和kA2/6。證：(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為E=丄kA2sin2t+9)k2E=丄kA2cos2(ot+9)p2則在一個(gè)周期中，動(dòng)能與勢(shì)能對(duì)時(shí)間的平均值分別為-1fT1E=J1kA2sin2(rot+9)dt=kA2/4kT02-1fT1E=J1kA2cos2(rot+9)dt=kA2/4pT02(2)因簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能E=kx2/2，則勢(shì)能在一個(gè)周期中對(duì)位置的平均值為p2AAkx2dx=-A2則動(dòng)能在一個(gè)周期中對(duì)位置的平均值為E=EE=kA2kA2=kA3KP2631315物體同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：乳廠0.04cos(2nt+n/2)(SI)；x2=0.03cos

16、(2nt+n)(SI)。求此物體的振動(dòng)方程。解：設(shè)合成運(yùn)動(dòng)(簡(jiǎn)諧振動(dòng))的振動(dòng)方程為：x=Acos(wt+0)(1)則A2=A12+A2+2AA2cos(02-01)，021=n1/2n代入(1)式，得A=耳42+32=5cm又TOC o 1-5 h zAsin屮+Asin屮宀屮=arctg112(2)Aco呦+Acog HYPERLINK l bookmark70 1122=arctg(4/3)u127u2.17radx=0.05cos(2nt+2.17)(SI)1316有兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為0.20m，合振動(dòng)的相位與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為n/6,第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.1

17、73m。求第二個(gè)振動(dòng)的振幅及兩振動(dòng)的相位差。解：采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解。如圖所示，取第一個(gè)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A1沿Ox軸，即令其初相為零；按題意，合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A與A1之間的夾角9=冗/6。根據(jù)矢量合成，可2A5A11317求5個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，合振動(dòng)方程:x=acos（t+竺）。4k=0解：采用矢量合成法，如圖所示，有冗x=2acos(3t+y)1318將頻率為348Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動(dòng)和一個(gè)待測(cè)頻率的音叉振動(dòng)合成，測(cè)得拍頻為3.0Hz。若在待測(cè)頻率音叉的一端上加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測(cè)頻率的固有頻率。分析：這是利用拍現(xiàn)象來(lái)測(cè)定振動(dòng)頻率的一種方法。在頻率V和拍頻數(shù)Av=V

18、-v|已211知的情況下，待測(cè)頻率V2可取兩個(gè)值，即V2八1AV。式中AV前正、負(fù)號(hào)的選取應(yīng)根據(jù)21待測(cè)音叉系統(tǒng)質(zhì)量改變時(shí)，拍頻數(shù)變化的情況來(lái)決定。解：根據(jù)分析可知，待測(cè)頻率的可能值為V=V土Av二（348土3）Hz211,T因振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率=云弋-，即質(zhì)量m增加時(shí)，頻率v減小。從題意知，當(dāng)待測(cè)音叉質(zhì)量增加時(shí)拍頻減少，即V-V|變小。因此，在滿足v與AV均變小的情況下，式1中只能取正號(hào)，故待測(cè)頻率V二V+Av二351Hz211319示波管的電子束受到兩個(gè)互相垂直的電場(chǎng)的作用。電子在兩個(gè)方向上的位移分別為x二Acost和y=Acos（wt+p）。求在p=0、甲二30。和甲二90。各種情況下，電子在熒光屏上的軌跡方程。解：這是兩個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成問(wèn)題。合振動(dòng)的軌跡方程為x2/A2+y2/A2一2xycosAp/AA=sin2Ap1212式中A、A2為兩振動(dòng)