二階常微分方程

1、11dx2+4dx+7y=0因為er2x=e工常數y2的特解y，故應是x2y1的某個函數，設y271=u,其中u=u(x)為待定函rx1=(dx+er1xruer1x1dx=dxru)er1x1dudx2)er1x第七節(jié)二階常系數線性微分方程的解法在上節(jié)我們已經討論了二階線性微分方程解的結構，二階線性微分方程的求解問題，關鍵在于如何求二階齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解。本節(jié)討論二階線性方程的一個特殊類型，即二階常系數線性微分方程及其求解方法。先討論二階常系數線性齊次方程的求解方法。7.1二階常系數線性齊次方程及其求解方法設給定一常系數二階線性齊次方程為d2ydydx2+pdx+qy=0(

2、7.1)其中p、q是常數，由上節(jié)定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意兩個線性無關的特解”就可以了，下面討論這樣兩個特解的求法。我們先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特d2y解，從方程的形式上來看，它的特點是dX2，dydx，y各乘以常數因子后相加等于零，如果能d2ydy找到一個函數y,其dx2，dx，y之間只相差一個常數因子，這樣的函數有可能是方程(7.1)的特解，在初等函數中，指數函數erx,符合上述要求，于是我們令y=erx(其中r為待定常數)來試解dyd2y將y=erx,dx=rerx，dx2=r2erx代入方程(7.1)得r2erxprerxqerx=0或erx(r2

3、prq)=0因為erxHO,故得r2prq=0由此可見，若r是二次方程r2prq=0(7.2)的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解問題，就轉化為求代數方程(7.2)的根問題。稱(7.2)式為微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一個以r為未知函數的一元二次代數方程。特征方程的兩個根r,r，稱為特12征根，由代數知識，特征根r,r有三種可能的情12況，下面我們分別進行討論。若特證方程(7.2)有兩個不相等的實根r,r，此時erix,er2x是方程(7.1)的兩個特解。12er1x所以er1x，er2x為線性無關函數，由解的結構定理知，方程(7.1)的通解

4、為y=Cer1xCer2x12若特征方程(7.2)有兩個相等的實根r=1r，此時p24q=0，即2_P有r=r2=2，這樣只能得到方程(7.1)的一個特解y=erix，因此，我們還要設法找出另iy2一個滿足y工常數，1數，即y2=uy1=ue求一階，二階導數得dudu2d2y.2dx2=(r2iu+2r1dx+d2u將它們代入方程(7.1)得dud2udu(r2iu+2ridx+dx2)er1x+p(dx+(y1+y2)=2eax(eipx+eipx)=earu)erix+quenx=O或d2uxcospx1du2i(yiy2)=2ieax(eipxeipx)=eaxsindx2+(2ri+p

5、)dx+(巴+pr+q)uerix=0因為emHO,且因ri是特征方程的根，故有rPp*+q=,又因r=2故有2ri+P=，于是上式成為d2udx2=0d2u顯然滿足dxi=0的函數很多，我們取其px11由上節(jié)定理一知，2(y1+y2)，2i(y1y)是方程(7.1)的兩個特解，也即eaxcos0 x,eaxsin2px是方程(7.1)的兩個特解：且它們線性無關，由上節(jié)定理二知，方程(7.1)的通解為y=Ceaxcospx+Ceaxsinpx或y=eax(Ccospx+Csinpx)其中C，C為任意常數，至此我們已找到了實12數形式的通解，其中a,p分別是特征方程(7.2)復數根的實部和虛部。

6、中最簡單的一個u(x)=x則y=xerx是方程(7.1)的另一個特解，且y,21y是兩個線性無關的函數，所以方程(7.1)的通解是2綜上所述，求二階常系數線性齊次方程(7.1)的通解，只須先求出其特征方程(7.2)的根，再根y=Cerix+Cxerix=(C+Cx)enx1212(3)若特征方程(7.2)有一對共軛復根r=1a+i0，r=aip此時方程(7.1)有兩個特解y=e(a+ip)xy=e(aip)x12則通解為y=Ce(a+ip)x+Ce(aip)x12其中C,c為任意常數，但是這種復數形式的12解，在應用上不方便。在實際問題中，常常需要實數形式的通解，為此利用歐拉公式eix=cos

7、x+isinx，eix=cosxisinx1(eix+eix)=cosx特征方程r2+pr+q=0的根d2ydy微分方程dx2+pdx+ay=0的誦解有二個不相等的實根r,r12y=Cer1x+Cer2x12有二重根r=r12y=(C+Cx)er1x12有一對共軛復根cr=a+1卩1r-a-ip2y=eax(CCospx+Csinpx)據他的三種情況確定其通解，現列表如下例1.求下列二階常系數線性齊次方程的通有12i(eixeix)=sinx解d2ydydx2+3dx10y=0d2ydy(2)dx24dx+4y=0d2ydy解(1)特征方程+3r-10=0有兩個不相等的實根r=5,r=212所

8、求方程的通解y=Ce5r+Ce2x12特征方程r24r4=0，有兩重根r=r=212所求方程的通解y=(C+Cx)e2x12特征方程+4r+7=0有一對共軛復根r=2+Ci1r=22所求方程的通解y=e-2x(Ccos，x+1(3Csinx)27.2二階常系數線性非齊次方程的解法由上節(jié)線性微分方程的結構定理可知，求二階常系數線性非齊次方程d2ydydx2+pdx+qy=f(x)(7.3)的通解，只要先求出其對應的齊次方程的通解，再求出其一個特解，而后相加就得到非齊次方程的通解，而且對應的齊次方程的通解的解法，前面已經解決，因此下面要解決的問題是求方程的一個特解。方程(7.3)的特解形式，與方程

9、右邊的f(x)有關，這里只就f(x)的兩種常見的形式進行討論。一、f(x)=p(x)eax，其中p(x)是n次多項式，nn我們先討論當a=0時，即當f(x)=p(X)時方程d2ydydx2+pdx+qy=pn(x)(7.4)的一個特解。(1)如果qH0,我們總可以求得一n次多項式將y及其導數代入方程(7.4)，得方程左右兩邊都是n次多項式，比較兩邊x的同次幕系數，就可確定常數a，a，a。1d2ydy例1.求dx2+dx+2y=x23的一個特解。解自由項f(x)=x23是一個二次多項式，又q=2H0,則可設方程的特解為y=ax2+ax+a012y求導數=2ax+a01y=2a0代入方程有2ax2

10、+(2a+2a)x+12a=102a+2a=0012a+a+2a01002a)=x23比較同次幕系數22a+a+01解得=-31所以特解y=2x2x4y滿足此方程，事實上，可設特解=Q(x)=axnn0+axn-1a，其中a，a，a是待定常數，1n01n如果q=0,而pH0,由于多項式求導一次,其次數要降低一次，此時y=Q(x)不能滿足方程,n所求方程的特解=4x316x2+所求方程的特解=4x316x2+但它可以被一個(n+1)次多項式所滿足，此時我們可設19y=xQ(x)=aXn+i+aXnaxn01n代入方程(7.4)，比較兩邊系數，就可確定常d2y如果p=0,q=0,則方程變?yōu)閐x2d

11、y數a,a，a。0ind2yp(x),此時特解是一個(n+2)次多項式，可設n例2.求方程dx2+4dx=3x2+2的一個特解。解自由項f(x)=3x2+2是一個二次多項式，又q=0,p=4H0,故設特解y=ax3+ax2+ax0i2y=x2Q(x),代入方程求得,也可直接通過n兩次積分求得。下面討論當aHO時，即當f(x)=p(x)eax時n方程d2ydydx2+pdx+qy=pn(x)eaxdx=eaxdx+aueaxdx+a2ueax求導數丫=3ax2+2ax+a0i26ax+2a0i代入方程得12ax?+(8a+6a)x+(2a+4a)=0i0i23x2+2,比較兩邊同次幕的系數12a

12、=3o8a+6a=010解得2a+4a=212(7.5)的一個特解的求法,方程(7.5)與方程(7.4)相比，只是其自由項中多了一個指數函數因子eax,如果能通過變量代換將因子eax去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，問題即可解決，為此設y=ueax,其中u=u(x)是待定函數，對y=ueax,求導得dydud2yd2u求二階導數dx2=eaxdx2+2aeadudx2+(2a+p)dx+(a2+pa+q)u1a=o43a=-TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 1619a=3213y代入方程(7.5)得 HYPERLINK l bookmark18

13、 d2ududueax2+2a+a2u+peax+au+queax=p(x)eaxn消去eax得d2udu=p(x)(7.6)n由于(7.6)式與(7.4)形式一致，于是按(7.4)的結論有：如果a2+pa+qH0,即a不是特征方程d2y例4.求方程dx2+y=(x2)e3xd2y例4.求方程dx2+y=(x2)e3x1313=(ax+a)e013xdx2+(2a+p)dx+(a2+ap+=(TOx50)e3xr2+pr+q=0的根,則可設(7.6)的特解u=Q(x),n從而可設(7.5)的特解為y=Q(x)eaxn如果a2+pa+q=0,而2a+pHO,即a是特征方程r2+pr+q=0的單根

14、，則可設(7.6)的特解u=xQ(x)，從而可設(7.5)的特解為ny=xQ(x)eaxn如果rz+pa+q=0,且2a+p=0,此時a是特征方程r2+pr+q=0的重根，則可設(7.6)的特解u=X2Q(x)，從而可設(7.5)的特解為ny=x2Q(x)eaxn例3.求下列方程具有什么樣形式的特解d2ydydx2+5dx+6y=e3xd2ydydx2+5dx+6y=3xe2xd2ydydx2+adx+=-(3x2+1)ex解(1)因a=3不是特征方程n+5r+6=0的根,故方程具有形如y=ae3x的特解。0因a=2是特征方程+5r+6=0的單根,故方程具有形如y=x(ax+a)e2x的特解。

15、01因a=1是特征方程r2+2r+1=0的二重根,所以方程具有形如y=x2(ax2+ax+a)ex的特解。012的通解。解特征方程r2+1=0d2y特征根r=i得，對應的齊次方程丑2+y=0的通解為Y=Ccosx+Csinx12由于a=3不是特征方程的根，又p(x)=x2為n一次多項式，令原方程的特解為此時u=ax+a,a=3,p=0,q=1,求udud2u關于x的導數dx=a0，dx2=0，代入d2uduq)u=(x2)得：10ax+10a+6a=x2010比較兩邊x的同次幕的系數有)Oa=12010a+6a=一2解得a0=1011310，a=50于是,得到原方程的一個特解為113所以原方程

16、的通解是1yy=Y+=Ccosx+Csinx+(10 xe3xi0)xi0)x2dXdx=3ax2+2ax+a012代入dx2+(2a+p)dx+(a2+pr+解得d2ydy例5.求方程dx22dx3y=(x2+l)e-x的通解。解特征方程r22r3=0特征根r=1,r=32d2y所以原方程對應的齊次方程dx2dy3y=0的通解Y=Cex+Cesx,由于a121是特征方程的單根，又P(X)=X2+1為二次多項n式，令原方程的特解=x(ax2+ax+a)ex012此時u=ax3+ax2+ax，a=1，p=0122，q=3對u關于x求導dud2udx2=6aox+2aid2uduq)u=x2+1，

17、得12ax2+(6a8a)x+2a4a=x2+1比較0012x的同次冪的系數有一12a=101a=-0T26a8a=0011a=T62a4a=0109a=32故所求的非齊次方程的一個特解為xx2x9y=4(3+4+8)ex二、f(x)=p(x)eaxCOS0 x或p(x)eaxsin0nnx,即求形如d2ydydx2+pdx+qy=Pn(x)eaxcospx(7.7)d2ydydx2+pdx+qy=Pn(x)eaxsinpx(7.8)這兩種方程的特解。由歐拉公式知道，p(x)eaxcos0 x，p(x)eannxsinx分別是函數p(x)e(a+迢)x的實部和虛部。n我們先考慮方程d2ydy+

18、p+qy=p(x)e(a+i0)x(7.9)方程(7.9)與方程(7.5)類型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面討論。由上節(jié)定理五知道，方程(7.9)的特解的實部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虛部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一個特解，然而取其實部或虛部即可得方程(7.7)或(7.8)的一個特解。注意到方程(7.9)的指數函數e(a+iP)x中的a+i0(0H0)是復數，而特征方程是實系數的二次方程，所以a+i0最多只能是它的單根。因此方程(7.9)的特解形為Q(x)e(a+ip)x或xQ(x)e(a+nn例6.求方程dx2y=excos2

19、x的通解。取其實部得原方程的一個特解例6.求方程dx2y=excos2x的通解。取其實部得原方程的一個特解d2ysin2x)解特征方程r21=0特征根r=1,r=112于是原方程對應的齊次方程的通解為Y=Cex+Cex12為求原方程的一個特解y。d2y先求方程dx2y=ed+2i)x的一個特解，由于l+2i不是特征方程的根，且p(x)為零次多n項式，故可設u=a，此時a=(1+2i),p=0,q0=1代入方程d2ududx2+(2a+p)dX+(a2+ap+q)u=1得(1+2i)21a=1,即(4i4)a=1,0011a0=4(i1)=(i+1)d2y這樣得到旺y=e(1+2i)x的一個特解

20、1y_=gex(cos2xsin2x)故原方程的通解為1y=Y+=Cex+Cex128ex(cos2xsin2x)d2y例7.求方程dx2+y=(x2)e3x+xsinx的通解。解由上節(jié)定理三,定理四,本題的通解只要d2y分別求dx2+y=o的特解y,d2ydx2+丫=(x2)e3x的一個特解d2ydx2+y=xsiny1x的一個特解y2然而相加即可得原方程的通解,由本節(jié)例4Y=Ccosx+Csinx,12131yi=(10 x50)e3xy=8(i+1)e(i+2i)x由歐拉公式1y=8(i+1)e(i+2i)x1=8(i+1)ex(cos2x+isin2x)1=8ex(cos2xsin2x

21、)+i(cos2x+yy下面求2,為求2先求方程d2ydx2+y=xeix由于i是特征方程的單根，且p(x)=x為一n次式，故可設u=x(ax+a)=ax2+ax,此時a0101=i,p=0,q=1,對u求導1x所以，所求方程的通解y=Y+yi+y2由于a=1不是特征方程的根1x所以，所求方程的通解y=Y+yi+y2由于a=1不是特征方程的根dud2udx2ax+a，dX2=2a0代入方程d2ududx2+(2a+p)dx+(a2+pa+=Ccosx+Csinx+(12114X2COSX+4xsinxq)u=x2a2i(2axa)0=x0014iax+2ia+2a=x010即比較x的同次幕的系

22、數有:4ia202ia11+2a=0得01113e3x綜上所述，對于二階常系數線性非齊次方程d2ydydx2+pdx+qy=f(x)當自由項f(x)為上述所列三種特殊形式時，4id2y即方程dx2+y=xeix的一個特解iy_=(4x2+4x)eix4X2+4)(cosx+isinx)=(4X2sinx+4xcosx)+i(4X2cosx自由項f(x)形式特解形式y(tǒng)當qHO時=Q(x)f(x)=p(x)nny當q=0,pH0時=Q(x)ny當q=O,p=O時=X2Q(x)當a不是特征方程根時f(x)=p(X)eaXny=Q(x)eaxny當a是特征方程單根時丿=xQ(x)eaxn當a是特征方程

23、重根時y=X2Q(x)eaXf(x)=p(x)eaxcospXn利用歐拉公式eipx=cos0 x+或nisin0 x，化為f(x)=p(x)e(+if(x)=p(x)eaxsin0 xp)x的形式求特解，再分別取其實部或虛部其特解y可用待定系數法求得，其特解形式列表如下：+4xsinx)取其虛部，得y2=4x2cosx+以上求二階常系數線性非齊次方程的特解的方法，當然可以用于一階，也可以推廣到高階的情況。例8.求y+3y+3y+y=ex的通解解對應的齊次方程的特征方程為r3+3r2+3r+1=0r=r=r=1234xsinx所求齊次方程的通解Y=(C+Cx+Cx2)e1231d2ydt1dy

24、y因此方程的特解)pex代入方程可解得a。1=8故所求方程的通解為y=Y+y=(C+Cx+12=xdt2dx-x2BF1d2y1dy=X2dt2X2df代入方程(7.10)得d2ydydyao(dTdt)+a2dt+aiy=f(et)axnaxn+aiTdXn-1+昕1xdx+ay=f(x)nCx2)ex37.3歐拉方程下述n階線性微分方程dnydn-iydy稱為歐拉方程，其中ao,叮都是常數，f(x)是已知函數。歐拉方程可通過變量替換化為常系數線性方程。下面以二階為例說明。對于二階歐拉方程d2ydyaox2dx2+aixdx+a2y=f(x)(7.10)作變量替換令x=et，即t=lnx引入新變量t,于是有dydydtdx=BFdx=dy11dy3tx=x爼td2yd1dy1ddx2=dx(xdt)=xdxdydyd1(dt)+dtdx(x)d2ya-ady20即dT+adt+0a1i