東北大學彈性力學答案

1、一、填空題（每空1分，共計20分）面力（表面力），體力（體積力）平衡微分，幾何，物理，靜力學，幾何學，物理學位移解法，應(yīng)力解法，以位移分量表示的平衡微分方程（拉海方程或Lame方程），平衡微分方程（納維方程或Navier方程），以應(yīng)力分量表示的相容方程（米歇爾相容方程或Michell方程）（貝爾特拉米相容方程或Beltrami方程）圣維南原理（Saint-Venant原理），疊加原理，解的唯一性定理差分法，變分法（能量法）的近似解法，有限單元法撓度二、單項選擇題（每題3分，共計15分）C；2.B；3.D；4.A；5.B三*、簡答題每題5分，共計20分）在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學、幾何學和物理

2、學三方面條件，分別建立三套方程。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上變形與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件。在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件，建立位移邊界條件。求解彈性力學問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程和物理方程求解應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量。（1）連續(xù)性假定，物體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量均可用坐標的連續(xù)函數(shù)來描述；（2）完全彈性假定，物體在某一時刻的變形取決于它在這一時刻所受的夕卜力，而與過去的受

3、力情況無關(guān)；均勻性假定，物體的所有部分具有相同的彈性，物體的彈性不隨位置坐標而變；（4）各向同性假定，物體的彈性在各個方向都相同，因而物體的彈性常數(shù)不隨位置和方向而變；（5）小變形:假定，變形后物體內(nèi)各點的位移都遠小于物體原來的尺寸，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1,因而可忽略變形所引起的幾何變化和高階的影響，彈性力學的幾何方程和平衡微分方程都簡化為線性方程，從而彈性力學問題化為線性問題，疊加原理可以適用。最小勢能原理在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中或者在所有幾何可能的位移中），真實的位移使總勢能取最小值。基于這一原理的兩種近似解法是瑞利一里茨法和伽遼金法。（1）垂直于中面方向的

4、線應(yīng)變（即乞），可忽略不計；從而可得乞=0,即*w=w（x5；）o（2）應(yīng)力分量冬，乙和丄遠小于其他3個應(yīng)力分量，因而是次要的，它們所引起的變形可忽略不計（但在考慮平衡條件時不能忽略不計）；由應(yīng)力分量r=0,r=0,可得學二-冬，?=一嬰；同時，由于放棄了戶dzdxdzdy關(guān)于6,滄和？的物理方程，且不計兀引起的變形，從而可得薄板小撓度彎曲問題的物理方程與平面應(yīng)力問題的物理方程是一致的。薄板中面內(nèi)的各點都沒有平行于中面的位移，即（w）z=0=0,（心=0=0，（w）z=o=w（x,y）,因而中面內(nèi)的應(yīng)變分量乞，空和;q均為零，即中面內(nèi)無應(yīng)變發(fā)生。四、判斷題（在括號內(nèi)填“廠或“X”,每題1分，共

5、計8分）1.x2.73.V4.x5.76.x7.x&x五*、（本題共計10分）用直角坐標形式來表示為：對于主要邊界OA,即邊界尸0,其應(yīng)力邊界條件：0）網(wǎng)=-弘，）円=0對于主要邊界OB,即邊界y=xtan0f可知面力分量為：fx=-Tocos0ffy=-t0sin0；邊界OB的外法線方向余弦為：Z=-sin0,加=cos0,由應(yīng)力邊界條件Icrmr=fx,lrxy+mcry=fy可得:一sin0ax+cos=一cos0,-sin+cos0cry=-qsin0用極坐標形式來表示為：對于主要邊界OA,即邊界（p=0,其應(yīng)力邊界條件：）円=-務(wù)（）和=0對于主要邊界OB,即邊界廠&，其應(yīng)力邊界條件

6、：9=亠=-5六*、計算題（本題共計12分）解：（1）驗證應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程，即：VP=0(2)(2)因=AxyBx3y,故：4歲=0工=0,-=0,故滿足相容方程coxdxyoy（2）因體力不計，故應(yīng)力分量的表達式為：Fdxdy=-A-3Bx2（3）考察應(yīng)力邊界條件：h對于主要邊界x=f其應(yīng)力邊界條件為：）十防（滿足），=-纟；厶I對于主要邊界兀=三，其應(yīng)力邊界條件為：（滿足），（L）*力/2=；2z故可得：對于次要邊界_y=0,應(yīng)力邊界條件（5）尹=0=0（滿足），而=A3Bx2豐0,故不能精確滿足，因而可利用圣維南原理進行放松，即：（鶴,）小砥=0,從而可得：hh3-A+B=O（2

7、）28Q由、（2）可解得：從而，可得應(yīng)力分量為:七*、綜合題（本題共計15分）解：以厚壁圓筒為研究對象，本問題屬于平面應(yīng)變問題，為位移軸對稱情況，故應(yīng)力分量的表達式為：bQ=；r+2C,%rA-產(chǎn)+2C,嗚=0位移分量的表達式為:即:(2)(2)(9)(9)島=丄+2(1-2“)Cq,兔=0E_p由應(yīng)力邊界條件可知：(勺)。=_q，即4+2C=-qCT由位移邊界條件可知：A-了+2(1-2”)方C=0由式(3)和式可解得：/二.(l_2)d鉆2gQ厶+(1-2“)滬從而可得圓筒的應(yīng)力分量為；1_2“+1C=2/+(1一2“)鬥巧二1_2“+11一21爲+?%圓筒的位移分量為:12/1+Pun=

8、pEl-2/zP1一2卩i叫rrbb1b2因此，圓筒內(nèi)半徑的改變量為:p=a22，-c+“ab?口1一2“+1圓筒厚度的改變量為:=(知)殲廠(絡(luò))曲=1一2/z_2“Z$E1-2“+1a2參考餐案二一、填空題（每空1分，共計20分）應(yīng)力，應(yīng)變，位移，強度，剛度，穩(wěn)定物理，一,亠_“*1-/位移邊界條件，應(yīng)力邊界條件，混合邊界條件10平衡微分方程，應(yīng)力邊界條件，瑞利一里茨法，伽遼金法11圣維南原理，解的唯一性定理12.扭矩13彎應(yīng)力q,空和扭應(yīng)力心，二、單項選擇題（每題3分，共計15分）D；2.A；3.C；4.D；5.B三*、簡答題（每題5分，共計15分）6個應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分

9、方程（納維方程）和以應(yīng)力表示的相容方程（米歇爾相容方程或貝爾特拉米相容方程），同時在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件；對于多連體問題，還需滿足位移的單值條件。最小勢能原理在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中（或者在所有幾何可能的位移狀態(tài)中），真實的位移使總勢能取最小值；它等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。最小余能原理在所有靜力可能的應(yīng)力狀態(tài)中，真實的應(yīng)力使總余能取最小值；它等價于以應(yīng)力表示的相容方程和位移邊界條件。在薄板的小撓度彎曲問題中，sg是主要應(yīng)力分量，它們沿板厚呈線性分布，其在中面上為零，在上下板面處達到極值；-為次要應(yīng)力分量，它們沿板厚方向呈拋物線分布，其在上下板面處為零

10、，在中面處達到最大值；兀為更次要應(yīng)力分量，它沿板厚呈三次拋物線分布，其在下板面處為零，在上板面處達到極值。四*、分析題（本題共計10分）【答】：微分體所受的力如圖2所示；現(xiàn)將微分體所受各力投影到微分體中心的徑向軸上，列出徑向的平衡方程，得：(dp(Q+dp)d0-%丿d（y卩d（pd(pdpsin-y-crd/?sin-+丿(I)(I)=0=0ZpdQcos字一dpcos乎+乙“d0dp=O丿考慮到曲微小，故可取sin罟q乎，cos字總1,并注意到式中存在一、二、三階微量，其中一階微量相互抵消，三階微量與二階微量相比，可忽略不計，再除以Qdd/9,得：(2)込II8%dppd(p上式即為沿徑向

11、坐標Q方向的平彳斬微分方程。五*、計算題(本題共計20分)【解L(1)本問題可視為平面應(yīng)力問題，采用半逆解法求解?？紤]到圭要邊界上的正應(yīng)力均為0,可認為矩形懸臂梁的縱向纖維間無擠壓，即by=0：由=器=0可得應(yīng)力函數(shù)的表達式為：TOC o 1-5 h z(xj)=MO)+EO)(1)將式(1)代入相容方程B=0,即：浙0)+用(刃=0考慮到X取任意值時，式(2)均恒成立，故必有：護)(刃=0,於4)(力=0考慮到應(yīng)力函數(shù)的線性項對應(yīng)力無影響，因此，待定函數(shù)爪刃、EO)的表達式為：拆(刃=Ay3+5/+Q,f2(y)=Dy3+Ey2(4)從而，可得應(yīng)力函數(shù)的表達式為：(兀刃=兀(4/+By2十C

12、y)+Dy3+Ey2護=x(6Ay+25)+6Dy+2Ea2o8x2(2)因體力不計，故應(yīng)力分量的表達式為:( #)( )夕r=-(W+2+C)OXO)(3)考察應(yīng)力邊界條件h對于主要邊界y=，其應(yīng)力邊界條件為：)m=0(滿足)，(如円/2=0；h對于主要邊界尸牛其應(yīng)力邊界條件為：)燉2=0(滿足)，厲)燉廠0；厶故可得：(10)5=0,+C=04(11)TOC o 1-5 h z對于次要邊界x=0,由于受集中力的作用，故須按圣維南原理進行放松，即:rr/2P,“(6)eodp=-Fcosa,即E=-cosah/22h(12)rr/2hP/2(crJoJ；dJ/=2PcOSa，待刀=cosah

13、/2A+hC=Psma4(13)(14)再由式(10)、(13河無得:C=sina2h從而，可得應(yīng)力分量為:sin-刨cw+cosh丿P竺算一is訟2hh2六#、綜合題(本題共計20分)【解】：1.在極坐標系下，平面問題的相容方程為:將應(yīng)力函數(shù)S,0)=0代入式(1)中，顯然能滿足相容方程。L7C在體力不計的情況下，應(yīng)力分量可表示為：131決Aa2oniqia2om宀則內(nèi)、外邊界上所對應(yīng)的面力為：在內(nèi)邊界(p=tz)上，)沖=0,(%)沖=將，若以圓環(huán)的圓心為坐標原點,以水平向右為兀軸正向，豎直向下為尹軸正向，則其方向繞坐標原點逆時針;( )( #)在外邊界(D上,)十0,(%)十硏,若以圓環(huán)

14、的圓心為坐標原點,以水平向右為工軸正向，豎直向下為y軸正向，則其方向繞坐標原點順時針。根據(jù)1所得的應(yīng)力分量適用于兩類平面問題，故厚壁圓筒的應(yīng)力分量為：宙物理方程(平面應(yīng)變問題)可知，應(yīng)變分量可表示為:二1-才EE_2(1+a)一Ep再由幾何方程可知:=0(5)由式(6)可得:1叫P6(p=0丄叫，%二(l+“)Mpd(pBpp7iEp2由位移邊界條件up)心=0可知：再由式(7)和式(10)可得:兔=ZS)(7)(9)(10)(11)如Q)dp將式(10)、(11)代入式(8)可得:(14-/)M7tEp1由式(可解得:( #)( )即位移分量叫可表示為:%=Ap(1+“)M2ttEp(1+“

15、)M2tiEp再由位移邊界條件(兔)/=0可知：/二(1+“)M27rEa1從而可得位移分量為：(14)(15)(16)參考答案三一*、簡答題（每題5分，共計25分答：彈性力學問題的提法：在給定的邊界條件下求解偏微分方程組的問題，即求解偏微分方程組的邊值問題。根據(jù)邊界條件的三種類型，即應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件，可依次將彈性力學問題的類型分為彈性力學的第一類、第二類和第三類邊值問題，第三類邊值問題又稱混合邊值問題。求解彈性力學問題的兩種途徑一種是以位移分量作為基本變量求解，即位移解法;另一種是以應(yīng)力分量作為基本變量求解，即應(yīng)力解法。逆解法是指先選取試函數(shù)（位移、應(yīng)力或應(yīng)力函數(shù)），

16、得到一組能滿足全部彈性力學基本方程的應(yīng)力分量或位移分量，然后確定在己知坐標系下，對于形狀和幾何尺寸完全確定的物體，通過分析邊界條件，看這些應(yīng)力分量或位移分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力或約束，從而得知所選取的試函數(shù)可以解決什么問題。半逆解法是指針對所要求解的問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力情況或材料力學已知的初等結(jié)果，假設(shè)部分應(yīng)力分量或位移分量為已知，然后通過滿足全部彈性力學基本方程和邊界條件來求出其它未知量;或?qū)λO(shè)的部分未知量加以修正，直到滿足為止。它們的理論依據(jù)是彈性力學解的唯一性定理。答：最小勢能原理是精確的，但基于該原理的瑞利一里茨法和伽遼金法則屬于近似解法，其近似性在于：解題所采用的位

17、移函數(shù)是近似的，即對于瑞利一里茨法通常選取幕級數(shù)或三角級數(shù)（已預(yù)先滿足位移邊界條件）中的前幾項作為其解答，而忽略了其它項的影響，故無法獲得精確解。對于伽遼金法所選取幕級數(shù)或三角級數(shù)的位移函數(shù)除滿足位移邊界條件外，還要滿足應(yīng)力邊界條件，一般地也是選取其中前幾項進行計算，因而也無法獲得精確解。但是，當所設(shè)定的位移函數(shù)越接近于真實位移，所取的項數(shù)越多，獲得解答的精度愈高，因此，當所選取無窮級數(shù)或與真實位移分布形式一致的函數(shù)來求解時，也可能得到精確解。答：兩者的相同點是：兩者都能滿足求解彈性力學問題時所需的平衡條件。不同點是：拉梅方程綜合了彈性力學全部基本方程，包括納維方程；因此，其物理意義的實質(zhì)是綜

18、合平衡，即滿足求解彈性力學問題所需的平衡條件（連續(xù)性條件是自動滿足的），它是按位移求解彈性力學問題時所需滿足的基本微分方程。納維方程僅是彈性力學基本方程的一部分，只滿足求解彈性力學問題所需的平衡條件，不滿足連續(xù)性條件，它是按應(yīng)力求解彈性力學問題時所需滿足的基本條件之一。此外，拉梅方程只適用于具有小變形的理想彈性體材料；而納維方程是普適方程，適用具有連續(xù)性、均勻性和小變形的任何材料。答：只能保證該邊界的彎矩為零，不能保證扭矩和橫向剪力均為零，這是因為合剪力是由橫向剪力與扭矩的靜力等效的分布剪力兩部分之和組成的，合剪力為零，不能保證橫向剪力和扭矩都為零。二*、本題共計10分對于主要邊界(等直桿的側(cè)

19、面)，由于其外法線的方向余弦乃=0,面力分量了嚴了y=t=故應(yīng)力邊界條件為：TOC o 1-5 h zlax-rmr,=0,It4-may=0,hx:+mryz=0(1)對于次要邊界(z=0和z=A),由于其外法線的方向余弦心0,w=0,且對于邊界2=0,77=-1；對于邊界=1。同時，考慮到其受集中力的作用，因此，需按圣維南原理進行放松?，F(xiàn)以邊界z=為例，其應(yīng)力邊界條件為：JdA=-P,(兀)坤xdA=0iaydA=0(2)(Txz=h=0(Tz=h=0事實上，式(3)也可以按圣維南原理進行放松，即：止億)曲=0,/()”應(yīng)=0，止WQi-兀(？)曲=0(4)其中，乂為等直桿的橫截面。三*、

20、本題共計10分、解：(1)驗證一組應(yīng)變分量是否可能為彈性力學問題的解答，需驗證這組應(yīng)變分量是否滿足所有的相容方程，若全部滿足，則這組應(yīng)變分量可能在彈性體內(nèi)發(fā)生，否則不能發(fā)生?，F(xiàn)將應(yīng)變分量x=Axyp-,Ey=Ax2y,ez=Axy,=0,yyz=Az2+By,yX2-Ax1+By2入相容方程，即：牝化8%。乞|夕d2yxz托牝少？dydx2dxdydz2dx2dxdzdz2dydydz斗一坐+dzdxJdxdz坐+莖+坐=2亜fix(dx莎dzJdydz=2生dxdy嘰,嘰丄嘰jJJdzdxdy?很容易驗證，因/，E為非零常數(shù)，式(1)中的第一個就不滿足，故該組應(yīng)變分量不可能在彈性體中發(fā)生。(

21、2)驗證一組位移分量是否可能為彈性力學問題的解答，需驗證這組位移分(6)(6)f(卩)Acos2卩+Esin2(p+C(p十D(5)f(卩)Acos2卩+Esin2(p+C(p十D(5)(5)量是否滿足所有的拉梅方程，若全部滿足，則這組位移分量可能在彈性體內(nèi)發(fā)生,否則不能發(fā)生。將位移分量=-牛xzv=-yz,w=I2+?zz（x24-EE2E代入拉梅方程，即:2(1+“)(1一2dx理+込+久=（）71de、2(1+“)(1_2“+*+乙=01Q0解：將=卜臥洛-肯|代入相容方程v4a=0中，即:2(1+)11一2“3z+V+Z=0ndudv其中，0=+Odxdydz由于了為單位體積自重，沿2

22、軸負方向，故fx=/y=of化二-y；同時，禺E為彈性常數(shù)，Z為任意常數(shù)。容璋驗證式、：2）及（3）都是成立的，故該組位移分量可能在彈性體中發(fā)生。四*、本題共計20分94D夕於A容易驗證，式（i）是成立的。護由于體力不計，故應(yīng)力分量可表示為：&=一如皺Xdy2h3h35h(4)現(xiàn)考察邊界條件，對于主要邊界y=h/2,其應(yīng)力邊界條件為（精確滿足）:（by）y=r/2=_q，為）尸V/2=0；9y）y川2=。，（力號）尸M2=。對于次要邊界x=0,運用圣維南原理進行放松，即：f/)/2嚴2J-A/20/2X/j/2f/?/2(q)X洌心t,/2(4v3gl計fA/2同理，在次要邊界x=Z,運用圣維

23、南原理進行放松，即：伴-警陽耳(10)I手卜琴”呦）對于如圖所示的矩形梁和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，由應(yīng)力邊界條件可知，左邊、下邊無面力，而上邊界受有向下的均布壓力；右邊界上有集中力偶和剪力。所以能解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載q作用的問題。五仁本題共計20分解：本題為平面應(yīng)力問題，采用半逆解法求解。根據(jù)量綱分析，可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為:=丹（卩）應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足相容方程，即:考慮到取任意值時，式恒成立，故必有:由式解得:從而可得應(yīng)力函數(shù)的表達式為:O=p2(Acos2+5sin2(p+C(p+Z)由于體力不計，應(yīng)力分量的表達式為:131羅pdpp1d(p2=-2(Acos2

24、(p+Bsin2(p-C(p-D)(7)a2o).g申=2(Acos2(p+Bsin2(p+C(p+D)(8)=pvp2d(ppdpd(p本問題的應(yīng)力邊界條件為：1150=2&sin2-2Bcos20-C(b幾=Qp況s=q，(%)卩=aQ(p=_a=q將式、代入式(io)中，有：(10)于是解得/cos2a+Esinla+Ca+D=024sin2a-2Bcos2a-C=q/cos2&-Bsin2a-Ca+D=0一2/sin2q-2Bcos2q-C=q(11)sin2a一.一q,C=一一:q,D=0sin2a一2acos2asin2a一2acos2a再將式(12)代入式(7-9)中，可得應(yīng)力分

25、量為：_zsin2z?+sinlaa=一2qsin2a-2acos2a小asin20-sin2aa=2qsin2a一2acos2asin2a2acos2(pT=Jqp(x,y)=-2等價于以應(yīng)力表示的相容方程，屬應(yīng)力解法，且平衡條件是自動滿足的。二*、本題共計16分在極坐標系中，對于平面軸對稱應(yīng)力問題，應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和體力分量都僅為P的函數(shù)，不隨0而變，即：應(yīng)力分量：bQ=b,Q),%=f應(yīng)變分量：?卩=。體力分量：fp=fplpfcp=0由平面問題的幾何方程，BP：尸=些呂+丄些y=丄些亠dpppd(pp(ppd(pdpp在式(4)中消除位移分量，即可得到彈性力學平面問題在極坐標系中的相

26、容方程:(5)(5)1d210夕)p1d(ppdpdcp丿考慮到式(2),可以很容易推出平面軸對稱應(yīng)力問題的應(yīng)變相容方程:|2dj1d_0dp2pdppdp對于平面問題的物理方程(平面應(yīng)力問題)，即；滬右仇一嚀)，=(%一“巧)將式(7)代入式(6)中，可得：d2d2ap2+“d氣1+2db卩|d/?2d/rpdppd/?再考慮平面軸對稱應(yīng)力問題的平衡微分方程，即:dpp+力=0(9)由式可知:dcr6=p+乙+pfdppp即:+/dad2o-n十=(1+“)X+門P&Pdppdp將式(10)代入式(8)中，即可得到軸對稱應(yīng)力問題的以應(yīng)力表示的相容方程:、PS丿歸件+(1“)(10)+訃_(1

27、+“)對于平面應(yīng)變問題，只需將式(11)中的“換成厶即可。1-“三*、本題共計16分解：本問題如果按材料力學方法求解，得到的應(yīng)力q為：6=空_塑=匹_12-力sinoAh訐為明了起見，先將應(yīng)力表達式(1)改寫為一般形式，即-IaxAxy+By+C根據(jù)應(yīng)力表達式(2)來選取應(yīng)力函數(shù)的一般形式，即.(11)(4)(4)=Axy+By+C切由式可得：”ABC二三勺+三尸+丁尸+力(X)y+f2(x)662由相容方程滬a)=o,可知：(5)TOC o 1-5 h z/(對=Dx3+Ex2-i-Fx,/(x)=+Hx2將式(5)代入式(4)中，再由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系，可以求得應(yīng)力分量的表達式為：A

28、Cfy=(6D兀+2E)p+6Gx+2H,=(yy1+32)x2+2Ex+F)先考慮主要邊界條件(應(yīng)精確滿足)，即：9J曲川2=，(r)=A/2=(7)由式(7),可以求得待定系數(shù)如下：D=E=G=H=0,h2A-r&F=0(8)再考慮次要邊界條件，運用圣維南原理進行放松，即：rh/2eh/2和2L/2(6)idy=Pcos2,打2)口燭=0J為)i=Fsina(9)將式(2)、(6)代入式(9)中，容易求得：PoosalA(10)IAB=0,hF-Psma24再由式與式(10)聯(lián)解，可得：h3因此，應(yīng)力分量如下：h32h(11)Pcosa12F(l-x)ysina四*、本題共計18分解：根據(jù)

29、題意，位移分量w=0,由幾何方程可得:7=0dz由物理方程：并廠心+烏)=0故有:6二“(兀+勺)同時，根據(jù)題意，應(yīng)力分量可假定為：=-q，6，=o,=o,=o,甘o再由式（3）可知，應(yīng)力分量b二=/（6+空）=-網(wǎng)。顯然地，六個應(yīng)力分量滿足平衡微分方程（體力不計）和以應(yīng)力表示的相容方程（體力不計）。同時，也精確滿足所有應(yīng)力邊界條件。故這組應(yīng)力分量是正確解答。由物理方程，可知：5=+q)=溝&,=*6,-“(礙+6)=如嚴冷=0，乙=0，=0由幾何方程，可得：（1一心qov_,=E-duOX0_“(+“)$ooyyEdudv1=coyox=0(6)根據(jù)題意，位移分量況，卩應(yīng)是坐標兀的函數(shù)，而與

30、2無關(guān)，故可得:=_。禺+龍0）,*（警）b+zo）,斤（刃=_力（兀）=為其中，/為待定系數(shù)。因此，待定函數(shù)為:(8)/O）=4r+P，f2（x）=-Ax-c從而，位移分量為：xAy+B,卩=上卩；尹_+C(9)由位移邊界條件，即:(心o=0(10)可得金+3=0,從而可確定力=0,8=0。同時，由對稱性可知，位移邊界條件：e）x=o,尸=o因此，c=o所有，位移分量為：X,v=-yfw=0匕E(11)(12)五#、本題共計18分0五#、本題共計18分01616解：根據(jù)量綱分析法，可假定其應(yīng)力函數(shù)為：（qQ+WO將式代入平面問題的相容方程W=0,BP：2pbpbd（p2）由式可得：空+丄2+

31、丄昌131j1pQpP2/(0+10廠)+9/(卩)=0求解微分方程式(3)可得：/()=tsin3(p+Bcos3。+Csin。+Dcoscp從而，應(yīng)力函數(shù)的表達式為：(/)=p3(Asin3卩+Bcos3。+Csin卩+Dcos(p)進一步地，應(yīng)力分量的表達式為：1SO132O、7=+77=一2p(3Asm3%十3Bcos3-Csin0Dcoscp)poppo(pX2（丄竺、dppd（p,a2o卩=3pAsin3(p+Bcos3。+Csin+Z)cos=-2p(3Acos3(p3Bsin3(p+CcosZ)sin(p)現(xiàn)考慮邊界條件，其應(yīng)力邊界條件為：=-PoSV=-PPsin（P）/2+

32、aPogpcosa,（r）/2+a=0(4)(5)(9)仇)尸=apJ(pS2-0=(10)將式(7)、(8)代入式(9)-(10)中，可得：3(兄cos3a+Bsin3&+Ccos理一Qsina)=pQgcosa(11a)3/sin3a+3Bcos3aCsina-Dcosa=0(lib)一/cos30-j8sin30+Ccos0+Z)sin/?=0(11c)一3/sin30+3EGOs3/?+Csin0-Qcos0=0(lid)將tt/6,0r/3代入式(11)并求解，可得待定系數(shù)如下：A=0,Qog(12)一、填空題（每空2分,共計32分）再將式(12)代入到式(6)中，可得應(yīng)力分量為：G

33、p=(亍cos30-彳sin0+彳cos(ppQgp氣=(_cos30-善sin+詈cos)Qogp%=sin30孑cos。一當sineRogQOO六*、本題共計15分解：(1)先驗證撓度函數(shù)諷兀)是否滿足位移邊界條件，其位移邊界條件為:(w)z=0,(w)x=/=0顯然地，撓度函數(shù)諷對=亦節(jié)滿足位移邊界條件式(1)。(2)求梁的總應(yīng)變能U,EP：2)(3)求梁的總勢能坊,即:、場=u-血(x)w(x)ck+Mo(封一陸()x=0 x=!弩一陸+陸心)Elyq“4Z3NZ由最小勢能原理中的瑞利一里茨法，艮卩：dEn=0dA由式(4)可求得待定系數(shù)力的值為：Ely#牛(如2+4”陸)廠從而，可求

34、得撓度函數(shù)為:吩)=型二警疋sin子EIy參考答案五1.2.應(yīng)力分量（應(yīng)力），應(yīng)力分量（應(yīng)力），8,6,15,體力分量（體力）；應(yīng)變分量（應(yīng)變），位移分量（位移）應(yīng)變分量（應(yīng)變）103.L一令(6+by),“(bx+CTp),_o4.位移解法，應(yīng)力解法二、單項選擇題（每小題5分，共計40分）1.D,2C,3A,4.C,5D,6A,7C,8.BaMMMWW三*、概念題（本題共計8分）【解】：因體力不計，兩類平面問題的平衡微分方程和以應(yīng)力表示的相容方程是相同的，即平衡微分方程:dxdy莖+些=0dxdy以應(yīng)力表示的相容方程:(2)驗證一組應(yīng)力分量是否可能發(fā)生，只須驗證其是否能同時滿足平衡微分方程和

35、以應(yīng)力表示的相容方程。若能同時滿足，則可能發(fā)生；若其中之一不滿足，則為不可能發(fā)生。當缶0時，顯然能同時滿足（1）、（2）；當罟0時，經(jīng)驗算，也能同時滿足、（2）,故該組應(yīng)力分量可能發(fā)生。四*、寫出下列受力體的應(yīng)力邊界條件（本題共計15分）1對于主要邊界y=-hl2和y#/2,其應(yīng)力邊界條件應(yīng)精確滿足，BP：X(bj尸一擁2=_g，ajy=_hi2=o（by）T/2=0，（廠秒）嚴力/2=7對于次要邊界x=0,其應(yīng)力邊界條件應(yīng)按圣維南原理進行放松，即:卩/2/“2zx,Pn“PcosO,匚少幾丿=2.對于主要邊界p=a和=方，其應(yīng)力邊界條件應(yīng)精碓滿足，即:COS&,Ji/2x=09p）p=a=匕

36、pjP=Q-廠,9p）p=b0,對于次要邊界0=0,其應(yīng)力邊界條件應(yīng)按圣維南原理進行放松，即：仇爲PsinC仇鳥加兀-寧肥in久（）殲仲沁0五*、簡答題（本題共計15分）彈性力學基本方程中的平衡微分方程、幾何方程、物理方程分別考慮了彈性體的靜力學、幾何學、物理學三方面條件。其中，平衡微分方程和幾何方程都運用了連續(xù)性假定小變形假定；而物理方程運用了連續(xù)性假定、均勻性假定、完全彈性假定和各向同性假定。因此，平衡微分方程和幾何方程都與材料的力學性質(zhì)無關(guān)，屬于普適方程；而物理方程與材料的力學性質(zhì)相關(guān)，在直角坐標系下，其適用范圍是理想彈性體的小變形問題。彈性力學問題的平衡微分方程、幾何方程、物理方程分別

37、平衡微分方程:人=0幾何萬程:=rxzav-axaw-創(chuàng)一一加亦一&avife一一=迦ax+av加&=5=1_“（bp+crj物理方程：廠#廠+6）J=右&_“仇+如=2（1+）E為：六水、計算題（本題共計16分）=0和，磐可知:帶即可推出應(yīng)力函數(shù)為:【解采用半逆解法求解由假定的應(yīng)力分量勺,TOC o 1-5 h z（兀尹）=勸0）+/2（刃（1）.由相容方程可求得應(yīng)力函數(shù)的表達式，將式（1）代入相容方程，可得:勸（刃+乙仞二?？紤]到兀取值具有任意性，故必有n=o,乙o）=o,即：f（?）=4/+O,心（刃=zy+砂（注：由于應(yīng)力函數(shù)的線性項對應(yīng)力分量無影響，故上式中省略了一次項和常數(shù)項），應(yīng)

38、力函數(shù)可表示為：（兀,y）=x（Ay3+By2+Cy）+Dy3+Ey2.由應(yīng)力函數(shù)求岀應(yīng)力分量（體力不計）：決dyJ,=0Q2x(6Ay+2B)+6Dy+2E”一玉礦_G如+2+c）.由邊界條件確定常系數(shù)對于主要邊界條件（須精確滿足）：=（已滿足），為）尸初?(4)(6)(7)(8)(9)（空）皿2=0（已滿足），爲）燉/2=-0由式（6）、（7）可知：=0,3h2A+4C=Aq對于次要邊界條件，應(yīng)按圣維南原理進行放松：h帥亠。如=-八即：h3A+4hC=4P2h3由式（8）、（9）可知：A=細?卩）,C=m_3P）h再由（6）說=0可知：D=E=0；事實上，若對應(yīng)力分量乙在邊界x=0運用圣維

39、南原理，同樣也可得出D=E=0因此，可求得常系數(shù)為：/2（g刀一P）廠一2（彳一3P）門廠廠A=,C=,B=D=E=0（10）hh再將上述系數(shù)代入式（5）中，即可求得應(yīng)力分量的表達式。七*、綜合題(本題共計24分)【解】；1.導(dǎo)出其基本方程及應(yīng)變相容方程該題屬于平面軸對稱位移問題，徑向位移輜只是P的函數(shù)而與0無關(guān)，環(huán)向位移兔,=0;應(yīng)力也是軸對稱的，即切應(yīng)力Tpp=0,徑向正應(yīng)力CT”與環(huán)向正應(yīng)力f都只是Q的函數(shù)而與0無關(guān)。因此，應(yīng)力分量和位移分量為：應(yīng)力分量：ap=ap(p),入=氣(刃，r=0位移分量：,綸=0根據(jù)極坐標系下的彈性力學平面問題的基本方程，可以很容易列出平面軸對稱位移問題的基

40、本方程，即：TOC o 1-5 h z平衡微分方程：旦+違壬=0,其中體力不計dQP幾何方程：e=r_,(2)dpp物理方程(平面應(yīng)力問題)：0=2億-如p)(3)du由(2)可知：Up=p并代入亍,可得應(yīng)變相容方程為：2.求出其位移解答由式(3)、(2)可知：E/xE、un+jj,P)E/磚匚7仇+綽將式(5)、(6)代入式(1)可得：d丸1叫%:n=(Jd”pdpp1方程(7)為歐拉方程，其通解為：up=Ap+-P5)(6)(7)其中，A,於為待定常系數(shù)，可由邊界條件來確定。將(8)代入式(5)、(6)中，可求得其應(yīng)力分量的表達式：(1+“)(14)(14)0nP(1+心+(1-“)芻P（

41、1+心&2b由式（10）、（11）可求岀厶P值，即：（1“2）內(nèi)（1一/?）丹2纟5(1+#)滬+(1_“)，f(1+#)滬+(1-如bb2g%-_，+(_2“)疋=Hq入_方2+(1_2#0Ebp一_“2Eaa4Da容易驗證，應(yīng)力函數(shù)是滿足相容方程式(1)。因體力不計，故應(yīng)力分量的表達示為：a2O12xyF_a2Ona2d)3(A2-4/)F6=石廠，ay=d=9%=_蕩=2p對于圖3所示的矩形體，其應(yīng)力邊界條件是:在主要邊界p=%/2上，其應(yīng)力邊界條件為：(ay)yh/2=1(和)尸知2=在次要邊界兀=0上，其應(yīng)力邊界條件：(bjzo,(4()(4)因此，其主矢量為：E1M=f；：(6)*

42、ody=0,坊|A0=匸；爲)*0=-F其主矩為：(6)故在邊界x=O上只有沿y正方向的集中力F。對于次要邊界x=Z,同理可知，其主矢量為：丘匚=匸；9人向=0,Fy=：厲丄的=_F(7)其主矩為：=匸：)3=-用(8)故可解決在邊界兀端固定，在邊界兀=0上作用有集中力F的懸臂梁問題，即能解決懸臂梁在自由端受集中力作用的問題。六*、本題共20分【解】：此題為平面應(yīng)力問題，假定其應(yīng)力函數(shù)=心(卩)，由應(yīng)力函數(shù)所滿足的相容方程，即：由式(1)可得:V40)=1d1+P&PPa2o1d1=0(卩)+4計(卩)=0從而，應(yīng)力函數(shù)的表達式為：6(。)=廈+B(p+Ccos2(p+Dsin2(p由于體力不

43、計，故應(yīng)力分量的表達式為：U=7茁+歹麗二R8S2獰加伽)G)a2o)勿$=00丄空dodxdydz+A=以應(yīng)力表示的相容方程(體力為常量情況):(1+“曲+器=0,(1+“)他+器=0,(1+“)+獸=0(*)%+器(*)%+器(】+“)普。-其中，=(rx+ay(rz=pgz9體力分量fx=fy=Q9f2=-pgo顯然，應(yīng)力分量q=0,礙=0,q=pgz,%=0,乙=0及召=0能滿足式(1)和式(2)。應(yīng)力邊界條件?？紤]一般情況下的應(yīng)力邊界條件：G+叫+叫=乙,g+mjE廠了才2乙+曲“+河嚴工(3)對于等截面直桿的側(cè)面，設(shè)其外法線的方向余弦/，加，H=0,而面力分量E=了,=Z=0；容易

44、驗證，應(yīng)力分量crx=o,S，=0,a;=pgz,丁弓=0,=卡匕_心+6)=_爺2,-巧=*6_“(6+礙)=詈2,焉=.=.=0(4)再由幾何方程可知：竺弋“迴Z,空嚴一迴z,j為Z(5)dxxEdyyEdz2Edu9ydvdx亦dv1=dydzdudw+dzdx=/xz=(6)由式(5)可知：爺XZ+伽z),爺“+朋,2E(7)將式(7)代入式(6)可知：0；(yz)_筋(x,z)df3(x9y)RPgdydxdyE筋(X,z)dzQfO，z)ppg“df3(x9y)*=xdzEdx由式可知：/i(yz)二夕乙(工憶),df3(x,y)d2f2(x,z)8塔0，刃二夕辦(XJ)TOC o

45、 1-5 h zdydzdxdzdydxdzdxdzdydxdy由式(9)可得：=1dydxdy物理方程(平面應(yīng)力問題):1/、1z、2(l+)r乞=云(6-“巧)，虧=云(丐-“6),.=云一竺首先，在幾何方程中消除位移分量，得到以應(yīng)變表示的相容方程，即:乞|夕6=旳列dy2dx2dxdy將物理方程代入式(4)中，得：q2q2護十碩仇一叫)+麗一州)=2(1+“)謠再由式(1),可得：xy_2理=竺+啦+蜚+壟dxdydx2dy2dxdy將式(6)代入式(5),并化簡可得：右(6+bJ+訂(6+空)=一(1+“)(5)(6)(7)考慮到平面應(yīng)力由題與平面應(yīng)變問題的關(guān)系，將式(7)中的泊松比“

46、換為上1-“即可得到平面應(yīng)變問題的以應(yīng)力表示的相容方程：(8)2.先考慮物理方程，用應(yīng)變分量來表示應(yīng)力分量，即:傀+如)，2(1+“)由于體力分量=o,fy=-pg,故應(yīng)力函數(shù)的表達式為:六*、本題共計15分再將式(2)代入式(9)中，可得:E.dvdu.廠匚廬診+忘.E廠2(1+“)(10)最后將式(10)代入式(1)中，即可得到以位移表示的平衡微分方程:E,d2uI-/左1+“d2v2dxdy)+g(IM)d2v2dx2(2)(H-2)在式)中將E換為烽，“換為倉即可得到平面應(yīng)變問題的以位移表示的平衡微分方程。五*、本題共計15分解：利用半逆解法求解，根據(jù)題意，可假設(shè)應(yīng)力分量空=/(刃，再

47、由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，即甥“廠心，可推出應(yīng)力函數(shù)為：g,y)=y/W+恥)+砂(1)由應(yīng)力函數(shù)滿足的相容方程，即：於c決54(Da而+2麗產(chǎn)礦。將式(1)代入式(2)中，化簡可得：彝(刃+易。)+(刃+2/0)三0由式可知：TOC o 1-5 h z/(y)=o,Z(4)W=o,乙(刃+2八刃“考慮到應(yīng)力函數(shù)的線性項對應(yīng)力無影響，故待定函數(shù)的表達式為：f(y)=Ay3By2+Cy+D9/)=Ey3+Fy2+Gy9ARf2y5yHyKy2(5)1Uo將式(5)代入式(1)中，可得應(yīng)力函數(shù)的表達式為：乂2AD(x,y)=+By?+Cy+D)+xEy3+Fy2+Gy)y5y44-Hy3+K

48、y2(6)2106(8)(9)2q1-25=0,C=pg-A,F=0,G=_牛E(12)由式(11)和式(12)可得：/=警，5=0,C=_醫(yī),D=0,F=0,G=-E(13)h2247對于次要邊界x=0,若精確滿足（込丄“二。，貝U4=B=H=K=0,這與MhO矛盾，故需利用圣維南原理進行放松，BP：(14)(15)ri/2fh/2林2（6）“d尸o,尸由式（14）可得：K=0,H=10再由（r）xss0=0,可得E=F=G=0,這里也可以按圣維南原理進行放松，即32；：（B）”ody=O,同樣可以得到E=F=G=O因此，應(yīng)力分量的表達式為：警*警八迥警八xh2h25zyX2丿解：本題為平面

49、應(yīng)力問題，采用半逆解法求解。根據(jù)量綱分析，可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為:應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足相容方程，即：考慮到取任意值時，式恒成立，故必有:TOC o 1-5 h zd7W,.d2/()d4dz?2由式(4)解得:/()=/cos20+Bsin20+C+Z)(5)從而可得應(yīng)力函數(shù)的表達式為:=p2(Acos2(p+Bsin2(p+Cg)+D)(6)由于體力不計，應(yīng)力分量的表達式為：Pdp十r=-2(/cos2。+Bsin2(p-C(p-D)PS(p(7)a2=0,24sin2a-2Bcos2a-C=0(11)求解式(11)可得B9C,D的值，即：sinaqcosaqA=,dsina-acosa4sina

50、-acosa4(2M+2“B)+警=0(2M+2“B)+警=0ccosaC=；sina-acosasina-2acosaqsinaacosa4再將這些系數(shù)的值代入式（7-9）中，即可得到應(yīng)力分量的解答:q(sin(20-a)+sina+2(-a)cosaTOC o 1-5 h z(T=21sina-acosa丿_g(sin(2/_a)_sinQ_2(e_a)c0sa、2Vsina-acosa)q(cos(2_a)_c0sa、21sina-arcosa丿七水、本題共計20分解：因為各個邊界上都沒有不等于零的已知位移，所以在位移函數(shù)u=Ax,v=By中取均=0,v0=Oo顯然，它滿足左邊及下邊的位

51、移邊界條件，即:(2)（嘰o=o,（卩）尸o=o本題為平面應(yīng)力問題，故薄板的總應(yīng)變能為:E驢唸釜+字訥礙abE2(1-疋)(才+2+2“腦)外力所作的總功為：W=平（“）4-f菁egdxabqAabq2B=I“22薄板的總勢能為：E?=U-W=證尹+警+呼由最小勢能原理，可知:dEp_abEET_2(1_“2)務(wù)嵩停如)+警。務(wù)嵩停如)+警。IE2EIE2E由式(5)和式(6)可解得：/Vy(7)從而，可得位移函數(shù)為：參考答案八-*每小題1分，本題共計8分方程名稱：平衡微分方程（納維方程），物理意義：平衡條件；方程名稱：位移變分方程（虛位移方程），物理意義：平衡條件；方程名稱：應(yīng)力變分方程（虛

52、應(yīng)力方程），物理意義：連續(xù)條件；方程名稱：幾何方程，物理意義：連續(xù)條件；方程名稱：應(yīng)力邊界條件，物理意義：平衡條件；方程名稱：以位移表示的平衡微分方程（拉梅方程），物理意義：平衡條件；方程名稱：常體力情況下，以應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程（相容方程），物理意義：連續(xù)條件；&方程名稱:位移邊界條件，物理意義：連續(xù)條件。二、本題共計10分【參考答案】：若按材料力學方法計算受軸向拉伸的變截面桿件的應(yīng)力時，假定了橫截面上無剪應(yīng)力，正應(yīng)力均勻分布，即=0,O-=-C4為橫截面面積），yA同時假定桿的縱向纖維互不擠壓，即rx=0o若取整個桿件的某一段加以分析，如圖（Ma）所示，顯然能夠滿足平衡條件；若在桿件的邊界上

53、取一微元體，其各個面上的應(yīng)力分布如圖（llb）所示，顯然它不能平衡?？梢姡瑢τ诖藛栴}，材料力學的解答是錯誤的。按彈性力學方法計算時，在桿內(nèi)任一點處取微元體，使其滿足平衡條件，如圖（llc）所示；在桿件的邊界上，如圖（1-lb）所示的微元體的兩個互相垂直的截面上都有正應(yīng)力和剪應(yīng)力，即圖（1-ld）所示，因此，邊界上的微元體也是滿足平衡條件的，即滿足應(yīng)力邊界條件。因此，彈性力學方法可以保證桿件的任一點都滿足平衡條件。故彈性力學方法計算的結(jié)果總能滿足桿段平衡和微元體平衡。圖1-lb圖1-lc圖lld三*、本題共計10分圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢

54、量相同，對于同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。=0(10)=0(10)根據(jù)圣維南原理，對于次要邊界2=0,其應(yīng)力邊界條件為：X(GMdy=0,匸(珞總血=0，(r丄0”-厲)=0四*、本題共計16分解：本題可視為平面應(yīng)力問題，其應(yīng)力分量為：咕號，吹。，滬。根據(jù)物理方程，即：廿占(叭-叫)再根據(jù)幾何方程，即：弓=云(勺一”6),7xy可以得到:dusx=*dxdvs=*,dudvFdydxdul2MydvdxE臚dy12iMyEh3竺+色=0dydx由式(4)的前兩個可知“嗎仙博+朋)勵3將式(5)代入到式(4)中的第三式，可得：2Mx晉+3+

55、左(兀)=0Eh3即:晉+加=-斤(刃=血由式(7)可求獪待定函數(shù)的表達式為:彳/、/、6Mx2/j(y)=_0y+叫，(兀)=_-+4兀+從而，可以求得位移分量的表達式為：“=叫妙+如，警警+吋Ef再由位移邊界條件，即:()x/K=0，(v)x-/,o二0從而，可確定待定常數(shù)的值，BP：dvx=l,y=Q將式(3)代入式(6)中，由于坐標原點位于橫截面的形心，故式(6)的前二式自然將式(3)代入式(6)中，由于坐標原點位于橫截面的形心，故式(6)的前二式自然#+2C=務(wù)，+2（1_2心C=0+心由式與式,可解得:故其位移分量為:叫磚，如竺Eh3Eh3(11)E(12)五七本題共計18分解：（

56、1）對于厚壁圓筒（平面應(yīng)變問題）,和位移分量的表達式如下：應(yīng)力分量為：屬于平面軸對稱位移問題，其應(yīng)力分量b=$+2C,app1戸+2C，%=0位移分量為:2嚴-匕（1+）+20（1-+），=0根據(jù)其應(yīng)力邊界條件，即：（bpa=-q、（坯呱=0（已滿足）由式（3）的第一個式子，可得：芻+2C=-qa其應(yīng)力分量應(yīng)為零，故其應(yīng)力分量和位移分量的表達式如下:（2）對于無限大彈性體，也屬于平面軸對稱位移問題，考慮到當QT0O時,按照圣維南原理，應(yīng)力分量為：位移分量為:Ep卩在圓筒和無限大彈性體的接觸面Q=應(yīng)當有:(bp)小=Q；(”;)p=b由式（7）可知：Eb(-n)aAq(1一咖勺?_(1_2“)”

57、+1戸_(1_咖2，2C=(i_2A+i62-(i_n)a2工(1+“)A?1oE(l+M)從而，圓筒的應(yīng)力分量為：l21+(1_2加與-(It)a=qpb21+(1-2“)勿務(wù)-(If)其中,l21+(1-2“)勿篤+(1-比)%=&q瞎=1+(1-2/)w-(1一刃)ab2六*、本題共計18分解：考察在兩端承受扭矩M且不計體力的圓柱體，如圖2所示。先按材料力學的方法，在圓柱體扭轉(zhuǎn)時，截面上發(fā)生與半徑垂直且與該點到圓心的距離成正比例的剪應(yīng)力，即：TOC o 1-5 h zr=aGp(1)其中，a為單位長度的扭轉(zhuǎn)角。將剪應(yīng)力1沿坐標x軸和p軸分解，可得：yx=-tsin(p=-aGp-=-aG

58、y,t=tcoscp=aGp=aGx(2)pp同時，假定其它應(yīng)力分量均為零，從而得到一組應(yīng)力分量：T-aGy,=aGx,ax=ay=a2=rxy=O(3)容易驗證，在體力為零時，式(3)滿足平衡微分方程和以應(yīng)力表示的相容方程，即：%+力二(AJ=1,2,3),門川+亡,廠0(z,7,=1,2,3)(4)現(xiàn)在校核它們是否滿足邊界條件。對于應(yīng)力邊界條件，即：+m竝，了=心5吩叭,f2=lTX2mry2+na2(5)在圓柱體的側(cè)面上，面力分量Z=Z=Z=外法線的方向余弦1=工、加=上，PP心0,將式(3)代入式(5)中，側(cè)面處的邊界條件顯然是滿足的。在圓柱體的兩個端面上，由于外力為靜力等效的扭矩M,

59、因此，需按圣維南原理進行放松，即在邊界2=0,方處：JJrdxdy=0,jjrdxdy=0,jx-rdxdy=M(6)滿足，第三式變?yōu)椋篗=aGJJ(a-2+y2)ckdy=aGIp于是M其中，人為橫截面的極慣性矩。將式(8)代入式(1)中，得到圓柱體扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力為:Mp2Mp可P其中，7?為橫截面的半徑。顯然，這與材料力學方法獲得的結(jié)果是一致的。解法二：用半逆解法求解，因為圓的方程為：x2+y2=R2而應(yīng)力函數(shù)在橫截面的邊界上應(yīng)為零，所以，可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：D(x,y)=J(x2+/-/?2)(2)其中，/為待定常數(shù)。將式代入方程=C中，可得：A=C/4故應(yīng)力函數(shù)為:C叫刃盲(*和次)再由

60、應(yīng)力函數(shù)在端部邊界上滿足的方程2jJ(兀=M,即:尋(何疋)網(wǎng)3=可求得待定常數(shù)為:所以，應(yīng)力函數(shù)為:從而，應(yīng)力分量為:C=4M(x,刃=一(x2+戸一疋)aD2MydP_2MxdxttRA故橫截面上的剪應(yīng)力為:、曲丿創(chuàng)+(4詈-Fcos&*“+x=/、曲丿創(chuàng)+(4詈-Fcos&*“+x=/、2+七*、本題共計20分解：1.梁的總應(yīng)變能為:、2drdudr丿則總應(yīng)變能/的一階變分為：6U=EI=EI+EA、/8u6xd2vxEA8u-EAdx丿odv+Elo2.外力所作的功為:W=-Psin+pCOS0()z則外力功爐的一階變分為:8W-一Psin0(8v)x=l+Pcos0Suxa：l3.梁