機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則課件

1、集合與機(jī)率第5章第一節(jié)集合隨機(jī)的意義隨機(jī)實(shí)驗(yàn)(random experiment)具有三種特性： (1)實(shí)驗(yàn)可在相同條件下重複執(zhí)行。(2)所有實(shí)驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果，在事前是可以被預(yù)知的。(3)實(shí)驗(yàn)未執(zhí)行，不能確知會(huì)出現(xiàn)何種結(jié)果。一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合，稱為樣本空間(sample space)，而單一可能的結(jié)果，即樣本空間內(nèi)的個(gè)別元素，則稱為樣本點(diǎn)(sample point)。 第一節(jié)集合1.列舉法指把樣本空間所有的樣本點(diǎn)都列舉出來 。例如投一枚硬幣的樣本空間寫作： S=正面，反面2.概述法以概括的方式描述樣本點(diǎn)所具有的性質(zhì)，它特別適用於樣本空間所包含的樣本點(diǎn)太多或?yàn)檫B續(xù)數(shù)值類 。電燈泡的

2、使用時(shí)間壽命：因?yàn)闀r(shí)間屬連續(xù)數(shù)值，有無限多個(gè)數(shù)值，無法列舉，故其樣本空間的表示法，必須採用概述法，即： S=tt0，其中t表示時(shí)間的長(zhǎng)短第一節(jié)集合樣本空間依據(jù)樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可區(qū)分為有限樣本空間(finite sample space)與無限樣本空間(infinite sample space)。 樣本空間內(nèi)的樣本點(diǎn)，依某一特性集合在一起，稱為事件(event)。顯然，事件是樣本空間的子集合。如只含1個(gè)樣本點(diǎn)的事件，稱為簡(jiǎn)單事件(simple event)；而包含2個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件，稱為複合事件(compound event)。第一節(jié)集合任何樣本空間都包含兩種特殊的事件：(1)不含任何樣本點(diǎn)的

3、子集合，稱作空集合(null set)，以表示?？占洗頉]有事件發(fā)生，又稱為不可能事件(impossible event)。(2)樣本空間本身也是一種事件，因它包含樣本空間內(nèi)的所有樣本點(diǎn)，又稱全集合，表示此事件必然會(huì)發(fā)生，故又稱必然事件(sure event)。以投擲一顆骰子為例，其不可能事件寫作： =而必然事件寫作： S=1, 2, 3, 4, 5, 6第一節(jié)集合集合的運(yùn)算交集的意義交集(intersection)是指A與B兩事件共同元素組成的集合，記作AB。若投擲一公正骰子，令： A=2, 3, 4、B=1, 2, 3 AB=2, 3，是交集的符號(hào)該交集的樣本點(diǎn)數(shù)目寫作：n(AB)=2。

4、第一節(jié)集合互斥事件當(dāng)兩事件的交集為空集合（沒有任何元素的集合）時(shí)，即稱為互斥事件(mutually exclusive events)。譬如若B=1, 2, 3, C=4, 5, 6，則： BC= （空集合）該交集的樣本點(diǎn)數(shù)目寫作：n(BC)= n() =0。第一節(jié)集合聯(lián)集的意義聯(lián)集(union)表示屬於A事件或B事件的元素組成的集合，記作AB。 是聯(lián)集的符號(hào)若B=1, 2, 3, A=2, 3, 4，則： AB=1, 2, 3, 4（如圖深色區(qū)塊部分）A、B聯(lián)集的樣本點(diǎn)數(shù)目為：n(AB)=4。第一節(jié)集合餘集的意義 餘集(complement)表示在樣本空間S下，若B屬於S內(nèi)的某一事件，則不屬

5、於該事件B的所有元素組成的集合，稱為其餘集，記作 。投擲一公正骰子，令B為其一事件，則： S=1, 2, 3, 4, 5, 6 B=1, 2, 3在樣本空間S下，B事件的餘集為： =4, 5, 6（如圖深色區(qū)塊部分）第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則事件機(jī)率的意義和測(cè)度上一節(jié)提到，在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)之前，我們是無法預(yù)知哪一種結(jié)果必然會(huì)發(fā)生，但我們卻可計(jì)算出各個(gè)可能結(jié)果發(fā)生的機(jī)會(huì)或程度。事件機(jī)率就是用來表達(dá)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)和程度。 事件E的機(jī)率是以符號(hào)P(E)來表示。P是probability的縮寫，代表機(jī)率函數(shù)。P(E)表示透過某種函數(shù)的運(yùn)算而獲得的機(jī)率值。機(jī)率的值域在01之間，可寫作： 0 P(E) 1第二節(jié)

6、機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則古典機(jī)率測(cè)度法(1)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間內(nèi)的所有樣本點(diǎn)，具有相同的出現(xiàn)機(jī)會(huì)。譬如投硬幣出現(xiàn)正面和反面的機(jī)會(huì)均等。(2)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)在相同條件下，可重複執(zhí)行，各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)依然不變。(3)在滿足上述兩條件下，事件E發(fā)生的機(jī)率，以符號(hào)表示為：第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則前述的事件機(jī)率測(cè)度法有一先決的必備條件，那就是實(shí)驗(yàn)前須先確定樣本空間內(nèi)所有樣本點(diǎn)的發(fā)生機(jī)會(huì)具有均等性。我們稱它作先驗(yàn)機(jī)率(prior probability)。又因?yàn)榇朔椒ㄗ钤绫惶岢?，因此又被稱為古典機(jī)率(classical probability)。第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則機(jī)率的公理第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則所謂

7、的公理是指不論應(yīng)用何種方式求出來的機(jī)率皆必須共同遵守的規(guī)則，意即機(jī)率運(yùn)算的重要理論原則。依單元5-30至單元5-33，歸納出機(jī)率的公理如下：第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則相對(duì)次數(shù)機(jī)率測(cè)度法在討論古典機(jī)率測(cè)度法時(shí)，曾提到有一極重要的必備條件，即是樣本空間內(nèi)所有樣本點(diǎn)的出現(xiàn)，必須具有均等性。樣本空間內(nèi)各個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生機(jī)會(huì)不相等時(shí)(參單元5-36)，就不適合採用古典機(jī)率測(cè)度法來計(jì)算機(jī)率。相對(duì)次數(shù)機(jī)率測(cè)度法正可用來取代古典機(jī)率測(cè)度法。第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則以公式表達(dá)此一定義：第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則相對(duì)次數(shù)機(jī)率測(cè)度法僅是求得機(jī)率的近似值，試行N的次數(shù)愈大，機(jī)率值精確度愈高。理論上，當(dāng)試行N是無限大時(shí)

8、，就可保證得到完全精確的機(jī)率了。下面公式可說明此一意義。第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則主觀機(jī)率測(cè)度法 用主觀判斷來測(cè)度一事件發(fā)生的機(jī)率，會(huì)因個(gè)人的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和直覺等的不同而異，其對(duì)事件機(jī)率所下的判斷和評(píng)估是否正確，必須待事件發(fā)生之後，才能有所印證和揭曉。茲以機(jī)率符號(hào)來表示主觀機(jī)率：第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則應(yīng)用相對(duì)次數(shù)機(jī)率測(cè)度法求事件機(jī)率在樣本空間S之下，事件E的機(jī)率為：事件E包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)與樣本空間樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)之比值：第二節(jié)機(jī)率之測(cè)度及運(yùn)算法則應(yīng)用機(jī)率運(yùn)算法求事件機(jī)率任兩事件A和C聯(lián)集的機(jī)率為：若A和B兩事件為互斥，則其聯(lián)集的機(jī)率為：第三節(jié)雙維聯(lián)合機(jī)率聯(lián)合次數(shù)分配的形成對(duì)一樣本空間，依分類標(biāo)準(zhǔn)

9、X分割成r個(gè)相互排斥的部分空間，而為其任一空間（即屬一事件）；然後，再依分類標(biāo)準(zhǔn)Y，把它分割成c個(gè)相互排斥的部分空間，為其任一空間（亦屬一事件）。如是，樣本空間就被兩分類標(biāo)準(zhǔn)X和Y，聯(lián)合分割成rc個(gè)小部分空間，如表5-5所示。第三節(jié)雙維聯(lián)合機(jī)率將表5-4各空間內(nèi)之交集，轉(zhuǎn)換成樣本點(diǎn)數(shù)，即成為聯(lián)合次數(shù)分配表，或稱列聯(lián)表(contingency table)。 表5-5 x和y構(gòu)成的聯(lián)合次數(shù)分配表第三節(jié)雙維聯(lián)合機(jī)率雙維聯(lián)合機(jī)率所謂雙維聯(lián)合機(jī)率是指2個(gè)類別的事件同時(shí)發(fā)生的機(jī)率。對(duì)表5-6的和兩事件形成的交集（聯(lián)合事件），求其機(jī)率，即為雙維聯(lián)合機(jī)率。記作： P(xiyj), i=1, 2, r j=1, 2, c如果分類表的分類標(biāo)準(zhǔn)增加至3個(gè)或以上，則稱為多維聯(lián)合機(jī)率。第三節(jié)雙維聯(lián)合機(jī)率邊際機(jī)率 在2個(gè)類別（分類標(biāo)準(zhǔn)）的事件中，若僅考慮其中1個(gè)類別所發(fā)生的機(jī)率，稱為邊際機(jī)率(marginal probability)。換句話說，對(duì)表5-7中，僅考慮或單一事件發(fā)生的機(jī)率，記作： P(xi), i=1, 2, r P(yj), j=1, 2, c第四節(jié)條件機(jī)率條件機(jī)率的意義和運(yùn)算條件機(jī)率(conditional p