壓電振子的振動(dòng)模式 17-070125102608

1、壓電振子的振動(dòng)模式vibration modes薄長(zhǎng)條縱向伸縮振動(dòng) 薄圓片、棒、薄圓環(huán)、薄球殼、面切變、彎曲振動(dòng)，厚度振動(dòng)，能陷振動(dòng)模，機(jī)電類(lèi)比和線性機(jī)電網(wǎng)絡(luò)，1前幾章我們根據(jù)晶體的對(duì)稱(chēng)性，分析討論了不同對(duì)稱(chēng)性的壓電晶體所具有的獨(dú)立的介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)，以及這些量與電學(xué)量電位移、電場(chǎng)強(qiáng)度等之間的關(guān)系，與機(jī)械量應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系（胡克定律），與電學(xué)量和機(jī)械量之間的關(guān)系（壓電方程組）等等，但是未涉及到如何確定這些常數(shù)的數(shù)值。 2在實(shí)驗(yàn)上通常是通過(guò)測(cè)定壓電元件的諧振頻率和反諧振頻率的方法來(lái)確定這些常數(shù)的，這就要求對(duì)晶體的這些常數(shù)同晶片的諧振頻率和反諧振頻率之間的關(guān)系進(jìn)行理論分析。這種實(shí)驗(yàn)

2、的和理論的分析工作，是研究壓電晶體的一個(gè)重要方面。 確定材料參數(shù)3另一方面，壓電元件常用于振蕩器、濾波器、換能器、光調(diào)幅器以及延遲線等等。這些器件都是壓電效應(yīng)來(lái)激發(fā)壓電體的機(jī)械振動(dòng)。因此，只有通過(guò)對(duì)壓電元件的振動(dòng)模式的討論，才能較深入地了解壓電元件的工作原理和工作性質(zhì)。 元器件的設(shè)計(jì) 4雖然壓電晶體（包括已極化的壓電陶瓷）是各向異性體，但是壓電元件都是根據(jù)工作需要，選擇有利的方向切割下來(lái)的晶片，這些晶片大多數(shù)薄長(zhǎng)片、圓片、方片等較簡(jiǎn)單的形狀，它的基本振動(dòng)模式（如伸縮振動(dòng)、切變振動(dòng)等）大體上與各向同性的彈性介質(zhì)相同，都是在有限介質(zhì)中以駐波的形式傳播，只有在非常簡(jiǎn)單的情況下，才可能得到波動(dòng)方程的準(zhǔn)

3、確解。 5對(duì)于稍復(fù)雜的情況，只有近似解。在本章中，不可能對(duì)各種振動(dòng)方式都進(jìn)行詳細(xì)討論，只是對(duì)其中最簡(jiǎn)單最常用的振動(dòng)模式作較系統(tǒng)而全面的分析討論，希望通過(guò)對(duì)特殊性的討論了解普遍性。 6薄長(zhǎng)片壓電振子的長(zhǎng)度伸縮振動(dòng) 薄長(zhǎng)片壓電振子的長(zhǎng)度伸縮振動(dòng)，又稱(chēng)縱向振動(dòng)，是壓電元件中常采用的一種振動(dòng)方式，也是最簡(jiǎn)單的振動(dòng)方式。在這一節(jié)中除了討論壓電振子的縱向振動(dòng)特性外，還要討論壓電振子的等效電路以及壓電材料的介電常數(shù)、彈性常數(shù)和壓電常數(shù)的測(cè)量等內(nèi)容。 7薄長(zhǎng)片壓電振子的壓電方程組 設(shè)d310的壓電晶體的zx切割晶片，長(zhǎng)度l沿x方向，寬度lw沿y方向，厚度lt沿z方向，并且有l(wèi)lw和lt，電極面與z軸垂直，如圖

4、6-3所示。因?yàn)閘lw和lt，長(zhǎng)度方向是主要因素，所以只考慮應(yīng)力分量T1的作用，其它應(yīng)力分量T2、T3、T4、T5、T6可以忽略不計(jì)。 8因?yàn)殡姌O面垂直于z軸，所以只要考慮電場(chǎng)分量E3的作用，其它電場(chǎng)分量E1、E2可以忽略不計(jì)。又因?yàn)闇y(cè)量時(shí)（或工作時(shí)）只是薄片的中心被夾住，片的兩端為自由端，即薄片的邊界條件為機(jī)械自由，在邊界上的應(yīng)力分量T1|邊界=0。還有電極面是等位面。 9圖5-1 薄長(zhǎng)片壓電振子10在此情況下，可以選T1、E3為自變量，用第一類(lèi)壓電方程組，即：根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得到薄長(zhǎng)片的運(yùn)動(dòng)方程為：11為了得到薄長(zhǎng)片壓電振子的波動(dòng)方程，就需要根據(jù)壓電方程組中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系式，代入波動(dòng)

5、方程得：12因?yàn)閴弘娬褡拥碾姌O面是等位面，電場(chǎng)分量E3在晶片中是均勻分布的，即有E/x=0。將這些關(guān)系代入上式式即得薄長(zhǎng)片壓電振子的波動(dòng)方程為：聲速13若壓電振子是在交變電場(chǎng)E3=E0ejt的激發(fā)下，通過(guò)壓電效應(yīng)產(chǎn)生縱向振動(dòng)，則上式的通解為：式中波矢k=/c；A、B為待定系數(shù)，由邊界條件確定。14滿足邊界條件的解因?yàn)閴弘娬褡拥膬啥藶樽杂啥?，它的機(jī)械自由邊界條件為: x=0時(shí)，有T1|x=0=0； x=l時(shí)，有T1|x=l=0; T1=?15而應(yīng)力的表達(dá)式可以寫(xiě)為：16代入邊界條件得:x=0時(shí),T1=0：x=l時(shí), T1=0：17稍加整理即得:18把A、B代回到波動(dòng)方程的解中，得到滿足邊界條件的

6、解為:19為了對(duì)上式所表示的波形有較具體的了解，在圖5-2中，繪出了t=0及t= /=1/2周期時(shí)的波形。從圖5-2中可以看出上式代表縱駐波方程式，即在薄長(zhǎng)片壓電振子中傳播的是縱駐波。20圖5-2 薄長(zhǎng)片壓電振子的縱向振動(dòng)21t=0時(shí)：t=/時(shí)：22x0l/2lt=0u0t=/u023薄長(zhǎng)片壓電振子中的應(yīng)力、應(yīng)變以及電位移與（x、t）的關(guān)系為:式中E3=E0ejt2425式中：或:26通過(guò)薄長(zhǎng)片壓電振子的電流 因?yàn)橥ㄟ^(guò)壓電振子電極面上的電流I3等于電極面上的電荷Q3隨時(shí)間的變化率，即:而電極面上的電荷Q3與電位移D3的關(guān)系為27(5-15)28最后得到通過(guò)壓電振子電極面的電流為:所以有:29薄

7、長(zhǎng)片壓電振子的等效導(dǎo)納若通過(guò)薄長(zhǎng)片壓電振子的電流為I3，兩電極之間電壓為V3，則壓電振子等效阻抗Z為，壓電振子的等效導(dǎo)納G為:30兩電極面之間的電壓V3為:壓電振子的等效導(dǎo)納為：31牛頓定律壓電方程波動(dòng)方程邊界條件質(zhì)點(diǎn)位移電位移電流，導(dǎo)納材料參數(shù)，等效電路32結(jié)果分析以上就是如何通過(guò)壓電方程和波動(dòng)方程求得壓電振子的等效導(dǎo)納方法。下面進(jìn)一步分析在不同頻率時(shí)壓電振子導(dǎo)納的性質(zhì)。 33頻率很低時(shí)的情況low frequency當(dāng)外加交變電場(chǎng)的頻率很低時(shí)，即很小時(shí)，可以近似認(rèn)為k=/c 0，于是34頻率很低時(shí)，薄長(zhǎng)片壓電振子的等效導(dǎo)納式中電容：35自由介電常數(shù)T33的確定可見(jiàn)低頻時(shí)壓電振子等效為一個(gè)電

8、容性元件，或者說(shuō)在低頻時(shí)，壓電振子在電路中只起一個(gè)電容器的作用，它的電容數(shù)值由（5-21）式確定。實(shí)驗(yàn)上就是通過(guò)在很低頻率下，測(cè)量壓電振子的電容Clow（稱(chēng)為低頻電容）來(lái)確定自由介電常數(shù)T33。 36應(yīng)該注意，這里所說(shuō)的“頻率很低”是指外加交變電場(chǎng)的頻率f（或）遠(yuǎn)小于壓電振子的諧振頻率fr（或r）的情況，即ffr，或0，于是：46在反諧振頻率時(shí)的情況因?yàn)?，所以(+)/2在第二象限，這時(shí)tan(+)/2)0，并隨頻率的增加在（- 0）范圍內(nèi)變化，因此一定存在某一個(gè)頻率fa或a，即k=ka=a/c時(shí)，使得:47即當(dāng)k=ka時(shí)，薄長(zhǎng)片壓電振子的等效導(dǎo)納為零，等效阻抗為無(wú)限大；通過(guò)壓電振子的電流等于

9、零。導(dǎo)納：48在反諧振頻率時(shí)電流：阻抗：49可見(jiàn)，當(dāng)外加交變電場(chǎng)E3的頻率f=fa或=a時(shí)，壓電振子的等效阻抗為無(wú)限大（實(shí)際上為最大值），通過(guò)的電流為最?。吹扔诹悖＿@也是一種諧振現(xiàn)象，相應(yīng)的頻率fa稱(chēng)為反諧振頻率。實(shí)驗(yàn)上，常通過(guò)測(cè)量諧振頻率與反諧振頻率來(lái)確定機(jī)電耦合系數(shù)。50縱向振子的機(jī)電耦合系數(shù)k31與諧振頻率fr和反諧振頻率fa之間的關(guān)系欲得到的k31與fr和fa的關(guān)系式，要從（5-24）式出發(fā)，將（5-24）式改寫(xiě)為 （5-25）51再將 以及 代入（5-25）式得 52 （5-26）因?yàn)榉粗C振頻率稍大于諧振頻率，故可將反諧振頻率fa寫(xiě)成53又：將這些關(guān)系代入到（5-26）式得：54

10、55再代入上式，并加整理后，即得機(jī)電耦合系數(shù)k31與諧振頻率fr與反諧振頻率fa的關(guān)系式：因?yàn)閒/fr很小，可以將展成為冪級(jí)數(shù)：56機(jī)電耦合系數(shù)k31的確定因?yàn)閒/fr很小，通常只取上式的第一項(xiàng)（最多取到第二項(xiàng)）來(lái)計(jì)算k31值，即57壓電常數(shù)d31的確定可見(jiàn)實(shí)驗(yàn)上，只要測(cè)出壓電振子的諧振頻率fr和反諧振頻率fa，代入（5-28）式，即可確定機(jī)電耦合系數(shù)k31。再結(jié)合通過(guò)低頻電容C0確定的自由介電常數(shù)T33=ltC0/llw，即可確定壓電常數(shù)d3158和夾持介電常數(shù) （5-30）59總之，通過(guò)薄長(zhǎng)片壓電振子的諧振頻率fr、反諧振頻率fa以及低頻電容Clow和密度，即可確定壓電晶體（或壓電陶瓷）的

11、彈性柔順常數(shù)sE11、壓電常數(shù)d31、自由介電常數(shù)T33、夾住介電常數(shù)S33和機(jī)電耦合系數(shù)k31等物理量。60薄長(zhǎng)片壓電振子的等效電路equivalent circuit器件設(shè)計(jì)For device design61已知薄長(zhǎng)片壓電振子的等效導(dǎo)納G（或等效阻抗Z）為62當(dāng)外加電場(chǎng)的頻率很低時(shí)，壓電振子的等效導(dǎo)納為：可見(jiàn)頻率很低時(shí)，壓電振子在電路中只起著一個(gè)電容為Clow的電容器的作用，它的阻抗為Z=1/(jClow)，在此情況下的壓電振子的等效電路是如圖5-3所示純電容電路。63圖5-3 頻率很低時(shí)壓電振子的等效電路64串聯(lián)諧振 Series resonant等效阻抗Z|fr=0，電流I3=（實(shí)

12、際上I3=極大值）。這種諧振現(xiàn)象與無(wú)線電中的LC 串聯(lián)諧振現(xiàn)象相同。因?yàn)長(zhǎng)C 串聯(lián)諧振時(shí)，電路中的阻抗=0，電流=。當(dāng)外加電場(chǎng)的頻率等于壓電振子的諧振頻率fr時(shí)，壓電振子的等效導(dǎo)納為：65所以可以認(rèn)為諧振時(shí)，壓電振子在電路中起著一個(gè)串聯(lián)的電容C1和電感L1的作用。在此情況下，壓電振子的等效電路如圖5-4所示的串聯(lián)電路。壓電振子的諧振頻率fr就等于LC串聯(lián)電路中的諧振頻率fs。66圖 5-4 諧振時(shí)壓電振子的等效電路67并聯(lián)諧振 parallel resonant當(dāng)外加電場(chǎng)的頻率等于壓電振子的反諧振頻率fa時(shí)，壓電振子的等效導(dǎo)納為：等效阻抗Z|fa=，電流I3=0（實(shí)際上為電流極小）。這種諧振現(xiàn)

13、象與無(wú)線電中的LC 并聯(lián)諧振現(xiàn)象相同。因?yàn)長(zhǎng)C 并聯(lián)諧振時(shí)，電路中的阻抗無(wú)限大，電流為零。68所以可以認(rèn)為反諧振時(shí)，壓電振子在電路中起著一個(gè)由電容C0和電感L1以及電容C1相并聯(lián)的作用。在此情況下，壓電振子的等效電路如圖5-5所示的LC并聯(lián)電路。壓電振子的反諧振頻率fa就等于LC并聯(lián)電路中的諧振頻率fp。 69圖 5-5 反諧振時(shí)壓電振子的等效電路70壓電振子等效電路中的C0、L1和C1與壓電常數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)之間的關(guān)系 一方面，壓電振子的振動(dòng)特性是由壓電振子的內(nèi)部矛盾來(lái)解決的，即由壓電振子的壓電常數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)來(lái)決定的。另一方面，壓電振子的振動(dòng)特性又可用LC 串聯(lián)電路和LC 并

14、聯(lián)電路反映出來(lái)。因此等效電路中的C0、L1和C1與壓電常數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)之間存在一定的關(guān)聯(lián)。 71這個(gè)聯(lián)系可通過(guò)壓電振子的等效阻抗（或等效導(dǎo)納）與LC電路中的阻抗加以比較而得到。已知壓電振子的等效導(dǎo)納為： 72其中： 為分路電容， 為分路阻抗， 為動(dòng)態(tài)阻抗，73使動(dòng)態(tài)阻抗Z1在諧振頻率附近展開(kāi)，因?yàn)?4故得： （5-31）75使LC串聯(lián)阻抗在串聯(lián)諧振頻率 附近展開(kāi)得： （5-32） 76比較（5-31）式與（5-32）式可以看出，在諧振頻率附近，取一級(jí)近似可得動(dòng)態(tài)阻抗等效于（集總參數(shù)）LC串聯(lián)阻抗，其中聯(lián)系為： （5-34）式 （5-33）式 77（5-33）與（5-34）兩式分別給出了

15、壓電振子的等效電感、等效電容和壓電常數(shù)、彈性常數(shù)之間的關(guān)系。78幾點(diǎn)注意事項(xiàng)通過(guò)上述討論使我們對(duì)薄長(zhǎng)片壓電振子的振動(dòng)特性、等效電路以及有關(guān)的壓電常數(shù)、彈性常數(shù)、介電常數(shù)和機(jī)電耦合系數(shù)的測(cè)量有了一個(gè)較全面的了解。但是應(yīng)該注意，上述討論是在壓電振子不存在損耗的條件下進(jìn)行的。79實(shí)際上壓電振子總是存在損耗的，只是在損耗很小時(shí)，才可能將損耗忽略不計(jì)，近似認(rèn)為是無(wú)損耗的壓電振子。 如果壓電振子的損耗不能忽略不計(jì)，就需要計(jì)入損耗的影響，于是問(wèn)題就比較復(fù)雜了。80這里只提出如下兩點(diǎn)注意：（1）在同樣大小的外加交變電場(chǎng)E3=E0cos(t)作用下，有機(jī)械損耗的壓電振子的振幅比無(wú)損耗的壓電振子的振幅小一些，這種

16、損耗在等效電路中的反映就是存在等效電阻R1，如圖5-6所示。81圖 5-6 有損耗時(shí)壓電振子的等效電路82其中等效電路參數(shù)為： （5-35）其中Qm為機(jī)械品質(zhì)因子。83（2）無(wú)損耗時(shí)，壓電振子的諧振頻率fr，就等于LC串聯(lián)電路的諧振頻率fs，也等于阻抗最?。娏髯畲螅r(shí)的fm。壓電振子的反諧振頻率fa等于LC并聯(lián)電路中的諧振頻率fp，也等于等效阻抗最大（電流最?。r(shí)的測(cè)量頻率fn，即有：84有損耗時(shí)，壓電振子的這些頻率不在相等，而是85即有損耗時(shí)，實(shí)際測(cè)量的阻抗最小，電流最大時(shí)的頻率fm，和阻抗最大，電流最小時(shí)的頻率fn，既不等于壓電振子的諧振頻率fr和反諧振頻率fa，也不等于LC串聯(lián)諧振頻率fs和LC并聯(lián)諧振頻率fp。86但是當(dāng)?shù)刃щ娮鑂1較小的情況下（即Qm值較高的情況下），fm、fr、fs之間相差較小，fn、fa、fp之間相差也較小。所以實(shí)用上常忽略這個(gè)差別，近似地認(rèn)為相等