電力變壓器與工程電磁場(chǎng)

1、第1章 電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)11.1 矢量分析1. 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量：只有大小而沒(méi)有方向的量。如電壓U、電荷量Q、電流I、面積S 。矢量：具有大小和方向特征的量。如電場(chǎng)強(qiáng)度矢量、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量、作用力矢量、速度矢量等。標(biāo)量場(chǎng)：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場(chǎng)。例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等可以用標(biāo)量場(chǎng)來(lái)表示。矢量場(chǎng)：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場(chǎng)。例如流體空間中的流速分布等可以用矢量場(chǎng)來(lái)表示。22. 場(chǎng)的場(chǎng)圖表示 對(duì)矢量場(chǎng)，則用一些有向曲線來(lái)形象表示矢量在空間的分布，稱為力線或流線。力線上任意點(diǎn)的切線方向必定

2、與該點(diǎn)的矢量方向相同。 對(duì)標(biāo)量場(chǎng)，用等值面圖表示。空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)集合形成的曲面稱為等值面，例如氣象圖上的等壓線，地圖上的等高線等。 33.矢量的通量、散度 一個(gè)開(kāi)表面上的面元，其方向與圍成該開(kāi)表面的閉合回路的方向呈右螺旋關(guān)系。一個(gè)閉合面上的面元，其方向?yàn)樵撻]合面的外法線方向。4通量定義：矢量A沿某一有向曲面S的面積分為A通過(guò)S的通量，即 。物理意義：矢量通過(guò)閉合面的通量反映了閉合面內(nèi)源的性質(zhì)。散度定義：在矢量場(chǎng)A中，圍繞 P 點(diǎn)做一閉合面，所圍體積為，若穿過(guò)閉合面的通量與之比的極限存在，則該極限稱為矢量場(chǎng)A在 P 點(diǎn)的散度,即物理定義：包圍單位體積閉合面的通量。 計(jì)算公式 ： 散度（高斯

3、）定理 ： 54. 矢量的環(huán)流、旋度 定義：矢量A沿某一有向閉合曲線C的線積分為A沿C的環(huán)流，即物理意義：矢量沿閉合曲線的環(huán)流反映了閉合曲線內(nèi)源的性質(zhì) 。矢量的旋度：在矢量場(chǎng)A中，圍繞P點(diǎn)做一閉合回路c，所圍面積為S，其法線方向單位矢量為n；A的旋度是矢量，其大小為S0時(shí)環(huán)流面密度的最大值，其方向?yàn)槭弓h(huán)流面密度取最大值時(shí)面元的法線方向，即 6物理意義：矢量的旋度是環(huán)流面密度的最大值，與面元的取向無(wú)關(guān)。 計(jì)算公式 ：斯托克斯定理 ： 75.標(biāo)量的梯度 定義：標(biāo)量場(chǎng)u在某點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量，其方向?yàn)閡增加最大的方向，即等值面法線方向；其大小等于u在該方向上的增加率，即最大增加率。 物理意義：標(biāo)量的

4、梯度表示了標(biāo)量 u 增加率的最大值及方向。 計(jì)算公式：標(biāo)量沿某一方向的方向?qū)?shù)等于標(biāo)量的梯度在該方向上的投影，即 8證明：96.矢量恒等式 7.亥姆霍茲定理 定理：位于空間有限區(qū)域內(nèi)的矢量場(chǎng)，當(dāng)它的散度，旋度以及它在區(qū)域邊界上的場(chǎng)分布給定之后，該矢量場(chǎng)就被唯一確定；對(duì)于無(wú)限大空間，如果矢量在無(wú)限遠(yuǎn)處減少至零，則該矢量由其散度和旋度唯一確定。 10幾個(gè)場(chǎng)的名稱和性質(zhì) ：保守場(chǎng)：場(chǎng)強(qiáng)沿線積分與路徑無(wú)關(guān)，沿閉合回路的積分為零。無(wú)旋場(chǎng)： 旋度為零的矢量場(chǎng)叫做無(wú)旋場(chǎng)。 標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，如靜電場(chǎng)。無(wú)散場(chǎng)： 散度為零的矢量場(chǎng)叫做無(wú)散場(chǎng)。矢量場(chǎng)的旋度場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)，如恒定磁場(chǎng)。由亥姆霍茲定理可知，對(duì)矢量場(chǎng)

5、的研究應(yīng)從散度和旋度兩方面進(jìn)行。散度方程和旋度方程組成了矢量場(chǎng)的基本微分方程，通量方程和環(huán)流方程組成了矢量場(chǎng)的基本積分方程 。111.2 時(shí)變電磁場(chǎng)的基本方程 1.時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生有旋、無(wú)散電場(chǎng) 法拉第電磁感應(yīng)定律 :式中，in為感應(yīng)電勢(shì)，S為以閉合回路為邊界的曲面，n為S的單位法向量，為穿過(guò)曲面S的磁通。它們之間的關(guān)系如圖1所示。式中的負(fù)號(hào)可由楞次定律說(shuō)明，即感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)將抵抗原來(lái)磁場(chǎng)的變化 。 12對(duì)應(yīng)感應(yīng)電勢(shì)in，存在感應(yīng)電場(chǎng)Ein，且感應(yīng)電勢(shì)in等于感應(yīng)電場(chǎng)Ein沿閉合回路的線積分，即：可以看出，感應(yīng)電場(chǎng) Ein 沿閉合回路的線積分不為零。換句話說(shuō)，感應(yīng)電場(chǎng)為非保守場(chǎng)。 假設(shè)在隨時(shí)間

6、變化的磁場(chǎng)中，閉合回路C以速度v在t的時(shí)間間隔內(nèi)位移了vt的距離，則閉合回路中磁通的變化率為： 13閉合回路C的一個(gè)線元dl也在t的時(shí)間間隔內(nèi)位移了vt的距離，它掃過(guò)一個(gè)面元，整個(gè)回路掃過(guò)一個(gè)側(cè)面S（t）。S（t），S（t）和S（t+t）構(gòu)成一個(gè)閉合曲面，令其為S0，則由磁通連續(xù)性原理，在t+t時(shí)刻，應(yīng)有：用泰勒公式展開(kāi)為： 略去二階以上的無(wú)窮小項(xiàng)，帶入上式，得：14移項(xiàng)，可得：由此可得：利用斯托克斯定理：曲面S是任意的,等號(hào)兩邊的積分核必須相等，即 ：感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度線是無(wú)頭無(wú)尾的閉合曲線，它對(duì)任意閉合曲面的面積分必然為零，或者說(shuō)它的散度為零（ ）?？梢?jiàn)，感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)，無(wú)散場(chǎng)。 15如

7、果空間還存在庫(kù)侖電荷，則庫(kù)侖電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖電場(chǎng)Ec與靜電場(chǎng)性質(zhì)相似，是無(wú)旋場(chǎng)，有散場(chǎng)，只是場(chǎng)量隨時(shí)間變化。此時(shí)空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)為感應(yīng)電場(chǎng)與庫(kù)侖電場(chǎng)之和，即： 可得 ： 由于感應(yīng)電場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)，靜電場(chǎng)中的高斯定理可以推廣到時(shí)變電磁場(chǎng)，且具有相同的形式，其積分和微分形式分別為 ： 162. 時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生有旋、無(wú)散磁場(chǎng) 恒定磁場(chǎng)的安培環(huán)路定律不再適用于時(shí)變電磁場(chǎng)，因?yàn)樗c經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明的電荷守恒定律相矛盾: 恒定磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)靜電場(chǎng)中的高斯定理可以在形式上不加修改地應(yīng)用于時(shí)變電磁場(chǎng)，將其微分形式代入電荷守恒定律，得17定義 ，稱為位移電流密度。表明傳導(dǎo)電流與位移電流之和是連續(xù)的，這也稱為全電流連續(xù)性原理。

8、 相應(yīng)的位移電流為： 位移電流與傳導(dǎo)電流一樣，可以產(chǎn)生磁場(chǎng)。換一個(gè)角度講，可以將恒定磁場(chǎng)的安培環(huán)路定律推廣到時(shí)變電磁場(chǎng)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 18由斯托克斯定理，可以得到推廣的安培環(huán)路定律的微分形式： 即變化的電場(chǎng)可以產(chǎn)生磁場(chǎng)。這一問(wèn)題的物理意義可以通過(guò)下面的例子得到進(jìn)一步的說(shuō)明。 可知二者應(yīng)該相等，即傳導(dǎo)電流與位移電流之和是連續(xù)的。 19位移電流與傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)性質(zhì)相同，都是有旋場(chǎng)、無(wú)散場(chǎng)。因此，在時(shí)變電磁場(chǎng)中，磁通連續(xù)性原理仍然成立，即： 3.麥克斯韋方程 20全電流連續(xù)性方程和電荷守恒定律可以從推廣的安培環(huán)路定律和高斯定理的微分形式導(dǎo)出。對(duì)于線性、各向同性媒質(zhì)，有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系： 【

9、例1】如圖所示，一根導(dǎo)電棒可以在兩條導(dǎo)電軌道上自由滑動(dòng)，計(jì)算導(dǎo)電棒上的感應(yīng)電勢(shì)，(1) 如果導(dǎo)電棒靜止在y=8cm處，且B=az4cos106t mWb/m2；(2) 如果導(dǎo)電棒以速度v=20ay m/s滑動(dòng)，且B=4az mWb/m2；(3) 如果導(dǎo)電棒以速度v=20ay m/s滑動(dòng)，且B=az4cos（106t-y）mWb/m2。 21 QBvP圖6-3 例6-1圖06cm解:(1) 可得：感應(yīng)電勢(shì)的參考方向是從Q點(diǎn)指向P點(diǎn)。 (2)由式（6-4），可得： 感應(yīng)電勢(shì)的參考方向仍然是從Q點(diǎn)指向P點(diǎn)。22(3)此時(shí)既存在隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，又存在運(yùn)動(dòng)的媒質(zhì),可以用兩種方法求解 方法一：23方法二：首先計(jì)算閉合回路中的磁通：利用dy/dt=