電動(dòng)力學(xué)課件2-4-1靜電場(chǎng)的問題分析方法

1、靜電場(chǎng)的問題分析方法之三鏡 象 法12.4 鏡 象 法重點(diǎn)掌握：1、鏡象法的基本概念2、用鏡象法求解靜電勢(shì)的基本方法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 求解泊松方程的難度、鏡象法的概念和適用條件 一般靜電問題可以通過求解泊松方程或拉普拉斯方程得到電場(chǎng)。但是，在許多情況下非常困難。例如，對(duì)于介質(zhì)中、導(dǎo)體外存在點(diǎn)電荷的情況雖然可以采用疊加法求解，但介質(zhì)分界面或?qū)w表面上的電荷一般非均勻分布的，造成電場(chǎng)缺乏對(duì)稱性，求解比較困難QQ2. 鏡象法的理論依據(jù) -唯一性定理 在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。 特別是對(duì)于只有幾個(gè)自由點(diǎn)電荷時(shí)，可以將導(dǎo)體面上感應(yīng)電

2、荷分布等效地看作一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷來給出嘗試解。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 34 鏡象法概念、適用情況鏡象法：用假想點(diǎn)電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢(shì)分布。適用情況： 所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替。b)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對(duì)稱性。 c) 給定邊界條件注意：a）做替代時(shí)，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由 點(diǎn)電荷位置、Q 大小不能變）。所以假想電荷必須放在 所求區(qū)域之外。b）不能改變?cè)羞吔鐥l件（實(shí)際是通過邊界條件來確定假 想電荷的大小和位置）。c）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮

3、原來的電荷分布。d）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5四、應(yīng)用舉例接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，求空間電勢(shì)。QQ/Pz解：根據(jù)唯一性定理左半空間右半空間，Q在（0，0，a）點(diǎn)，電勢(shì)滿足泊松方程。邊界上從物理問題的對(duì)稱性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左半空間 z 軸上。設(shè)電量為，位置為（0，0，） 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6由邊界條件確定和、唯一解是 因?yàn)橄耠姾稍谧蟀肟臻g，所以舍去正號(hào) 解討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7（b）電荷Q 產(chǎn)生的電場(chǎng)的電力線全部終止在導(dǎo)體面上 它與無導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的

4、電場(chǎng)在 右半空間完全相同。 （c） 與 位置對(duì)于導(dǎo)體板鏡象對(duì)稱，故這種方法稱 為鏡象法（又稱電象法）（d）導(dǎo)體對(duì)電荷Q 的作用力相當(dāng)兩點(diǎn)電荷間的作用力機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8解：（1）分析：因?qū)w球接地故球的電勢(shì)為零。根據(jù)鏡象法原則假想電荷應(yīng)在球內(nèi)。因空間只有兩個(gè)點(diǎn)電荷，場(chǎng)應(yīng)具有軸對(duì)稱，故假想電荷應(yīng)在線上，即極軸上。真空中有一半徑R0的接地導(dǎo)體球，距球心 a R0 處有一點(diǎn)電荷 Q，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 球坐標(biāo)系PROZ9（2）由邊界條件確定和設(shè) 因 任意的解得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10（3）討論： 導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，

5、可認(rèn)為電荷 移到地中去了。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ， 因此Q發(fā)出的電力線一部分會(huì)聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到無窮遠(yuǎn)。 球面感應(yīng)電荷分布11（4）若導(dǎo)體不接地，可視為 分布在導(dǎo)體面上。不接地導(dǎo)體已為等勢(shì)體，加上 還要使導(dǎo)體為等勢(shì)體， 必須均勻分布在球面上。這時(shí)導(dǎo)體球上總電量（因?yàn)榫鶆蚍植记蛎嫔峡墒箤?dǎo)體產(chǎn)生的電勢(shì)等效于在球心的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)）。（5）若導(dǎo)體球不接地，且?guī)献杂呻姾?，導(dǎo)體上總電荷為 ，此時(shí)要保持導(dǎo)體為等勢(shì)體， 也應(yīng)均勻分布在球面上。 等效電荷一般是一個(gè)點(diǎn)電荷組或一個(gè)帶電體系，而不一定就是一個(gè)點(diǎn)電荷。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12（6）導(dǎo)體球不接地而帶自由電荷 時(shí)

6、 所受到的作用力可以看作 與 及位于球心處的等效電荷 的作用力之和。設(shè) ， ，第一項(xiàng)為排斥力，第二項(xiàng)為吸引力（與 無關(guān)，與 正負(fù)無關(guān)）。當(dāng)時(shí)，F(xiàn) 0 ，即正電荷與帶正電導(dǎo)體球在靠的很近時(shí)會(huì)出現(xiàn)相互吸引。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 133有一點(diǎn)電荷 位于兩個(gè)互相垂直的半無限大接地導(dǎo)體板所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為 a 和 b，求空間的電勢(shì)。 假想電荷應(yīng)在第 I 象限之外。 要保證互相垂直的兩個(gè)接地導(dǎo)體板的電勢(shì)同時(shí)為零，應(yīng)當(dāng)放幾個(gè)電荷？解：（1）分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14S2S1Q（2）電勢(shì)分布 放在 處用鏡象法求解的