第一章線彈性斷裂力學(xué)

1、第一章線彈性斷裂力學(xué)線彈性斷裂力學(xué)認(rèn)為，材料和構(gòu)件在斷裂以前基本上處于彈性范圍內(nèi)，可以耙物體視為 帶有裂紋的彈性體。研究裂紋擴(kuò)展有兩種觀點(diǎn)：一種是能量平衡的觀點(diǎn)，認(rèn)為裂紋擴(kuò)展的動 力是構(gòu)件在裂紋擴(kuò)展中所釋放出的彈性應(yīng)變能，它補(bǔ)償了產(chǎn)生新裂紋表而所消耗的能量，如 Griffith理論：一種是應(yīng)力場強(qiáng)度的觀點(diǎn)，認(rèn)為裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)是裂紋尖端的應(yīng)力場 強(qiáng)度達(dá)到材料的臨界值，如Irwin理論。（李瀕） 1.1線彈性斷裂力學(xué)的基本理論線彈性斷裂力學(xué)的基本理論包括：Griffith理論，即能量釋放率理論；Irwin 理論，即應(yīng)力強(qiáng)度因子理論。一、Griffith 理論1913年，Inglis研究了無限大

2、板中含有一個穿透板厚的橢圓孔的問題，得 到了彈性力學(xué)精確分析解，稱之為Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃與陶 瓷材料脆性斷裂問題時，將Inglis解中的短半軸趨于0,得到Griffith裂紋。Griffith研究了如圖1-1所示厚度為B的薄平板。上、下端受到均勻拉應(yīng) 力b作用，將板拉長后，固定兩端。山Inglis解得到山于裂紋存在而釋放的彈性 應(yīng)變能為Iu =兀Cb平面應(yīng)變EU =丄平面應(yīng)力E其中：“為泊松比。另一方面，Griffith認(rèn)為，裂紋擴(kuò)展形成新的表面，需要吸收的能量為其中：了為單位面積上的表面能。如果應(yīng)變能釋放率哎，等于形成新表面所需要吸收的能量率空，則裂紋 TO

3、C o 1-5 h z dAdA達(dá)到臨界狀態(tài)；如果應(yīng)變能釋放率哎小于吸收的能量率空，則裂紋穩(wěn)定；如 dAcLA果應(yīng)變能釋放率*大于吸收的能量率，則裂紋不穩(wěn)定。因此可以得到如下 dAdA表達(dá)式d -dxd 一cud 一CL4(U S) = 0(U-S)vO臨界狀態(tài)裂紋穩(wěn)定裂紋不穩(wěn)定能量關(guān)系為（W-t/） = S（其中W為外力功）dAdA板中初始的應(yīng)變能久=*左”=需”，形成裂紋后系統(tǒng)的總能量 c = u-u+u2.以平面應(yīng)力為例:2EEda+ 4/ = 0-rzH 2E/ p d U2兀b n可得q.=，又一=0兀bdcrE當(dāng)叫=遼時，系統(tǒng)有極大內(nèi)能。當(dāng) b,時裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展. rca對于平面應(yīng)變

4、二2Ey龍（1 一，）aGriffith 判據(jù):當(dāng)外加應(yīng)力。超過臨界應(yīng)力6時;（2）當(dāng)裂紋尺寸a超過臨界裂紋尺寸時;則脆性物體斷裂（適用于理想的脆性材料）.二、Orowan與Irwin對grifflth理論的解釋與發(fā)展Orowan在1948年指出:金屬材料考慮塑性變形，”廠塑性變形功.2E 看/r(l-v2)a 嚴(yán)(小訂V g平面應(yīng)變平面應(yīng)力2E(y + Up)(l-v2)cr22E(y + Up)7ra2平而應(yīng)變平而應(yīng)力Irwin在1948年引入解記號GG = l (VV-t/)2 da其中W為外力功,/為裂紋存在釋放出的應(yīng)變能,G為裂紋能量釋放率（裂紋 擴(kuò)展能力）.判據(jù)（G準(zhǔn)則）：G =

5、GC其中：G（.是臨界值，山試驗(yàn)確定.Irwin的理論適用于金屬材料的準(zhǔn)脆性破壞一破壞前裂紋尖端附近有相當(dāng)范 圍的塑性變形。該理論的提出是線彈性斷裂力學(xué)誕生的標(biāo)志。三、應(yīng)力強(qiáng)度因子理論Ii-win判據(jù)提出后的最初十年未取得顯著的成果，主要原因是G計(jì)算不方便. 而在Irwin之前，發(fā)現(xiàn)裂紋尖端的奇異性（如圖12），即：基于這種性質(zhì)，1957年Irwin提出的解的物理量一應(yīng)力強(qiáng)度因子K,即:K = lim 丁2加0.（八0）K是僅與裂紋頂端局部相關(guān)聯(lián)的量,確定比G容易.1960年Irwin用石墨做實(shí)驗(yàn)，測定開始裂紋擴(kuò)展時的K t K,. 斷裂判據(jù)（K準(zhǔn)則）：K = K（.總結(jié):1920年Griff

6、ith理論提出,1960年線彈性斷裂力學(xué)最終建立. 1. 2裂紋的類型裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移值一、裂紋的類型1按裂紋的幾何類型分類:穿透裂紋:裂紋沿構(gòu)件整個療度貫穿.表面裂紋:深度和長度皆處于構(gòu)件表面的裂紋，可簡化為半橢圓裂紋.深埋裂紋:完全處于構(gòu)件內(nèi)部的裂紋,片狀圓形或片狀橢圓裂紋.2按裂紋的受力和斷裂特征分類：張開型（I型）：拉應(yīng)力垂直于裂紋擴(kuò)展面,裂紋上、下表面沿作用力的方向張 開,裂紋沿著裂紋面向前擴(kuò)展，是最常見的一種裂紋.滑開型（II型）：裂紋擴(kuò)展受切應(yīng)力控制，切應(yīng)力平行作用于裂紋面而且垂直 于裂紋線，裂紋沿裂紋面平行滑開擴(kuò)展.撕開型裂紋（ni型）：在平行于裂紋面而與裂紋前沿線方

7、向平行的剪應(yīng)力作用 下，裂紋沿裂紋面撕開擴(kuò)展.!紋尖端附近的應(yīng)力場位移場L I型裂紋問題的描述：無限大板，有一長為加的穿透裂紋，在無限遠(yuǎn)處受雙向拉應(yīng)力 o的作用，確定裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移場.Irwin應(yīng)用Westergaurd的方法進(jìn)行分析.（l）Westergaurd 應(yīng)力函數(shù)彈性力學(xué)平面問題的求解，歸結(jié)為要求求一個應(yīng)力函數(shù)該函數(shù)邊界條件及 雙調(diào)和方程.這類問題的應(yīng)力,應(yīng)變和位移.1939年Westergaurd應(yīng)力函數(shù)0= ReZ +yImZ其中：Z為解析函數(shù).乙乞?yàn)橐淮畏e分和二次積分.首先證明：0為應(yīng)力函數(shù).即V=o滿足雙調(diào)和方程.dx2 dy2 dx2 dy2因?yàn)?V = V2

8、ReZ+ V2(y Im乙)解析函數(shù)的性質(zhì)：(1)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分仍為解析函數(shù)(2)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均滿足調(diào)和方程、=q2_= V2 ReZ, =0 = V2(p = V2(ylmZ.) = (yImZ.) + (ylmZ) dyy遊+2(丘呢+血沁) dx2 dy dy勿 dx1 6 ay2 6柯西黎曼條件 解析函數(shù)性質(zhì):dRcZ T “d Im Z= _ImZ =_dydx8ImZ6= ReZ =ReZdx6ImZdy= 2ReZ/.V2Vv = V2(2ReZI) = 0即函數(shù)0是平面問題的應(yīng)力函數(shù).則應(yīng)力分量：6 內(nèi)2 dy1 * V Im 乙)d zoReZi T =8ImZ

9、、=(+ImZ| +y)dy dydya-=一 (-Im Z. + Im Z + y Re Z)ReZ,=Re Z. + y6=ReZ, -y ImZ,即 crA = ReZ, - y Im Z；b. = 0（平面應(yīng)力）b、= ReZ, + y Im Z/7, =v(crt+crv) = 2vReZl(平面應(yīng)變)WReZ；物理方程：人=卡（平面應(yīng)力）GJ =-(l-V2)Tr-V(l + V)CTv 、. = ； (1 一 V2 )CTv-V(l + V)Tj E人=二（平面應(yīng)變）G兒何方程：dudu得:平面應(yīng)力u =丄(li)ReZ -(l + v)y ImZJ1 _v = 2ImZ| -(

10、l + “)y ReZ E平面應(yīng)變U1 4-Vf =(l_2i/)ReZ_(l+”)yRcZE1 4-VV- 2(l-v)ImZI-yReZlE（2）求解雙向拉伸I型裂紋 邊界條件：a: y = 0 |x| RcZ【=0 乂 y = 0, yjx2-a2b嚴(yán)和=0b：熬冇軽話s即咕ReZ-ylmZ，I卄同理：6.=RcZ + yImZ召=_yRcZCT. = 0（平面應(yīng)力）（平面應(yīng)變）6 = v(crv + cr.) = 2v ReZ將應(yīng)力分量代入物理方程.S = y(；+vj (I -優(yōu))Re Z - (1 + i/)ylm ZV = V（平面應(yīng)力）1-v（平面應(yīng)變）“一辛 ReZ（平面應(yīng)力

11、）& = 0U =（平面應(yīng)變）對兒何方程積分（y： = 0平面應(yīng)力采用新的坐標(biāo)系x.o.yi=Z（歹）=令股朋）=股需証）=ZH卓丄竺-簡蘭2厲丸 22=Re Z y Im Z/ =icosd-sinsin 麗 2V 22層=磐十顧-應(yīng)力強(qiáng)度因子朋（1 + si起啟）41 2 2 2甘亠心冬灌cos蘭p /27222空=（礙+ bj平面應(yīng)變=H p-(2Zr -1) cos - - cos 4gN2兀22一鬆屢QEsinJi 礙w = 0平面應(yīng)變w = -f纟 + crjd乙 平面應(yīng)力3-4/k=ReZnrn =ReZII-，ImZII采用新坐標(biāo)Zn(餌忸/(滬艸層n(K曠鵲應(yīng)ZM滬聽?wèi)?yīng)普霜厲

12、用z/z球n型裂尖附近的應(yīng)力場和位移場若以極坐標(biāo)表示復(fù)變量g = re10 =廠(cos& +，sin&) TOC o 1-5 h z 7心、一心&0Zjj () y-(cos /sin )2 2込心 1 心 1 ,3& . . 3&、2伍學(xué)22厲嚴(yán) 22則：裂紋尖端應(yīng)力場和位移場為,=_sin(2+coscos)J 77222任C朋（1 si起in藝）廠厲7222rK=rVZ=0b廣“ (0； + by)平面應(yīng)變6=0平面應(yīng)力鼠幻（2sin非礙(2a 2) COS F cos 2 2Kv =4Gvv = 0平面應(yīng)變平面應(yīng)力E J3.撕開型on型）問題描述:無限大板，中心裂紋（穿透）2-無限遠(yuǎn)

13、處受與z方向平行的廠作用, 其位移 w = w(x, y).u = v = 0.反平而（縱向剪切）問題：非零位移為一個，_（圮刃此量與應(yīng)力分量均與Z無 關(guān).0 0O O0 00 根據(jù)兒何方程和物理方程:單元體的平衡方程：竺+ 竺 =0 n V2vr = 0位移函數(shù)滿足laplace方程. dx dy所以W為調(diào)和函數(shù).解析函數(shù)性質(zhì)：任意解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是解析的.1 _= （血刃= ImZ（z）=r =GgH；=aiinZ,dx dx= ImZii_G亦 _6Im乙dy dy= ReZm邊界條件:選取函數(shù)Zh（z） = .J才一/滿足邊界條件.取新坐時親釜 令心計(jì)忸川=T阪 1. 3應(yīng)力強(qiáng)度因子與能量釋放率G的關(guān)系能量釋放率G:裂紋擴(kuò)展單位面積所需能量.G = （W-U）da板厚為B = , W為外力功，裂紋存在釋放出的應(yīng)變能.Irwin將d（yV