2422-直線和圓的位置關(guān)系-切線長定理

1、24.2.2 直線與圓的位置關(guān)系-切線長定理成新學(xué)校 姚春蓮oop1.連結(jié)OP2.以O(shè)P為直徑作O， 與O交于A、B兩點。AB即直線PA、PB為O的切線 如圖，已知O外一點P，你能用尺規(guī)過點P作O的切線嗎？通過作圖你能發(fā)現(xiàn)什么呢？觀察實驗1.過圓外一點作圓的切線可以作兩條2.點A和點B關(guān)于直線OP對稱說明經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。切線長是一條線段過圓外一點用尺規(guī)做出兩條切線（1）切線是一條與圓相切的直線；（2）切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長。opAB如圖，PA、PB是O的切線，A、B為切點。如果連結(jié)OA、OB、OP，圖中的PA與PB，AP

2、O與BPO有什么關(guān)系？探究 PA、PB是O的切線， A、B為切點OAPA，OBPB又OAOB，OPOPRtAOPRtBOPPAPB，APOBPO結(jié)論切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。opAB符號語言 PA、PB是O的切線， A、B為切點PAPB，APOBPO猜想如圖，若連接AB，則OP與AB有什么關(guān)系？分析 PA、PB是O的切線， A、B為切點PAPB，APOBPOOPAB，且OP平分ABCD歸納從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線垂直平分切點所成的弦；平分切點所成的弧。AD與BD相等嗎？此圖為切線長定理的一個基本圖形，應(yīng)掌握我

3、們學(xué)過的切線，常有 五個 性質(zhì)：1、切線和圓只有一個公共點；2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3、切線垂直于過切點的半徑；4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；5、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角，還垂直平分切點所成的弦，平分切點所成的弧。六個opABD1234如圖所示，PA、PB分別切O于A、B兩點， PA=PB, AD=BD, 1=2，3=4， AOP=BOP, OPAB=思考 如圖,一張三角形的鐵皮,如何在它上面截下一塊圓形的用料,并且使圓的面積盡可能大呢?ID內(nèi)切圓和內(nèi)心的定義:與三角形各邊都相切的圓

4、叫做三角形的內(nèi)切圓.這個三角形叫做圓的外切三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內(nèi)心.內(nèi)心都在三角形內(nèi)部三角形內(nèi)切圓的作法：先做出三角形的兩條角平分線，以兩條角平分線的交點為圓心，交點到一邊的距離為半徑作圓，即可得到三角形的內(nèi)切圓 。 o外切圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。外切圓的半徑：交點到三角形任意一個頂點的距離。三角形外接圓三角形內(nèi)切圓o內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。內(nèi)切圓的半徑：交點到三角形任意一邊的距離。AABBCC一個三角形有且只有一個外接圓，而一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形；一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓，而一個圓有無數(shù)個外切三角形；1、已知：ABC是O

5、外切三角形，切點為D，E，F(xiàn)。若BC14 cm ，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。 ABCDEFxxyyOzz解:設(shè)AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm則AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依題意得方程組x+y=13y+z=14x+z=9解得:X=4Y=9Z=52、如圖，在RtABC中，C=90，AC=6,BC=8,則ABC內(nèi)切圓的半徑為多少？解：設(shè)O與AC、BC分別相切于E、F點，連接OE、OFC=90，AC=6，BC=8AB=10O是ABC的內(nèi)切圓，OEAC，OFBC,CF=CE四邊形OECF為正方形CE=CF=r，BF=8-r,AE=6-r,AB=

6、BD+AD=BF+AE=8-r+6-r,即8-r+6-r=10r= =2CAB .OFED結(jié)論：直角三角形內(nèi)切圓的半徑r= (a、b為直角邊，c為斜邊）。熟記此公式后可直接用于填空題和選擇題的計算中例1已知，如圖，PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點.直線 OP 交 O 于點 D、E，交 AB 于 C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半徑 OA 的長.AOCDPBE解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCAOCB ACPBCP.(3) 設(shè) OA = x cm ,

7、 則 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 RtOAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半徑 OA 的長為 3 cm. 利用切線長定理進(jìn)行計算POABc如圖，P為O 外一點，PA、PB分別切O于A、B兩點，OP交 O于C，若PA6，PC2 ，求O的半徑OA及兩切線PA、PB的夾角。解：連接OA、AC，則OAAP在RtAOP中，設(shè)OAx則OP x2OA2PA2OP2即 x262（x2 ）2解得x2 ，即OAOC2OP4 在RtAOP中，OP2OAAPO30PA、PB是O的切線

8、APB2APO60O的半徑為2 ，兩切線的夾角為60注意：已知圓的切線時，經(jīng)常連接圓心和切點，得到半徑垂直于切線，通過構(gòu)造直角三角形來解決問題。利用切線長定理進(jìn)行證明ABCDEO21例2如圖，已知：在ABC中，B90，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓交AB于點E，交AC與點D。求證：DEOC證明：連接，為的半徑是的切線是的切線，是切點，是的直徑，即 切線長定理如圖：過O外一點P有兩條直線PA、PB與O相切.ABPO在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點間的線段的長，叫做切線長.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.平分切點所成的兩??；垂直平分切點所成的弦.歸納例1已知，如圖，PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點.直線 OP 交 O 于點 D、E，交 AB 于 C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半徑 OA 的長.AOCDPBE解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCAOCB , ACPBCP.(