(精選)線性空間練習(xí)題

1、線性空間練習(xí)題、單項選擇題R3中下列子集（）不是R3的子空間.A. wi (xX2，X3) R3|x2 13 333B . W2 ( Xi,X2,X3) R |X3 0C. W3 (Xi，X2，X3) R3 | XiX2X3D . W4 ( Xi，X2, X3)R3 | XiX2 X3二、判斷題i.設(shè)vPnn則W A A Pnn,A 0是V的子空間.2、已知V （a bi,c di）a,b,c,dR為R上的線性空間，則維（V） =2.3、設(shè)線性空間 V的子空間 W中每個向量可由W中的線性無關(guān)的向量組i，2，L，s線性表出，則維（W）=S4、設(shè)W是線性空間V的子空間，如果， V,W且W,則必有W

2、.三、i .已知Wi a b |a,b R , W2 ai 0 |ai,q R,是R2 2的兩個子空間，求 0 0G 0Wi W2,Wi W2的一個基和維數(shù).已知關(guān)于基 i，2，3的坐標(biāo)為（i, 0, 2）,由基 i, 2, 3到基 i, 2, 32 4的過渡矩陣為i 0 0 ,求 關(guān)于基 i, 2, 3的坐標(biāo). 2 i 0四、設(shè)Pn是數(shù)域P上的n維列向量空間，A Pnn且a2 A,記Wi AX X Pn, W2 XX Pn, AX 0,.證明：Wi,W2都是Pn的子空間；.證明：PnWi W2.線性變換練習(xí)題、填空題.設(shè)1, 2, 3是線性空間V的一組基，V的一個線性變換 在這組基下的矩陣是

3、A(aij)33,X11X22X33 V,則 在基3,2,1下的矩陣B = ,而可逆矩陣T =滿足B T 1AT, 在基1, 2, 3下的坐標(biāo)為.設(shè)A為數(shù)域P上秩為r的n階矩陣，定義n維列向量空間Pn的線性變換 ：()A ,Pn ,則 1(0)=，dim 1(0) =, dim (Pn) =.復(fù)矩陣A (aj )n n的全體特征值的和等于 ,而全體特征值的積等于 .設(shè) 是n維線性空間V的線性變換，且在任一基下的矩陣都相同，則 為 變換.數(shù)域P上n維線性空間V的全體線性變換所成的線性空間L(V)為 維線性空間，它與 同構(gòu).設(shè)n階矩陣A的全體特征值為1, 2,L , n , f (x)為任一多項式

4、，則f(A)的全體特征值為 .二、判斷題 TOC o 1-5 h z .設(shè) 是線性空間V的一個線性變換，1, 2,L , s V線性無關(guān)，則向量組(i), ( 2),L , ( s)也 線性無關(guān).().設(shè) 為n維線性空間 V的一個線性變換，則由 的秩+的零度=n ,有V (V)1(0).( ).在線性空間R2中定義變換 ：(x, y) (1 x, y),則 是R2的一個線性變換.().若 為n維線性空間V的一個線性變換，則是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)1(0) = 0.().設(shè) 為線性空間V的一個線性變換， W為V的一個子集，若(W)是V的一個子空間，則W必為V的 子空間.()三、計算與證明0 0 11.設(shè)

5、A 11a,問a為何值時，矩陣A可對角化？0 0并求一個可逆矩陣X,使X-1AX二.在線性空間Pn中定義變換：（Xi,X2,Xn） （0, X2,Xn）（1）證明： 是Pn的線性變換.求（Pn）與 1（0）.3）（Pn）1（0） Pn.3.若A是一個n階矩陣，且 A2 A,則A的特征值只能是0和1.歐氏空間練習(xí)題一、填空題.設(shè)V是一個歐氏空間，V ,若對任意V都有（，）0,則 =.在歐氏空間 R3中，向量 （1,0, 1）,（0,1,0）,那么（，）=,=.在n維歐氏空間V中，向量 在標(biāo)準(zhǔn)正交基1, 2,L , n下的坐標(biāo)是（X1,X2,L ,Xn），那么（，i）=, 一 _ .兩個有限維歐氏

6、空間同構(gòu)的充要條件是 .已知A是一個正交矩陣，那么 A1 =, A2=. 二、判斷題.在實線性空間 R2中，對于向量（x,X2）,（y1，y2）,定義（，）（xy X2y2 1）,那么R2構(gòu)成歐氏空間。（）.在n維實線性空間Rn中，對于向量a,a2,L,an）,（“七，L,bn）,定義（，）aQ,則Rn構(gòu)成歐氏空間。 （）. 1, 2,L , n是n維歐氏空間V的一組基，（x1,x2,L ,xn）,（ y1,y2,L , yn）與分別是V中的向量，在這組 基下的坐標(biāo)，則（，）x1y1 x2 y2 Lxn yn。（）.對于歐氏空間 V中任意向量，|1是V中一個單位向量。（）. 1, 2,L ,

7、n是n維歐氏空間的一組基，矩陣Aa。nn,其中a。（ i, j）,則A是正定矩陣。（）.設(shè)V是一個歐氏空間， V ,并且，則 與 正交。（）.設(shè)V是一個歐氏空間， V,并且(，)0,則，線性無關(guān)。().若，都是歐氏空間V的對稱變換，則也是對稱變換。()三、計算題.把向量組1 (2, 1,0),2 (2,0,1)擴(kuò)充成R3中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.求正交矩陣T ,使TAT成對解角形。 TOC o 1-5 h z 22 0A 21202 0四、證明題1.設(shè)A, B為同級正交矩陣，且 AB ,證明：A B 0.設(shè)A為半正定矩陣，且 A 0,證明：A E 0.證明：n維歐氏空間V與VT同構(gòu)的充要條件是，存在

8、雙射：V V ,并且小測驗九一、填空題111、已知三維歐式空間V中有一組基1, 2, 3,其度量矩陣為A 12002 1 3 23的長度為。 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2 1 一 102、設(shè)R2中的內(nèi)積為(，) A ,A 1 2，則2， 在此內(nèi)積之下 為。3、在n維歐幾里德空間中，一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣為 。4、在歐氏空間 R4 中，已知 (2,1,3,2),(1,2, 2,1),則 | | ,(內(nèi)積按通常的定義)。00 ，則向量3度量矩陣的夾角為5、設(shè)Rn為歐氏空間，則有柯西-施瓦茨不等式:、已知二次型f(X1,X2,X3)t(x；

9、 xfX2) 2X1X22X1X32 X2X3t為何值時二次型f是正定的？(2)取t 1 ,用正交線性替換化二次型 f為標(biāo)準(zhǔn)形、設(shè)1, 2, 3是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為 TOC o 1-5 h z 11 2211 6(1)令 12，證明是一個單位向量;若 12 k 3與正交，求k四、設(shè)為n維歐氏空間V中一個單位向量，定義 V的線性變換 A如下:A 2( , ) , V.證明：A為第二類的正交變換(稱為鏡面反射)。V的正交變換B是鏡面反射的充要條件為1是B的特征值，且對應(yīng)的特征子空間的維數(shù)為n-1.五、已知 是對稱變換，證明:的不變子空間W的正交補(bǔ)W也是 的不變子空間.小測驗

10、(六)一、填空題1、已知Va,b,c R是R3 3的一個子空間，則維(V=, V的一組基是.42、在 P 中，右 1(1,2,0,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,k, 1,1), 4 (0,1,k,1)線性無關(guān)，則 k 的取值范圍是.3、已知a是數(shù)域P中的一個固定的數(shù)，而W (a,xj 出肌 P,i 1,2,L ,n是Pn+1的一個子空間，則a=,而維(W) =.4、設(shè)Pn是數(shù)域P上的n維列向量空間，A Pnn且A2 A,記W1 AX|X P, W2 XX Pn, AX 0,則 w、w者B是Pn的子空間，且 w+ w=, W1I w2=.5、設(shè)1, 2, 3是線性空間V的一組基，X

11、1 1 X2 2 X3 3,則由基1, 2, 3到基2, 3, 1的過渡矩陣T= ,而 在基3, 2, 1下的坐標(biāo)是 .、計算與證明1、在線性空間P2X 2中,Ai112111,Bi島1101371)求 L(A1,A2)IL(B1,B2)的維數(shù)與一組基.2)求L(A,A2)L(BB2)的維數(shù)與一組基.(1,4,2,3)在2、在線性空間P4中，求由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的過渡矩陣，并求基1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)，其中(1,4, 1, 1).1(1,0,0,0),2 (4,1,0,0),3 ( 3,2,1,0), 4 (2, 3,2,1)(1,1,8, 3), 2 (0, 3,7, 2), 3 (1,1,6, 2), 43、1)證明：在Pn n與A可交換的矩陣的全體 W是一個子空間；2)求W的維數(shù)和一組基；3)寫出W沖矩陣的一般表達(dá)式。4、證明：x2 x, x2 x,x 1是Px3的一組基，并求2x2 7x 3在此基下的坐標(biāo)5、V為定義在實數(shù)域上