2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版選修2-3檢測(cè)：2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值含解析

1、2. 3.1失散型隨機(jī)變量的均值填一填1.失散型隨機(jī)變量的均值(i)定義：若失散型隨機(jī)變量X的散布列為:-XX-nP n則稱(chēng)E(X)=X1p1 + X2p2+ + Xipi+ + Xnpn 為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)希望.(2)意義：它反應(yīng)了失散型隨機(jī)變量取值的均勻水平 (3)性質(zhì)：假如X為(失散型)隨機(jī)變量，則Y= aX+ b(此中a, b為常數(shù))也是隨機(jī)變量，且P(Y= ax1+ b) = P(X = xi), i = 1,2,3 , n.E(Y) = E(aX + b)= aE(X) + b.兩點(diǎn)散布和二項(xiàng)散布的均值 (1)若X聽(tīng)從兩點(diǎn)散布，則 E(X)= p_;若XB(n, p),則E(

2、X)=膽.隨機(jī)變量的均值與樣本均勻值的關(guān)系隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，上丕依靠于樣本的抽取，而樣本的均勻值是一個(gè)隨機(jī)變量, 它隨樣本抽取的不一樣而變化.關(guān)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，跟著樣本容量的增添，樣本的均勻值愈來(lái) 愈靠近于整體的均值判一判 I TOC o 1-5 h z 判斷(正確的打，錯(cuò)誤的打X”).隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)希望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化.(X).隨機(jī)變量的均值反應(yīng)樣本的均勻水平.(X ).若隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)希望E(X) = 2,則E(2X) = 4.(，).隨機(jī)變量 X的均值E(X) = x xx .(X )-12nn.若隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)希望 E(X) = 3,則E(4X

3、-5)= 7.(，) HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 14.若隨機(jī)變量 X聽(tīng)從二項(xiàng)散布B 4 , 3 ,則E(X)的值為 3.(，)_1.設(shè)隨機(jī)變量 XB(16, p),且E(X)= 4,則p= 4.(，)X的均值為2.4.(，). 一名射手每次射擊中肥的概率為0.8,則他獨(dú)立射擊3次中期次數(shù)想想.隨機(jī)變量的均值和樣本的均勻值是一個(gè)常數(shù)仍是隨機(jī)變量?提示：隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依靠于樣本的抽取；樣本的均勻值是一個(gè)隨機(jī)變量，它是跟著樣本的不一樣而變化的.跟著樣本容量的增添，樣本的均勻值與整體均勻值有什么關(guān)系?提示：跟著樣本容量的增添，樣

4、本的均勻值愈來(lái)愈靠近于整體均勻值.一 1.關(guān)于n個(gè)數(shù)X1, X2, , xn,稱(chēng)x= -(xi+ X2+ + xn)為這n個(gè)數(shù)的均勻數(shù)，怎樣從隨n 機(jī)變量的角度看這個(gè)問(wèn)題？提示：設(shè)X為從這n個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則X全部可能的取值便為X1, X2, Xn,P(X = Xi) =n(i = 1,2 ,E(X) = X11Xjxn-xx1X123n1111Pnnnn,n),即X的概率散布列為1+ X2111 1-+X3 乎 + Xn = (- X1 + X2 + + Xn ).n4.若隨機(jī)變量n nn nXB(40 , p),且E(X) = 16,則p為什么值?16提示：= E( X) =16,40

5、p= 16,即 p= 40 = 04思慮感悟：練一練1.已知某一隨機(jī)變量X的散布列以下表所示，若 E(X)= 6.3,則a的值為()Xa79Pb0 104A.4B .5C. 6 D. 7分析：依據(jù)隨機(jī)變量X的散布列可知 b+ 0.1 +0.4= 1,所以b= 0.5.又E(X) =ab+ 7X 0.1+ 9X 0.4= 6.3 ,所以 a= 4.答案：A. 一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈，命中后的節(jié)余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)希望為 .分析：X的可能取值為3,2,1,0,P(X = 3)= 0.6 ; P(X = 2)= 0.4 X 0.6 = 0.24 ;P(

6、X= 1)= 0.42X 0.6 = 0.096 ;P(X= 0)= 0.4 3= 0.064.所以 E(X) = 3X 0.6+ 2 X 0.24 + 1 X 0.096 + 0 X 0.064 = 2.376.答案：2.376.某次考試中，第一大題由12個(gè)選擇題構(gòu)成，每題選對(duì)得5分，不選或錯(cuò)選得 0分.小王選對(duì)每題的概率為0.8 ,則其第一大題得分的均值為 .分析：設(shè)小王選對(duì)的個(gè)數(shù)為X,得分為 Y= 5X,則 X B(12,0.8) , E(X) = np = 12 x 0.8 = 9.6 ,E(Y) = E(5X) = 5E(X) = 5 X 9.6 = 48.答案：48二測(cè)點(diǎn)4；夕ii

7、hre雨前知識(shí)點(diǎn)一失散型隨機(jī)變量的方差1.一個(gè)口袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5 ,從中任取2個(gè)球，用X表示拿出球的較大號(hào)碼, TOC o 1-5 h z 則E(X)等于()A. 4 B. 5C. 3 D. 4.5 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 1C1C仁c 1分析：P(X= 2)= Z=T，P(X= 3)= C22=2 =，P(X= 4)= C234，P( X= 5)= c4=t=2C10C105C10C10555551132故 E(X) = 2X 10+ 3X 5+ 4X 10+ 5X 5 = 4.答案：A4只球，設(shè)取到一只紅球記2

8、分，取4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1C41C3344 = F35 .72.袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)拿出 到一只黑球記 1分，試求得分 X的均值.分析：拿出4只球，顏色散布狀況是:紅3黑得5分，相應(yīng)的概率為p(x= 5)： TOC o 1-5 h z C42C218P(X= 6)= =. C735C3c4112 ._4_3C73540P(X= 8)= C4( 3 =:十. C357隨機(jī)變量X的散布列為X5678P_435,835123535所以 E(X)= 5x354+ 6X3518 + 7X3512+3x 351 =447.知識(shí)點(diǎn)二 失散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)：3.

9、已知隨機(jī)變量X的散布列為X123P_12-1316且丫= aX+ 3,若E(Y) = 2,則a的值為分析：E(X) = 1x2+ 2x 13+x-16 = 53.5 Y= aX+ 3, . E(Y)= aE(X) + 3= 3a+ 3 = - 2. 解得a = - 3.答案：34.已知隨機(jī)變量 X的散布列以下：X21012P1413T5mT 20(1)求m的值;求E(X);(3)若 Y= 2X- 3,求 E(Y).1111分析：(1)由隨機(jī)變量散布列的性質(zhì)，得 一-一 一14+3+5+ m+20= 1，解得m= 6.11111 _ 17(2)E(X)= ( 2)X 4+ ( 1/ 3+ 0X5

10、+ 1 X 6+ 2X 2030.17(3)法一(公式法)：由公式 E(aX + b)= aE(X)+ b,得 E(Y) = E(2X -3) = 2E(X) - 3= 2X - 30 62-3 = - 15.法二(直接法)：因?yàn)閅= 2X- 3,所以Y的散布列以下：Y一 7-5311P_1413151612011111_ 62所以 E(Y)= ( 7)x 4 + ( 5)X 3+ ( 3)X 5 + ( 1)* 6+ 1X 2015.知識(shí)點(diǎn)三兩點(diǎn)散布及一項(xiàng)散布的均值.一次單元測(cè)試由 20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，此中僅有 1個(gè)選項(xiàng)正確，每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)不得分.一學(xué)生選對(duì)隨

11、意一題的概率為0.9,則該學(xué)生在此次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值為 .分析：設(shè)該學(xué)生在此次測(cè)試中選對(duì)的題數(shù)為X,該學(xué)生在此次測(cè)試中成績(jī)?yōu)?Y,則XB(20,0.9) , Y= 5X.由二項(xiàng)散布的均值公式得E(X) = 20 X 0.9 = 18.由隨機(jī)變量均值的線(xiàn)性性質(zhì)得E(Y) = E(5X) = 5X18= 90.答案：90.甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)比賽，每隊(duì)三人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)博得一分，答錯(cuò)得零分.假定甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為且各人回答得正確與否互相之間沒(méi)有影響.2,乙隊(duì)中三人答對(duì)的概率分別為，333 2(1)若用5表示甲隊(duì)的總得分，求隨機(jī)變量(2)用A表示事件“甲、乙兩隊(duì)總得分之和為

12、 總得分”，求P(AB).5的散布列和均值；3”，用B表示事件“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)分析：(1)由題意知，己的全部可能取值為0,1,2,3 ,且P( E = 0)= C3 X 1 3 =27，P(E = 1)= C31/x 11 22 三 2, 33922 224P( E = 2)= C3X 3 X 13=9,P(己=3)= C3X 3 = 27,所以5的散布列為012-31P27一 2 9-Y9-8 27因?yàn)殡S機(jī)變量 用C表示2.D表示“甲得3分乙得 0分”這一事件,AB = CUDC,D互斥.P(C) = C3P(D) =3C3x 2 2 x 1 2332 32x 3 x 1 3X-.X32

13、 Bl32X- X3J1-21 1110次 一 X 一,3 323=35,c10 , 4P(AB)= P(C) + P(D)= 在 53334-5= -34 .3243七B 3, 3 ,則有E(己)=3X 3 =“甲得2分乙得 1分”這一事件，用綜合知識(shí)均值的綜合應(yīng)用.在一次射擊比賽中，戰(zhàn)士甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4,0.1,0.5 ;戰(zhàn)士乙得1分、2分、3分的概率分別為 0.1,0.6,0.3 ,那么兩名戰(zhàn)士獲勝希望較大的是誰(shuí)?分析：設(shè)此次射擊比賽戰(zhàn)士甲得X1分，戰(zhàn)士乙得 X2分，則散布列分別以下:依據(jù)均值公式得E(Xi)= 1 X 0.4+ 2X 0.1 + 3X 0.5= 2

14、.1 ;E(X2)= 1 X 0.1 + 2X 0.6 + 3X 0.3= 2.2;因?yàn)镋(X21)E(X ),故此次射擊比賽戰(zhàn)士乙得分的均值較大，所以戰(zhàn)士乙獲勝的希望較大.某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，依據(jù)過(guò)去資料統(tǒng)計(jì)，顧客采納的付款期數(shù)X的散布列為X12345P0402020 10 1商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采納 1期付款，其收益為200元；分2期或3期付款，其收益為250元；分4期或5期付款，其收益為 300元.Y表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的收益.(1)求事件A “購(gòu)置該商品的3位顧客中，起碼有 1位采納1期付款”的概率P(A);(2)求Y的散布列及均值E(Y).一分析：(1)由A表示事件“購(gòu)置該商品的3位顧客

15、中起碼有 1位采納1期付款”知，A表示事件“購(gòu)置該商品的 3位顧客中無(wú)人采納1期付款”.一P( A )=(1 -0.4)3 = 0.216 ,一P(A) = 1 - P( A ) = 1 - 0.216 = 0.784.(2)Y的可能取值為200元，250元，300元.P(Y= 200) = P(X= 1)= 0.4,P(Y = 250) = P(X = 2)+ P(X = 3)= 0.2 + 0.2 = 0.4 ,P(Y= 300) = P(X= 4)+ P(X= 5)= 0.1 + 0.1 = 0.2,所以Y的散布列為計(jì)、200250300P04-100E(Y) = 200 X 0.4 +

16、 250 X 0.4 + 300 X 0.2 = 240(元).基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題0.9 和 0.85 ,.今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛翔目標(biāo)的概率分別為 設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X,則E(X)為()A . 0.765 B . 1.75C. 1.765D . 0.22分析：X的取值為0,1,2,p(x= 0)= 0.1 X 0.15 =0.015 ,P(X= 1)= 0.9 X0.15 + 0.1 X 0.85= 0.22,P(X= 2)= 0.9 X 0.85= 0.765 ,E(X) = 0X 0.015 + 1 X 0.22 + 2 X 0.765 = 1.75.答案：B.

17、設(shè)隨機(jī)變量 X的散布列以下表，且 E(X)= 1.6,則a- b等于()X0123P0.1ab0.1A.0.2 B . 0.1C. 0.2 D . - 0.4分析： 由 0.1 + a+ b+0.1 = 1 ,得 a+ b = 0.8.又由 E(X) = 0X 0.1 + 1 x a+ 2 x b + 3x 0.1 =1.6 , 得 a + 2b = 1.3,解得 a= 0.3, b= 0.5,則 a- b=- 0.2.答案：C.某船隊(duì)若出海后天氣好，可獲取 5 000元；若出海后天氣壞，將損失 2 000元；若不 出海也要損失1 000元.依據(jù)展望知天氣好的概率為0.6,則出海的希望效益是(

18、)A. 2 000 元B. 2 200 元C. 2 400 元D. 2 600 元分析： 出海的希望效益E(E )= 5 000 X 0.6+ (1 -0.6) X ( 2 000)= 3000- 800= 2 200 元.答案：B4.已知隨機(jī)變量 X和Y,此中Y= 12X + 7,且E(Y) = 34 ,若X的散布列以下表，則 m的 值為()X1234P-1!4mn121_111C.6 D.89分析： 由 Y= 12X + 7,則 E(Y) = 12E(X) + 7= 34,進(jìn)而 E(X) = 4，E(X) = 1 x -4 + 2X m + 3X n + 力 121 = 4,111又m+

19、n+ 12+ 4= 1 ,聯(lián)立求解得 m= 3.答案：A5.某一供電網(wǎng)絡(luò)，有 n個(gè)用電單位，每個(gè)單位在一天中使用電的時(shí)機(jī)是p,供電網(wǎng)絡(luò)中一天均勻用電的單位個(gè)數(shù)是()A . np(1 p) B . npC. n D . p(1 p)分析： 依題意知，用電單位個(gè)數(shù)X B(n , p), . E(X) = np.答案：B.某各種子每粒抽芬的概率為0.9,現(xiàn)播種了 1 000粒，關(guān)于沒(méi)有抽芬的種子，每粒需補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)希望為()A. 100 B . 200C. 300 D . 400分析：由題意可知，被種的種子數(shù)記為X, X聽(tīng)從二項(xiàng)散布，即 XB(1 000,0.2),所以X

20、的數(shù)學(xué)希望 E(X) =1 000 X 0.2 = 200.答案：B TOC o 1-5 h z .設(shè)隨機(jī)變量的概率散布為()()1A. 2 B. 0C. 2 D.隨_p的變化而變什分析：E( 5 )= p23+ 2x 1 -3p = 2- p.0 p 1 ,_33; p知足2則有0w pw 2，0 1 二 3p0 1， 1.E(E)最小值為2.答案：A二、填空題1 一,則 E(2X + 3) = .8.已知XB 100 , 2一 一 一 -分析：E(x)= 100 X = 50, E(2x+ 3)= 2E( x) + 3= 103.答案：103.某班有50名學(xué)生，此中男生 30名，女生20名

21、，現(xiàn)隨機(jī)選用1名學(xué)生背誦課文，若 TOC o 1-5 h z 抽到女生的人數(shù)記為X,則E(X) = . 一 一 一 一3分析：易知X聽(tīng)從兩點(diǎn)散布，且 P(X = 0) =22P(X= 1)= 5,故 E(X)= 5.答案：5.設(shè)失散型隨機(jī)變量X可能的取值為1,2,3 , P(X= k)= ak+ b(k= 1,2,3),又X的均值E(X)=3,則 a + b =.分析： 因?yàn)?P(X= 1)= a + b, P( X= 2)= 2a+ b, P(X= 3)= 3a + b,所以 E(X) = 1x(a+ b)+ 2X (2a + b)+ 3X (3a + b)= 3,所以 14a + 6b =

22、 3.又因?yàn)?a+ b)+ (2a + b)+ (3a + b)= 1,所以 6a + 3b = 1.21由 可知a = 2，b = 3，所以a+ b = - 6.1答案：一1 一6.某射手射擊所得環(huán)數(shù) X的散布列以下：r x718 191 10 1px0.10.3y已知X的均值E(X) =8.9 ,則y的值為 x+ 0.1 +0.3+ y= 1 ,分析：由題意得x=0.2, 解得y = 0.4.7x+ 0.8+ 2.7 + 10y = 8.9x + y= 0.6 , 即7x+ 10y = 5.4答案：0.412.同時(shí)投擲兩顆骰子，起碼有一個(gè)3點(diǎn)或6 點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)此次試驗(yàn)成功，則在試驗(yàn)中，成

23、功次數(shù)5的數(shù)學(xué)希望是分析：由已知同時(shí)投擲兩顆骰子一次,起碼有一個(gè)3點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)的概率為 P =20一一 5一，36 99次試驗(yàn)相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)9次，則成功次數(shù)己聽(tīng)從二項(xiàng)散布，且5.E(E)= 9X9答案：5=5.9, 9 .三、13.概率都是解答題某廣場(chǎng)上有22,出現(xiàn)綠燈的概率都是34盞裝修燈，夜晚每盞燈都隨機(jī)地閃耀紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的13.記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)目為X,當(dāng)這4盞裝修燈閃耀一次時(shí)：(1)求X= 2時(shí)的概率;求X的均值.分析：(1)依題意知2表示“4盞裝修燈閃耀一次時(shí)，2 -2 2-12恰巧有2盞燈出現(xiàn)紅燈盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是3,(2) ; X聽(tīng)從二項(xiàng)散布，即故

24、X=2時(shí)的概率為C4 332XB4, 3 ，=2728E(X)= 4X3= 3.14.某商場(chǎng)為刺激花費(fèi)，擬按以下方案進(jìn)行促銷(xiāo)：顧客花費(fèi)每滿(mǎn)500元便獲取抽獎(jiǎng)券1張，每張抽獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為若中獎(jiǎng))則商場(chǎng)返回首褊姐笑顧客現(xiàn)購(gòu)置價(jià)錢(qián)為22 300元的臺(tái)式電腦一臺(tái)，獲取獎(jiǎng)券4張.(1)設(shè)該顧客抽獎(jiǎng)后中獎(jiǎng)的抽獎(jiǎng)券張數(shù)為設(shè)該顧客購(gòu)置臺(tái)式電腦的實(shí)質(zhì)支出為每次抽獎(jiǎng)互不影響.E ,求5的散布列；V(單位：元)，用七表示 望.分析：(1)二= P( E = 0)=每張獎(jiǎng)券能否中獎(jiǎng)是互相獨(dú)立的,B 4, 2P( H = 1)= C142162 42 1 43P屋=2)= C4 2 =4 1 48, P( E = 3

25、)=C42n1=4,P屋=4)= C4 2 = 16己的金布列為01234P1一1一3118164164又由題意可知1 。E(E )= 4X = 2.22 300 100 己，. E(t )= E(2 300 100即實(shí)質(zhì)支出的數(shù)學(xué)希望為己)=2 300 |2 100 元.100E(己)=2 300 100 X 2= 2 100.15.從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)MiK! KMB111能力提局3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作互相獨(dú)立，且在各路口碰到紅燈的概率分別為設(shè)X表輛車(chē)從甲地到乙地碰到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量(2)如有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這 分析：(1)隨機(jī)變量X的全部可能取值為則 P(X = 0)二1 P(X= 1)= x2P(X= 2)=11 2 x11 X一 區(qū)11 X X1-231-311 41 1x4 22輛車(chē)共同遇0,1,2,3 ;12,3, 4.X