統(tǒng)計中的決策問題教師版2

1、統(tǒng)計與概率中的決策問題第一類回歸分析中的“決策”【例1】(2018莆田3月教學質(zhì)量檢測)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解 年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：噸)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近13年的 年宣傳費Xi和年銷售量yi(i = 1,2,，13)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖 2311所示的散點圖及 一些統(tǒng)計量的值.工tf拿挈三圖 2311d -.由目攵點圖知，按y=a+bX, y= c+-建立y關(guān)于x的回歸方程是合理的.令s=，X, t= x11,經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：Xxyst10.15109.943.040.1613Msyi13 s y13tiyi 13 t

2、 y13百s 13 s之133t2-13t 21342-13y 213.94-2.1011.670.2121.22且(S, yi)與(ti, yi)(i = 1,2,，13)的相關(guān)系數(shù)分別為1 = 0.886 與2= 0.995.從以上模型中選擇更優(yōu)的回歸方程，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)根據(jù)(1)的選擇結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x, y的關(guān)系為z= 10yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:(i )年宣傳費x= 20時，年利潤的預報值是多少？(ii)年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)U1,V1 , U2,V2 ,L , Un,V

3、n ,其回歸直線V U 中的斜率和截距的最小二nUjVjn uv乘估計分別為i 1 iin 2 2uin ui 1 id 一.【斛析】（1）由于|門|四1,故y= c+-更優(yōu). x13iMtiyi13 t y 2.10_=3= e =T0, = y t= 109.94+ 10X 0.16= 111.54.Et2-13720.21i = 1則y關(guān)于x的回歸方程為=111.54 X(3)由題意，年利潤 z= 10y x=1 115.4 1-0+x ,（i ）當x= 20時，年利潤的預報值是=1 115.4 嘿+ 20 =1 090.4.晉 X x=1（ii）由基本不等式得，年利潤的預報值=1 11

4、5.4 100+x 1 115.4 2095.4,當且僅當x= 10時等號成立，故年宣傳費x為10時，年利潤的預報值最大.【例2】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x （單位：萬元）對年銷售量y （單位：噸）和年利潤z （單位：萬元）的影響。對近六年的年宣傳費 Xi和年銷售量yi（i 1,2,3,4,5,6）的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù):年份201120122013201420152016年旦傳費x （萬兀）384858687888年銷售量y （噸）16. 818. 820. 722. 424. 025. 5經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費x（萬元）與年銷售量y（噸）之間近似

5、滿足關(guān)系式y(tǒng) a xb（a,b 0）, 即|1】.=1門上+加日。對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下表：sZ (In x. In y. , r-lfl k (h x) 46lnyii 1Z仇蠟L75. 324. 618. 3101. 4（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程;（2）規(guī)定當產(chǎn)品的年銷售量y （噸）與年宣傳費x （萬元）的比值在區(qū)間內(nèi)時認為該9 7年效益良好?，F(xiàn)從這6年中任選3年，記其中選到效益良好年的數(shù)量為，試求隨機變量 的分布列和期望。（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e 2.71828L ）附：對于一組數(shù)據(jù) u1,v1 , u2,v2 ,L , un,vn,其回歸直線v u中

6、的斜率和截距的最小二乘估計分別為nuivin uvL Vn 2_ 2,u n ui 1 i【解析】【答案】（1） y e7x； （2）見解析.【解析】試題分析二（1）先運用轉(zhuǎn)化的思想對了 = /兩邊取對教得Inf =】口叮+如比？再換元呼號=皿嶺=hyv= Ino+fr- J借助屈謾中給的婁據(jù)r求得：五二士學=4-L斤= = 3一051進而算得 Z （玲號）二 （ku加pJ = 753 A 以：=Z（lnxf）3 =101.4 ,-1啕一研國）75.3-6x4 1x3.05 0.2- 1黑樣一盟101.4-6x（4.1）*得a e ,故所求回歸方程為+=.&（2）先借助題設(shè)條件y x49,81

7、,于是求出x 58,68,78 ,即6年中有三年是效益良好年”,借助 0,1,2,3求得P型C3c3 c2CTc；c3CT20；pC3C；CT1,從而求出分布列和數(shù)學期望。20解： 對卜=口-/：（q白。）兩邊取對數(shù)得lay=3+砧* 令/=1叫:弊=In力 TOC o 1-5 h z 得F=ln曰十b-Rj由題給額據(jù)，得：u - I v =- 3.05,2分百6而后Z3耳）=工（岫1叫）= 753,2：=工（1M i =101.4,于是In。= v-bu= 3.05x 4.1 =1 ?1（以國）一燈網(wǎng)7）753-6x4.1x3.05 OJ7裙-汽101.4-6x（4.1）：84 2導=也故所

8、求回歸方程為了二t工0,1,2,3 ,由題得P0 3C3 C3C620;PC3c29c6320，x 49,8158,68,78 ,即6年中有三年是效益良好年”,30C3c3C6i20所以的分布列如表所示，且3。221 一P 2 C3C3- ; PC3201.*P1二20g 20L20y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組(yii 1y)3930 ，線性回歸模型的殘差平方和(yii 1?)2236.64， e8 06053167 其中 xi, yi溫度x/C212324272932產(chǎn)卵數(shù)y/個61120275777【例3】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù) 觀測數(shù)據(jù)如下表：661 61 6xi

9、 x (yi y) 557, i 1經(jīng)計算得：x - xi 26, y - yi 33,6 i i6 i i分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=1,2, 3, 4, 5, 6.(I)若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程y? = b?x+c?(精確到0. 1);(R)若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為7=0. 06e0 2303,且相關(guān)指數(shù)R2=0. 9522.(i)試與(I )中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好.(ii)用擬合效果好的模型預測溫度為 35 C時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)). TOC o 1-5 h z 附：一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2)

10、, . . . ,(xn,yn),其回歸直線P= ?x+夕的斜率和截距的最小二乘估計為 nn2? i 1 x X (yi y)02i 1(yi ?i)b) 一2-, j?= y- bx；相關(guān)指數(shù) R2=1 -.nA?-,n21 xi xi 1(yi y)【解析】【答案】(I ) ?=6. 6x-138. 6. (H)(i)答案見解析;(2)190.【解析】試題分析：(I)根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求得b?, a,從而可得線性回歸方程. ( U ) ( i打艮據(jù)所給數(shù)據(jù)求出相關(guān)指數(shù)為R2 0.9398,通過比較可得回歸方程為a=0. 06e0 2303x的擬合效果好.(ii)當x=35時，求出？=0.0

11、6e0 2303x的值即為預測值.闞解析:A工“：一仍的(1)由題意得，=邑金一2：。二1生6,，&二33-品 6 26=7翼.g;4關(guān)于，的線性回歸方程為$-6.&-1%,凱()由解激據(jù)求得的線性回歸方程為3T尤.丹相關(guān)才留故為把二 1 二產(chǎn) 一、)= 1，兆*斗、1-0.0602 = 0.9398.二小可 必。畫為 0. 9398。. 9522,以回歸方程歲句.0叱 卻立比線性回歸方程-138. 6擬合效果更好.(ii)由(i)得當溫度 x=35 C時，?=0. 06e0 2303 35=0 . 06 e8 0605.又e8。605= 3167 ?=。06 3167 19階).即當溫度x=

12、35 C時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為 190個.【練習1】在2017年初的時候，國家政府工作報告明確提出，2017年要堅決打好藍天保衛(wèi)戰(zhàn)， 加快解決燃煤污染問題，全面實施散煤綜合治理.實施煤改電工程后，某縣城的近六個月的月 用煤量逐漸減少，6月至11月的用煤量如下表所示：月份67891011用煤量y (千噸)4.5*32.521.2(1)由于某些原因，y中一個數(shù)據(jù)丟失，但根據(jù)6至9月份的數(shù)據(jù)得出少樣本平均值是 3. 5, 求出丟失的數(shù)據(jù)；(2)請根據(jù)6至9月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程? bX a?；(3)現(xiàn)在用(2)中得到的線性回歸方程中得到的估計數(shù)據(jù)與 10月11月的實際數(shù)據(jù)的誤

13、差來 判斷該地區(qū)的改造項目是否達到預期，若誤差均不超過 0. 3,則認為該地區(qū)的改造已經(jīng)達到 預期，否則認為改造未達預期，請判斷該地區(qū)的煤改電項目是否達預期？(參考公式：線性回歸方程？ bX/其中b?i 1 XiXyiy1xxn_ 2i 1 xix2 1xinxy_2nx【答案】（1） 4; （2） ?0.7x 8.75; （3）該地區(qū)的煤改電項目已經(jīng)達到預期【解析】試題分析：（1）設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為m,則4.5 m 3 2.5 3.5 4,即可得到丟失的數(shù)據(jù); 用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程？&a ; （3）當x 10時， ? 1.75,1.75 2 0.25 0.3 當 x 11 時，

14、 ？ 1.05,1.05 2 0.15 0.3,所以，該地區(qū)的煤改 電項目已經(jīng)達到預期.試題解析:（1）設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為叫WJ4.54W+342.5 =3.5x4得惻=4,即丟失的數(shù)據(jù)是人由數(shù)據(jù)求得五=75，由公式求得b = =-05TGF $r-bx =-Sk0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828附:2,2n adbcK =; ra+b c+d a+c b+d解析由題意，得：中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1x = 45X 0.1 + 55 X 0.15+ 65 X 0.2+75X 0.3+ 85X 0.15+95X0.1

15、 = 70.5(分).這4 000名考生的平均成績x為70.5分.(2)2X2列聯(lián)表如下:K24 000X 720X 10201180X 1080 21800X 2200X1900X21004 000X 540 000 24 000X 54X 54二18X22X 19X21X 108 = 18X22X19X21 不合格合格合計男72011801900女108010202100合計180022004 00073.8210.828.故有99%的把握認為該學科競賽成績與性別有關(guān).【例2】黨的十九大報告指出，要推進綠色發(fā)展，倡導 簡約知適度、綠色低碳”的生活方式，開 展創(chuàng)建低碳生活，綠色出行”等行動.

16、在這一號召下，越來越多的人秉承 能走不騎，能騎不坐， 能坐不開”的出行理念，盡可能采取乘坐公交車騎自行車或步行等方式出行，減少交通擁堵，共建 清潔、暢通高效的城市生活環(huán)境.某市環(huán)保機構(gòu)隨機抽查統(tǒng)計了該市部分成年市民某月騎車次數(shù)，統(tǒng)計如下:年01010,20203030,4040,5050,6018歲至31歲812206014015032歲至44歲1228201406015045歲至59歲25508010022545060歲及以上2510101942聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織于2013年確定新的年齡分段：44歲及以下為青年人，45歲至59歲為中年 人，60歲及以上為老年人.(I)若從被抽查的該月騎車次數(shù)

17、在 40,60的老年人中隨機選出兩名幸運者給予獎勵，求其中一名幸運者該月騎車次數(shù)在 40,50之間，另一名幸運者該月騎車次數(shù)在 50,60之間的概率；(n)用樣本估計總體的思想，解決如下問題：(i)估計該市在32歲至44歲年齡段的一個青年人每月騎車的平均次數(shù)；(ii)若月騎車次數(shù)不少于30次者稱為 騎行愛好者”，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不 超過0. 001的前提下認為 騎行愛好者”與青年人”有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：一2、P (Kk)0. 500. 400. 250. 150. 100. 050. 0250. 0100.0050. 001k0.4550. 7081.3232. 0722. 706

18、3. 8415. 0246. 6357.87910.82822n ad bcK2=abcd acbd【答案】(I )旦；(H) (i) 41次；(ii)能在犯錯誤的概率不超過 0. 001的前提下認為 騎 15行愛好者”與青年人”有關(guān).【解析】試題分析：(I )由題意，得到從該月騎車次數(shù)在 40,50)的4位老年人和50,60的2位老年人中各抽取一人的概率，進而利用古典概型的概率計算公式，即可求解其概率；(H) (i)利用平均數(shù)的計算公式，即可求解該市在 32歲至44歲年齡段的一個青年人每月騎 車的平均次數(shù)；(ii)根據(jù)題意，得出如下2 2列聯(lián)表，利用K2的計算公式，求解K2的值，即可作出判斷

19、.試題解析:3 ）問題即從該月騎車次數(shù)在%,效）的4位老年人和5Q 6刃的2位老年人中隨機抽取兩人，每一段各抽取一人的概率,將6位老人分s比為。R&d和4人則所有的抽法有（已勾，（弭也（凡一人 出,（凡8 L （瓦嘰（瓦一）色山（瓦），仁心 （公孫 （g）j （GH）j （dJ） （4刁）共I纖禮故所求概率為p=-.1512 5 28 15 20 25 140 35 60 45 150 55 16830(R) (i)41 (次)410其中滿足條件的抽;魂色，（口劣），（ARI也8,ClA ?（,何，淖）共旦騎行愛好者非騎行 愛好者總計青年人700100800非青年人8002001000總計15

20、00300180012 28 20 140 60 150（ii）根據(jù)題意，得出如下2 2列聯(lián)表2穎率圖表：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標 值15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45頻數(shù)4369628324(1)完成下面的2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量 指標值與設(shè)備改造有關(guān)；設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計合格品不合格品合計(2)根據(jù)圖和表提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進行比較;(3)企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對合格昴.進行等級細分，質(zhì)量指標值落在 25,30)內(nèi)的定為一等品，每件售價240元；質(zhì)量

21、指標值落在20,25)或30,35)內(nèi)的定為二等品， 每件售價180元；其它的合格品定為三等品，每件售價 120元.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用該組樣本 中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率 代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的 概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費用為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學期望.P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.6352n adbc附：K ;；7a+b c+d a+c b+d解根據(jù)圖和表得到2X2列聯(lián)表:設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計合格品172192364不合格品28836合計2

22、00200400將2X 2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得:K2=2n adbca+b c+d a+c b+d400 X 172X8-28X 1922=12 210200X200X364X36.12.210 6.635,有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設(shè)備改造有關(guān). 172 43(2)根據(jù)圖和表可知，設(shè)備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為272=53,設(shè)備改造后產(chǎn)品為合200 5019224 格品的概率約為赤=24；顯然設(shè)備改造后廣品合格率更局，因此，設(shè)備改造后性能更優(yōu).(3)由表知:一等品的頻率為1 I 一 2,即從所有產(chǎn)品中隨機抽到一件一等品的概率為12二等品的頻率為13,即從所

23、有產(chǎn)品中隨機抽到一件二等品的概率為 31 3;二等品的頻率為1 一，-6,即從所有產(chǎn)品中隨機抽到一件三等品的概率為16.由已知得：隨機變量 X的取值為：240,300,360,420,480.1 11P(X=240) = 1X6=36，P(X=300) = C2x1X 1=1, 3 6 9111115P(X=360) = C2X-X- + -X- = ,2 6 3 3 18 1 1 1P(X = 420) = C2x-X- = -,2 3 31 1 1P(X = 480) = 2X2 = 4.隨機變量X的分布列為:X 240 300360420 480P11511369183411 5 1-1

24、. E(X)= 240X 芯 + 300 X 5+ 360 X 玄+ 420X 不 + 480X 400.3691834【練習11某學校為了推動數(shù)學教學方法的改革，將高一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班，每班各40人，甲班按原有模式教學，乙班實施教學方法改革，經(jīng)過一年的教學實驗，將甲、乙兩個班的學生一年來的數(shù)學考試成績?nèi)∑骄鶖?shù)再取整，繪制成如下莖葉圖, 規(guī)定不低于85分(百分制)為優(yōu)秀，甲班學生成績的中位數(shù)為 74分.乙班0 I 2 2 3 3 62 33344 5 6 7 7 8 9135662 4 5 ft 7 7 H 9 99附:K2=n adbc 2P(K2k0)0.10

25、0.050.025k02.7063.8415.024, 其中 n=a+b+c+ d.a+b c+d a+c b+d(1)求x的值和乙班學生成績的眾數(shù)；(2)完成下列2X2列聯(lián)表，如果有90%以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學方法改革有 關(guān)”的話，那么學校將擴大教學改革范圍，請問學校是否要擴大改革范圍？說明理由.甲班人數(shù)乙班人數(shù)合計優(yōu)秀人數(shù)不優(yōu)秀人數(shù)合計解析(1)因為甲班學生成績的中位數(shù)為74分,所以 70+ x+ 75 = 2X74,解得 x= 3.由莖葉圖知，乙班學生成績的眾數(shù)為 78分，83分.(2)完成2X2列聯(lián)表如下:甲班人數(shù)乙班人數(shù)合計優(yōu)秀人數(shù)61319不優(yōu)秀人數(shù)342761合計40

26、4080o 80 X 6X27 13X34 2由表中數(shù)據(jù)可得 K2 = -40 x40 x19x61一弋3.3822.706.所以有90%以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學方法改革有關(guān)”，學?？梢詳U大教學改革范 圍.【練習2】環(huán)境問題是當今世界共同關(guān)注的問題，我國環(huán)?？偩指鶕?jù)空氣污染指數(shù) PM 2.5溶度, 制定了空氣質(zhì)量標準：空氣污染指數(shù)(0,50(50,1001(100,150J(150,2001200,300空氣噴埴等級 優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴也污染某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開始考查了連續(xù)六年11月份的空氣污染指 數(shù)，繪制了頻率分布直方圖，經(jīng)過分析研究，決定

27、從2016年11月1日起在空氣質(zhì)量重度污染 和嚴重污染的日子對機動車輛限號出行，即車牌尾號為單號的車輛單號出行，車牌尾號為雙號 的車輛雙號出行(尾號為字母的，前 13個視為單號，后13個視為雙號).王先生有一輛車， 若11月份被限行的概率為0. 05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質(zhì)量良好與中度污染的天氣中抽取6天，再從這6天中隨機抽取2天，求至少有一天空氣質(zhì)量中度污染的概率；(3)該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車尾氣排放對空氣質(zhì)量的影響，對限行兩年來的11月份共60天的空氣質(zhì)量進行統(tǒng)計，其結(jié)果如表：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染篁度污染嚴重污染天數(shù)11277L 3 .1

28、根據(jù)限行前6年180天與限行后60天的數(shù)據(jù)，計算并填寫2 2列聯(lián)表，并回答是否有90%的 把握認為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).空氣質(zhì)梟優(yōu).良空飛質(zhì)總污染合計限行前限行后合計參考數(shù)據(jù):P（K2 k。）0. 150. 100. 050. 0250. 0100. 005k2. 0722. 7063. 8415. 0246. 6357. 8792參考公式：K,240 90 22 38 90得K23.214 2.706,所以有90%的把握認為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車 n-a- , 其中 n a b c d .abcdacbd【答案】(1) m 0.003. (2) 180 60 128 112尾氣的

29、排放有關(guān).試題解析：(1)因為限行分單雙號，王先生的車被限行的概率為0. 05,所以空氣重度污染和嚴重污染的概率應(yīng)為 0.05 2 0.1,由頻率分布直方圖可知：0.004 0.006 0.005 m 50 0.1 1 ,解得m 0.003. . 見解析.5【解析】試題分析：(1)王先生的車被限行的概率為505,空氣重度污染和嚴重污染的概率應(yīng)為0.05x2=04,由頻率分布直方圖可知：(S004+0 006+0 0054)/50+0=L 睥得胴=0Q(B ：(2)空氣質(zhì)量良好與重度污染的天氣的概率之比為 0.3:0.15 2:1 ,按分層抽樣從中抽取6天, 則空氣質(zhì)量良好天氣被抽取4天，記作A

30、1， M A3, A4 ,空氣中度污染天氣被抽取2天,記作日,B2,窮舉得至少有一天空氣質(zhì)量中度污染的概率為3； (3)列聯(lián)表，由表中數(shù)據(jù)可5（2）因為空氣質(zhì)量良好與重度污染的天氣的概率之比為03:0.15 = 2:1,按分層抽樣從中抽取6天，則空氣廉量良好天氣被抽取4天J記作4，4 J &， 4空氣中度污染天氣被抽?。禾?，記作我,島， 從這6天中隨楣螂U天，所包含的基本事件有；（4,4） J （4舄），（44），（4用（4劣L （44）, （44）,（心鳥），（網(wǎng) 見），I4.4）, 1&4），（4.L （4.即，（兒.當）,記事件d為，至少有一天空氣質(zhì)量中度污染二 則事件w所包含的圣本事件

31、有： （4.易）j（4, （4耳），（4渦），（4,（4崗卜（鳥渴）共9個,033故尸（/）=，即至少有一天空氣質(zhì)量中度污染的概率為| .（3）列聯(lián)表如下：空氣質(zhì)量優(yōu)、良空氣質(zhì)量污染合計限行前9090180限行后382260合計1281122402 240 90 22 38 90由表中數(shù)據(jù)可得K2 3.214 2.706,180 60 128 112所以有90%的把握認為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).【練習3】為探索課堂教學改革，江門某中學數(shù)學老師用傳統(tǒng)教學和導學案”兩種教學方式,61 04 21 03 29g765在甲、乙兩個平行班進行教學實驗。為了解教學效果，期末考試后，分別從兩個班

32、級各隨機抽 取20名學生的成績進行統(tǒng)計，得到如下莖葉圖。記成績不低于 70分者為 成績優(yōu)良”。g 59 9 48 8 5 14 3（I ）請大致判斷哪種教學方式的教學效果更佳,并說明理由;（n ）構(gòu)造一個教學方式與成績優(yōu)良列聯(lián)表， 并判斷能否在犯錯誤的概率不超過 0. 05的前提 下認為成績優(yōu)良與教學方式有關(guān)” ？2 n ad bc(附：K2 ，其中n a b c d是樣本容量)abcd a c b d獨立性檢驗臨界值表:0.100.050.0250.0102.7063.8415,0246.635【答案】(I )答案見解析；(R )答案見解析.【解析】試題分析：(I)根據(jù)莖葉圖，從數(shù)據(jù)的分布情

33、況或平均數(shù)或中位數(shù)幾個方面來說明理由.(R)根據(jù)條件得到列聯(lián)表，根據(jù)表求得K*后與臨界值表對照可得結(jié)論.試題解析：(I )乙班(導學案”教學方式)教學效果更佳.理由1、乙班大多在70以上，甲班70分以下的明顯更多；理由2、甲班樣本數(shù)學成績的平均分為：70. 2;乙班樣本數(shù)學成績前十的平均分為：79. 05, 高10%以上.77 + 78=775 ,高 10%, 68 + 72理由3、甲班樣本數(shù)學成績的中位數(shù)為 P= 70,乙班樣本成績的中位數(shù)2以上.(n )列聯(lián)表如下:甲班乙班總計成績優(yōu)良101626成績不優(yōu)良10414總計202040.40(10 x4- 10)c 16)由上表可得=土 3,

34、956 3.841 20 x20 x26x14所以能在犯錯誤的概率不超過。，0$的前提下認為T成陵優(yōu)良與教學方式有關(guān)【總結(jié)】獨立性檢驗的方法及注意事項(1)解題步驟：)構(gòu)造2 X冽聯(lián)表；計算K2;查表確定有多大的把握判定兩個變量有 關(guān)聯(lián).(2)注意事項：查表時不是查最大允許值，而是先根據(jù)題目要求的百分比找到第一行對應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對應(yīng)的k值與求得的K2相比較；另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個變量沒有關(guān)聯(lián)的可能性p,所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1-p.三、數(shù)學期望中的決策問題【例1】(2018衡水摸底聯(lián)考)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,， 8,其中X5為標準A, X3為標準

35、B.已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6 元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合 相應(yīng)的執(zhí)行標準.(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù) X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且Xi的數(shù)學期望E(Xi) = 6,求(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)a, b的值；X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)數(shù)據(jù)如下:3 8 57 5 33 4 4組成一個樣本,3 5 36 3 48 3 4用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望;(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個

36、工廠的產(chǎn)品更具可購買性？ 說明理由.注：產(chǎn)品的“性價比產(chǎn)品的曹慧警學期望 “性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.解(1)因為 E(Xi) = 6,所以 5X0.4 + 6a+7b+8X0.1=6,即 6a+7b=3.2,又由Xi的概率分布列得0.4+a+b+0.1 = 1, a+ b= 0.5,a=0.3, 由得b=02(2)由已知得，樣本的頻率分布列如下:X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1所以,E(X2)= 3X0.3 + 4X

37、0.2+5X0.2+6X0.1+ 7X0.1+8X0.1 = 4.8, TOC o 1-5 h z 即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下:6因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于 6,價格為6元/件，所以其性價比為6=1,因為4 8.乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望等于 4.8,價格為4元/件，所以其性價比為 詈=1.2,據(jù)此，乙廠 的產(chǎn)品更具可購買性.【例2】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員，日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪80元，每銷售一件產(chǎn)品提成1元；乙公司規(guī)定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超 過45件的部分每件提成8元.(1)請將兩

38、家公司各一名推銷員的日工資 y(單位：元)分別表示為日銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系工】；(2)從兩家公司各隨機抽取一名推銷員，對他們過去100天的銷售情況進行統(tǒng)計，得到如下條形圖：若將該頻率視為概率，請回答下列問題：記乙公司一名員工的日工資為 X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學期望；某大學畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員工作，如果僅從日均收入的角度考慮, 請你利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇，并說明理由.解(1)由題意得，甲公司一名推銷員的日工資 y(單位：元)與銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為：y= 80+ n, nCN ,乙公司一包推銷貝的日工負 y(單包：兀)與銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為: 一 一*1

39、20 n45, n N .記乙公司一名員工的日工 資為X（單位：元），由條形圖得X的可能取值 為120,128,144,16。10+ 10 P(X=120) = - = 0.2,P(X= 128)=痂=03、40 八，P(X= 144)=而=O/，10 P(X=160) = 100= 0.1,所以X的分布列為:X120128144160P0.20.30.40.1X 的數(shù)學期望 E(X)= 120X0.2+ 128X 0.3+ 144X 0.4+ 160X 0.1 = 136(元).由條形圖知，甲公司一名員工的日均銷售量為42X 0.2+ 44X 0.4 + 46X 0.2+ 48X 0.1 +

40、 50X 0.1 = 45 件,甲公司一名員工的日均工資為125元.由知乙公司一名員工的日均工資為 136元.故應(yīng)該應(yīng)聘乙公司.方法歸納解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟【例3】某超市計劃銷售某種食品，現(xiàn)邀請甲、乙兩個商家進場試銷10天.兩個商家提供的返利方案如下：甲商家每天固定返利 60元，且每賣出一件食品商家再返利 3元；乙商家無周定返利，賣出30件以內(nèi)（含30件）的食品，每件食品商家返利 5元，超出30件的部分每件 返利8元.經(jīng)統(tǒng)計，兩個商家的試銷情況莖葉圖如下：甲g g g g A2 0 10 3乙S 9 Q2 1110 10（1）現(xiàn)從甲商家試銷的10天中抽取兩天，求這兩天的銷售量都小于

41、30的概率；（2）若將頻率視作概率，回答以下問題：記商家乙的日返利額為x （單位：元），求x的分布列和數(shù)學期望；超市擬在甲、乙兩個商家中選擇一家長期銷售，如果僅從日平均返利額的角度考慮，請利 用所學的統(tǒng)計學知識為超市作出選擇，并說明理由.【答案】（1） -; （2）見解析；見解析. 3【解析】試題分析：（1）結(jié)合組合知識，利用古典概型概率公式即可求兩天的銷售量都小于30的概率；（2）X的所有可能取值為：140, 145, 150, 158 , 166,根據(jù)古典概型 概率公式，求出各個隨機變量對應(yīng)的概率，從而可得X的分布列，進而可得期望值；先求出甲商家的日平均銷售量，從而可得甲商家的日平均返利額

42、，再由得出乙商家的日平均返利 額，比較返利額的大小可得結(jié)論.試題解析:（1）記號摭的酉天銷售量都d吁招，力事件C2 1則 .0）設(shè)乙商家的日銷售量為力貝I當 方部 時，心28工5=140.當 X29時，4加工3=14力當 *40 時 j Jf-3Ox5=15O;當?shù)奈視r,黃心28=15$ j當 去32時，JN30,5/2丈8=1前；所以了的所有可能取值為；140114力150, 158. 166.所以X的分布列為X140145150158166P111211055510所以 EX=140X+145X1+150X1+158-+166X1=152. 8.1055510依題意,甲商家的日平均銷售量為

43、二2曲0. 279乂。.4+3CML 2+31加.1+32x0, 1=29, 5所以甲商冢的日平i湖利額為；60+2, 5x3-145. 5元由得乙商家的日平均返利額為152. &元（用8.5元），所以推薦該超市選擇乙而家長期銷售.【例4】某快遞公司收取快遞費用的標準是： 重量不超過1kg的包裹收費10元；重量超過1kg的 包裹，除1kg收費10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg (不足1kg，按1kg計算)需再收5元.該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下：包裹重量(單位：kg)12345包裹件數(shù)43301584公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表:包裹件數(shù)范圍0 100101

44、200201 300301 400401 500包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450天數(shù)6630126以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.(1)計算該公司未來3天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101 400之間的概率；(2) (i)估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；(ii)公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，工資100元.公司正在考慮是否將前臺 工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學期望，并判斷裁員是否對提高公司利 潤更有利？【答案】(1) 98; (2)(i)15元；(ii)答

45、案見解析. 125【解析】試題分析：1先計算出包裹件數(shù)在101 400之間的天數(shù)為48,然后得到頻率，估計出概率，運用二項分布求出結(jié)果(2)運用公式求出每件包裹收取的快遞費的平均值 (3)先將大 數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，分別計算出不裁員和裁員兩種情況的利潤，從而作出比較解析；C1)樣本包更件數(shù)在101-400之間的天數(shù)為43頻率/ = ： =60 5故可估計概率為:，顯然未來3天中，包裹件數(shù)在101400之間的天觸X服從二項分布“即入.3故所求概就= ,I 5J15J 5 125(2) (i)樣本中快遞費用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：kg）12345快遞費（單位：元）1015202530包裹件數(shù)4

46、3301584故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為10 43 15 30 20 15 25 8 30 4 15 （元）,100故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為15元.（ii）根據(jù)題意及（2） （i）,攬件數(shù)每增加1,可使前臺工資和公司利潤增加15-5 （元），3將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包裹件數(shù)范圍0 100101 200201 300301 400401 500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)6630126頻率0.10.10.50.20.1若不裁員，則每天可攬件的上限為 450件，公司每日攬件數(shù)情況如下:包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實際攬

47、件數(shù)Y50150250350450頻率0.10.10.50.20.1EY50 0.1 150 0.1 250 0.5350 0.2 450 0.1 260沖公司平均每日親閑的期望值為260乂 5 -3x 100 = 10州（元）j3裁員1人f則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下:包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實際攬件數(shù)Z50150250300300頻率0.10.10.50.20.1EZ500.1 150 0.1 250 0.53000.2 300 0.1 235故公司平均每日利潤的期望值為 235 5 2 100 975 （元）.因975 1000,故公司將前

48、臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利.【練習1】(2017 全國卷I )為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(小，(7 2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記 X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(仙3(t, n+3(t)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(以一3(t, +3(t )之外的零件，就認為這條生 產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法

49、的合理性；下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 ,10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9516116/16經(jīng)計算得 x =16百xi=9.97, $=716萬 Xi x 2=176 *X216 x 2) = 0.212,其中 xi為抽取的第i個零件的尺寸，i = 1,2,16.AA用樣本平均數(shù)x作為N的估計值N ,用樣本標準差s作為b的估計值總利用估計值判斷 是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(：3： , 1 + 3：)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計 祖和(精確至I 0.01).附：

50、若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(n,62),貝UP(n3(tvZ1)= 1 P(X= 0)= 1 0.997 416=0.040 8.X 的數(shù)學期望 E(X)= 16X0.002 6= 0.041 6.(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(卜3(t,仙+36之外的概率只有0.002 6, 一天 內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(以一3(t,仙+ 3 6之外的零件的概率只有0.040 8,發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.：由x =9.97, s=0.212,得/勺估計值

51、為 尸9.97, 而估計值為6= 0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(:一3：, : + 3%之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.剔除(131, 1 + 3%之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1-X (16X 9.97 9.22)=10.02. 15因此 而估計值為10.02.16萬x2= 16X 0.2122+ 16X 9.972=1 591.134,剔除(；3, ； + 3%之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為 右X(1 591.134- 9.222-15 15X 10.022)枳.008,因此 力勺估計值為40.008=0.09.【練習2】(2018 全國卷I )

52、某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱 200件，每一箱產(chǎn)品在交付用 戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取 20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的 概率都為p(0p0；當 pC(0.1,1)時，f(p)400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.【練習3】隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運而生，某市場研究人員為了了(1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系，解共享單車運營公司M的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月的市場占有率進行了統(tǒng)計，并繪制求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預測M公

53、司2017年4月的市場占有率；(2)為進一步擴大市場，公司擬再采購一批單車，現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A、B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用 4年，但由于多種原因(如騎行頻率 等)會導致單車使用壽命各不相同，考慮到公司運營的經(jīng)濟效益，該公司決定先對這兩款車型 的單車各100輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命的頻數(shù)表如右表：經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元，不考慮除采購成本之外的其他成本， 假設(shè)每輛單車的使用壽 命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率，如果你是 M公司的負責人，以每輛 單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型

54、？ a? y bx.參考公式：回歸直線方程為? bX a?,其中t?1年2年3年4年.總計A2035S510100B10如4020100n_i 1(Xi X) y yni 1 xini 1xi yi nxyn 22i 1xi nx【答案】(1)預測M公司2017年4月份(即x 7時)的市場占有率為23%;(2)見解析.【解析】試題分析：1求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，即可得出結(jié)論2分別求出每款車相對應(yīng)的數(shù)學期望，然后對比即可得到結(jié)論xi x 17.5 , i 1解析：(1)由題意：x 3.5, y 16,xi x yi y 35 ,i 1b?巨 2,0,1 = 175 阮)攙輛B款車可使用1年，

55、2年，3年,斗年的概率分別為01，03, 0.4, 0.2,，每輛3款車的利潤數(shù)學利ii物(500-1200)x0,1+(1000-1200)x03 + (1500-1200)x0.4+(2000-1200)x0,2 = 150 (元1175 150 ,J應(yīng)該采購d款車.【練習4】207年8月8日晚我國四川九賽溝縣發(fā)生了 7. 0級地震，為了解與掌握一些基本的地震安全防護知識，某小學在9月份開學初對全校學生進行了為期一周的知識講座，事后并進行了測試(滿分100分)，根據(jù)測試成績評定為 合格”(60分以上包含60分)、不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：合格”定為10分，不合格”定為5分.

56、現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示:等級不合格合格得分20,4040,6060,8080,100頻數(shù)6a24b(1)求a,b,c的值;(2)用分層抽樣的方法，從評定等級為 合格”和不合格”的學生中抽取10人進行座談，現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為 ，求 的分布列及數(shù)學期望E ;設(shè)函數(shù)f .（其中D表示的方差）是評估安全教育方案成效的一種模擬函 數(shù).當f 2.5時，認定教育方案是有效的；否則認定教育方案應(yīng)需調(diào)整，試以此函數(shù)為參考依據(jù).在（2）的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？ 【答案】（1）見解析.（2）見解析.（3）見解析.【解析】試題分

57、析：（1）由頻率分布直方圖可求出，得分在 20,40的頻率從而可得學生答卷數(shù)以及分在80,100的頻率，于是可得b的值，又6 a 24 b 60,進而可得a,c的值；（2）抽取的10人中合格”有6人，不合格”有4人， 可取40, 35, 30, 25, 20 ,根據(jù)組 合知識，利用古典概型概率公式求出隨機變量對應(yīng)的概率， 即可得分布列，利用期望公式可得結(jié)果；（3）利用（2）的結(jié)論，由方差公式求出 D 16,從而得f 2 2.5,故需要調(diào)整安全教育方案.試題解析；1）由頻率分布直方圖可知，得分在20,40）的頻率為0.005x20 = 0.1,捌由取的學生答卷數(shù)上卷二60,又由頻率分布直方酮知，

58、得分在80,100的頻率為5 2下斯以6 = 60血2 = 12.1J?又6+口424+ 5= 60 ,號門+ 占=30ja = 1S , c = 0.015 .60 x20（2）合格”與不合格”的人數(shù)比例為36: 24 3:2,因此抽取的10人中合格”有6人，不合C41格 有4人，所以 有40, 35, 30, 25, 20共5種可能的取值.P 40 二,，1435C；C；C4021，P 30咕？P 25咕巴44Cw7Cw 3520C：1C140210的分布列為40353025201432173521018341所以 E40 35 30 25 20 32 2)可得口

59、= (40獎丫 乂元+ (3532) 乂虧+(3032)江+(25 32)父港十(2032)父元二161所以：)=一 二二2e2卞.八J，d() 16故可從認為該校的安全教育方案是無效的,需要調(diào)整安全教育方案.【練習5】2018年元旦期間，某運動服裝專賣店舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過400元均可參加1次抽獎活動，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：顧客轉(zhuǎn)動十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤 (如圖)，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向哪個扇形區(qū)域，則顧客可直接獲得該區(qū)域?qū)?yīng)面額(單位：元)的現(xiàn)金優(yōu)惠，且允許顧客轉(zhuǎn)動 3次.方案二：顧客轉(zhuǎn)動十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤(如圖，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針若

60、指向陰影 部分，則未中獎，若指向白色區(qū)域，則顧客可直接獲得 40元現(xiàn)金，且允許顧客轉(zhuǎn)動3次.(1)若兩位顧客均獲得1次抽獎機會，且都選擇抽獎方案一，試求這兩位顧客均獲得 180元 現(xiàn)金優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客恰好獲得1次抽獎機會.試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得現(xiàn)金獎勵的數(shù)學期望；從概率的角度比較 中該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？【答案】(1) (2)見解析該顧客選擇第一種抽獎方案更合算729【解析】試題分析：(1)由圖可知，每一次轉(zhuǎn)盤指向60元對應(yīng)區(qū)域的概率為p ,，設(shè) 每位 33顧客獲得180元現(xiàn)金獎勵”為事件A ,則P A C； 1 工，結(jié)合乘法概率公式得到這兩位27顧客均獲得1