人教A版高中數(shù)學(xué)必修三《6.3.1二項(xiàng)式定理》教案

1、6.3.1 二項(xiàng)式定理 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)，第六章計(jì)數(shù)原理，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程是組合知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)也為隨后學(xué)習(xí)的概率知識(shí)及概率與統(tǒng)計(jì)，作知識(shí)上的鋪墊。二項(xiàng)展開(kāi)式與多項(xiàng)式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，必然從更廣的視角和更高的層次來(lái)審視初中學(xué)習(xí)的關(guān)于多項(xiàng)式變形的知識(shí)。運(yùn)用二項(xiàng)式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如近似計(jì)算、整除問(wèn)題、不等式的證明等。本課數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)：多項(xiàng)式乘法的深化與再認(rèn)識(shí)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)過(guò)程，歸納、猜想出二項(xiàng)式定理，并用計(jì)數(shù)原理加以證明；B.會(huì)應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展

2、開(kāi)式；C.通過(guò)經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的探究過(guò)程，體驗(yàn)“歸納、猜想、證明”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及 “從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力.1.數(shù)學(xué)抽象：二項(xiàng)式定理 2.邏輯推理：運(yùn)用組合推導(dǎo)二項(xiàng)式定理3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決問(wèn)題4.數(shù)學(xué)建模： 在具體情境中運(yùn)用二項(xiàng)式定理重點(diǎn)： 應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開(kāi)式難點(diǎn)：利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)式多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)問(wèn)題探究上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個(gè)在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的a+bn展開(kāi)式的問(wèn)題。問(wèn)題1：我們知道 a+b2=a2+2ab+b2,a+b3=a3+3

3、a2b+3ab2+b3（1）觀察以上展開(kāi)式，分析其運(yùn)算過(guò)程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫(xiě)出a+b4的展開(kāi)式嗎？（3）進(jìn)一步地，你能寫(xiě)出a+bn的展開(kāi)式嗎？我們先來(lái)分析的展開(kāi)過(guò)程，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，a+b2=a+ba+b=aa+b+ba+b=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2可以看到，a+b2是2個(gè)a+b相乘，只要從一個(gè)a+b中選一項(xiàng)（選a或b），再?gòu)牧硪粋€(gè)a+b中選一項(xiàng)（選a或b），就得到展開(kāi)式的一項(xiàng)，于是，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，在合并同類(lèi)項(xiàng)之前，a+b2的展開(kāi)式共有C21C21=22項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是a2-kbk（ k=0,1,2）的形式.我們來(lái)分析一下形如a2-

4、kbk的同類(lèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù).當(dāng)k=0時(shí)，a2-kbk=a2，這是由2個(gè)a+b中都不選b得到的，因此，a2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)a+b中取0個(gè)b（即都取a）的組合數(shù)C20，即a2只有1個(gè)；當(dāng)k=1時(shí)，a2-kbk= ab，這是由1個(gè)a+b中選a，另一個(gè)a+b中選b得到的，由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此， ab出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)a+b中取1個(gè)b的組合數(shù)C21，即ab只有2個(gè)；當(dāng)k=2時(shí)，a2-kbk= b2，這是由2個(gè)a+b中選b得到的，因此，b2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)a+b中取2個(gè)b的組合數(shù)C22，即b2只有1個(gè)；由上述分析可以得到a+b2=C20a2+C21ab+C22b2問(wèn)題2：仿照上

5、述過(guò)程，你能利用計(jì)數(shù)原理，寫(xiě)出a+b3，a+b4的展開(kāi)式嗎？類(lèi)似地，用同樣的方法可知a+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3a+b4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b41二項(xiàng)式定理(ab)n_ (nN*)(1)這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理(2)展開(kāi)式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，展開(kāi)式中一共有_項(xiàng)(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)_ (k0,1,2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)Ceq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(2,n)an2b2Ceq oal(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bnn1

6、；Ceq oal(k,n)2二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式(ab)n展開(kāi)式的第_項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，記作Tk1_.k1 ；Ceq oal(k,n)ankbk二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn)(1)二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng),而不是n項(xiàng).(2)二項(xiàng)式系數(shù)都是Cnk(k=0,1,2,n),它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等.(3)二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n次逐項(xiàng)減少1次直到0次,同時(shí)字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項(xiàng)增加1次直到n次.1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)(ab)n展開(kāi)式中共有n項(xiàng) ()

7、(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒(méi)有影響 ()(3)Ceq oal(k,n)ankbk是(ab)n展開(kāi)式中的第k項(xiàng) ()(4)(ab)n與(ab)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)相同 ()解析(1)因?yàn)?ab)n展開(kāi)式中共有n1項(xiàng)(2)因?yàn)槎?xiàng)式的第k1項(xiàng)Ceq oal(k,n)ankbk和(ba)n的展開(kāi)式的第k1項(xiàng)Ceq oal(k,n)bnkak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的(3)因?yàn)镃eq oal(k,n)ankbk是(ab)n展開(kāi)式中的第k1項(xiàng)(4)因?yàn)?ab)n與(ab)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)都是Ceq oal(r,n).答案(1)(2)(3)(4)二、典例解析例1

8、.求x+1x6的展開(kāi)式.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理x+1x6=x+x-16=C60 x6+C61x5x-1+C62x4x-2+C63x3x-3+C64x2x-4+C65x1x-5+C66x-6=x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-61.(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏.跟蹤訓(xùn)練1 (1)求3x+1x4的展開(kāi)式;

9、(2)化簡(jiǎn):(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).解:(1)方法一3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)31x+C42(3x)21x2+C433x1x3+C441x4=81x2+108x+54+12x+1x2.方法二3x+1x4=(3x+1)4x2=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54+12x+1x2.(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55(x-1)0-1=(x-1)+15-1=x5-1.例2.（1）求1+2x7的展開(kāi)式的第4

10、項(xiàng)的系數(shù)；（2）求2x-1x6的展開(kāi)式中x2的系數(shù).解：1+2x7的展開(kāi)式的第4項(xiàng)是T3+1=C7317-3 (2x)3 =C7323 x3=358 x3=280 x3因此,展開(kāi)式第4項(xiàng)的系數(shù)是280.（2）2x-1x6 的展開(kāi)式的通項(xiàng)是C6k(2x12)6-k(x-12)k=C6k26-kx6-k2-k2=C6k26-kx3-k根據(jù)題意，得3-k=2，k=1，因此，x2的系數(shù)是（-1）25C61=-192.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的求解策略 (1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k0,1,2,n),它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念.

11、(2)第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào),而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)7的展開(kāi)式中,第4項(xiàng)是T4=C7317-3(2x)3,其二項(xiàng)式系數(shù)是C73=35,而第4項(xiàng)的系數(shù)是C7323=280.跟蹤訓(xùn)練2. (1)求二項(xiàng)式2x-1x6的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù);(2)求x-1x9的展開(kāi)式中x3的系數(shù).解:(1)由已知得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C6k(2x)6-k-1xk=26-kC6k(-1)kx3-3k2,T6=-12x-92.第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C65=6,第6項(xiàng)的系數(shù)為C65(-1)52=-12.(2)設(shè)展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)為含x3的項(xiàng),則Tk+1

12、=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9kx9-2k,令9-2k=3,得k=3,即展開(kāi)式中第4項(xiàng)含x3,其系數(shù)為(-1)3C93=-84.學(xué)生帶著問(wèn)題去觀察展開(kāi)式，引發(fā)思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從“繁雜計(jì)算之苦”到領(lǐng)悟“分步乘法原理與組合數(shù)的簡(jiǎn)潔美”，這也是一個(gè)內(nèi)化的過(guò)程，鞏固已有思想方法，建立猜想二項(xiàng)式定理的認(rèn)知基礎(chǔ)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例解析，讓學(xué)生體會(huì)利用二項(xiàng)式定理模型進(jìn)行計(jì)算，感受數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價(jià)值。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的

13、核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.(a+b)2n的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是()A.2nB.2n+1 C.2n-1D.2(n+1)解析:易知二項(xiàng)式(a+b)2n的展開(kāi)式中有2n+1項(xiàng),故展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為2n+1.答案:B2.(2a+b)5的展開(kāi)式的第3項(xiàng)是()A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.23C53a2b3解析:T2+1=C52(2a)3b2=23C52a3b2.答案:B 3.二項(xiàng)式(x+1x)6的展開(kāi)式中有理項(xiàng)共有項(xiàng).解析:根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)Tk+1=C6k(x)6-k1xk=C6kx6-3k2.當(dāng)取有理項(xiàng)時(shí),6-3k2為整數(shù),此時(shí)k=0,2,4,6.故共有4項(xiàng).答案:4 4.如果(3x

14、2+1x)n的展開(kāi)式中,含x2的項(xiàng)為第三項(xiàng),則自然數(shù)n=.解析:Tk+1=Cnk(3x2)n-k(1x)k=Cnkx2n-5k3,由題意知當(dāng)k=2時(shí),2n-5k3=2,解得n=8. 答案:8 5.已知m,nN*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展開(kāi)式中x的系數(shù)為19,求x2的系數(shù)的最小值及此時(shí)展開(kāi)式中x7的系數(shù).解:由題設(shè)知m+n=19,又m,nN*,1m18. x2的系數(shù)為Cm2+Cn2=12(m2-m)+12(n2-n)=m2-19m+171.當(dāng)m=9或10時(shí),x2的系數(shù)的最小值為81,此時(shí)x7的系數(shù)為C97+C107=156.6.已知在3x-123xn的展開(kāi)式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).(

15、1)求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).分析:先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),求出當(dāng)x的次數(shù)為0時(shí)n的值,再求解第(2)問(wèn)、第(3)問(wèn).解:(1)由通項(xiàng)知,展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)為T(mén)k+1=Cnk(3x)n-k-123xk=Cnk(x13)n-k-12x-13k=-12kCnkxn-2k3.第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),k=5,且n-52=0,n=10.(2)由(1)知Tk+1=-12kC10kx10-2k3.令10-2k3=2,則k=2.x2的系數(shù)為-122C102=1445=454.(3)當(dāng)Tk+1項(xiàng)為有理項(xiàng)時(shí),10-2k3為整數(shù),0k10,且kN.令10-2k3=z,則k=5-32z,z為偶數(shù),從而求得當(dāng)z=2,0,-2時(shí),相應(yīng)地k=2,5,8符合條件.有理項(xiàng)為T(mén)3=C102-122x2=454x2,T6=C105-125=-638,T9=C108-128x-2=45256x-2.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。這一節(jié)課面對(duì)的是高