無套利定價理論基礎(chǔ)(《金融經(jīng)濟學(xué)》課件)

1、第15講 無套利定價理論基礎(chǔ)第1頁，共15頁。令人費解的風(fēng)險中性定價為什么可以假設(shè)投資者是風(fēng)險中性的？風(fēng)險中性概率是什么？風(fēng)險中性世界與真實世界有什么關(guān)系？資產(chǎn)價格在風(fēng)險中性世界里滿足什么樣的規(guī)律？為什么風(fēng)險中性定價這么一種不直觀、反直覺的定價方法是正確的？2第2頁，共15頁。15.1 套利的嚴(yán)格定義資產(chǎn)市場數(shù)學(xué)描述回顧資產(chǎn)市場的（1期）支付矩陣與（0期）價格向量資產(chǎn)組合、資產(chǎn)組合的（1期）支付、資產(chǎn)組合的（0期）價格3第3頁，共15頁。15.1 套利的嚴(yán)格定義套利的定義及分類定義15.1（套利）：同時滿足下列3個條件的資產(chǎn)組合叫做套利（arbitrage）：（i）p0；（ii）x0；（iii

2、）前兩個不等式中至少有一個是嚴(yán)格不等式。三類套利第一類套利，p0：在當(dāng)前不付出任何代價，而在未來卻能獲得正的收益（盡管這種收益是不確定的，但這種不確定性只是獲利有多大而已，而不會帶來任何損失的可能）第三類套利，p0：當(dāng)前既能獲得確定性的正收益，在未來還能獲得正的支付三點說明套利只依賴于資產(chǎn)的支付和價格，而與各個狀態(tài)發(fā)生的概率無關(guān)。任何套利機會都可以化成前面這三種套利的一種無套利是均衡的一個必要條件均衡中一定沒有套利機會；但無套利并非均衡的充分條件即使資產(chǎn)市場中沒有套利機會，也未必達到了均衡（市場可能還沒出清）4第4頁，共15頁。15.2 資產(chǎn)定價基本定理狀態(tài)價格向量與資產(chǎn)定價資本定理定義15.

3、2（狀態(tài)價格向量）：狀態(tài)價格向量=(1, ., S)T為一組正數(shù)（s0，s），使得對于任意資產(chǎn)j都有下式成立對狀態(tài)價格向量的說明狀態(tài)價格就是各個狀態(tài)對應(yīng)的Arrow證券的價格狀態(tài)價格等于隨機折現(xiàn)因子（定價核）乘以真實世界的概率s=sms狀態(tài)價格總是正的（Arrow證券的價格必然大于0）定理15.3（資產(chǎn)定價基本定理）：資產(chǎn)市場中不存在套利機會，當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)價格向量存在5第5頁，共15頁。15.2 資產(chǎn)定價基本定理超平面分離定理超平面分離定理：任給兩個S維空間中相互分離的凸集合A和B（二者的交集為空集），在這兩個凸集合中分別任取一點，aA，bB，一定可以找到一個線性函數(shù)F(x)=1x1+2x2+

4、.+SxS（其中的1、2、. S都是常數(shù)），使得F(a)F(b)由于F是線性函數(shù)，所以對任意實數(shù)，必有F(a)=F(a) 6第6頁，共15頁。15.2 資產(chǎn)定價基本定理資產(chǎn)定價基本定理的證明思路定義集合AA中的元素都是包含S+1個元素的向量，每個向量對應(yīng)一個資產(chǎn)組合每個向量的第1個元素是資產(chǎn)組合0期價值乘以-1，后S個元素是資產(chǎn)組合在1期各個狀態(tài)的支付集合A中的元素的自由度只有S個因為根據(jù)已知的支付矩陣x與價格向量p，給出了A中元素的S個分量后，第S+1個分量就能算出來所以集合A構(gòu)成了一個維數(shù)低于S+1的子空間（subspace）定義集合BB中的元素都是包含S+1個元素的向量，且向量的每個元素

5、都非負集合B是一個錐（cone）在二維的情況下，集合B就是二維坐標(biāo)系的第一象限（包含坐標(biāo)軸）7第7頁，共15頁。15.2 資產(chǎn)定價基本定理資產(chǎn)定價基本定理的證明思路（續(xù)1）資產(chǎn)市場中如果沒有套利機會，集合A和集合B只相交于0=(0, 0, ., 0)這一點（ AB=0 ）如果A和B還相交于非0的點，就意味著下面這個向量的所有元素都非負，且至少有一個元素嚴(yán)格為正，因而構(gòu)成了前面定義的套利8第8頁，共15頁。15.2 資產(chǎn)定價基本定理資產(chǎn)定價基本定理的證明思路（續(xù)2）集合A與集合B-0（集合B除去0點）都是凸集，由超平面分離定理可以知道，可以找到一個線性的函數(shù)F(x)=0 x0+1x1+.+SxS

6、，使得F(a)F(b)，aA，bB-0對任意元素aA，任給一個實數(shù)，必有aA如果一個投資組合在A中，那么把投資組合各項權(quán)重全部乘以得到的新投資組合也必然在A中對任意aA，必然有F(a)=0反證法，假設(shè)這一結(jié)論不成立，則必然存在某個a0A，使得F(a0)0當(dāng)時（如果F(a0)0，則讓 -），必有F(a0)= F(a0) F(a)F(b)（aA，bB-0）將無法成立，形成矛盾由于F(a)0，因此對線性函數(shù)F(x)=0 x0+1x1+.+SxS來說，必有i0（i=0,1,.,S）F(a)=0寫成9第9頁，共15頁。15.2 資產(chǎn)定價基本定理資產(chǎn)定價基本定理的證明思路（續(xù)3）由于權(quán)重可以任意選擇，完全

7、可以將其設(shè)定為某種資產(chǎn)j的權(quán)重為1，其它資產(chǎn)的權(quán)重全部為0，所以對任意一種資產(chǎn)j，都有 變形為其中的s/0（s=1,.,S）全是正數(shù)，就是所要尋找的狀態(tài)價格，定理的充分性（無套利=存在狀態(tài)價格向量）得證如果已經(jīng)存在著狀態(tài)價格1，.，S，則資產(chǎn)價格必定可以表示為由于所有的s都是正數(shù)，所以如果x0，必然有p0。而如果x0，則必有p0。所以不存在套利機會，定理的必要性得證10第10頁，共15頁。15.2 資產(chǎn)定價基本定理完備市場中狀態(tài)價格的唯一性定理15.4（第二資產(chǎn)定價基本定理）：在一個完備的資產(chǎn)市場中如果不存在套利機會，則存在唯一的狀態(tài)價格向量證明：完備市場中，必然可以用市場中現(xiàn)有資產(chǎn)構(gòu)造出各個

8、狀態(tài)的Arrow證券如果狀態(tài)價格不唯一，必然會導(dǎo)致至少一個狀態(tài)對應(yīng)兩個狀態(tài)價格，因而必然至少有一個Arrow證券有兩個價格因而必然會出現(xiàn)套利機會，與無套利的假設(shè)矛盾所以在完備市場中，狀態(tài)價格向量必定唯一11第11頁，共15頁。15.3 風(fēng)險中性概率風(fēng)險中性概率的推導(dǎo)無風(fēng)險資產(chǎn)在現(xiàn)在（0期）的價格應(yīng)該為無風(fēng)險利率的倒數(shù)，即e-r（連續(xù)復(fù)利計息），它應(yīng)該等于所有狀態(tài)價格之和定義因為sqs=1，故可以將q1、.、qS視為各個狀態(tài)發(fā)生的概率（注意這個概率與真實世界中各個狀態(tài)發(fā)生的概率是兩回事），有其中期望符號的上標(biāo)Q是用來區(qū)分用真實世界概率1、.、S計算的數(shù)學(xué)期望Ex構(gòu)造的概率（q1、.、qS）叫做風(fēng)

9、險中性概率；這個概率所對應(yīng)的假象世界叫做風(fēng)險中性世界；風(fēng)險中性世界中的資產(chǎn)定價問題變成了求取數(shù)學(xué)期望的簡單問題12第12頁，共15頁。15.3 風(fēng)險中性概率風(fēng)險中性定價方法和風(fēng)險中性概率的經(jīng)濟含義無套利定價（風(fēng)險中性定價）方法驗證資產(chǎn)市場不存在套利機會，且是完備的，從而確認存在唯一狀態(tài)價格向量；利用現(xiàn)有的資產(chǎn)價格信息，直接求出風(fēng)險中性概率；利用p=e-rEQx計算資產(chǎn)價格均衡市場（C-CAPM）的風(fēng)險中性概率風(fēng)險中性概率（qs）其實是對真實世界概率（s）的調(diào)整在風(fēng)險中性概率中，那些消費更為寶貴（消費邊際效用更高）的狀態(tài)已經(jīng)在計算概率時獲得了增大13第13頁，共15頁。幾個概念及其相互聯(lián)系m（

10、ms =s /s ）：隨機折現(xiàn)因子（stochastic discount factor，SDF），狀態(tài)價格密度（state price density），狀態(tài)價格核（state price kernel），定價核（pricing kernel）s=s ms ：狀態(tài)價格（state price），Arrow證券價格e-r=ss =s s ms =Em ：無風(fēng)險資產(chǎn)價格qs=ers ：風(fēng)險中性概率（risk neutral probability）14第14頁，共15頁。風(fēng)險中性定價的直覺關(guān)鍵問題：資產(chǎn)定價的核心明明是對風(fēng)險的處理，為什么可以假設(shè)投資者都是風(fēng)險中性的來定價？漢堡和可樂套餐的定價問題一個漢堡值多少錢，一杯可樂值多少錢，取決于消費者的口味但不管消費者的口味是怎樣的，在漢堡和可樂的價格給定了之后，只要不存在套利機會，漢堡和可樂套餐的價格就一定等于漢堡的價格加上可樂的價錢基于漢堡和可樂的價格，給漢堡可樂套餐定價時不需要考慮消費者