彈性力學(xué)最新試題帶答案

1、1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？【分析】均勻的各項異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定?！窘獯稹烤鶆虻母黜棶愋误w如：竹材，木材。非均勻的各向同性體如：混凝土?！?-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性假定?！窘獯稹恳话愕幕炷翗?gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體?！?-3】五個基本假定在建立彈

2、性力學(xué)基本方程時有什么作用？【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整

3、個物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點的物理性質(zhì)都是相同的，因而物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個物體所有各點的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關(guān)系時，它們的二次冪或乘積相對于其本身都可以略去不計，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為

4、線性的微分方程?！?-4】應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。解答】應(yīng)力的符號規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時（即正面時），這個面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為負(fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時（即負(fù)面時），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為正，沿坐標(biāo)軸的正方向為負(fù)。面力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為負(fù)由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號，負(fù)面上應(yīng)力分量與面力分量符號相反。yyZyX77負(fù)面正商負(fù)面正的應(yīng)力正的面力【1-5】試比較彈性力學(xué)

5、和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定?！窘獯稹坎牧狭W(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號以使研究對象順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，作用于負(fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正，反之為負(fù)。1-6】試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變。O(z)【解答】正的應(yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下，切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引起直角減小，故為正的切應(yīng)變。1-7】試畫

6、出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。解答】o-fylVyfy77.正的體力、面力正的體力、應(yīng)力1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。解答】【1-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力T的合力與z面上切應(yīng)力T的合力是否相yzzy【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為厶1MT-2，單位為N/m2。因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dxxdyxdz，則y面上切應(yīng)力Tyz的合力為：t-dx-dz(a)yzz面上切應(yīng)力T的合力為：zyt-dx-dy(b)zy由式(a)(b)可見，兩個切應(yīng)力的合力并不相等?！痉治觥孔饔迷趦蓚€相互垂直面上并垂直于該兩面交線的

7、切應(yīng)力的合力不相等，但對某點的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性?！?-9】試列出圖2-17,圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上,應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。圖2-18代入公式（2-15）得在主要邊界上x=0【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件,若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式,大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）。解答】圖2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）l0-11m-100f(s)x0pg(y+件)_pg(y+q)f(s)ypgh100 x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：G)=_pg(y+h),C)=0;xx=01xyx=0G)=_pg(y

8、+h),C)=0;xx=b1xyx=b在小邊界y二0上,能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：)=_pgh,C)=0yy=0 xyy=0在小邊界y二h上,2能精確滿足下列位移邊界條件：（u）=0,（v）=0y=h2y=h2這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理,改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替,當(dāng)板厚5=1時，可求得固定端約束反力分別為：F二0,F二一pghb,M二0sN1由于y-h2為正面故應(yīng)力分量與面力分量同號則有:JbG)kbc)20yy=hJbC)2xyy=h2dx=_pghb1xdx=0dx=0圖2-18lmf(s)x/(s)yhy=_20-10qhy=-201一qi0上下主要邊界y=h/2，y

9、=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）(b)=_q,(t)=0,9)=0,(t)=_qyy=-h/2yxy=-h/2yy=h/2yxy=h/21在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號相反，有Jh/2_h/2h/2_h/2Jh/2I_h/2(t)dx=_Fxyx=0S(b)dx=_Fxx=0N(b)ydx=_Mxx=0在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件U=0,v=0這兩個位移邊界條件也可x=lx=l改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：工F=0,F+F=qlnF=ql-FxN

10、N1N1N工F=0,F+F+ql=0nFr=_ql-FySSSSEma=0,M+Mf+2ql2_2吐=0nM=羋_M_普由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故Jh/2Q)dy=F，=ql_F_h/2xx=lN1NJh/2Q)ydy=M=墊_M_Fl_坐_h/2xx=l2S2Jh/2(t)dy=F，=-ql-Fxyx=lSS_h/2x2-14】檢驗下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：bxbOqyq圖2-20qaaqy圖2-21(a)圖2-20,s=b2qxb2Q=T=0yxy【解答】在單連體中檢驗應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答,必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應(yīng)力表示的相容方程

11、（2-21）；（3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且fx=f=0do機Qq3t孟+芥=0舌+孟=0顯然滿足2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21），有等式左=d2d2+|o+Q2Qy2丿xI=獸豐0=右b2應(yīng)力分量不滿足相容方程。(b)圖2-21,M由材料力學(xué)公式，Qx=y，因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。T=筈（取梁的厚度b=l）,得出所示xybIx3y3qx2問題的解答:Q=-2q，t二-（h2-4y2）。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件xlh3xy4lh33qxyxy3qx得出：qy=光-吒-2廠試導(dǎo)出上述公式，并檢驗解答的正確性?！窘獯稹浚?/p>

12、1）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1,高為h的矩形，其對中性h3軸（Z軸）的慣性矩I=，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程M(x)=-(x)=qx22l所以截面內(nèi)任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：M(x)y=-2q皂lh3xy得：3F(x)s2bhI1-4y2h2lh3-4y2)根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計）。xydxxy3lh3根據(jù)邊界條件y=h/2A二一qx2lxy3qxlh32l將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：左二-6q.x2ylh3+6qx2ylh3滿足第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）(cL-w羨-i2q-羨o=右應(yīng)力分

13、量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-9】圖3-11所示的墻，高度為h,寬度為b,h?b，在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)二Axy+Bx3y求解應(yīng)力分量。【解答】按半逆解法求解。將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足。由公式（2-24）求應(yīng)力分量表達(dá)式，體力為零，有a2八c=0，xay2c=旦=6Bxy，tyax2xya2=t=A3Bx2yxaxay考察邊界條件：在主要邊界x二-b2上，精確滿足公式（2-15）(c)=0,(t)xx=-b/2xyx=-b/2=-q第一式自然滿足，第二式為3一A一一Bb2=-q4(a)在主要邊界x=b/2上，精確滿足式(2

14、-15)(c)=0,C)=qxx=b/2xyx=b/2第一式自然滿足，第二式為3一A一一Bb2=-q4(b)在次要邊界y=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件:Jb/2（c）dx=0滿足-b/2yy=0Jb/2（c）xdx=0滿足-b/2yy=0Jb/2()-b/2yxy=0dx=-3Bx2)dx=-Ab-4Bb=0c)-b/2聯(lián)立（a）（c）得系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得12q=xy,T=yb2xy3-10】設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力圖3-12矩作用，體力可以不計，l?h(圖3-12),試用應(yīng)力函數(shù)二Axy+By2+Cy3+Dxy3求解應(yīng)力分量。解答】采用半逆解法求解將

15、應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25)，顯然滿足由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式(2-24)、c=2B+6By+6Dxy(a)xc=0t=t=(A+3Dy2)xyyx(3)考察邊界條件主要邊界y=h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(c)=0yy=h/2(t)=0,xyy=h/2滿足3得A+4Dh2=0在次要邊界x=0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件Jh/2(c)dy=FnJh/2(2B+6Cy)dy=FnB=Fh/2xx=0Nh/2N2hJh/2(c)ydy=MnJh/2(2B+6Cy)ydy=MnC=2Mh/2Jh/2(t)dy=Fh/2xyx=0s聯(lián)立方程(b)(c)得xx=0-h/2

16、nJh/2(Ah/2h3+3Dy271dy=FnAh+丄Dh3=Fs4sb)c)A=遼,D=乞TOC o 1-5 h z2hh3最后一個次要邊界(x=/)上，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下是必然滿足的，故不必在校核。將系數(shù)A、B、C、D代入公式(a),得應(yīng)力分量F12M12Fc=ny:rxy HYPERLINK l bookmark138 xhh3h3t=xy3Fl/T14F【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù)O=麗xy(3h2-4y2)，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題。解答】

17、（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）TOC o 1-5 h zd4_d4d4門+2+=0，顯然滿足ex4ex2oy2dy4（2）將代入式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式y(tǒng)xj=-!q=0,T=Txh3yxy（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：在主要邊界上（上下邊界）上，y=2，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15），應(yīng) HYPERLINK l bookmark156 力Cj)=0,C)=0yy=h/2yxy=h/2因此，在主要邊界y=2上，無任何面力,即fy=丁2丿2h-在x=0,x=l的次要邊界上，面力分別為:3Fx=0：f=0,f=y12Fly-=h3，y-3F2hJ因此，各邊界上

18、的面力分布如圖所示：x=l上F=Jh/2fdy二0N2-h/2xFh/2fdy二一FS2h/2yM二ih/2fydy二-Fl2-h/2x在x=0,x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式:x=0上x向主矢：F二卜/2fdy=0,N1一h12xy向主矢：F=ih/2fdy=F,-h/2y主矩：M=卜2fydy=0,1-h/2x因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a)(b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題?！?-14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力V2f和力矩M的作用(圖3-15)，不計體力，試用應(yīng)力函數(shù)二Ay2+Bxy+Cxy3+Dy3求解其應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?。(1)相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25)，顯然滿足求應(yīng)力分量：將代入(2-24)(3)考察邊界條件。、c=2A+6Cxy+6Dyxc=0yt=B3Cy2xya)在主要邊界y=b/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件C)=