高等代數(shù)教學(xué)筆記3：行列式l+II

1、高等代數(shù)教學(xué)筆記3:行列式I1994年，一個叫夏侯惇,呃 不，Sheldon的人（不知道是不是“生活大爆炸”里的那位）,寫了一篇文章,題目是Down with determinant, 后來發(fā)展 成一本書Linear algebra done right .他拋棄了行列式這個概念，把高等 代數(shù)的內(nèi)容重新寫了一遍，最后一章才給出行列式的定義.理由是很多書上的 行列式定義不自然，并且高等代數(shù)的大部分內(nèi)容不需要行列式也可以講.這至 少給了我們兩點(diǎn)啟迪：一是行列式的定義應(yīng)該盡可能自然地引入，二是在學(xué)習(xí) 高等代數(shù)的時候我們可以使用行列式，不過隨時需要考慮一下，不用行列式如 何得到類似的結(jié)論.不過，我個人

2、還是喜歡講行列式.首先，行列式具有傳奇色彩，它是日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在1683年首先提出，十 年后德國數(shù)學(xué)家Leibniz 又獨(dú)立提出的.有趣的是，有證據(jù)表明，關(guān)孝和當(dāng)時 已經(jīng)有了微積分的思想，這與Leibniz 以及Newton不謀而合.看起來，代數(shù) 和分析是有千絲萬縷的聯(lián)系的，實(shí)際上也是這樣，比如分析中做變量替換就涉 及到Jacobi行列式，而前文提到的多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)卻是從微積分里來的.其次，行列式的概念還是非常有用的，涉及到代數(shù)中的解方程組，分析中的 Jacobi行列式，幾何中的平行四邊形和平行六面體體積，外代數(shù)的最高次外積 群表示論的導(dǎo)火線一一群行列式等等.最重要的是，行列式作為一個數(shù)學(xué)對象

3、，本身沒有太復(fù)雜的理論背景，它的提 出和探索過程很有啟發(fā)性，這是數(shù)學(xué)家們進(jìn)行數(shù)學(xué)研究或者數(shù)據(jù)處理的一個典 范，啟發(fā)我們怎么從一堆紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)中找出有用的信息.或許，如今熱門的大數(shù)據(jù)學(xué)科可以給被Sheldon打倒的行列式正個名，把其發(fā)現(xiàn)者關(guān)孝和與 Leibniz奉為大數(shù)據(jù)的祖師爺.二、三階行列式行列式是從線性方程組求解中發(fā)展出來的，所以初學(xué)者必須自己動手算一算以 下的幾個問題.我每次講的時候都會花挺長時間展示如下的二元、三元一次方程組的求解過程，不厭其煩地展示其中的細(xì)節(jié)，希望學(xué)生們能從中得到啟發(fā)，理 解行列式為什么會被提出.不過效果并不太理想，因?yàn)椴簧賹W(xué)生并不在乎問題 的起源，也不耐煩從繁瑣的

4、計算過程中尋找有用的線索，而這其中不乏一些刻 苦用功而事倍功半的學(xué)生.問題1判斷二元一次線性方程組/+仰2衛(wèi)2二瓦 1 G2111 +522 =與何時有t一解，并求解的表達(dá)式.這個問題自然很簡單，不過它的解答蘊(yùn)含著規(guī)律，數(shù)學(xué)研究在很大程度上都是 在探索規(guī)律.中學(xué)生就可以嘗試做一做的，畢竟我們沒必要每次遇到二元一次 方程組時都用消元法求解.實(shí)際上，三十多年前的中學(xué)課本上是有求解公式的. 我們需要引入一個很關(guān)鍵白記號一一二階行列式，即11 a12=012021，2l 口22利用二階行列式可以把解寫得非常整齊，推理完了可以好好欣賞一下其中展現(xiàn) 的數(shù)學(xué)之美.如果不覺得解的表達(dá)式漂亮，可能是沒有把解寫得

5、很對稱，可以 調(diào)整一下，當(dāng)然更可能是審美觀念的問題.為了找到一般規(guī)律，我們需要再研究一下三元一次方程組.其實(shí)很多很漂亮的 結(jié)論并不是一開始就被想到，大部分是經(jīng)過了長期的摸索，刪繁就簡，去偽存 真后才得到現(xiàn)在的樣子.這個過程常常被忽略，但對于初學(xué)者還是應(yīng)該走一走 問題2解三元一次線性方程組口11叫 +1興a + a L33 =匕h fl.211 + 22丁2 + a23工3 二 2：1 口 31胃1 +凡3212 + 33工3 =匕3在有唯一解的情況下求出解的表達(dá)式.可以利用二元情形的結(jié)論,把；下】看作已知的，利用后兩個方程求出12-13（用 二階行列式來表達(dá)）,再代入第一個方程解出“”.在這個

6、過程中盡量保持二階 行列式，不要展開.這個過程很簡單，但是會啟發(fā)我們定義三階行列式為21 0 23a31 a33“21 Q22+3儂322 23=11一見2Q32。33這樣就得到了 111以及入1的非常漂亮的表達(dá)式,同樣值得好好欣賞,因?yàn)檫@ 時候可以看出規(guī)律性越來越明顯.需要注意的是，在這個過程中需要處理二階行列式，比如022&2 答1。2163 一注1131ba22 :門絲132 41M31J22 a2 IQ32 門31心 a2,2b；5 32這里蘊(yùn)含了行列式計算的拆項(xiàng)、提取系數(shù)、交換行列等幾大法寶 ：一個行列式可以拆成兩個行列式；(2)行列式的一列的共同倍數(shù)可以提出來；(3)兩列互換，行列

7、式變號.類似地，也可以用前兩個方程或第一、三個方程來求解，這樣會得到行列式的其 他兩種定義，分別是按照第二行或第三行定義的.n階行列式：按第一行展開和完全展開三階行列式是通過二階行列式來定義的，涉及的二階行列式都是這個三階行列 式去掉一行一列之后得到的.為了方便，我們把去掉第i行第j列后得到的行列式記為,稱為元素力 的余子式,于是三階行列式可以簡記為。11 2Vf 1 - 2M2 + 值13M3 很自然地想到：對于一般的含n個未知量n個方程的線性方程組，如果存在 唯一解，則可以通過定義行列式來求解.我們把線性方程組的系數(shù)排列成矩形 TOC o 1-5 h z /&11。12uln)口2口加 H

8、YPERLINK l bookmark4 o Current Document 一fVB*0rt _*J稱為n階方陣，記為A.以后會考慮行數(shù)和列數(shù)不相等的矩陣.方陣A的n 階行列式記為|A|,可以按照三階情形推廣如下.定義3 (行列式按第一行展開)川二 111跖1 時2刊1? + + (l)n-1上述行列式的定義只是一個遞推關(guān)系，我們有必要了解一下其通項(xiàng)公式，這就 需要把行列式完全展開.我們還是要從三階行列式看起.問題4三階行列式的完全展開式為12 口13_+ 口 12023 a31 + 132132021 2 023 =aUa23a32 - 0 12a2133 一 11322a31&31 口

9、32 a33這里需要注意的是，展開式中一共有6 = 3!項(xiàng)，其中正負(fù)單項(xiàng)各半.展開式中 每一個單項(xiàng)的行標(biāo)都是1,2,3,列標(biāo)是1,2,3的所有排列，自然，每個單項(xiàng)前 面的正負(fù)號與排列有關(guān)系.這也是一個尋找規(guī)律的過程，也需要充分的耐心. 其中的規(guī)律是與排列的逆序數(shù)或者奇偶性有關(guān).這里不想解釋逆序數(shù)，每本高 代書上都有.Simon Singh的費(fèi)馬大定理上記錄了一個與逆序數(shù)有關(guān)的有 趣游戲.通過一連串的塑料片滑動將74r與r5*交換到它們正常的位置問題5(行列式的完全展開)|川= (1)出3冊3(32用)其中求和取遍1,2, ,n的所有排列,八江一八，丁,一，J表示 該排列的逆序數(shù).很多書上都是先

10、講逆序數(shù)，然后用完全展開式來定義行列式.我很不喜歡這種 定義方式，因?yàn)橥耆床怀瞿嫘驍?shù)是干什么的，而行列式的意義又在哪里！逆 序數(shù)與行列式的表達(dá)式的內(nèi)在聯(lián)系是在對行列式的研究中發(fā)現(xiàn)的，而不是直接 想到用逆序數(shù)來定義行列式,這不合乎邏輯，就像著名的Fibonacci數(shù)列，它 的遞推關(guān)系非常簡單，但通項(xiàng)公式比較復(fù)雜，沒人會直接用通項(xiàng)公式來定義 Fibonnaci 數(shù)歹!J.行列式的計算從兩個定義(按第一行展開和完全展開)可以看出，計算行列式并不是一件容 易的事.不過我們還是可以計算一些特殊的行列式，用任何一個定義都可以試 試，體會一下其中的異同.問題6計算如下行列式|A|:(4)(0 *0例聲1*

11、1 * r“小 TL1Q門12 au22” 0.*即10一.001我吶上述幾個行列式有對稱性，這與正方形的對稱性有關(guān)系.問題7正方形繞某條直線反射或繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度后得到的圖形與原圖形 重合，則這個反射或旋轉(zhuǎn)稱為正方形的一個對稱.(1)試求正方形的所有對 稱;(2)對任何n階行列式|A|,利用正方形的所有對稱可以得到很多新的行 列式，試求它們之間的關(guān)系.稍微復(fù)雜一點(diǎn)的行列式有 問題8計算n階行列式.b + cb一c b + c ,*VV, *01 - - c(Fibonacci 數(shù)歹!J 的第 n+1 項(xiàng))0-1 1這些都是先求遞推關(guān)系，再通過遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.詳見“代數(shù)學(xué)發(fā)展史 線性空

12、間” 一文.這表明我們熟悉的很多東西都可以用至少形式上簡單的行列 式來表達(dá).又如上一章學(xué)到的多項(xiàng)式也可以表示成行列式.問題9證明:x0曲一1 工(ii=1整+ anixn 1 + 一+0-1 + 以一 1這個問題非常重要，因?yàn)樗咽滓欢囗?xiàng)式與行列式以及后文的矩陣(上面的行 列式中把x取成0所得到的矩陣)聯(lián)系起來了，在后續(xù)課程中經(jīng)常出現(xiàn)，也 是解決代數(shù)數(shù)論一些問題的關(guān)鍵.正如引言部分所說，代數(shù)與分析是有千絲萬縷的聯(lián)系的，行列式也可以和分析 學(xué)聯(lián)系起來，比如與三大中值定理的關(guān)系.問題10設(shè)f(x),g(x),h(x) 在a,b上連續(xù)，在(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，利用Rolle中值定理證明：存在E (a,

13、b) 使得II ff(0 /(),18 一 f(a) g(Q)h = f(b)。四試由此證明：(Lagrange中值定理)如果f(x) 在a,b 上連續(xù)，在(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，則存在 E (a,b) 使得 f(b) - f(a) = f (己)(b - a);(2) (Cauchy 中值 定理)如果f(x),g(x) 在a,b 上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對任意x (a,b),9r)聲 0,則存在己 (a,b)使得 f(b) - f(a)/-/_產(chǎn)g(3 一 或。)4(鉉n階行列式：按第一列展開為了計算更多的行列式，我們還需要行列式的一些性質(zhì)，這其實(shí)也是我們研究 任何一個數(shù)學(xué)對象時必須要走的

14、路.讓我們回到三元一次方程組的求解.我們 可以通過幾個方程的加減消元，把一1r3消去得到只有1U的方程.這個過程實(shí)際上是把三個方程各乘一個系數(shù)再加在一起使得#3的系數(shù)都變?yōu)榱?！使得問題11求14 + “21 /2 + a3l 43 * ,Q 2 Al + 0222 + SJzAi = 0?n.131 +。2342 +。3343 = 0-過程有點(diǎn)繁瑣，但并不難，值得嘗試！結(jié)論是取1 =41匕2 = X-JB83 =hL + 叩1八31如雙32 033 |這個等式表明，三階行列式的行與列有對稱性！于是可以看出行列式有第三種定義方式：問題13 （行列式按第一列展開）n階行列式可以定義為 11 八/1

15、1 Q21M1 T+ （一）”】Qnl A九h或者Qll All + 口21 月21 H1- QjiiAnI .這個定義預(yù)示著行列式的行列地位是相當(dāng)?shù)?，直接證明它與前兩個定義的等價 性并不容易，需要注意到如下問題，用完全展開式可以很容易證明.問題14轉(zhuǎn)置（所有的行與列互換）不改變行列式.行列式的幾何意義有一件與行列式相關(guān)的非常值得做的事情，詳情可以參考我參編的高代代數(shù)與 解析幾何一書.問題15平面直角坐標(biāo)系中,給定平面矢量 =（如跋）,3 （智1向，（1）求a與B的夾角；（由此可以自然引出平面矢量的內(nèi)積的定義）（2）求 a與B張成的平行四邊形面積.（行列式與面積）這個過程推廣到三維有 問題16

16、給定立體空間的矢量仆=（皿.12,加3 & =（火：的W3）：卞=（譏求a,B的夾角；（空間矢量的內(nèi)積） 求a , B張成的平行四邊形面積；（空間矢量的外積）（3）求a , 0 , 丫張 成的平行六面體體積.（行列式、混合積與體積）高等代數(shù)教學(xué)筆記3:行列式II行列式的計算（ii）現(xiàn)在我們可以看一些典型行列式的計算了.行列式的計算除了使用前面提到的完全展開、按某一行（歹|）展開、按某些行（歹1）展開以及行列初等變換的幾個 性質(zhì)，常見的行列式計算技巧有遞推關(guān)系、拆項(xiàng)（把某一行或列拆開為兩行（列）、鑲邊（增加一行一列把行列式化成高一階的），很多書上都有相關(guān)例題 不再贅述.這里僅選擇幾個有背景的行列

17、式的計算.前文提到了 Vandermonde行列式，它在Lagrange插值公式中有應(yīng)用.以后我 們會發(fā)現(xiàn)，Vandermonde行列式還有另一個作用：我們可以隨心所欲寫下任意 階數(shù)的非零行列式，當(dāng)然這樣的行列式不能是簡單的對角形或上、下三角形的 .Vandermonde行列式的計算有不同的方法，其中之一是把它看成一個多元多項(xiàng) 式，利用行列式的性質(zhì)去尋找這個多項(xiàng)式的公因式.類似的方法可以用在很多 地方.我們舉幾個例子.先看一個簡單的.題3.32計算行列式:行列式(1)很典型，(2)是其眾多變形之一 .(1)的計算方法也很多：行列變 換、拆項(xiàng)、鑲邊等等.當(dāng)然也可以用多項(xiàng)式的方法：容易看出來行列式

18、是一個一 元n次首一多項(xiàng)式f(x),而f(a) = 0,因此x - a是f(x)的一個根.以后學(xué)到矩 陣的秩的時候，我們很容易看出a是f(x)的至少n - 1重根，這一點(diǎn)現(xiàn)在也可 以得到，只要利用多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)即可.在這里就需要知道，對行列式求導(dǎo)實(shí)際上 是對每列(或行)分別求導(dǎo)得到n個行列式，再把它們加起來就行.這就說明x -a是f(x)的(至少)n - 1因式.n次多項(xiàng)式最多有n個根，于是需要求出最 后一個根.一種方法是把其他行都加到第一行就可以得到-(n - 1)a也是f(x)的根；另一種方法是利用 Vieta定理，所有根白和是f(x)的n - 1項(xiàng)系數(shù)的相反 數(shù)，而此時這個系數(shù)為0 (為什

19、么？).這里又蘊(yùn)含了矩陣的另一個重要概念一一跡,也就是對角元素的和，學(xué)到相關(guān)概念時再回頭看看，可以達(dá)到溫故知新的功 效.像上述問題中這樣的對角線上有未知量、 其他位置都是常數(shù)的行列式我們會經(jīng)常遇到，這就是后面要著重研究的矩陣的特征行列式(特征多項(xiàng)式).比如前面已 經(jīng)提到過的 TOC o 1-5 h z x0o+ a 也一 1 + * , , +1XQ* * * -IV- - 0， 一1 x H- 11978年，中科院的一道高等代數(shù)考研試題與如下的行列式問題本質(zhì)上是一樣的 這也是許以超先生的書上的習(xí)題.問題3.33計算行列式 + 溝 nx n 2 n + 1 TOC o 1-5 h z HYPE

20、RLINK l bookmark35 o Current Document ri 4 n + 2 t*-f-w*An I x n + 2-1n x n、“一,，一，“、， 上打+i這個復(fù)雜的行列式的結(jié)果出人意料的簡單：.的確可以通過一些行列變換把這個行列式降階從而找到規(guī)律.不過，這樣生硬的計算方式會把這個問 題的神奇的背景掩蓋了 ！這個問題實(shí)際上與Lie代數(shù)有關(guān)，去掉對角線上的x 所得的矩陣實(shí)際上是一個幕零矩陣，也就是它的n次方（矩陣乘法）是零.當(dāng) 然不能直接驗(yàn)證，巧妙的方式是要用到Lie代數(shù)的運(yùn)算：A,B = AB -BA,這 里A,B都是n階方陣.還有很多的行列式與群論有關(guān)，比如下面的兩個

21、例子 問題3.34證明：（X1 + /2 + $3 + f4）（工 1 + 獷2 七3 一；（叫一切+3 g）（叫一牙2 一 13 + ；邠1：工4X2 京 1 X4 X313 以工重244 工3 工2 X1上述四階行列式竟然可以分解成一次因式的乘積，這本身就是一件值得玩味的事.實(shí)際上它與Klein 群有關(guān)系.熟悉一點(diǎn)群論的應(yīng)該知道，四階群一共有兩 種，另一種是循環(huán)群.更一般地有任意n階循環(huán)群，與之相關(guān)的行列式如下.問題3.35 （循環(huán)矩陣的行列式）求71工%1* n *：1,2：T1；4314 14T4i. :一 1*1:F 也一2* *.工1上述行列式有一個因式是明顯的：1 +/2 HkN必這可以通過把其他行加到第一行得到.關(guān)鍵在于尋找其他的因式，我們也可以把其他行的倍數(shù)加到第一行,比如第二行的2倍， .，第n行的E冷倍 加到第一行去.我們只看第一行的前兩項(xiàng)：于是取2為n次單位根即可，而是我們已經(jīng)用過的.這樣我們就 可以得到了 n個不同的一次因式，它們的乘積自然也是原行列式的因式（需要多元多項(xiàng)式的因式分解的存在唯一性）.再比較一下次數(shù)和首項(xiàng)系數(shù)即可.這個復(fù)雜但又有規(guī)律的行列式竟然也可以寫成一次因式的乘積，這也是值得玩味的.后面我們還可以用矩陣乘法（矩陣相似）的觀點(diǎn)再來看這個問題. 感 興趣的讀者還可以試一試計算如下行列式.問題3.36上述三個行列式加在一起就是一道通向有限群表