彈簧振子周期影響因素

1、(4)(5)（南京210096）摘要：本文研究了彈簧質(zhì)量對(duì)彈簧振子系統(tǒng)周期的影響，分析了不同方法近似成立的條件并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了討論。并且通過對(duì)彈簧振子研究的進(jìn)一步探析，發(fā)現(xiàn)如果彈簧的形狀不是幾何對(duì)稱,即使用相同的方法對(duì)彈簧兩端分別掛測(cè)，其質(zhì)量對(duì)周期公式產(chǎn)生的影響也是不同的。從而發(fā)現(xiàn)彈簧振子的周期與其重心位置也是有關(guān)的。關(guān)鍵詞：彈簧振子；周期；質(zhì)量；重心Springvibratorcycleimpactfactors(InformationscienceandengineeringcollegeofSoutheastUniversity,Nanjing,210096)Abstract:This

2、paperstudiesthequalityofspringspringvibrationsubsystemtheinfluenceofthecycle,andanalyzesonthedifferentmethodsofapproximateestablishedconditionandthecalculationresultsarediscussed.Andthroughthespringvibratorfurtheranalysis,foundthatiftheshapeofthespringisnotsymmetricalgeometric,thatis,usingthesamemet

3、hodofspringendshangseparatelymeasured,itsqualitytocycletheimpactoftheformulaisalsodifferent.Springvibratortofindthecycleofbarycenterpositionisalsorelatedwith.keywords:springvibrator;cycle;quality;focus人們?cè)谟懻搹椈烧褡拥恼駝?dòng)情況時(shí)，往往忽略彈簧本身的質(zhì)量。實(shí)際彈簧振子由質(zhì)量為m、勁度系數(shù)為k的彈簧和連接于彈簧一端的質(zhì)量為M的振動(dòng)物體組成。由于彈簧本身有質(zhì)量，這種彈簧振子不是理想振子，它的振動(dòng)周期

4、與彈簧的質(zhì)量有著密切的聯(lián)系。當(dāng)我們把這種影響僅歸于質(zhì)量因素時(shí)，振子的周期可以寫成與彈簧有效質(zhì)量有關(guān)的表達(dá)式。而且質(zhì)量一定，形狀不規(guī)則的彈簧，其運(yùn)動(dòng)周期還與他的形狀及重心相關(guān)。作者簡(jiǎn)介：實(shí)驗(yàn)回顧在“彈簧振子周期公式研究”的實(shí)驗(yàn)中，最后的課題探究采用控制變量的方法，控制振子質(zhì)量M不變，研究彈簧自身質(zhì)量m對(duì)彈簧振子振動(dòng)周期的影響。測(cè)得的數(shù)據(jù)見表1。彈簧編號(hào)12345彈簧勁度系數(shù)k/6.6856.3435.0184.0573.478tT30T/s118.0418.4720.8823.3825.33217.9918.5620.8923.2925.34317.9218.5120.8523.3325.35平

5、均17.9818.5121.8723.3425.35周期T/s0.59970.61720.69620.77800.8450T2k/4-n20.06090.06120.06160.06220.0629彈簧質(zhì)量5.486.447.629.6511.59表1彈簧振子周期與質(zhì)量的關(guān)系分析彈簧質(zhì)量對(duì)振動(dòng)周期的影響2.1利用機(jī)械能守恒法進(jìn)行分析如圖2所示,設(shè)彈簧未形變時(shí)的長度為二,此時(shí)彈簧單位長度的質(zhì)量為I二二二。設(shè)彈簧質(zhì)量m比振動(dòng)物體的質(zhì)量M小,以至于彈簧質(zhì)量對(duì)彈簧振子的振型沒有影響。近似地,可以假定彈簧各截面的位移是按線性規(guī)律變化的，因此，離彈簧固定端距離為u的截面的位移為二二：:二：匕其中,x為振動(dòng)

6、物體離開彈簧平衡位置0的位移。不計(jì)各種阻力引起的能量損耗,彈簧振子系統(tǒng)的能量守恒。用Origin軟件作出-飛一二：圖像，并進(jìn)行線性分析。圖2彈簧振子示意圖00630-00625-00620-Y=A+B*XParameter00615-00610-LinearFitofBook9JValueError0.059110.324375.35304E-50.00633彈簧的動(dòng)能振動(dòng)物體的動(dòng)能(1)(3)00050006000700080009001000110012mO(2)圖廠一-圖像由Origin軟件線性分析的到B=0.324370.00633?？梢娙绻紤]彈簧質(zhì)量，彈簧這子周期公式就不再簡(jiǎn)單的滿

7、足公式-=那么彈簧質(zhì)量是如何影彈簧振子系統(tǒng)的彈性勢(shì)能Ep=kx2根據(jù)機(jī)械能守恒定律有卅+耳)/+扣宀常數(shù)將(4)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后得+二+kx=0響彈簧振子運(yùn)動(dòng)的呢。我想通過理論推導(dǎo)與實(shí)驗(yàn)的結(jié)合來進(jìn)行一定的分析。2011大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)研究論文可以寫成V45(13)與諧振子的動(dòng)力學(xué)方程比較得彈簧振子系統(tǒng)的周期為T=2(M+Y)/k?2可見，當(dāng)考慮彈簧質(zhì)量m,且在m比M小時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)仍可認(rèn)為是諧振動(dòng)，但計(jì)算周期時(shí)要把彈簧質(zhì)量的1/3加到M上去，再按不考慮彈簧質(zhì)量時(shí)的周期計(jì)算公式計(jì)算即可。探究實(shí)驗(yàn)中求得的B=0.324370.00633。其誤差為|-0.32437|X100%二2.689%誤

8、差5%，在誤差允許范圍內(nèi)，可以認(rèn)為兩者相等。2.2利用迭代法進(jìn)行分析設(shè)彈簧的匝數(shù)為N，實(shí)際彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可以歸結(jié)為不同圓頻率諧振動(dòng)的合成，即將式(9)代入式(8)中有cot(an+mi)=cotan=Y(an+htt)利用級(jí)數(shù)展開式式(12)通過分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)固定的Y值，n=0對(duì)應(yīng)的基頻-:的振幅占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，高頻振動(dòng)的振幅隨頻率的增大而迅速減小(比如，Y=1時(shí),-；二=98%)。因此，為簡(jiǎn)單起見，只討論n=0時(shí)彈簧振子的周期。取式(13)右邊前兩項(xiàng)易得(14)X：N.=工n=且使工扎=1tl=0再取初值一；代人式(14)迭代，有由參考文獻(xiàn)3知2sir2(an+nn)an+HTijan+jiti)

9、+isin2+】:町(7)其中5(n=0,1,2,)是為了描述動(dòng)態(tài)勁度系數(shù)和有效質(zhì)量一而引入的一系列參數(shù)，它們由彈簧振子的本征方程：；=，=：(8)和本征值PL=(an+nn)/N決定。振動(dòng)物體的各階振動(dòng)周期為Tr.=2Jr(M+betlm)/k(9)(10)V+3-|l+45y+1/3；代人式(11)可得11b=b=3+,5(v+1/3)因此迭代法近似得到基頻振動(dòng)的周期為To=2jtM+bm)/kL(15)(16)(17)b由式(16)給出，只與振動(dòng)物體質(zhì)量和彈簧質(zhì)量之比Y有關(guān)。式(17)把彈簧質(zhì)量對(duì)振動(dòng)周期的影響歸結(jié)為有效質(zhì)量.，很容易就能求出基頻振動(dòng)周期。其中ben=(an+nn)-2-

10、X2.3對(duì)兩種分析方法的討論(1)比較兩種不同方法知道,從機(jī)械能守恒定律出發(fā),計(jì)算過程簡(jiǎn)單清晰,而迭代法過程稍為復(fù)雜,但能得到更準(zhǔn)確且?guī)в衅毡橐饬x的結(jié)果。機(jī)械能守恒近似法中假定彈簧各截面的位移按線性規(guī)律變化，或者說(11)此時(shí)彈簧的動(dòng)能(19)圖3研究示意圖是彈簧各個(gè)匝數(shù)之間變化均勻，相當(dāng)于要求彈簧各向均勻同性。因?yàn)閺椈傻囊欢斯潭?，另一端系一振?dòng)物體，振動(dòng)物體振動(dòng)狀態(tài)的任何變化都能夠同時(shí)傳遞到彈簧的各個(gè)部分，必然要求彈簧的質(zhì)量m比振動(dòng)物體的質(zhì)量M小得多。事實(shí)上，比較式(6)，式(17)可知，前者正是后者在Y8時(shí)的極限情形。(2)特別地,如果彈簧的質(zhì)量m和振動(dòng)物體的質(zhì)量M相等，即式(17)中丫=

11、1,兩種方法得到的振動(dòng)周期比0.9938顯然，使用機(jī)械能守恒近似法已經(jīng)是很好的近似，而不必要求Y1或Y8，也可以不考慮其它高頻振動(dòng)的影響。(3)注意到機(jī)械能守恒近似法中我們還假設(shè)彈簧單位長度的質(zhì)量:=-：是常數(shù)，事實(shí)上彈簧振動(dòng)時(shí)彈簧單位長度的質(zhì)量入隨x的變化而變化，即(18)和式(1)結(jié)果相同，因此彈簧單位長度的質(zhì)量入隨x變化不影響計(jì)算結(jié)果。由上文的式(17)已知一沖，將其改寫為4n24ti2二bm+bl(20)令y=：,x=M,A二二,，則y=a+bx，從n組:值，可求得A,B的值，從而求得b的值(21)B的不確定度U(b)=b(警尸+詈尸+住嚴(yán)阡彈簧重心對(duì)周期公式的影響3.1問題提出與理論

12、分析上文討論的都是柱形彈簧的質(zhì)量對(duì)其振動(dòng)周期的影響，那么對(duì)于形狀不對(duì)稱的彈簧，其重心會(huì)不會(huì)也是影響振動(dòng)周期的因素呢？我想通過對(duì)錐形彈簧的相關(guān)測(cè)定來驗(yàn)證我的猜想。研究示意圖見圖3。3.2測(cè)量錐形彈簧正掛時(shí)的b值首先測(cè)量彈簧的質(zhì)量m=12.65g,其次測(cè)量彈簧下端懸掛不同負(fù)載M時(shí)的周期的周期T,共測(cè)3組，用秒表測(cè)量連續(xù)振動(dòng)50次的時(shí)間t,測(cè)量數(shù)據(jù)見表2。砝碼編號(hào)12345振子質(zhì)量M/嚴(yán)一濁)1.012.303.324.335.3150T/s150.7653.1856.1958.7461.10249.5653.4156.5258.8961.19350.2853.6556.4058.7061.21平均

13、50.2053.4256.3758.7861.172011大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)研究論文周期T/s1.0041.06831.12741.17551.0081.14131.27101.38181.2233表2彈簧正掛周期測(cè)量數(shù)據(jù)使用Origin軟件作出一二圖像。Y=A+B*XParameteri.o=M/gT098487ValueError088745000697011440.001945砝F碼編號(hào)12345振子質(zhì)量M(10-akg)1.012.303.324.335.3150T/s138.6143.1046.3249.3152.16238.5843.1246.2849.3052.11338.7043.

14、1446.3649.3552.03平均38.6343.1246.3249.3252.10周期T/s0.77260.86270.92640.98641.0419Ta0.59690.74430.85820.97301.08561.496表3彈簧反掛周期測(cè)量數(shù)據(jù)圖4彈簧正掛一二圖像用Origin分析得到A=0.887450.00697B=0.11440.0019,u(A)=0.00697,u(B)=0.00194使用Origin軟件作出丁一二圖像。T0.57902A0.S8745.b=Bm=0.1144x12.65=6132天平的儀器誤差一川=u(B)u(m).1,1-1.00.90.80.70.6

15、-Y=A+B*XParameterValueErrorA048240.00101B0113462.80598E-4niii2345XAxisTitle0.6132X0.00697+0.88745-10.00194V*0.1144=0.0116結(jié)果:b=0.6130.0113.3測(cè)量錐形彈簧反掛時(shí)的b值步驟同上，測(cè)量數(shù)據(jù)表格如下圖5彈簧反掛:一二圖像用Origin分析得到A=0.48240.0010B=0.113460.0003,u(A)=0.00101,u(B)=0.0002805980.48240.11346X12.65=0.3361上述實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)b值顯著不同,說明修正系數(shù)b不是普遍適應(yīng)的常數(shù),它不僅與彈簧的形狀有關(guān),而且還與彈簧振子系統(tǒng)重心的相對(duì)位置有關(guān)。0.3361XI0.00101+0.4S240.113460.000280598=0.0015結(jié)果:b=0.33610.00153.4討論與思考對(duì)于同一