自動控制理論課件：2第二章 控制系統(tǒng)的數學模型

1、2-2 線性系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數描述2-3 非線性數學模型的線性化2-4 典型環(huán)節(jié)的數學模型第二章 線性系統(tǒng)的數學模型2-1 線性系統(tǒng)的輸入輸出時間函數描述2-5 建立數學模型的實驗方法簡介2-6 框圖及其化簡方法2-7 信號流程圖數學模型 描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內部各變量之間相互關系的數學表達式。 有了數學模型，就可以應用一定的數學方法對系統(tǒng)的性能進行定性分析和定量計算，乃至對系統(tǒng)進行綜合和校正。 對線性定常系統(tǒng)，微分方程是最基本的數學模型，最常用的數學模型是在此基礎上轉換來的傳遞函數和動態(tài)結構圖。建立數學模型的方法解析法 依據系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學規(guī)律列寫出相應的數學

2、關系式，建立模型。實驗法 人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。綜合法 機理法確定結構,試驗法確定參數數學模型的形式時間域：微分方程差分方程狀態(tài)方程復數域：傳遞函數 方框圖 線性流圖 頻率域：頻率特性 奈魁斯特曲線 伯德圖數學模型2-1 線性系統(tǒng)的輸入輸出時間函數描述線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟： 1.確定系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量，選取必要的中間變量。 2.從輸入端開始，根據決定各變量之間相互關系的物理、化學等定律，一一寫出相關變量的微分（或代數）方程式。 3.消去中間變量，寫出只含有系統(tǒng)輸入和輸出變量的微分方程。 4.將結果標準化，

3、即含輸出量的項寫在等式左邊，含輸入量的項寫在等式右邊，且都按微分的高階到低階排列。其形式為：課本例2-1 如圖所示的m-K-f機械系統(tǒng),求該系統(tǒng)的輸入輸出描述.解:輸入變量：外力F； 輸出變量：位移y系統(tǒng)假設：平衡點，速度、加速度方向元器件假設：線性彈簧和摩擦器應用牛頓第一運動定律列出微分方程消去中間變量,整理得到輸入輸出關系方程線性系統(tǒng)的輸入-輸出微分方程描述的建立 解：畫出小車受力圖。求彈簧-阻尼-質量的機械位移系統(tǒng)的微分方程。 K為彈簧的彈性系數， f為阻尼器的阻尼系數，忽略小車與地面的摩擦，試寫出以外力F為輸入，以位移y為輸出的系統(tǒng)微分方程。阻尼器阻力為由牛頓運動定律，有彈簧力為該系統(tǒng)

4、微分方程為：FKyydtdfytddm=+22例1：彈簧-阻尼-質量的機械位移系統(tǒng)例2：機械旋轉系統(tǒng) 把代入，并進行整理得： 解：(1)確定輸入輸出量輸入輸出iuouLRCi例3： RLC串聯(lián)電路這是一個線性定常二階微分方程。(2)列寫微分方程 (3)消去中間變量 iooouuutddRCutddLC=+22并進行整理得： 解：(1)確定輸入輸出量例4：寫出二階RC網絡的微分方程這是一個線性定常二階微分方程。(2)列寫微分方程 (3)消去中間變量 rcccuuudtdTTTudtdTT=+)(3212221令R1C1=T1， R2C2=T2， R1C2=T3 。uru1R1C1i1ucR2C2

5、i2ru輸入cu輸出消去中間變量可得： 問題：顯然，這個結果是錯誤的。這是為什么呢？這是一個兩級的RC網絡，能否先寫出兩個單級RC網絡的微分方程，再消去中間變量，從而得到整個網絡的微分方程呢？我們來試一下，由上例結果可得： uru1R1C1i1ucR2C2i2ru輸入cu輸出例4：寫出二階RC網絡的微分方程 在列寫電路的微分方程時，必須考慮到后級電路是否對前級電路產生影響。 這種后一級對前一級的影響稱為負載效應。 例4中，只有當后級R2C2網絡的輸入阻抗很大時，對前級的影響才可以忽略不計。 微分方程是描述線性系統(tǒng)的一種基本的數學模型，在確定的初始條件和輸入信號作用下，通過對微分方程的求解，便可

6、得到系統(tǒng)的輸出響應，從而分析評價系統(tǒng)的性能，研究系統(tǒng)參數的變化對性能的影響。 但是高階微分方程的求解是比較困難的，而且分析系統(tǒng)的結構參數對性能的影響也十分不便。所以對系統(tǒng)進行分析和設計時，通常采用另外一種數學模型傳遞函數。2-2 線性系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數描述 傳遞函數是經典控制理論中最重要的數學模型之一。利用傳遞函數，可以： 不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。 了解系統(tǒng)參數或結構變化對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響分析 可以把對系統(tǒng)性能的要求轉化為對傳遞函數的要求綜合 由微分方程轉換為傳遞函數的數學工具是拉普拉斯（Laplace）變換，簡稱拉氏變換。)()(tfLsF=1.

7、定義：如果以時間t為自變量的函數f(t)當t0稱為函數f(t)的拉氏變換，記作 。斂，則由此積分所確定的函數時有定義，且積分 在s的某一域內收式中s為復變量。一、復習拉氏變換 一個函數存在拉氏變換的條件是： （1）當t0時，f(t)=0 ； （2）當t0時，f(t)分段連續(xù) ； （3）當t時，f(t)的上升較est慢。 我們在自動控制系統(tǒng)中遇到的函數大多滿足以上條件。f(t) 原函數， F(s) 象函數。記 為拉氏反變換。)()(1sFLtf-= 拉氏變換是一種單值變換。f(t)和F(s)之間具有一一對應關系。 由于 是一個定積分，所以F(s)只是復變量s的函數。拉氏變換將原來的實變量函數f(

8、t)轉化為復變量函數F(s)。2.性質：(1)線性性質(2)微分定理(2)微分定理則在零初始條件下， 上式表明：在初始條件為零的前提下，原函數的n階導數的拉氏變換等于其象函數乘以sn 。利用這個定理就可以將微分運算轉換為代數運算。(3)積分定理則 上式表明：在零初始條件下，原函數的n重積分的拉氏變換等于其象函數除以sn 。在零初始條件下，nn(4)初值定理 上式表明：原函數f(t)在t=0時的數值（初始值），可以通過將象函數F(s)乘以s后，再求s的極限求得。(5)終值定理 上式表明：原函數f(t)在t 時的數值（穩(wěn)態(tài)值），可以通過將象函數F(s)乘以s后，再求s 0 的極限求得。（6）延遲定

9、理：（7）位移定理：（8）相似定理：（9）卷積定理：冪函數的拉氏變換階躍函數的拉氏變換斜坡函數單位速度函數的拉氏變換單位脈沖函數拉氏變換拋物線函數單位加速度函數拉氏變換 幾個重要的拉氏變換f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)3.拉氏反變換 由象函數F(s)求取原函數f(t)的運算稱為拉氏反變換。 拉氏變換的象函數與原函數是一一對應的，所以通?？梢酝ㄟ^查表來求取原函數。 例1：例2：求 的逆變換。解：拉氏反變換拉式反變換部分分式展開式的求法（1）情況一: F(s) 有不同極點,這時, F(s) 總能展開成如下簡單的部分分式之和（2）情況2:

10、F(s)有共軛極點例2（3）情況3:F(s)有重極點,假若F(s)有L重極點 ,而其余極點均不相同。那么1.傳遞函數的定義 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數是在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，記為：二、傳遞函數的概念設線性定常系統(tǒng)的微分方程為：)()()(11)()()()(11)(110110trbtrtddbtrmtdmdbtrmtdmdbtcatctddatcntdndatcntdndammnn+-+=+-+-LL式中：r(t)輸入，c(t) 輸出， n 階次，輸出量導數的最高階a00， 通常假設a0=1 為常系數，取決于系統(tǒng)的結構和參數。對于實際系統(tǒng)，nm 。01110

11、111)()()(asasasabsbsbsbsRsCsGnnn0mmm0+=-LL在零初始條件下，對上式進行拉氏變換得：傳遞函數：的根，也即線性微分方程特征方程的特征值。零點傳遞函數分子s多項式極點傳遞函數分母s多項式的根。 初始條件為零時，只要把微分方程中的微分算子 用復dtd變量s表示，把c(t)和r(t)換成相應的象函數C(s)和R(s)，即可方便的求得系統(tǒng)的傳遞函數。反之亦然。2.傳遞函數的性質傳遞函數的概念只適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數微分方程一一對應。傳遞函數僅與系統(tǒng)的結構和參數有關，與系統(tǒng)的輸入無關。傳遞函數僅描述系統(tǒng)在零初始條件下輸入和輸出之間的關系，不反映系統(tǒng)內部中間

12、變量如何傳遞。物理性質不同的系統(tǒng)可以具有相同的傳遞函數；而在同一系統(tǒng)中，取不同的物理量作為輸入或輸出時，傳遞函數是不同的。傳遞函數是s的有理分式，分母多項式稱為系統(tǒng)的特征多項式。一個實際的即物理上可以實現的線性集總參數對象，總有分子的階次m小于或等于分母的階次n 。此時稱為n階系統(tǒng)。3.傳遞函數的幾種表達形式表示為有理分式形式：式中： 為實常數，一般nm上式稱為n階傳遞函數，相應的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點、極點形式：式中： 稱為傳遞函數的零點，零極點增益 稱為傳遞函數的極點，也稱為系統(tǒng)的特征根。 將傳遞函數的分子、分母多項式變?yōu)槭滓欢囗検?，然后在復數范圍內因式分解，得：分別稱為時間常數，K稱

13、為放大系數顯然： ，表示成時間常數形式： 將傳遞函數的分子、分母多項式變?yōu)槲惨欢囗検?，然后在復數范圍內因式分解，?從上式可以看出：傳遞函數是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應的傳遞函數，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：或在實數范圍內因式分解，得4.單位脈沖響應單位脈沖函數(t)= t=00 t0且單位脈沖函數的拉氏變換： 當系統(tǒng)輸入信號為(t) 時，系統(tǒng)的輸出響應稱為脈沖響應，用g(t)表示。t04.單位脈沖響應 可見，脈沖響應函數g(t) 的拉氏變換就是傳遞函數。脈沖響應即：由卷積定理知： c(t)= g(t)*r(t) 所以，線性定常系統(tǒng)的傳遞函數和脈沖響應函數

14、包含了關于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。 通過用脈沖輸入信號激勵系統(tǒng)并測量系統(tǒng)的響應，能夠獲得有關系統(tǒng)動態(tài)特性的全部信息。即脈沖響應也可作為系統(tǒng)的數學模型。 實際上，與數值較大的系統(tǒng)時間常數相比，持續(xù)時間很短的脈動輸入信號可以看作脈沖輸入信號。作業(yè)：P46，2-1，2-3第三節(jié) 非線性數學模型的線性化 通常接觸到的自動控制系統(tǒng)都可以看成由這些典型環(huán)節(jié)組合而成。2-4 典型環(huán)節(jié)的數學模型 控制系統(tǒng)處理數學模型的方法：使用簡單的典型環(huán)節(jié)模型，通過串、并聯(lián)等組成復雜系統(tǒng)。從每個元件或設備的動態(tài)特性或數學模型來看，可以分成為數不多的幾種基本類型，稱它們?yōu)榈湫铜h(huán)節(jié)。 不管元件是機械式的、電氣式的、熱力式的、氣

15、力式的、液力式的或其他形式的，只要它們的數學模型一樣，就認為它們是同一種基本環(huán)節(jié)。特點：輸出不失真、不延遲、成比例地復現輸 入信號的變化。微分方程：框圖：傳遞函數：KR(s)C(s)階躍響應：c(t)K10tr(t)K放大系數，又稱增益1.比例環(huán)節(jié)實例：R1R2_+ 利用“虛短”、“虛斷”的概念，可得： 另外，分壓器、齒輪減速器等都是自控系統(tǒng)中常見的比例環(huán)節(jié)。 進行拉氏變換：傳遞函數：特點：輸出量延緩地反應輸入量的變化規(guī)律。 當輸入信號為階躍函數時，輸出響應按 指數曲線上升。微分方程：框圖：傳遞函數：階躍響應：1t00.632T原點處切線斜率為1/Tc(t)2.慣性環(huán)節(jié)R(s)C(s) 慣性時

16、間常數實例：利用運算阻抗的概念：傳遞函數：利用“虛短”、“虛斷”的概念，可得：R1R2_+CRC利用運算阻抗的概念及電路定律：特點：輸出量與輸入量對時間的積分成正比。微分方程：框圖：傳遞函數：階躍響應：T 積分時間常數3.積分環(huán)節(jié)R(s)C(s)Ts11t0Tc(t)r(t)c(t)實例：利用運算阻抗的概念：傳遞函數：R_+C利用“虛短”、“虛斷”的概念，可得：電動機（忽略慣性和摩擦）齒輪組可見， 為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。圖中， 為轉角， 為角速度。特點：輸出量與輸入量對時間的微分成正比。微分方程：框圖：傳遞函數：階躍響應：t 微分時間常數4.微分環(huán)節(jié)（1）理想微分環(huán)節(jié)R(s)C(s)st1

17、t0c(t)r(t)c(t)單位階躍響應為t=0+時的一面積為t ，寬度為0，幅值為無窮大的理想脈沖。顯然，這在實際中是不能實現的。實例：利用運算阻抗的概念：傳遞函數：R_+C利用“虛短”、“虛斷”的概念，可得：測速發(fā)電機（忽略磁滯、渦流和電樞反應的影響）可見， 為理想微分環(huán)節(jié)。圖中， 為轉角， 為角速度。 該環(huán)節(jié)可視為理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。傳遞函數：t 、T 均為時間常數（2）實用微分環(huán)節(jié)當T遠小于1時，上式可近似為G(s)s 。RC利用運算阻抗的概念及電路定律：實例：傳遞函數：t 微分時間常數K 放大系數（3）一階微分環(huán)節(jié)(比例微分環(huán)節(jié))實例：利用運算阻抗的概念：傳遞函數：利用

18、“虛短”、“虛斷”的概念，可得：R1R2_+C實例：利用運算阻抗的概念：傳遞函數：_+C1RC2利用運算阻抗的概念及電路定律：RC為輸入量，為輸出量微分方程：傳遞函數：5.振蕩環(huán)節(jié)令 ，則 無阻尼自然振蕩頻率， 阻尼比。nwx特點：當輸入為階躍信號時，輸出量可能呈現 振蕩特性（ 時）。10 x0極點分布圖階躍響應：c(t)t單位階躍響應曲線0為輸入量，為輸出量實例：iuouLRCiiooouuutddRCutddLC=+22微分方程：傳遞函數：微分方程：框圖：傳遞函數：階躍響應：c(t)t10tr(t)6.延遲環(huán)節(jié)(純滯后環(huán)節(jié)、遲滯環(huán)節(jié)) 延遲時間tR(s)C(s)t特點：輸出量是輸入量在一定

19、時間 后的復現 。c(t) 在實際的控制工程中，有許多系統(tǒng)具有傳遞滯后的特征，特別是液壓、氣動和機械傳動系統(tǒng)。 對于計算機控制系統(tǒng)，由于計算機進行數學運算需要一定時間，因此這類系統(tǒng)也有控制滯后的特征。 上述六種典型環(huán)節(jié)是按數學模型的特征來劃分的，因此，它們與系統(tǒng)中的部件不一定能完全相對應。即一個部件的傳遞函數可以由若干個典型環(huán)節(jié)的傳遞函數所組成；反之，若干個部件傳遞函數的組合，有可能用一個典型環(huán)節(jié)的傳遞函數來表示。 通常自動控制系統(tǒng)均可看成各種典型環(huán)節(jié)的組合。作業(yè)：2-6，2-7第五節(jié) 建立數學模型的實驗方法2-6 框圖及其化簡方法 對于控制系統(tǒng)中的每個元件（環(huán)節(jié)），都可以用框圖來表示它的功能

20、和信號流向，即把元件的傳遞函數寫在方框內，指向方框的箭頭表示輸入，從方框出來的箭頭表示輸出。 按照信號傳遞關系，從輸入量到輸出量依次把各個元件（環(huán)節(jié)）的方框連接起來，就組成了系統(tǒng)的動態(tài)結構圖（框圖）。一、框圖的概念（方塊圖、結構圖）G(s)R(s)C(s)2-6 方框圖及其簡化方法一、方框圖表示法-基本元件 箭頭表示信號以及指示信號流動方向信號名寫在箭頭旁邊方框表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)其傳遞函數寫在框內運算方法：C(S) = G(S)*R(S) 框圖是描述系統(tǒng)的又一種數學模型?？驁D不僅直觀地表示了系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)間的關系和信號的傳遞過程，而且通過變換的方法可以比較方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數。1.綜合點（相加點

21、、匯合點）2.引出點（分支點）在框圖中會用到以下兩個概念：a-b+-ab每個箭頭上的“+”、“-”表示信號是相加還是相減 ，進行相加減的量應具有相同的量綱。aaa引出點引出信號后，不改變原來的信號。二、框圖的等效變換和化簡框圖等效變換的基本原則：變換前后各變量間的數學關系保持不變。 系統(tǒng)中的各環(huán)節(jié)有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本的連接方法。（一）環(huán)節(jié)組合的等效變換1.串聯(lián)連接 依此類推，可得：n個環(huán)節(jié)串聯(lián)，等效傳遞函數為各環(huán)節(jié)傳遞函數的乘積，即：2.并聯(lián)連接 依此類推，可得：n個環(huán)節(jié)并聯(lián)，等效傳遞函數為各環(huán)節(jié)傳遞函數的代數和，即：+3.反饋連接+推導：等效傳遞函數： 如果上述三種連接交叉在一起而無法

22、化簡，則要考慮移動某些信號的綜合點和引出點。（二）綜合點和引出點的移動等效變換的原則：1.變換前后前向通道中傳遞函數的乘積 保持不變。2.變換前后回路中傳遞函數的乘積保持 不變。三、方框圖的化簡基本原則前向通道傳函不變閉環(huán)傳函不變取出點可相互交換或合并匯合點可相互交換或合并取出點前移和后移時要保持傳函不變匯合點前移和后移時要保持傳函不變基于方框圖的運算規(guī)則 引出點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端（前移）1. 引出點的移動：引出點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端（后移）)(1)(sGsN=)()()()(11sXsNsGsX=Q 把綜合點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端（前移）2. 綜合點的移動：把綜合點從環(huán)節(jié)的輸入端

23、移到輸出端（后移）注意： 相鄰的信號綜合點位置可以互換 同一信號的引出點位置可以互換 綜合點和引出點在一般情況下，不能互換。 所以，一般情況下，綜合點向綜合點移動，引出點向引出點移動。例.-+-+解：首先通過移動綜合點消除交錯。+-+-+然后按反饋連接的法則從內層到外層依次求解，得：+-+-+例：閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖如下圖所示，求系統(tǒng)的輸出C(s)。- 圖中， 為參考輸入量， 為擾動輸入量，同時作用于系統(tǒng)，產生輸出 。 由于線性系統(tǒng)滿足疊加原理，因此我們可以先求出 和 分別作用時系統(tǒng)的輸出，然后再進行疊加得出它們共同作用時的輸出 。（1）給定輸入單獨作用下：-輸出量為：令 ，則有：（2）擾

24、動輸入單獨作用下：輸出對擾動的傳遞函數為：輸出為：-+令R(s)=0,結構圖如下：(3）給定輸入和擾動輸入同時作用下輸出：提示：各個傳遞函數 都具有相同的分母多項式，稱為控制系統(tǒng)的特征多項式。根據線性疊加原理：2-7 信號流程圖x1x4x3x2abc1一、信號流圖的常用術語： 節(jié)點：用以表示變量或信號的點稱為節(jié)點，用“o”表示。傳輸：兩節(jié)點間的增益或傳遞函數稱為傳輸。支路：連接兩節(jié)點并標有信號流向的定向線段，支路的增益即為傳輸。源點：又稱源節(jié)點，只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點，與系統(tǒng)的輸入信號相對應。x1x4x3x2abc1阱點：只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點稱為阱點或輸出節(jié)點或匯節(jié)點，與輸出信號相對應?；旌瞎?jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。通道：沿支路箭頭所指方向經過多個節(jié)點的路徑。開通道：如果通道從某節(jié)點開始，終止在另一節(jié)點上，且通道中每個節(jié)點只經過一次，則該通道稱為開通道。閉通道：如果通道的終點就是通道的起點，而與任何其它節(jié)點相交次數不多于一次，則稱為閉通道或回路、回環(huán)等。如果從一個節(jié)點開始，只經過一條支路又回到該節(jié)點的，稱為自回環(huán)。x1x4x3x2abc1前向通道：從源點開始到阱點終止，且每個節(jié)點只通過一次的通道，稱為前向通道。不接觸回路：