初等多值函數(shù)課件

1、復(fù)變函數(shù)論多媒體教學(xué)課件Department of Mathematics第三節(jié) 初等多值函數(shù) 因?yàn)槌醯葟?fù)變多值函數(shù)的多值性是由于輻角的多值性引起的，所以我們先研究輻角函數(shù)：w=Argz函數(shù)有無(wú)窮個(gè)不同的值： 其中argz表示Argz的主值：(我們也把Argz的任意一個(gè)確定的值記為argz ) 考慮復(fù)平面除去負(fù)實(shí)軸（包括0）而得的區(qū)域D。顯然，在D內(nèi)，Argz的主值argz 是一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) 。對(duì)一個(gè)固定的整數(shù)k，也是一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) 。 因此，w=Argz在區(qū)域D內(nèi)可以分解成無(wú)窮多個(gè)單值連續(xù)函數(shù)，它們都是w=Argz在D內(nèi)的單值連續(xù)分支。沿負(fù)實(shí)軸的割線：上沿下沿一 單葉區(qū)域1.定義2.8注

2、1 單值不一定單葉注2 區(qū)域D到區(qū)域E的單葉滿變換就是D到E的1-1變換.或或二 根式函數(shù)1.定義2.8注Z平面除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的區(qū)域.結(jié)論例1解定義定義注1多值函數(shù)的每一單值分支,在支割線兩沿取不同值,且在支割線不連續(xù). 取負(fù)實(shí)軸為支割線,在正實(shí)軸上取正實(shí)數(shù)值的那一支為主值支.注2注3.例2解三 對(duì)數(shù)函數(shù)1.復(fù)對(duì)數(shù)的定義定義2.10我們規(guī)定對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，即若注、由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是周期為 的周期函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)必然是多值函數(shù).Z平面除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的區(qū)域.結(jié)論:2.對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 相應(yīng)與輻角函數(shù)的主值，我們定義對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的主值lnz為：則這時(shí)，有例

3、3解3.對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)4.對(duì)數(shù)函數(shù)的支點(diǎn)及支割線uvw-平面xZ-平面y沿負(fù)實(shí)軸的割線的取值情況：上沿下沿例4解故所取分支為從而例5解作業(yè)P93習(xí)題(一) 20(1)(3)，22，23，例6解由從而有故所給分支為解（法2）而故五 一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)1.一般冪函數(shù)定義定義2.11由于定義2.122.一般指數(shù)函數(shù)的概念注1:有無(wú)窮多個(gè)單值解析分支.注2:注3:以上定義兩種函數(shù)都可看作復(fù)合函數(shù).例7解六、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1. 反三角函數(shù)的定義兩端取對(duì)數(shù)得由得方程的根為 同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復(fù)以上步驟, 可以得到它們的表達(dá)式:2. 反雙曲函數(shù)的定義由得故反雙曲余弦函數(shù)為故反雙曲正弦函數(shù)為故反雙曲正切函數(shù)為例8解解例9