數(shù)字信號處理：第二章 離散時間信號

1、 第二章：離散時間信號2.1 信號的基本概念2.2 信號的時域描述2.3 信號的頻域描述2.4 從模擬信號到數(shù)字信號2.5 信號數(shù)字化過程中的參數(shù)選擇 2.1 信號的基本概念2.1.1 什么是信號2.1.2 信號的分類信號：攜帶有信息的物理量或者物理現(xiàn)象 2.1.1 什么是信號 現(xiàn)實世界中的信號有兩種自然和物理信號，如雷電過程產(chǎn)生的聲、光信號；大腦、心臟運動分別產(chǎn)生的腦電信號和心電信號；地震產(chǎn)生的地震波信號等人工產(chǎn)生信號，經(jīng)自然的作用和影響而形成的信號，如雷達(dá)信號、通信信號等信號通常是隨時間變化的有限的實值函數(shù)，也可以是隨空間等其他變量變化的有限實值函數(shù)圖像信號就是典型的空間變量的函數(shù)語音信號

2、是以時間為變量的函數(shù) 2.1.1 什么是信號信號要滿足：實值性和有限性實值性，要求信號的取值都是實數(shù)，而不是整數(shù)或者負(fù)數(shù)。這主要是現(xiàn)實世界中的信號大部分都是模擬信號，如速度、電壓、電流、溫度等信號都是連續(xù)變化的量。自然界的信號，目前為止都是實數(shù)的，暫時還沒有發(fā)現(xiàn)自然的復(fù)數(shù)信號。既然信號的值是實數(shù)，那為什么信號處理中要大量用到復(fù)信號呢？為了數(shù)學(xué)處理上的方便，本課程主要以復(fù)信號為基礎(chǔ)來討論信號處理問題有限性，信號的值必須是有限，而不能無限大。自然界的信號值如果無窮大的話，那需要無窮大的能量。從能量守恒的角度看，信號的值也必須有限。有限還可以指能量的有限性、功率的有限性、帶寬的有限性等。 2.1.2

3、 信號的分類確定性信號：信號隨時間的變化服從某種確定的規(guī)律，可以用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，任意時刻能精確確定信號取值，即可以預(yù)先知道信號的變化規(guī)律隨機(jī)信號：不能預(yù)知他隨時間變化的規(guī)律，不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，其幅度、相位都只能從概率分布角度進(jìn)行描述按信號是否為確定性，可分為確定信號和隨機(jī)信號兩大類現(xiàn)實中不存在完全的確定性信號，因為現(xiàn)實中的信號，都不可避免地要受到噪聲的污染，因此確定性信號的研究更多是理論上的意義。確定性信號的規(guī)律性和可重復(fù)性，使很多物理過程可以采用確定性信號來描述和建模，深入分析其確定性信號的特征，有助于更好地從被污染的信號中提取出有用的信息，這是信號處理非常重要的任務(wù)之一確定性信號

4、可進(jìn)一步細(xì)分為周期信號和非周期信號。周期性是指信號是否按某一固定時間重復(fù)出現(xiàn)，如果是，則為周期信號，否則為非周期信號隨機(jī)信號可細(xì)分為平穩(wěn)信號和非平穩(wěn)信號。隨機(jī)信號的平穩(wěn)性，可從概率分布的角度來分析，也可從均值和方差的角度來講。 2.1.2 信號的分類連續(xù)時間信號：在自變量的整個連續(xù)區(qū)間內(nèi)都有定義的信號?！斑B續(xù)”指的是定義域，而信號的值域，也即信號的幅度取值范圍，可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的離散時間信號：僅在一些離散的點上才有定義的信號?！半x散”指的是定義域，而信號的值域可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的若從時間變量的取值是否連續(xù)出發(fā)，可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號兩大類一個時間離散信號f(n)

5、，其信號來源可能本來就是離散的，如f(n)表示某一天的平均氣溫，顯然自變量n只能是離散的整數(shù)大部分情況下，離散時間信號是由連續(xù)時間信號經(jīng)過采樣后得到的。離散時間信號也稱為“序列”，后續(xù)討論中，沒有特別指明的情況下，信號指的是離散時間信號 2.1.2 信號的分類模擬信號：定義域和值域均連續(xù)的信號，即時間和幅度都連續(xù)。因此，模擬信號肯定是連續(xù)時間信號，對于時間連續(xù)信號而言，幅度上是否連續(xù)并不重要，故連續(xù)信號和模擬信號這兩個概念通常情況下并不嚴(yán)格區(qū)分，而且時?；煊谩，F(xiàn)實世界中的絕大部分信號，如溫度、壓力、速度、電壓、電流等都是模擬信號。數(shù)字信號：時間和幅度都不連續(xù)的信號。因此，數(shù)字信號肯定是時間離散

6、信號?，F(xiàn)實世界中也存在一些數(shù)字信號，如記錄股票每天收盤價格的金融信號等。當(dāng)然，更多的數(shù)字信號是從模擬信號經(jīng)過模/數(shù)轉(zhuǎn)換而得到的。 模擬信號和數(shù)字信號兩大類連續(xù)信號與離散信號，模擬信號與數(shù)字信號，很多同學(xué)經(jīng)常對這幾個概念混淆不清模擬信號是連續(xù)信號的一個子集數(shù)字信號是離散信號的一個子集信號時間幅度連續(xù)信號連續(xù)任意離散信號不連續(xù)任意模擬信號連續(xù)連續(xù)數(shù)字信號不連續(xù)不連續(xù) 2.1.2 信號的分類因果信號：只有 時x(n)才有非零值，否則為非因果信號。從信號的因果性角度出發(fā)，可分為因果信號和非因果信號 2.2 信號的時域描述2.2.1 信號的時域表示2.2.2 典型信號2.2.3 信號的基本運算 2.2.

7、1 信號的時域表示 離散時間信號x(n)若是從模擬信號 均勻采樣得到，則離散時間信號x(n)可表示為： 為采樣周期，n為整數(shù)，下表a表示模擬信號離散時間信號僅在 時刻有值，而在其他時刻沒有定義，但并不是沒有值數(shù)字信號處理中， 中的采樣周期 一般不再寫出，而n表示采樣時的序號，所以用x(n)表示第n個離散點的值。 離散時間信號x(n)若有解析表達(dá)式，則可用公式表示，如一個三角形信號x(n)可寫為：式中，對 的x(n)默認(rèn)值為0 2.2.1 信號的時域表示 離散時間信號x(n)的另一種時域表示方法為，將序列x(n)表示成按一定次序排列的數(shù)值的集合。從這個意義上講，離散時間信號通常也稱為序列。如，三

8、角形信號也可表示為：式中，箭頭所指的值表示n=0時x(n)的值，這里x(0)=5n值規(guī)定為自左向右逐一遞增這種方法能夠表示沒有解析式的x(n) ，因而使用更多。 離散時間信號x(n)的另一種時域表示方法為圖示法，橫坐標(biāo)為n，縱坐標(biāo)為x(n)的值雖然圖中橫坐標(biāo)畫成一條連續(xù)的直線，但x(n)只有在n為整數(shù)值時才有定義，對于非整數(shù)值， x(n)是沒有定義的 2.2.2 典型信號 單位沖激信號 ，也稱為單位抽樣信號、單位抽樣序列、或者Kronecker函數(shù)，數(shù)學(xué)定義如下：單位抽樣信號是最簡單、最基本的離散時間信號，也是重要的離散時間信號之一 類似于時域連續(xù)信號中的沖激函數(shù) ，他們的作用是相同的，不同的

9、是， 是廣義函數(shù)，在t=0時刻幅度趨向于無限大，即無幅度可言，只有用面積來表示強(qiáng)度 反映一種持續(xù)時間極短、函數(shù)值極大的信號類型，如電學(xué)中的累積電閃、力學(xué)中瞬間作用的沖擊力等 在n=0時刻有確定的幅度值，即為1 2.2.2 典型信號 單位階躍信號u(n)，也稱為單位階躍序列，數(shù)學(xué)定義如下：單位階躍信號等效的物理模型是開關(guān)的閉合單位階躍信號的基本特性是單邊性，即n0時， u(n)全是0，在 時u(n)全是1。利用這種單邊性可以構(gòu)成其他許多單邊信號由 和u(n)的定義可已看出，單位沖激信號 是單位階躍信號u(n)的一次差分，即單位階躍信號u(n)是單位沖激信號 的求和，即 2.2.2 典型信號 脈沖

10、信號p(n)，也稱為矩形序列 ，數(shù)學(xué)定義如下：N為脈沖寬度脈沖信號的特點是只有在n=0到n=N-1這樣一個長度為N的窗內(nèi)才有值，在其他范圍取值均為0脈沖信號在雷達(dá)、通信等系統(tǒng)中有非常廣泛的應(yīng)用，而且矩形序列作為一種最基本的窗函數(shù)，幾乎應(yīng)用于任何的信號處理過程中與其他信號的關(guān)系 2.2.2 典型信號 正弦信號x(n) ，數(shù)學(xué)定義如下：A表示信號的幅度， 為初始相位 為數(shù)字角頻率，也稱為數(shù)字頻率，其單位是弧度，表示信號變化的速率，或者說表示相鄰兩個信號值之間變化的弧度數(shù)， 和通常所說的以Hz為單位的模擬頻率f 既有區(qū)別又有聯(lián)系。 正弦信號x(n) ，可以看作是由如下模擬正弦信號經(jīng)采樣得到的 f為模

11、擬頻率，單位為Hz ， 為采樣周期，單位為秒， 為模擬角頻率，單位為弧度/秒(rad/s) 2.2.2 典型信號模擬頻率f，模擬角頻率 和數(shù)字角頻率 之間的關(guān)系為： 為采樣頻率凡是經(jīng)模擬信號采樣后得到的離散信號，其模擬頻率和模擬角頻率與數(shù)字角頻率成線性關(guān)系，或者說數(shù)字角頻率是模擬角頻率對采樣頻率的歸一化頻率。現(xiàn)實生活中的很多物理現(xiàn)象都可以用正弦信號來描述，比如交流電源信號、通信載波信號、音頻信號等。正弦信號的復(fù)數(shù)形式，即復(fù)正弦信號，其數(shù)學(xué)定義式為：這也是非常重要的一種基本信號，他不僅是離散信號做傅里葉變換時的基函數(shù)，同時也是線性時不變系統(tǒng)的特征信號。 2.2.2 典型信號 指數(shù)信號的數(shù)學(xué)定義為

12、：a為實數(shù)，則為實指數(shù)信號當(dāng) 時，x(n)隨n的增加而指數(shù)發(fā)散當(dāng) 時，x(n)隨n的增加而指數(shù)收斂當(dāng) 時， x(n)隨n為常數(shù)如果a為正數(shù)， x(n)的函數(shù)值是單調(diào)變化如果a為負(fù)數(shù)， x(n)的函數(shù)值是正負(fù)交替變化實指數(shù)信號可以描述許多物理現(xiàn)象，如生物的自然繁衍、銀行存款的本金利息、原子核的裂變等都具有指數(shù)增長的特性；而聲音在大氣中的傳播、RC電路的響應(yīng)、受到污染的生態(tài)環(huán)境質(zhì)量等則是按指數(shù)衰減特性發(fā)生變化若a為復(fù)數(shù)，可將a寫為 的形式，其中 ，這樣x(n)就變成復(fù)指數(shù)信號，即 ，若r=1，則變成復(fù)正弦信號；若r1，則x(n)為發(fā)散的復(fù)正弦信號 2.2.3 信號的基本運算信號的基本運算包括：相加

13、、相減、累加、相乘和移位相加：將兩個信號x1(n)和x2(n)在相同時刻n時的值對應(yīng)相加，其數(shù)學(xué)定義為： y(n)= x1(n)+ x2(n)相減：將兩個信號x1(n)和x2(n)在相同時刻n時的值對應(yīng)相減，其數(shù)學(xué)定義為： y(n)= x1(n)- x2(n) 2.2.3 信號的基本運算累加：數(shù)學(xué)定義為：表示序列y(n)在任一點的值為x(n)在該點的值與該點之前的所有點的值之和理論上講，累加的起始時刻可以是- ，結(jié)束時刻也可以是+ ，但在實際中，由于因果性的制約，結(jié)束時刻最大為n相乘：將兩個信號x1(n)和x2(n)在相同時刻n時的值對應(yīng)相乘，其數(shù)學(xué)定義為： y(n)= x1(n) x2(n)

14、= x1(n) x2(n) 2.2.3 信號的基本運算移位：給定離散信號x(n)和常數(shù)k0，若信號y1(n)和y2(n)分別定義為：y1(n)= x(n-k)y2(n)= x(n+k)y1(n)是整個x(n)在時間軸上右移k個采樣周期得到的新信號，常稱為x(n)的延時信號，延時時間為k個采樣周期y2(n)是整個x(n)在時間軸上左移k個采樣周期得到的新信號由于現(xiàn)實中因果性的約束，在信號處理中左移的情況比較少，最常用的信號的右移，也即信號的延時。在數(shù)字信號處理硬件設(shè)備中，延時是由一系列的移位寄存器來實現(xiàn)的 2.3 信號的頻域描述2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)2.3.2 典型信號的DT

15、FT 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)信號在頻域是用頻譜來表示的，頻譜即為信號的傅里葉變換 連續(xù)時間信號的傅里葉變換(CTFT)與拉普拉斯變換(LT) 周期信號的傅里葉級數(shù)(FS)設(shè)周期信號x(t)，其周期為T，角頻率0=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為x(t)的傅里葉級數(shù) 系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù) 可見， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。(1) 三角形式 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)狄里赫利(Dirichlet)條件在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是

16、有限個在一周期內(nèi)，信號絕對可積。 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)(2) 其他形式：將下式中 的同頻 率項合并，可得 式中，A0 = a0 可見：An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 A0/2為直流分量 A1cos(0t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同 A2cos(20t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍 一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)(3) 指數(shù)形式：系數(shù)X(jn0)稱為復(fù)傅里葉系數(shù) 利用 c

17、osx=(ejx + ejx)/2可從三角形式推出：n的偶函數(shù)：an ， An ， |Xn | n的奇函數(shù): bn ，n 三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)(4) 周期信號的頻譜 從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將An(n 0)和n (n 0)的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Xn|

18、 (n 0)和n (n 0)的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Xn為實數(shù)，也可直接畫Xn 。 對于雙邊頻譜，負(fù)頻率，只有數(shù)學(xué)意義，而無物理意義。為什么引入負(fù)頻率？ f(t)是實函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對ejnt和e-jnt，才能保證f(t)的實函數(shù)的性質(zhì)不變。 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)頻譜圖示（單邊）幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)頻譜圖示（雙邊）幅度頻譜相位頻譜離散譜，對稱性特點：離散性;諧波性;收斂性 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)(5)周期信號的功率Parseval等式物理意義：直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和

19、。 n0時， |Xn| = An/2。周期信號一般是功率信號，其平均功率為這是Parseval定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)信號頻帶寬度的概念集中信號主要能量的頻率范圍稱為信號的頻帶寬度，或簡稱為信號的帶寬，用符號F表示。(1) | X n |最大值的1/10為限；(對單調(diào)遞減型頻譜)(2) 總功率90%為限。(由Parseval定理求)語音信號 頻率大約為 3003400Hz音樂信號5015,000Hz系統(tǒng)的通頻帶信號的帶寬，才能不失真擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器 有效帶寬約為 1520,000Hz 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT) 非周期信號的傅

20、里葉級數(shù)(FS)T 時，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)：X(j)稱為x(t)的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。(1)從周期信號的傅里葉級數(shù)到非周期信號的傅里葉變換 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)說明 x(t)和X(j)是一一對應(yīng)的。它們是相同信號的不同表達(dá)形式，包含了相同的信息，但自變量不同。FT將以時間為自變量的函數(shù)變成了以頻率為變量的函數(shù)，將信號從時域變換到了頻域。建立在這種變換上的系統(tǒng)分析方法稱為變換域法。 FT：連續(xù)非周期函數(shù)非周期連續(xù)函數(shù)； FS: 連續(xù)周期函數(shù)非周期離散函數(shù)。 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)公式的適用條件在頻域中用 j 作

21、自變量，目的是為了便于引入拉普拉斯變換有限間斷點、有限極值點、x(t)絕對可積（a）能量有限（b）Direchlet 條件(充分條件):（c）引入沖激信號，可以表示更多的函數(shù)（如周期信號） 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)(2)非周期信號的能量密度Parseval等式證明 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)例 求沖激函數(shù) (t)的頻譜。解CTFT的對稱性質(zhì)：若則直流信號 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)信號在頻域是用頻譜來表示的，頻譜即為信號的傅里葉變換對離散信號來說，其傅里葉變換稱為離散時間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transorm,

22、DTFT)與連續(xù)信號的傅里葉變換類似，離散信號x(n)的DTFT可用數(shù)學(xué)公式表示為： X(e j )是數(shù)字頻率 的連續(xù)函數(shù)X(e j )是周期為2的周期函數(shù), X(e j )= X(e j(+ 2k) )若x(n)是由帶寬有限的模擬信號xa(t)采樣得到，則x(n)的頻譜可以看作是xa(t)頻譜的周期延拓，或者說時域采樣等效于頻域的周期延拓。DTFT存在的充分條件是序列絕對可和或平方可和 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)證明：兩邊同乘以e jm，并在一個周期內(nèi)積分若一致收斂，交換積分與求和的順序即 2.3.1 離散時間傅里葉變換(DTFT)序列的DTFT X(ej) 一般為 的復(fù)函數(shù)

23、，可表達(dá)為幅度譜和相位譜的形式，也可表達(dá)為實部和虛部的形式。相位譜 的主值區(qū)間為(-， 2.3.2 典型信號的DTFT 單位沖激信號 ，也稱為單位抽樣信號、單位抽樣序列、或者Kronecker函數(shù)，其DTFT為這說明， 的DTFT恒為1 脈沖信號p(n)，也稱為矩形序列 ，其DTFT為在信號處理中，由于信號的DTFT常為復(fù)數(shù)，因此常將其表示為幅度和相位的形式對分子分母分別提取一個公因子，然后再得到幅度和相位的處理方法是數(shù)字信號處理中常用的一個技巧 2.3.2 典型信號的DTFT指數(shù)信號 ，其DTFT為當(dāng)|a|1時，求和不收斂，序列的DTFT不存在當(dāng)|a|1時a=0.5 2.4 從模擬信號到數(shù)字

24、信號2.4.1 采樣2.4.2 量化2.4.3 編碼 2.4 從模擬信號到數(shù)字信號自然界中的絕大部分信號是模擬信號，如語音和音頻信號、雷達(dá)和聲納數(shù)據(jù)、地震和生物信號等。為了對這些模擬信號進(jìn)行數(shù)字化的處理，首先是要將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號。在信號處理中，這個轉(zhuǎn)換的過程稱為“模-數(shù)”變換（Analog-Digital,A/D）。實現(xiàn)A/D變換的器件叫做“模-數(shù)”變換器（Analog-Digital Converter, ADC）。A/D變換的實現(xiàn)過程如右圖所示。由圖可以看出，實現(xiàn)A/D變換主要包括三個步驟： 2.4 從模擬信號到數(shù)字信號采樣：模擬信號首先被等間隔地取樣，這時信號在時間上就不再連續(xù)了

25、，但在幅度上還是連續(xù)的。經(jīng)過采樣處理之后，模擬信號變成了離散時間信號。量化：每個信號采樣的幅度以某個最小數(shù)量單位的整數(shù)倍來度量。這時信號不僅在時間上不再連續(xù)，在幅度上也不連續(xù)了。經(jīng)過量化處理之后，離散時間信號變成了數(shù)字信號。編碼：將數(shù)字信號編碼成B位長度的二進(jìn)制字。雖然在量化之后信號已經(jīng)變成了數(shù)字信號，但二進(jìn)制字的表示方法有很多。ADC還要根據(jù)精度、動態(tài)范圍及實現(xiàn)成本等多個角度選擇所需的二進(jìn)制編碼方式。經(jīng)過編碼處理之后得到的信號才是我們通常所說的比特流。對這個比特流的處理才是通常所說的數(shù)字信號處理。在數(shù)字信號處理理論中，經(jīng)過采樣處理得到離散信號是最為關(guān)鍵的一步。只有在考慮到具體實現(xiàn)的時候，量化

26、和編碼的問題才必須要考慮。這也是數(shù)字信號處理有時也稱為離散時間信號處理的原因所在。ADC是實際數(shù)字信號處理系統(tǒng)中非常關(guān)鍵的一環(huán)，下面的網(wǎng)址給出的是美國國家半導(dǎo)體公司一份很有價值的介紹ADC實現(xiàn)原理的資料，非常值得一看。/detail/deepdsp/4050236 2.4.1 采樣從理論上講，采樣的過程可以等效為模擬信號xa(t)通過一個快速閉合和斷開的電子開關(guān)S，如圖所示：設(shè)電子開關(guān)每隔時間Ts閉合一次，理想情況下，電子開關(guān)的閉合時間 ，即電子開關(guān)在閉合后馬上斷開，這時在電子開關(guān)輸出端得到的就是xa(t)在t=nTs時刻的值，即xa(nTs)， Ts稱為采樣周期。這樣就實現(xiàn)了模擬信號在時間上

27、的離散化，采樣后模擬信號有一些離散時間的值來表示，這些采樣的值等于原始的模擬信號在離散時間點處的值。 采樣得到的離散時間信號只有在離散的時間點上才有值，兩個離散點之間的值被扔掉了，這會導(dǎo)致信息的損失嗎？由采樣后的離散信號能還原原始的模擬信號嗎？ 2.4.1 采樣直觀上來理解，Ts越小，即采樣間隔越小，被扔掉的信號越小，由離散信號還原原始模擬信號的可能性越大。那么采樣周期Ts的取值滿足什么樣的條件，或者說采樣頻率fs=1/ Ts的取值滿足什么樣的條件下，離散時間信號和對應(yīng)的模擬信號之間所包含的信息完全一樣呢？采樣定理回答了這個問題，在介紹采樣定理之前，先看一個簡單的正弦信號采樣的實際例子，以便對

28、采樣過程中的混疊、帶寬等概念有一個直觀的認(rèn)識。假定xa(t)是一個簡單的正弦信號，幅度為1，頻率為7Hz，初始相位為0，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：若以6Hz的采樣頻率對其采樣，得到的離散時間信號xa(n Ts) ，如圖(b)所示，如果從圖(b)所示的離散信號還原模擬信號，一方面自然是可以還原出原始模擬信號xa(t)如圖(c)中的曲線1，但是另一方面，曲線2所表示的模擬信號在給定的離散點上的值和曲線1完全相同。也就是說從圖(b)所示的離散信號也可以還原成曲線2這個信號。我們明明是從曲線1的模擬信號xa(t)出發(fā)以6Hz的采樣頻率采樣得到xa(n Ts) ，但為什么從xa(n Ts)出發(fā)，卻不能完全恢復(fù)出原

29、始的模擬信號xa(t) ，而是還存在模糊性或者說不確定性呢 2.4.1 采樣這種模糊性，就是平常所說的采樣過程中的頻率的混疊，或者簡稱混疊，正是因為存在頻率上的混疊，所以采樣過程中必須要適當(dāng)選擇采樣頻率，才能保證從離散時間信號能夠完全恢復(fù)出原始的模擬信號，或者說，才能保證模擬信號與對應(yīng)的離散時間信號包含的信息完全一致。采樣后由于頻率可能出現(xiàn)混疊，因此必須慎重選擇采樣頻率。信號的帶寬：描述信號變化速度快慢范圍的物理量。通常變化范圍越大的信號其帶寬越大。信號的帶寬就是最高頻率分量與最低頻率分量之差。通過傅里葉變換可以知道任何一個信號的最高頻率分量和最低頻率分量。采樣頻率的選擇必須要保證信號帶寬中的

30、任意一個頻率分量都沒有混疊，采樣的過程中才能保證從離散時間信號完全恢復(fù)出原始的模擬信號信號必須滿足帶寬有限的要求，因為現(xiàn)實世界的信號變化速度的范圍不可能無限大帶寬有限的要求，為采樣過程中的不混疊提供了可能性，或者說這種帶寬的有限性是不產(chǎn)生混疊采樣過程的物理基礎(chǔ) 2.4.1 采樣了解了混疊和信號帶寬的概念后，再來重新研究右圖所示的理想采樣過程該采樣過程可等效為模擬信號與一串沖激信號的相乘，如右下圖所示，用數(shù)學(xué)公式可表達(dá)為：ps(t)為沖激串信號要想保證采樣過程沒有混疊，關(guān)鍵是要保證信號在頻域上不產(chǎn)生混疊。那么上式所表征的采樣過程的時域數(shù)學(xué)運算，在頻域上表示了什么樣的概念呢？必須了解信號的時域采樣

31、等效于頻域的什么特征？ 2.4.1 采樣信號的時域采樣等效于頻域的周期延拓。如何證明？ps(t)為沖激串信號，是時域的周期信號，周期為Ts，若用 表示模擬信號xa(t)的頻譜， 表示離散信號x(n)的頻譜，則有：xa(t)及 的示意圖如右圖所示。圖中假定為xa(t)帶限信號，并且最高頻率為 ，現(xiàn)在我們希望找出 和 之間的關(guān)系由式(1)可知，離散信號可以視為一種特殊的連續(xù)信號，其傅里葉變換記為 。由模擬角頻率和數(shù)字頻率的關(guān)系 可知 2.4.1 采樣由傅里葉變換的性質(zhì)可知，時域的相乘等效于頻域的卷積，用數(shù)學(xué)公式表示為： 為沖激串信號ps(t)的傅里葉變換。為此，先求由于ps(t)為周期信號，且周期

32、為Ts，因此可以展開成傅里葉級數(shù)，有： 為傅里葉系數(shù)，并且有：于是有于是ps(t)的傅里葉變換 可寫為 2.4.1 采樣由傅里葉變換的性質(zhì)可知，時域的相乘等效于頻域的卷積，用數(shù)學(xué)公式表示為： 為沖激串信號ps(t)的傅里葉變換。為此，先求由于ps(t)為周期信號，且周期為Ts，因此可以展開成傅里葉級數(shù)，有： 為傅里葉系數(shù)，并且有：于是有于是ps(t)的傅里葉變換 可寫為這就是時域沖激串的傅里葉變換。同時表明，時域沖激串經(jīng)過傅里葉變化后，在頻域仍然為沖激串，只是幅度和間距有所不同 2.4.1 采樣因此由下面兩式可知：即：這說明，連續(xù)信號采樣后，其頻譜將變成周期的。以模擬頻率來說，周期為 ；以數(shù)字

33、頻率來說，周期為2。變成周期的方法是將模擬信號頻譜Xa(j )在頻率軸上以s為周期移位后再疊加，并除以Ts。這種現(xiàn)象又稱為頻譜的周期延拓。即連續(xù)信號的時域采樣等效于頻域的周期延拓。 2.4.1 采樣因此由下面兩式可知：即：這說明，連續(xù)信號采樣后，其頻譜將變成周期的。以模擬角頻率來說，周期為 ；以數(shù)字頻率來說，周期為2。變成周期的方法是將模擬信號頻譜Xa(j )在頻率軸上以s為周期移位后再疊加，并除以Ts。這種現(xiàn)象又稱為頻譜的周期延拓。即連續(xù)信號的時域采樣等效于頻域的周期延拓。 2.4.1 采樣連續(xù)信號的時域采樣等效于頻域的周期延拓，是理解采樣過程的關(guān)鍵點，如果再引申一下，由于時域頻域的互易性可

34、以很容易知道，頻域采樣同樣等效于時域的周期延拓。時域與頻域之間的這種采樣與周期延拓的關(guān)系，是數(shù)字信號處理中的一種基本關(guān)系，他不僅是理解采樣過程的關(guān)鍵，也是理解其他許多數(shù)字信號處理方法的一個關(guān)鍵，如離散傅里葉變換(DFT)、信號的抽取等。上圖給出了一個帶限信號采樣過程頻譜的變化情況。圖(a)為模擬信號xa(t)及其頻譜的波形， xa(t)的最大頻率為 fmax= max/2 ，信號帶寬為max/ =2fmax圖(b)為沖激串ps(t)及其頻譜的波形，可以看出，沖激串的頻譜仍為沖激串，而且時域沖激串之間的間隔Ts與頻域沖激串之間的間隔s滿足固定的關(guān)系，即s=2/Ts = 2 fs 圖(c)為采樣信

35、號及其頻譜的波形，橫軸用數(shù)字頻率表示，周期為2。max 與max滿足關(guān)系max = max/fs =2fmax /fs理解時一定要特別注意模擬頻率f、模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的關(guān)系 2.4.1 采樣重新回到采樣問題：采樣頻率的取值滿足什么樣的條件下，離散時間信號和對應(yīng)的模擬信號之間所包含的信息完全一樣呢？由右上圖可知，當(dāng)max 2fmax時，采樣信號頻譜上沒有混疊，因而由采樣信號能夠完全恢復(fù)出原始的模擬信號。右下圖給出了采樣頻率逐步減少時采樣信號頻譜的變化情況：圖(a)給出了fs =2fmax時的采樣信號頻譜，此時仍然沒有混疊，但已經(jīng)處于臨界狀態(tài)，從理論上仍然能夠完全恢復(fù)出原始模擬信號圖(b)

36、給出了fs 2fmax時的采樣信號頻譜，此時頻譜已經(jīng)混疊，由采樣信號無法恢復(fù)出原始的模擬信號。 2.4.1 采樣對于一個有限帶寬的模擬信號xa(t) ，其頻譜的最高頻率為fmax，對xa(t)采樣時，若保證采樣頻率fs 2fmax ，那么可由采樣信號xa(nTs)完全恢復(fù)出原始的模擬信號xa(t) ，即xa(nTs)保留了xa(t)的全部信息。 采樣定理采樣定理是由奈奎斯特(Nyquist)于1928年最先提出，香農(nóng)(Shannon)于1948年從理論上給出了嚴(yán)格的證明。因此采樣定理又稱為奈奎斯特采樣定理或者香農(nóng)采樣定理。系統(tǒng)采樣頻率的一半，即fs /2，通常也稱為奈奎斯特頻率。采樣定理指出了

37、對信號采樣過程中所必須遵循的基本原則，是數(shù)字信號處理最基本的定理之一，采樣頻率則是數(shù)字信號處理中最基本的一個概念 2.4.2 量化量化是指將信號幅度的連續(xù)取值近似為有限多個離散值的過程。若不考慮模擬信號各采樣點之間的相關(guān)性，對各采樣點分別逐個量化，稱為標(biāo)量量化；反之，考慮各采樣點之間的相關(guān)性，稱為矢量量化。沒有特別說明，本課程所說的量化均指標(biāo)量量化。量化主要應(yīng)用于從離散信號到數(shù)字信號的轉(zhuǎn)換。模擬信號經(jīng)過采樣成為離散信號，離散信號經(jīng)過量化即成為數(shù)字信號。如CD音頻信號就是按照44110Hz的頻率采樣，按16比特量化為有著216=65536個可能取值的數(shù)字信號。用右下圖來說明有關(guān)量化的基本概念：圖

38、中Vm表示量化硬件設(shè)備的最大輸入值； -Vm Vm表示量化硬件設(shè)備的量程；將-Vm Vm分為M個量化區(qū)間，其中M=2B，B為量化硬件設(shè)備用來表示一個采樣值的位數(shù)，即量化位數(shù)；m(m=-M/2，0,1，M/2-1)為量化電平，采樣值通常量化為距離其最近的某個量化電平值；兩個相鄰的量化電平之差稱為分辨率，其值為 =2Vm /M右圖中B=3，此時共有M=8個量化電平，在有些采樣點上，如x(3Ts)，離散信號的幅度正好位于量化電平上，因此這個采樣點的幅度值在量化前后一致，沒有誤差。但絕大多數(shù)采樣點的幅度都不在量化電平上，如x(Ts) ，量化后其值變?yōu)榕c其原始值最接近的量化電平-4 。量化過程產(chǎn)生誤差。

39、 2.4.2 量化量化過程產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差，也稱為量化噪聲，其值為：e(n)=xq(n)-x(n)，e(n)為量化誤差，xq(n)為量化值。e(n)為一個隨機(jī)變量，并且其最大值為/2，直觀上來說，信號落入兩個相鄰的量化電平m , (m+1) 這個區(qū)間的概率是一樣的，因此， e(n)在- /2, /2上服從均勻分布，其概率密度函數(shù)如右中圖所示。對于標(biāo)量量化而言，并不考慮模擬信號各采樣點之間的相關(guān)性，因此，對于不同的取值n， e(n)也是不相關(guān)的，即e(n)可以看作是一個服從均勻分布的白噪聲信號。量化的過程等效為采樣后的離散信號加上一個服從均勻分布的白噪聲，即xq(n) =x(n)+e(n)

40、，如右下圖所示。由概率論的只是，可知e(n)的均值為：方差為：在數(shù)字信號處理中，量化誤差是影響處理結(jié)果的一個重要方面。在分析量化誤差的影響時，所使用的基本上都是加性噪聲模型。 2.4.3 編 碼量化后的信號只有有限個離散幅度值，編碼的過程就是將量化后的信號電平值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制碼組的過程。對于同一個電平，比如對于值為-0.8125的量化電平值，既可以表示為原碼111010，也可以表示為反碼100101，還可以表示為補(bǔ)碼100110。這是為什么？實際中到底怎樣選擇編碼方式呢？數(shù)字系統(tǒng)中，數(shù)字的二進(jìn)制表示有定點制和浮點制兩種最基本的方式，定點制運算速度快，實現(xiàn)起來價格便宜，但對溢出需做特別處理，精度相

41、對較低；浮點制動態(tài)范圍大，精度高，幾乎不必考慮溢出問題，但價格比較昂貴在數(shù)字信號處理的硬件設(shè)備中，編碼是通過數(shù)字邏輯電路來實現(xiàn)的，包括采樣、量化和編碼在內(nèi)的模擬信號數(shù)字化的整個過程都被集成為一個模/數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC的芯片上來實現(xiàn)。 2.5 信號數(shù)字化過程中的參數(shù)選擇2.5.1 抗混疊濾波器2.5.2 采樣頻率 實際應(yīng)用中，從模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號需要考慮許多因素，如被噪聲和干擾信號所污染的實際信號，在采樣過程中如何盡量避免噪聲和干擾信號的混疊？確定采樣頻率時應(yīng)主要考慮哪些因素？在量化過程中，量化位數(shù)如何確定等？ 2.5.1 抗混疊濾波器 實際的模擬信號都是帶限的，且都不程度地會受到噪聲和其他干擾信號的污染。采樣定理可知，只要保證 fs2fmax，有用信號就不會產(chǎn)生混疊，但有用信號帶寬之外的噪聲及干擾信號仍然會產(chǎn)生混疊，這會降低采樣后數(shù)字信號的質(zhì)量。采樣后，有用信號帶寬之外的噪聲和干擾也會混疊到信號帶寬之內(nèi)，從而提高采樣后數(shù)字信號中的噪聲分量，進(jìn)而增大后續(xù)信號處理的復(fù)雜度。實際的信號處理系統(tǒng)中，往往要在采樣之前增加一級預(yù)處理的過程，即抗混疊濾波。 2.5.1 抗混疊濾波器 抗混疊濾波器：將有用信號帶寬之外的噪聲和干擾信號抑制掉。在信號處理上等效為一個低通濾波器，