多元線性回歸課件

1、世界上所有的模型都只是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某種近似。沒(méi)有完美的模型。所有的模型都命中注定要被修正、改進(jìn)以至于被替代。 吳喜之 第 11 章 多元線性回歸作者：中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院賈俊平PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用預(yù)測(cè)大學(xué)足球比賽的獲勝得分差額 為檢驗(yàn)一場(chǎng)大學(xué)足球比賽中“爭(zhēng)球碼數(shù)”、“傳球碼數(shù)”、“回傳次數(shù)”、“控球時(shí)間”以及“主場(chǎng)優(yōu)勢(shì)”等變量對(duì)比賽最后得分的影響，分析人員建立了一個(gè)多元回歸模型。該模型的因變量是“比賽獲勝得分的差值”，它等于勝方的最后得分減去負(fù)方的最后得分從高校體育協(xié)會(huì)前20名球隊(duì)的比賽中隨機(jī)抽取了90場(chǎng)，收集到自變量和因變量的數(shù)據(jù)，并進(jìn)行多元回歸分析，得到的回歸結(jié)果如表預(yù)測(cè)變量

2、系數(shù)t值截距3.222.06爭(zhēng)球碼數(shù)差0.1112.50傳球碼數(shù)差0.0910.19回傳次數(shù)差-2.80-5.75控球時(shí)間差-0.01-3.94主場(chǎng)優(yōu)勢(shì)變量3.041.68因變量：獲勝得分差修正的R2=0.72第 11 章 多元線性回歸11.1 多元線性回歸模型 11.2 回歸方程的擬合優(yōu)度11.3 顯著性檢驗(yàn)11.4 多重共線性11.5 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)11.6 變量選擇與逐步回歸11.7 虛擬自變量的回歸11.8 非線性回歸學(xué)習(xí)目標(biāo)1.回歸模型、回歸方程、估計(jì)的回歸方程2.回歸方程的擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗(yàn)多重共線性問(wèn)題及其處理利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)虛擬自變量的回歸問(wèn)題非

3、線性回歸用 Excel 進(jìn)行回歸分析11.1 多元線性回歸模型11.1.1 多元回歸模型與回歸方程11.1.2 估計(jì)的多元回歸方程11.1.3 參數(shù)的最小二乘估計(jì)多元回歸模型與回歸方程多元回歸模型 (multiple regression model)一個(gè)因變量與兩個(gè)及兩個(gè)以上自變量的回歸描述因變量 y 如何依賴(lài)于自變量 x1 ， x2 ， xk 和誤差項(xiàng) 的方程，稱(chēng)為多元回歸模型涉及 k 個(gè)自變量的多元回歸模型可表示為 b0 ，b1，b2 ，bk是參數(shù) 是被稱(chēng)為誤差項(xiàng)的隨機(jī)變量 y 是x1,，x2 ， ，xk 的線性函數(shù)加上誤差項(xiàng) 包含在y里面但不能被k個(gè)自變量的線性關(guān)系 所解釋的變異性多元

4、回歸模型(基本假定) 誤差項(xiàng)是一個(gè)期望值為0的隨機(jī)變量，即E()=0對(duì)于自變量x1，x2，xk的所有值，的方差 2都相同誤差項(xiàng)是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，即N(0,2)，且相互獨(dú)立多元回歸方程 (multiple regression equation)描述因變量 y 的平均值或期望值如何依賴(lài)于自變量 x1， x2 ，xk的方程多元線性回歸方程的形式為 E( y ) = 0+ 1 x1 + 2 x2 + k xk b1，b2，bk稱(chēng)為偏回歸系數(shù) bi 表示假定其他變量不變，當(dāng) xi 每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，y 的平均變動(dòng)值二元回歸方程的直觀解釋二元線性回歸模型(觀察到的y)回歸面0ix1yx2(x

5、1,x2)估計(jì)的多元回歸方程估計(jì)的多元回的方程(estimated multiple regression equation) 是 估計(jì)值 是 y 的估計(jì)值用樣本統(tǒng)計(jì)量 估計(jì)回歸方程中的 參數(shù) 時(shí)得到的方程由最小二乘法求得一般形式為參數(shù)的最小二乘估計(jì)參數(shù)的最小二乘法求解各回歸參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程如下使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的離差平方和達(dá)到最小來(lái)求得 。即參數(shù)的最小二乘法(例題分析)【例】一家大型商業(yè)銀行在多個(gè)地區(qū)設(shè)有分行，為弄清楚不良貸款形成的原因，抽取了該銀行所屬的25家分行2002年的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)。試建立不良貸款y與貸款余額x1、累計(jì)應(yīng)收貸款x2、貸款項(xiàng)目個(gè)數(shù)x3和固定資產(chǎn)投資額x4的線性回

6、歸方程，并解釋各回歸系數(shù)的含義 用Excel進(jìn)行回歸11.2 回歸方程的擬合優(yōu)度11.2.1 多重判定系數(shù)11.2.2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差多重判定系數(shù)多重判定系數(shù)(multiple coefficient of determination) 回歸平方和占總平方和的比例計(jì)算公式為因變量取值的變差中，能被估計(jì)的多元回歸方程所解釋的比例 修正多重判定系數(shù)(adjusted multiple coefficient of determination) 用樣本量n和自變量的個(gè)數(shù)k去修正R2得到 計(jì)算公式為避免增加自變量而高估 R2意義與 R2類(lèi)似數(shù)值小于R2 Excel 輸出結(jié)果的分析估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差 Sy對(duì)誤差

7、項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差 的一個(gè)估計(jì)值衡量多元回歸方程的擬合優(yōu)度計(jì)算公式為 Excel 輸出結(jié)果的分析11.3 顯著性檢驗(yàn)11.3.1 線性關(guān)系檢驗(yàn)11.3.2 回歸系數(shù)檢驗(yàn)和推斷線性關(guān)系檢驗(yàn)線性關(guān)系檢驗(yàn)檢驗(yàn)因變量與所有自變量之間的線性關(guān)系是否顯著也被稱(chēng)為總體的顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)方法是將回歸均方(MSR)同殘差均方(MSE)加以比較，應(yīng)用 F 檢驗(yàn)來(lái)分析二者之間的差別是否顯著如果是顯著的，因變量與自變量之間存在線性關(guān)系如果不顯著，因變量與自變量之間不存在線性關(guān)系線性關(guān)系檢驗(yàn)提出假設(shè)H0：12k=0 線性關(guān)系不顯著H1：1，2， k至少有一個(gè)不等于02. 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F確定顯著性水平和分子自由度k、分母自由度n

8、-k-1找出臨界值F 4. 作出決策：若FF ，拒絕H0 Excel 輸出結(jié)果的分析回歸系數(shù)檢驗(yàn)和推斷回歸系數(shù)的檢驗(yàn)線性關(guān)系檢驗(yàn)通過(guò)后，對(duì)各個(gè)回歸系數(shù)有選擇地進(jìn)行一次或多次檢驗(yàn)究竟要對(duì)哪幾個(gè)回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，通常需要在建立模型之前作出決定對(duì)回歸系數(shù)檢驗(yàn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行限制，以避免犯過(guò)多的第類(lèi)錯(cuò)誤(棄真錯(cuò)誤) 對(duì)每一個(gè)自變量都要單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)應(yīng)用 t 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量回歸系數(shù)的檢驗(yàn)(步驟)提出假設(shè)H0： bi = 0 (自變量 xi 與 因變量 y 沒(méi)有線性關(guān)系) H1： bi 0 (自變量 xi 與 因變量 y有線性關(guān)系) 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量 t 確定顯著性水平，并進(jìn)行決策 tt，拒絕H0； tt(25-2)

9、=2.069，所以均拒絕原假設(shè)，說(shuō)明這4個(gè)自變量?jī)蓛芍g都有顯著的相關(guān)關(guān)系由表Excel輸出的結(jié)果可知，回歸模型的線性關(guān)系顯著(Significance-F1.03539E-06=0.05) 。這也暗示了模型中存在多重共線性固定資產(chǎn)投資額的回歸系數(shù)為負(fù)號(hào)(-0.029193) ，與預(yù)期的不一致多重共線性問(wèn)題的處理多重共線性(問(wèn)題的處理)將一個(gè)或多個(gè)相關(guān)的自變量從模型中剔除，使保留的自變量盡可能不相關(guān)如果要在模型中保留所有的自變量，則應(yīng)避免根據(jù) t 統(tǒng)計(jì)量對(duì)單個(gè)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)對(duì)因變量值的推斷(估計(jì)或預(yù)測(cè))限定在自變量樣本值的范圍內(nèi) Excel 輸出結(jié)果的分析提示在建立多元線性回歸模型時(shí)，不要試圖引

10、入更多的自變量，除非確實(shí)有必要在社會(huì)科學(xué)的研究中，由于所使用的大多數(shù)數(shù)據(jù)都是非試驗(yàn)性質(zhì)的，因此，在某些情況下，得到的結(jié)果往往并不令人滿(mǎn)意，但這不一定是選擇的模型不合適，而是數(shù)據(jù)的質(zhì)量不好，或者是由于引入的自變量不合適 11.5 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)軟件應(yīng)用置信區(qū)間估計(jì)(例題分析)STATISTICA輸出的不良貸款的置信區(qū)間預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)(例題分析)STATISTICA輸出的不良貸款的預(yù)測(cè)區(qū)間11.6 變量選擇與逐步回歸11.6.1 變量選擇過(guò)程11.6.2 向前選擇11.6.3 向后剔除11.6.4 逐步回歸變量選擇過(guò)程在建立回歸模型時(shí)，對(duì)自變量進(jìn)行篩選選擇自變量的原則是對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性

11、檢驗(yàn)將一個(gè)或一個(gè)以上的自變量引入到回歸模型中時(shí)，是否使得殘差平方和(SSE)有顯著減少。如果增加一個(gè)自變量使SSE的減少是顯著的，則說(shuō)明有必要將這個(gè)自變量引入回歸模型，否則，就沒(méi)有必要將這個(gè)自變量引入回歸模型確定引入自變量是否使SSE有顯著減少的方法，就是使用F統(tǒng)計(jì)量的值作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，以此來(lái)確定是在模型中增加一個(gè)自變量，還是從模型中剔除一個(gè)自變量變量選擇的方法主要有：向前選擇、向后剔除、逐步回歸、最優(yōu)子集等 向前選擇 (forward selection)從模型中沒(méi)有自變量開(kāi)始對(duì)k個(gè)自變量分別擬合對(duì)因變量的一元線性回歸模型，共有k個(gè)，然后找出F統(tǒng)計(jì)量的值最高的模型及其自變量，并將其首先引入模型

12、 分別擬合引入模型外的k-1個(gè)自變量的線性回歸模型 如此反復(fù)進(jìn)行，直至模型外的自變量均無(wú)統(tǒng)計(jì)顯著性為止向后剔除 (backward elimination)先對(duì)因變量擬合包括所有k個(gè)自變量的回歸模型。然后考察p(pk)個(gè)去掉一個(gè)自變量的模型(這些模型中每一個(gè)都有k-1個(gè)自變量)，使模型的SSE值減小最少的自變量被挑選出來(lái)并從模型中剔除考察個(gè)再去掉一個(gè)自變量的模型(這些模型中每一個(gè)都有k-2個(gè)的自變量)，使模型的SSE值減小最少的自變量被挑選出來(lái)并從模型中剔除如此反復(fù)進(jìn)行，一直將自變量從模型中剔除，直至剔除一個(gè)自變量不會(huì)使SSE顯著減小為止逐步回歸 (stepwise regression)將向

13、前選擇和向后剔除兩種方法結(jié)合起來(lái)篩選自變量在增加了一個(gè)自變量后，它會(huì)對(duì)模型中所有的變量進(jìn)行考察，看看有沒(méi)有可能剔除某個(gè)自變量。如果在增加了一個(gè)自變量后，前面增加的某個(gè)自變量對(duì)模型的貢獻(xiàn)變得不顯著，這個(gè)變量就會(huì)被剔除按照以上方法不停地增加變量并考慮剔除以前增加的變量的可能性，直至增加變量已經(jīng)不能導(dǎo)致SSE顯著減少在前面步驟中增加的自變量在后面的步驟中有可能被剔除，而在前面步驟中剔除的自變量在后面的步驟中也可能重新進(jìn)入到模型中逐步回歸 (例題分析SPSS輸出結(jié)果)Variable Entered/Removed a model Variable EnteredVariable Removedmet

14、hod1各項(xiàng)貸款余額x1 Stepwise(Criteria:Probability-of-F-to-enter=.050,Probability-of-F-to-remove=.100. 2固定資產(chǎn)投資額x4 Stepwise(Criteria:Probability-of-F-to-enter=.050,Probability-of-F-to-remove=.100. a Dependent variable:不良貸款y逐步回歸 (例題分析SPSS輸出結(jié)果)Model summary model RR-SquareAdjusted R-Square Std.Error of the Est

15、imate 1.844a.712.6991.97992.872b.761.7391.8428a Predictors:(Constant),各項(xiàng)貸款余額x1b Predictors:(Constant),各項(xiàng)貸款余額x1,固定資產(chǎn)投資額x4逐步回歸 (例題分析SPSS輸出結(jié)果) ANOVA c modelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1 Regress ResidualTotal222.48690.164312.65012324222.4863.92056.754.000a2 Regress Residual Total237.94174.709312.650

16、22224118.9713.39635.034.000ba Predictors:(Constant),各項(xiàng)貸款余額x1b Predictors:(Constant),各項(xiàng)貸款余額x1,固定資產(chǎn)投資額x4c Dependent variable:不良貸款y逐步回歸 (例題分析SPSS輸出結(jié)果)ModelUnstandardizedCoefficientsUnstandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1 (Constant) 貸款余額x1 -.830.038.723.0050844-1.1477.534.263.0002 (Constant) 貸款余額

17、x1 固定資產(chǎn)投資x4-.443.050-.032.697.007.0151.120-.355-.6366.732-2.133.531.000.044a Dependent variable:不良貸款yCoefficients a11.7 虛擬自變量的回歸11.7.1 含有一個(gè)虛擬自變量的回歸11.7.2 用虛擬自變量回歸解決方差分析問(wèn)題含有一個(gè)虛擬自變量的回歸虛擬自變量(dummy variable)用數(shù)字代碼表示的定性自變量虛擬自變量可有不同的水平只有兩個(gè)水平的虛擬自變量比如，性別(男，女) 有兩個(gè)以上水平的虛擬自變量貸款企業(yè)的類(lèi)型(家電，醫(yī)藥，其他) 虛擬變量的取值為0，1虛擬自變量的回

18、歸回歸模型中使用虛擬自變量時(shí)，稱(chēng)為虛擬自變量的回歸當(dāng)虛擬自變量只有兩個(gè)水平時(shí)，可在回歸中引入一個(gè)虛擬變量比如，性別(男，女) 一般而言，如果定性自變量有k個(gè)水平，需要在回歸模型中引進(jìn)k-1個(gè)虛擬變量虛擬自變量的回歸(例題分析)【例】為了研究考試成績(jī)與性別之間的關(guān)系，從某大學(xué)商學(xué)院隨機(jī)抽取男女學(xué)生各8名，得到他們的市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)學(xué)課程的考試成績(jī)?nèi)缬冶?虛擬自變量的回歸(考試成績(jī)與性別的散點(diǎn)圖)男 女虛擬自變量的回歸(成績(jī)與性別的Mean/SD/1.96*SD箱線圖) y與x的回歸虛擬自變量的回歸 (例題分析)引進(jìn)虛擬變量時(shí)，回歸方程表示為E(y) =0+ 1x男( x=0)：E(y) =0男學(xué)生考試成

19、績(jī)的期望值女(x=1)：E(y) =0+ 11女學(xué)生考試成績(jī)的期望值注意：當(dāng)指定虛擬變量0，1時(shí)0總是代表與虛擬變量值0所對(duì)應(yīng)的那個(gè)分類(lèi)變量水平的平均值1總是代表與虛擬變量值1所對(duì)應(yīng)的那個(gè)分類(lèi)變量水平的平均響應(yīng)與虛擬變量值0所對(duì)應(yīng)的那個(gè)分類(lèi)變量水平的平均值的差值，即 平均值的差值 =(0+ 1) - 0= 1虛擬自變量的回歸(例題分析)【例】為研究工資水平與工作年限和性別之間的關(guān)系，在某行業(yè)中隨機(jī)抽取10名職工，所得數(shù)據(jù)如右表 y與x1的回歸及分析 y與x1， x2的回歸及分析虛擬自變量的回歸 (例題分析)引進(jìn)虛擬變量時(shí)，回歸方程寫(xiě)為 E(y) =0+ 1x1+ 2x2女( x2=0)：E(y

20、|女性) =0 +1x1男(x2=1)：E(y|男性) =(0 + 2 ) +1x10表示：女性職工的期望月工資收入 (0+ 2)表示：男性職工的期望月工資收入 1表示：工作年限每增加1年，男性或女性工資的平均增加值 2表示：男性職工的期望月工資收入與女性職工的期望月工資收入之間的差值 (0+ 2) - 0= 2用虛擬自變量回歸解決方差分析問(wèn)題方差分析的回歸方法 (例題分析)引進(jìn)虛擬變量建立回歸方程：E(Y)=0+ 1x1+ 2x2+3x3用Excel進(jìn)行回歸0家電制造業(yè)投訴次數(shù)的平均值 (0+ 1)零售業(yè)投訴次數(shù)的平均值 (0+ 2)旅游業(yè)投訴次數(shù)的平均值 (0+ 3)航空公司投訴次數(shù)的平均值 11.8 非線性回歸11.8.1 雙曲線11.8.2 冪函數(shù)曲線11.8.3 對(duì)