節(jié)條件概率與獨立性課件

1、第五節(jié)條件概率一、條件概率與乘法公式 在隨機試驗中，對于有些事件往往需要在有某些附加信息(條件)下求其概率例如 一箱產品共50件，其中有4件不合格品，且這4件不合格品中有2件是次品,另2件是廢品，今從箱中任取一件產品，求(1) 取得次品的概率是多少？(2) 已知取得的是不合格品，則它是次品的概率是多少?容易得出(1)的答案是2/50=0.04，(2)的答案是2/4=0.5 從上面的結果看，這兩個概率不相等產生兩個概率不相等的原因是這兩個問題的提法是有區(qū)別的，第二個問題是一種新的提法：“所取的產品是不合格品”,本身也是一個隨機事件若把此事件記作A，把“所取的產品是次品”記作B，于是可以把問題敘述

2、成：在事件發(fā)生A（即發(fā)現(xiàn)產品是不合格品）的條件下，事件B（所取的產品是次品）發(fā)生的概率是多少?我們把這種概率叫做在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率，記作 它既不同于P(B)，也不同于P(AB). 定義1.7 設A , B是兩個隨機事件，且P(A)0,我們稱（1.7） 為事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率 .相應地，P(B)稱為無條件概率. 同理有：這個式子的直觀含義是明顯的，在A發(fā)生的條件下B發(fā)生當然是A發(fā)生且B發(fā)生，即AB發(fā)生，但是現(xiàn)在A發(fā)生成了前提條件，因此應該以A作為整個樣本空間，而排除A以外的樣本點，因此 是P(AB)與P(A)之比.條件概率的性質例1 設某種動物由出生算起活到20歲

3、以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4.如果一只動物現(xiàn)在已經20歲，問它能活到25歲的概率為多少?解： 設 A= “活到20歲”，B= “活到25歲”，則因為B A，所以 由公式(1.7) 有:例2 倉庫中存放10箱青霉素,其中甲廠產6箱，乙廠產3箱，丙廠產1箱現(xiàn)從中任取一箱，發(fā)現(xiàn)不是丙廠生產的，求是甲廠生產的概率解: 設 A= “取出的青霉素由甲廠生產”， B= “取出的青霉素由乙廠生產”， C= “取出的青霉素由丙廠生產”則 A , B , C 兩兩互不相容，所求概率為:二、 乘法公式由公式(1.7),我們可得到下述定理定理1.1（乘法公式）對于任意的事件A，B，若 P(A)0，

4、則 (1.8) 乘法公式可以推廣到多個事件積的情形推論 設 是n個事件, n 2 , 且 則 例3 甲、乙兩廠共同生產1 000個零件，其中450件是甲廠生產的而在這450個零件中，有380個是標準件，現(xiàn)從這1 000個零件中任取一個，問這個零件是甲廠生產的標準件的概率是多少？解 設 A= “零件是甲廠生產的”， B= “零件為標準件”， 由題設 則 例 4 設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,

5、3 ) 表示事件“透鏡第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：3條件概率返回主目錄三、全概率公式定義1.8 設為試驗E的樣本空間, B1 , B2 , , Bn為E的一組事件, 若則稱 B1 , B2 , ,Bn為樣本空間的一個劃分B1B2Bn.全概率公式 設試驗E的樣本空間為S ，A為E的事件，例5 某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別為2、6、9、3名又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標的概率解：由全概率公式，有第一章 概率論的基本概

6、念3條件概率返回主目錄 第一章 概率論的基本概念3條件概率返回主目錄練習： 某廠使用5個產地的同型號的電子元件.已知此廠使用這5個產地的電子元件數(shù)量各占20%, 30%, 10%, 15%和25%.且它們的合格率分別是0.87, 0.96, 0.82, 0.88和0.96.現(xiàn)隨機地抽取一件,問：此元件為合格品的概率為多少?解: 設 A = “元件是合格品”， Ai = “元件來自第i個產地”, i=1 , 2 , 3 , 4 , 5.顯然 由全概率公式=0.20.87+0.30.96+0.10.82 +0.150.88+0.250.96=0.916事件獨立性的定義設 A、B 是兩個隨機事件，如

7、果 則稱 A 與 B 是相互獨立的隨機事件事件獨立性的性質：1）如果事件A 與 B 相互獨立，而且第六節(jié) 獨立性4 獨立性返回主目錄4 獨立性2）必然事件S與任意隨機事件A相互獨立； 不可能事件與任意隨機事件A相互獨立證明：由同理可證第二個結論。3)若隨機事件 A 與 B 相互獨立，則也相互獨立.證：為方便起見，只證相互獨立即可由于4 獨立性返回主目錄三個事件的獨立性設A、B、C是三個隨機事件，如果則稱A、B、C是相互獨立的隨機事件4 獨立性返回主目錄注：上面四個條件缺一不可相互獨立的概念可以推廣到三個以上事件的情況 .定義 設 是n個事件, 如果對于任意的有 則稱這n個事件兩兩相互獨立或兩兩

8、獨立. 如果對于任意的k (k n)，任意的 都有 則稱這n個事件相互獨立 .注意：在實際應用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據定義來判斷，而是根據實際意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨立性作為條件告訴我們，要求直接應用定義中的公式進行計算。第一章 概率論的基本概念4 獨立性返回主目錄例1 甲, 乙兩戰(zhàn)士打靶, 甲的命中率為0.9, 乙的命中率為0.85. 兩人同時射擊同一目標 ,各打一槍,求目標被擊中的概率解 :設 A= “甲擊中目標”，B= “乙擊中目標”顯然甲是否擊中不影響乙的擊中, 因而A , B是獨立的于是 例 2 設有電路如圖，其中 1, 2, 3, 4 為繼電器接點。設各繼電器接點閉合與否相互獨立，且每一個繼電器接點閉合的概率均為 p。求 L至 R 為通路的概率。 LR2134 解 ： 設事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 為“第 i 個繼電器接點閉合”, L 至 R 為通路這一事件可表示為： 4 獨立性返回主目錄由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互獨立性，得到 第一章 概率論的基本概念4 獨立性返回主目錄練習： 三門高射炮向敵機進行射擊, 已知每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機的概率分別為0.6