節(jié)條件概率與獨(dú)立性課件

1、第五節(jié)條件概率一、條件概率與乘法公式 在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)于有些事件往往需要在有某些附加信息(條件)下求其概率例如 一箱產(chǎn)品共50件，其中有4件不合格品，且這4件不合格品中有2件是次品,另2件是廢品，今從箱中任取一件產(chǎn)品，求(1) 取得次品的概率是多少？(2) 已知取得的是不合格品，則它是次品的概率是多少?容易得出(1)的答案是2/50=0.04，(2)的答案是2/4=0.5 從上面的結(jié)果看，這兩個(gè)概率不相等產(chǎn)生兩個(gè)概率不相等的原因是這兩個(gè)問(wèn)題的提法是有區(qū)別的，第二個(gè)問(wèn)題是一種新的提法：“所取的產(chǎn)品是不合格品”,本身也是一個(gè)隨機(jī)事件若把此事件記作A，把“所取的產(chǎn)品是次品”記作B，于是可以把問(wèn)題敘述

2、成：在事件發(fā)生A（即發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品是不合格品）的條件下，事件B（所取的產(chǎn)品是次品）發(fā)生的概率是多少?我們把這種概率叫做在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率，記作 它既不同于P(B)，也不同于P(AB). 定義1.7 設(shè)A , B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)0,我們稱（1.7） 為事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率 .相應(yīng)地，P(B)稱為無(wú)條件概率. 同理有：這個(gè)式子的直觀含義是明顯的，在A發(fā)生的條件下B發(fā)生當(dāng)然是A發(fā)生且B發(fā)生，即AB發(fā)生，但是現(xiàn)在A發(fā)生成了前提條件，因此應(yīng)該以A作為整個(gè)樣本空間，而排除A以外的樣本點(diǎn)，因此 是P(AB)與P(A)之比.條件概率的性質(zhì)例1 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20歲

3、以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4.如果一只動(dòng)物現(xiàn)在已經(jīng)20歲，問(wèn)它能活到25歲的概率為多少?解： 設(shè) A= “活到20歲”，B= “活到25歲”，則因?yàn)锽 A，所以 由公式(1.7) 有:例2 倉(cāng)庫(kù)中存放10箱青霉素,其中甲廠產(chǎn)6箱，乙廠產(chǎn)3箱，丙廠產(chǎn)1箱現(xiàn)從中任取一箱，發(fā)現(xiàn)不是丙廠生產(chǎn)的，求是甲廠生產(chǎn)的概率解: 設(shè) A= “取出的青霉素由甲廠生產(chǎn)”， B= “取出的青霉素由乙廠生產(chǎn)”， C= “取出的青霉素由丙廠生產(chǎn)”則 A , B , C 兩兩互不相容，所求概率為:二、 乘法公式由公式(1.7),我們可得到下述定理定理1.1（乘法公式）對(duì)于任意的事件A，B，若 P(A)0，

4、則 (1.8) 乘法公式可以推廣到多個(gè)事件積的情形推論 設(shè) 是n個(gè)事件, n 2 , 且 則 例3 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1 000個(gè)零件，其中450件是甲廠生產(chǎn)的而在這450個(gè)零件中，有380個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1 000個(gè)零件中任取一個(gè)，問(wèn)這個(gè)零件是甲廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？解 設(shè) A= “零件是甲廠生產(chǎn)的”， B= “零件為標(biāo)準(zhǔn)件”， 由題設(shè) 則 例 4 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時(shí)打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,

5、3 ) 表示事件“透鏡第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：3條件概率返回主目錄三、全概率公式定義1.8 設(shè)為試驗(yàn)E的樣本空間, B1 , B2 , , Bn為E的一組事件, 若則稱 B1 , B2 , ,Bn為樣本空間的一個(gè)劃分B1B2Bn.全概率公式 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S ，A為E的事件，例5 某小組有20名射手，其中一、二、三、四級(jí)射手分別為2、6、9、3名又若選一、二、三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機(jī)選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率解：由全概率公式，有第一章 概率論的基本概

6、念3條件概率返回主目錄 第一章 概率論的基本概念3條件概率返回主目錄練習(xí)： 某廠使用5個(gè)產(chǎn)地的同型號(hào)的電子元件.已知此廠使用這5個(gè)產(chǎn)地的電子元件數(shù)量各占20%, 30%, 10%, 15%和25%.且它們的合格率分別是0.87, 0.96, 0.82, 0.88和0.96.現(xiàn)隨機(jī)地抽取一件,問(wèn)：此元件為合格品的概率為多少?解: 設(shè) A = “元件是合格品”， Ai = “元件來(lái)自第i個(gè)產(chǎn)地”, i=1 , 2 , 3 , 4 , 5.顯然 由全概率公式=0.20.87+0.30.96+0.10.82 +0.150.88+0.250.96=0.916事件獨(dú)立性的定義設(shè) A、B 是兩個(gè)隨機(jī)事件，如

7、果 則稱 A 與 B 是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件事件獨(dú)立性的性質(zhì)：1）如果事件A 與 B 相互獨(dú)立，而且第六節(jié) 獨(dú)立性4 獨(dú)立性返回主目錄4 獨(dú)立性2）必然事件S與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立； 不可能事件與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立證明：由同理可證第二個(gè)結(jié)論。3)若隨機(jī)事件 A 與 B 相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立.證：為方便起見(jiàn)，只證相互獨(dú)立即可由于4 獨(dú)立性返回主目錄三個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)A、B、C是三個(gè)隨機(jī)事件，如果則稱A、B、C是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件4 獨(dú)立性返回主目錄注：上面四個(gè)條件缺一不可相互獨(dú)立的概念可以推廣到三個(gè)以上事件的情況 .定義 設(shè) 是n個(gè)事件, 如果對(duì)于任意的有 則稱這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立或兩兩

8、獨(dú)立. 如果對(duì)于任意的k (k n)，任意的 都有 則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立 .注意：在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于事件的獨(dú)立性，我們往往不是根據(jù)定義來(lái)判斷，而是根據(jù)實(shí)際意義來(lái)加以判斷的。具體的說(shuō)，題目一般把獨(dú)立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義中的公式進(jìn)行計(jì)算。第一章 概率論的基本概念4 獨(dú)立性返回主目錄例1 甲, 乙兩戰(zhàn)士打靶, 甲的命中率為0.9, 乙的命中率為0.85. 兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo) ,各打一槍,求目標(biāo)被擊中的概率解 :設(shè) A= “甲擊中目標(biāo)”，B= “乙擊中目標(biāo)”顯然甲是否擊中不影響乙的擊中, 因而A , B是獨(dú)立的于是 例 2 設(shè)有電路如圖，其中 1, 2, 3, 4 為繼電器接點(diǎn)。設(shè)各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，且每一個(gè)繼電器接點(diǎn)閉合的概率均為 p。求 L至 R 為通路的概率。 LR2134 解 ： 設(shè)事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 為“第 i 個(gè)繼電器接點(diǎn)閉合”, L 至 R 為通路這一事件可表示為： 4 獨(dú)立性返回主目錄由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互獨(dú)立性，得到 第一章 概率論的基本概念4 獨(dú)立性返回主目錄練習(xí)： 三門(mén)高射炮向敵機(jī)進(jìn)行射擊, 已知每門(mén)炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率分別為0.6