現(xiàn)代控制理論實驗報告

1、實驗一線性定常系統(tǒng)模型一實驗目的掌握線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。學會在MATLAB中建立狀態(tài)空間模型的方法。掌握傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間表達式之間相互轉(zhuǎn)換的方法。學會用MATLAB實現(xiàn)不同模型之間 的相互轉(zhuǎn)換。熟悉系統(tǒng)的連接。學會用MATLAB確定整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)。掌握狀態(tài)空間表達式的相似變換。掌握將狀態(tài)空間表達式轉(zhuǎn)換為對角標準型、約當標準 型、能控標準型和能觀測標準型的方法。學會用MATLAB進行線性變換。二實驗原理線性定常系統(tǒng)的數(shù)學模型在MATLAB中，線性定常(linear time invariant,簡稱為LTI)系統(tǒng)可以用4種數(shù)學模 型描述，即傳遞函數(shù)(TF)模型、零

2、極點增益(ZPK)模型和狀態(tài)空間(SS)模型以及SIMULINK 結(jié)構(gòu)圖。前三種數(shù)學模型是用數(shù)學表達式表示的，且均有連續(xù)和離散兩種類型，通常把它們 統(tǒng)稱為LTI模型。傳遞函數(shù)模型(TF模型)令單輸入單輸出線性定常連續(xù)和離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為G( ) Y(s)b sm + b sm一 f b s + bU(s)sn + a sn-1 + a s + a和G(z) _ Y(z) _ b num=4;den=1 5 7 3;G=tf(num,den)Transfer function:4sA3 + 5 sA2 + 7 s + 3ZPK模型在命令窗中運行下列命令 z=;p=0 -1 -1 -3;k=

3、4;G=zpk(z,p,k)Zero/pole/gain:4s (s+1)A2 (s+3)(2)在命令窗中運行下列命令 num=4;den=1 5 7 3;Gtf=tf(num,den); Gss=ss(Gtf)a =x1x2x3x1-5-0.875-0.09375x2800 x3040b =u1x1 0.25x2 0 x3 c =x1 x2 x3y1 00 0.5 d =u1y1 0Continuous-time model. Gtf1=tf(Gss)Transfer function:4sA3 + 5 sA2 + 7 s + 3(b) G(s)二(1) TF模型在命令窗中運行下列命令 nu

4、m=1 6 8;den=1 4 3;G=tf(num,den)Transfer function: sA2 + 6 s + 8 sA2 + 4 s + 3ZPK模型在命令窗中運行下列命令 z=-2 -4;p=-1 -3;k=1;G=zpk(z,p,k)Zero/pole/gain:(s+2) (s+4) (s+1) (s+3)(2)在命令窗中運行下列命令 num=1 6 8;den=1 4 3;Gtf=tf(num,den); Gss=ss(Gtf)x1 x2x1-4 -0.75x2 40 b =u1x1 2x2 0 c =x1 x2y1 1 0.625 d =u1y1 1Continuous

5、-time model. Gtf1=tf(Gss)Transfer function:sA2 + 6 s + 8 sA2 + 4 s + 3已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式(a)0y = 1 1x(b)0 一22x +1-6701x = 30-12 - 7uy = 1 1 1x建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。用函數(shù)eig()求出系統(tǒng)特征值。用函數(shù)tf()和zpk() 將這些狀態(tài)空間表達式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，記錄得到的傳遞函數(shù)和它的零極點。比較系統(tǒng)的特 征值和極點是否一致，為什么？用函數(shù)canon()將給定狀態(tài)空間表達式轉(zhuǎn)換為對角標準型。用函數(shù)eig()求出系統(tǒng)特 征值。比較這些特征值和(1)中的特征值是否一致

6、，為什么？再用函數(shù)tf()和zpk()將 對角標準型或約當標準型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。比較這些傳遞函數(shù)和(1)中的傳遞函數(shù)是否一 致，為什么？_ 解：(a)尤=匚尤+ 1-5 -6J(1)在命令窗中運行下列命令 A=0 1;-5 -6;B=0;l;C=l l;D=O;G=ss(A,B,C,D)a =xl x2xl 01x2 -5 -6 b =ulxl 0 x2 1 c =xl x2yl 11 d =ulyl 0Continuous-time model. Geig=eig(Gss)Geig =-3-1 Gtf=tf(Gss)Transfer function:sA2 + 6 s + 8 sA2 +

7、4 s + 3 Gzpk=zpk(Gss)Zero/pole/gain:(s+4) (s+2)(s+3) (s+1)分析：z=-4,-2;p=-3,-1系統(tǒng)的特征值和極點一致。(2)在命令窗中運行下列命令 A=0 1;-5 -6;B=0;1;C=1 1;D=0;G=ss(A,B,C,D);GJ=canon(G,model)a =x1 x2x1 -10 x2 0 -5 b =u1x1 0.3536x2 1.275 c =x1 x2y1 0 0.7845 d =u1y1 0Continuous-time model. Geig=eig(GJcanon)Undefined function or v

8、ariable GJcanon. A=0 1;-5 -6;B=0;1;C=1 1;D=0;G=ss(A,B,C,D); Gcanon=canon(Gss)a =x1 x2x1 -30 x2 0 -1b =u1x1 -5x2 -4.123 c =x1 x2y1 -0.1 -0.3638 d =u1y1 1Continuous-time model. Geig=eig(Gcanon)Geig =-3-1 Gtf=tf(Gcanon)Transfer function:sA2 + 6 s + 8 sA2 + 4 s + 3 Gzpk=zpk(Gcanon)Zero/pole/gain:(s+4) (

9、s+2) (s+3) (s+1)(b)分析：這些特征值和(1)中的特征值一致；這些傳遞函數(shù)和(1)中的傳遞函數(shù)一致。022x +1-6_7_012nx =30-12 - 7uy = 11 1 1x(1)在命令窗中運行下列命令 A=0 1 0;3 0 2;-12 -7 -6;B=2;1;7;C=1 1 1;D=0;G=ss(A,B,C,D)a =x1 x2 x3 TOC o 1-5 h z x1010 x2302x3 -12-7-6 b =u1x1 2x2 1x3 7 c =x1 x2 x3y1 111 d =u1y1 0Continuous-time model. Geig=eig(Gss)G

10、eig =-3-1 Gtf=tf(Gss)Transfer function:sA2 + 6 s + 8 sA2 + 4 s + 3 Gzpk=zpk(Gss)Zero/pole/gain:(s+4) (s+2) (s+3) (s+1)(2) A=0 1 0;3 0 2;-12 -7 -6;B=2;1;7;C=1 1 1;D=0;G=ss(A,B,C,D)a =x1 x2 x3 TOC o 1-5 h z x1010 x2302x3 -12-7-6 b =u1x1 2x2 1x3 7 c =x1 x2 x3y1 111 d =u1y1 0Continuous-time model. Geig=

11、eig(Gcanon)Geig =-3-1 Gtf=tf(Gcanon)Transfer function:sA2 + 6 s + 8 Gzpk=zpk(Gcanon)Zero/pole/gain: (s+4) (s+2) (s+3) (s+1) A=0 1 0;3 0 2;-12 -7 -6;B=2;1;7;C=1 1 1;D=0;G=ss(A,B,C,D)a =x1 x2 x3 TOC o 1-5 h z x1010 x2302x3 -12-7-6 b =u1x1 2x2 1x3 7 c =x1 x2 x3y1 111 d =u1y1 0Continuous-time model. Gei

12、g=eig(Gss)Geig =-3-1 Gtf=tf(Gss)Transfer function:sA2 + 6 s + 8 sA2 + 4 s + 3 Gzpk=zpk(Gss)Zero/pole/gain: (s+4) (s+2) (s+3) (s+1) Geig=eig(Gcanon)Geig =-3-1 Gtf=tf(Gcanon)Transfer function:sA2 + 6 s + 8 sA2 + 4 s + 3 Gzpk=zpk(Gcanon)Zero/pole/gain:(s+4) (s+2) (s+3) (s+1)四.實驗總結(jié)通過實驗，掌握了線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

13、、傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間表達式之間相 互轉(zhuǎn)換的方法、狀態(tài)空間表達式的相似變換、將狀態(tài)空間表達式轉(zhuǎn)換為對角標準型、約當標 準型。學會在MATLAB中建立狀態(tài)空間模型的方法、實現(xiàn)不同模型之間的相互轉(zhuǎn)換、進行線性 變換。實驗二線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解一、實驗目的掌握狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念。學會用MATLAB求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。掌握線性系統(tǒng)狀態(tài)方程解的結(jié)構(gòu)。學會用MATLAB求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響 應，并繪制相應曲線。二實驗原理1、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為(t)=以=L-i(sI - A)-1。(3-2-1)在MATLAB中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可直接用指數(shù)矩陣法和

14、拉氏反變換法計算。2.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解如果線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為x = Ax + Buy = Cx + Du且初始狀態(tài)為x(0)，那么狀態(tài)方程解的拉氏變換式為(3-2-2)(3-2-3)x(s) = (sI 一 A)-i x(0) + (sI 一 A)-i Bu (s)其解為x(t) = eAtx(0) + j eA(t-T) Bu (t )di0其中零輸入響應為eAtx(0)或L-i(si - A)-i x(0)(3-2-4)零狀態(tài)響應為jeAd)Bu(t)dT 或 L-I(si - A)-iBu(s)(3-2-5)0系統(tǒng)的輸出響應為LtC(si - A)-ix(0

15、) + C(si - A)-iBu(s) + Du(t)(3-2-6)三、實驗內(nèi)容1.求下列系統(tǒng)矩陣A對應的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P 10-人 0 0 -0 -1(a)A =(b)A =0 01(c)A =0人04 01 12 - 5 40 0人40解：(a)A = 4指數(shù)矩陣法：在命令窗中運行下列命令 A=0 -i;4 0;syms t;phet=expm(A*t)phet =cos(2*t), -1/2*sin(2*t)2*sin(2*t),cos(2*t)拉氏反變換法：在命令窗中運行下列命令 A=0 -1;4 0;syms s;G=inv(s*eye(size(A)-A)G =s/(sA2+4),

16、 -1/(sA2+4)4/(sA2+4), s/(sA2+4)即(sI - A)-i o再對其進行拉氏逆變換，即在命令窗中輸入語句 phet=ilaplace(G)phet =cos(4A(1/2)*t), -1/4*4A(1/2)*sin(4A(1/2)*t)4A(1/2)*sin(4A(1/2)*t),cos(4A(1/2)*t)010(b)A = 0012 - 5 4指數(shù)矩陣法：在命令窗中運行下列命令 A=0 1 0;0 0 1;2 -5 4;syms t;phet=expm(A*t)phet =-2*t*exp(t)+exp(2*t), -2*exp(2*t)+2*exp(t)+3*t

17、*exp(t),exp(2*t)-exp(t)-t*exp(t)2*exp(2*t)-2*exp(t)-2*t*exp(t),5*exp(t)+3*t*exp(t)-4*exp(2*t),2*exp(2*t)-2*exp(t)-t*exp(t)-2*t*exp(t)+4*exp(2*t)-4*exp(t),-8*exp(2*t)+8*exp(t)+3*t*exp(t),-3*exp(t)+4*exp(2*t)-t*exp(t)拉氏反變換法：在命令窗中運行下列命令 A=0 1 0;0 0 1;2 -5 4;syms s;G=inv(s*eye(size(A)-A)(s-4)/(sA3-4*sA2

18、+5*s-2),s*(s-4)/(sA3-4*sA2+5*s-2),-(5*s-2)/(sA3-4*sA2+5*s-2),(sA2-4*s+5)/(sA3-4*sA2+5*s-2),1/(sA3-4*sA2+5*s-2)2/(sA3-4*sA2+5*s-2),s/(sA3-4*sA2+5*s-2)2*s/(sA3-4*sA2+5*s-2),sA2/(sA3-4*sA2+5*s-2)即(sI - A)-i o再對其進行拉氏逆變換，即在命令窗中輸入語句 phet=ilaplace(G)phet =-2*t*exp(t)+exp(2*t), -2*exp(2*t)+2*exp(t)+3*t*exp(

19、t),exp(2*t)-exp(t)-t*exp(t)2*exp(2*t)-2*exp(t)-2*t*exp(t),-4*exp(2*t)+3*t*exp(t)+5*exp(t),2*exp(2*t)-2*exp(t)-t*exp(t)-2*t*exp(t)+4*exp(2*t)-4*exp(t),-8*exp(2*t)+3*t*exp(t)+8*exp(t),4*exp(2*t)-t*exp(t)-3*exp(t)人0 0(c)A = 0 人 00 0人指數(shù)矩陣法：在命令窗中運行下列命令 A=3 0 0;0 3 0;0 0 3;syms t;phet=expm(A*t)phet =exp(3

20、*t),0,00, exp(3*t),00,0, exp(3*t)拉氏反變換法：在命令窗中運行下列命令 A=3 0 0;0 3 0;0 0 3;syms s;G=inv(s*eye(size(A)-A)G = 1/(s-3),0,00, 1/(s-3),00,即(sI - A)-1。再對其進行拉氏逆變換即在命令窗中輸入語句 phet=ilaplace(G) phet =exp(3*t),0,00, exp(3*t),00,0, exp(3*t)2.已知系統(tǒng)令初始狀態(tài)為x(0) = 0，輸入為零。用MATLAB求狀態(tài)方程的解析解。選擇時間向量t，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線。觀 察并記錄這些曲線。用函

21、數(shù)initial()計算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解，并 用函數(shù)plot()繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線和輸出響應曲線。觀察并記錄這些響應 曲線，然后將這一狀態(tài)響應曲線與a)中狀態(tài)響應曲線進行比較。令初始狀態(tài)為零，輸入為u (t) = 1(t)。用MATLAB求狀態(tài)方程的解析解。選擇時間向量t，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線。觀察并記錄這些曲線。用函數(shù)initial()計算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解 并用函數(shù)plot()繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線和輸出響應曲線。觀察并記錄這些響應曲 線，然后將這一狀態(tài)響應曲線與a).中狀態(tài)響應曲線進行比較。1 令初始狀態(tài)為x(0)=，輸入為

22、u(t) = 1(t)。求系統(tǒng)狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值1解，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線、輸出響應曲線和狀態(tài)軌跡。觀察和分析這些響應曲線和狀態(tài) 軌跡是否是(1)和(2)中的響應曲線和狀態(tài)軌跡的疊加。解：x =6x+(1)令初始狀態(tài)為x(0)=輸入為零(a)編制程序%ex22求輸入為零時狀態(tài)方程的解。該程序如下: A=0 1;-6 -5;syms s;G=inv(s*eye(size(A)-A);phet=ilaplace(G);X0=1 0;Xt1=phet*X0Xt1 = -2*exp(-3*t)+3*exp(-2*t)-6*exp(-2*t)+6*exp(-3*t) B=0 1;Xt2=ilap

23、lace(G*B*1)Xt2 =exp(-2*t)-exp(-3*t)3*exp(-3*t)-2*exp(-2*t)其中xt1為零輸入響應，xt2為零狀態(tài)響應。上述得到的是狀態(tài)方程的解析解。狀態(tài)響應曲線： TOC o 1-5 h z jIIIIII口.9-0 7 -、-Q.6 -1C.6 -04 -Q.d -0.2 -、-0.1 -jIIIIIIIHD1234fiG78910(b)在命令窗中運行下列命令，建立狀態(tài)空間模型，計算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下的狀 態(tài)響應和輸出響應，并繪制相應的響應曲線。 A=0 1;-6 -5;B=0;1;C=1 0;D=0;G=ss(A,B,C,D); t=0:0.5:

24、10;x0=1;0; yo,t,xo=initial(Gx0,t);plot(t,xo,:,t,yo,-)返回圖1D.8 TOC o 1-5 h z D.6 - -D.4-.2 L-卜 -0.心 .，-, . 11i/-0.4 - ；/-JI-0 6 -.；-m - v;II1 IIIIIII012345678910圖1狀態(tài)響應在命令窗中繼續(xù)運行下列命令，計算系統(tǒng)在輸入作用下的狀態(tài)響應和輸出響應，并繪制 相應的響應曲線。 figure(pos,50 50 200 150,color,w);u=ones(size(t);yu,t,xu=lsim(G,u,t);plot(t,xu,:,t,yu,-

25、)返回圖2。圖2輸出響應再繼續(xù)運行下列命令求系統(tǒng)總的狀態(tài)響應和輸出響應，并繪制相應的響應曲線。y=yo+yu; x=xo+xu; plot(t,x,:,t,y,-)返回圖3。(2)令初始狀態(tài)為零，輸入為u(t) = 1(t)。編制程序%ex22求輸入為u(t) = 1(t)時狀態(tài)方程的解。該程序如下： A=0 1;-6 -5;syms s;G=inv(s*eye(size(A)-A);phet=ilaplace(G);X0=0;Xt1=phet*X0Xt1 =0, 00, 0 B=0 1;Xt2=ilaplace(G*B*(1/s)Xt2 =1/6-1/2*exp(-2*t)+1/3*exp(

26、-3*t)exp(-2*t)-exp(-3*t)在命令窗中運行下列命令，建立狀態(tài)空間模型，計算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下的狀態(tài)響應 和輸出響應，并繪制相應的響應曲線。 A=0 1;-6 -5;B=0;1;C=1 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);t=0:0.5:10;x0=1;0;yo,t,xo=initial(G,x0,t);plot(t,xo,:,t,yo,-)返回圖4。圖4狀態(tài)響應在命令窗中繼續(xù)運行下列命令，計算系統(tǒng)在輸入作用下的狀態(tài)響應和輸出響應，并繪制 相應的響應曲線。 figure(pos,50 50 200 150,color,w)；u=ones(size(t);yu,t,xu=

27、lsim(G,u,t);plot(t,xu,:,t,yu,-)返回圖5。再繼續(xù)運行下列命令求系統(tǒng)總的狀態(tài)響應和輸出響應，并繪制相應的響應曲線。 y=yo+yu; x=xo+xu; plot(t,x,:,t,y,-) 返回圖6。o.w - / TOC o 1-5 h z 0.4 - ;-煩投- :31111012346 S 705 1Q圖6(3)在命令窗中運行下列命令 A=0 1;-6 -5;B=0;1;C=1 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);t=0:0.5:20;u=exp(-t);y,t,x=lsim(G,u,t);plot(t,x,:k,t,y,-k)可得狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解

28、以及相應的曲線，如圖7。圖7也可編制如下程序%ex24，先求狀態(tài)方程的解析解再求數(shù)值解，然后繪制曲線。 figure(pos,50 50 200 150,color,w);A=0 1;-6 -5;B=0;1;C=1 0;syms s;G=inv(s*eye(size(A)-A);phet=ilaplace(G);u=1/s;x=ilaplace(G*B*u);y=C*x;for i=1:61tt=0.1*(i-1);xt(:,i)=subs(x(:),t,tt);yt(i)=subs(y,t,tt);end plot(0:60,xt,:k,0:60,yt,-k) gtext(y,FontSiz

29、e,8) gtext(x,FontSize,8)在命令窗中運行該程序得到狀態(tài)和輸出響應解析解和數(shù)值解，以及相應的曲線如圖8。四.實驗總結(jié)通過實驗，掌握了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念、線性系統(tǒng)狀態(tài)方程解的結(jié)構(gòu)。學會用MATLAB求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響應，并繪制 相應曲線。實驗三 線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性一、實驗目的掌握能控性和能觀測性的概念。學會用MATLAB判斷能控性和能觀測性。掌握系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。學會用MATLAB進行結(jié)構(gòu)分解。掌握最小實現(xiàn)的概念。學會用MATLAB求最小實現(xiàn)。二實驗原理能控性1)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性的判斷n階線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)E(A,B)狀態(tài)

30、完全能控的充分必要條件是：能控性矩陣U = B AB A2B An-iB的秩為 n。能控性矩陣可用MATLAB提供的函數(shù)ctrb()自動產(chǎn)生，其調(diào)用格式為：U = ctrb (A, B)其中A,B分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣，U為能控性矩陣。能控性矩陣的秩即rank(U)稱為能控性指數(shù)，表示系統(tǒng)能控狀態(tài)變量的數(shù)目，可由 MATLAB提供的函數(shù)rank()求出。2)線性定常系統(tǒng)輸出能控性的判斷線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)以A,B,C,D)輸出能控的充分必要條件是：mx (n + 1)r矩陣 Uy =Cb CAB CA2BCAn-iB D】的秩為m，其中r為系統(tǒng)的輸入個數(shù)，m為輸 出個數(shù)。矩陣U y可以通過

31、能控性矩陣Uc得到，即Uy =C *U D】能觀測性n階線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)E(A, C)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是：能觀測性矩CCA陣V = CA2的秩為n。 :CAn-1能觀測性矩陣可以用MATLAB提供的函數(shù)obsv()自動產(chǎn)生，其調(diào)用格式為:V = bsv (A, C)其中A, C分別為系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣，V為能觀測性矩陣。能觀測性矩陣的秩即rank(Vo)稱為能觀測性指數(shù)，表示系統(tǒng)能觀測狀態(tài)變量的數(shù)目?？捎蒑ATLAB提供的函數(shù)rank()求出。最小實現(xiàn)MATLAB提供的函數(shù)minreal()可直接得出系統(tǒng)的最小實現(xiàn)，其調(diào)用格式為G = min real (G)其中G為系統(tǒng)的LTI對象，Gm為系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn)。三實驗內(nèi)容1.已知系統(tǒng)(1)判斷系統(tǒng)狀態(tài)的能控性和能觀測性，以及系統(tǒng)輸出的能控性。說明狀態(tài)能 控性和輸出能控性之間有無聯(lián)系。(3)將給定的狀態(tài)空間表達式變換為對角標準型，判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測性，與(1) 的結(jié)果是否一致？為何？解：(1)在命令窗中運行下列命令 A=-3 -4;-1 0; B=4;1; Uc=ctrb(A,B); rank(Uc)ans =1因為rank(Uc)=1公n=2，所以系統(tǒng)的狀態(tài)不完全能控. A=-3 -4;-1 0; C=-1