小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)(大綱視圖版)

1、小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理 概述計(jì)算四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧一般而言：加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)增減括號(hào)的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如：估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法比較大小通分通分母通分子跟“中介”比利用倒數(shù)性質(zhì)若，則cba.。形如：，則。定義新運(yùn)算特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式：1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n數(shù)論奇偶性問(wèn)題奇奇=偶 奇奇=奇奇偶=奇 奇偶=偶偶

2、偶=偶 偶偶=偶位值原則形如：=100a+10b+c數(shù)的整除特征：整除數(shù)特 征2末尾是0、2、4、6、83各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)整除性質(zhì)如果c|a、c|b，那么c|(ab)。如果bc|a，那么b|a，c|a。如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。如果c|b,b|a,那么c|a.a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。帶余除法一般地，如果a是

3、整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb,使得a=bq+r當(dāng)r=0時(shí)，我們稱(chēng)a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱(chēng)a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱(chēng)為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為ab=qr, 0rb a=bq+r6. 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2.pk約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2.pk那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）同余定理 同余定義：若兩個(gè)整

4、數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為ab(mod m) 若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿(mǎn)足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國(guó)剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方

5、法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)幾何圖形平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)180等積變形（位移、割補(bǔ)）三角形內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形公共部分的傳遞性極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變?cè)碇?-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。

6、隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補(bǔ)后去正反結(jié)合立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V升水=V物測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開(kāi)圖 最短線路與展開(kāi)圖形狀問(wèn)題染色問(wèn)題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。典型應(yīng)用題植樹(shù)問(wèn)題開(kāi)放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系方陣問(wèn)題外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）4=外周長(zhǎng)數(shù)外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)列車(chē)過(guò)橋問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度差追及時(shí)間列車(chē)與人或騎車(chē)人或另一列車(chē)上的司機(jī)

7、的相遇及追及問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)=速度差追及時(shí)間年齡問(wèn)題差不變?cè)黼u兔同籠假設(shè)法的解題思想牛吃草問(wèn)題原有草量=（牛吃速度-草長(zhǎng)速度）時(shí)間平均數(shù)問(wèn)題盈虧問(wèn)題分析差量關(guān)系和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題逆推問(wèn)題 還原法，從結(jié)果入手代換問(wèn)題 列表消元法 等價(jià)條件代換行程問(wèn)題相遇問(wèn)題路程和=速度和相遇時(shí)間追及問(wèn)題路程差=速度差追及時(shí)間流水行船順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程共行全程數(shù)環(huán)形跑道行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的

8、應(yīng)用路程一定，速度和時(shí)間成反比。速度一定，路程和時(shí)間成正比。時(shí)間一定，路程和速度成正比。鐘面上的追及問(wèn)題。 時(shí)針和分針成直線；時(shí)針和分針成直角。結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類(lèi)型。行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。計(jì)數(shù)問(wèn)題加法原理：分類(lèi)枚舉乘法原理：排列組合容斥原理：總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：總數(shù)量=A+B-AB抽屜原理：至多至少問(wèn)題握手問(wèn)題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛角、線段、三角形，長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形正方形分?jǐn)?shù)問(wèn)題量率對(duì)應(yīng)以不變量為“1”利潤(rùn)問(wèn)題濃度問(wèn)題倒三角原理例：工程問(wèn)題 合作問(wèn)題水池進(jìn)出水問(wèn)題按比例分配方程解題等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法例

9、： 甲 + 乙 =100 甲乙=3 x 100-x 3x x解方程技巧 恒等變形二元一次方程組的求解代入法、消元法不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度不等方程的分析求解找規(guī)律周期性問(wèn)題年月日、星期幾問(wèn)題余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d求項(xiàng)數(shù)： n=求和： S=等比數(shù)列求和： S=裴波那契數(shù)列策略問(wèn)題搶報(bào)30放硬幣最值問(wèn)題最短線路a.一個(gè)字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問(wèn)題算式謎填充型替代型填運(yùn)算符號(hào)橫式變豎式結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)數(shù)陣問(wèn)題相等和值問(wèn)題數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)幻方奇階幻方問(wèn)題：楊輝法 羅伯法偶階幻方

10、問(wèn)題：雙偶階：對(duì)稱(chēng)交換法單偶階：同心方陣法二進(jìn)制二進(jìn)制計(jì)數(shù)法二進(jìn)制位值原則二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化二進(jìn)制的運(yùn)算其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）一筆畫(huà)一筆畫(huà)定理：一筆畫(huà)圖形中只能有0個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)；兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出；哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈多筆畫(huà)定理筆畫(huà)數(shù)=邏輯推理等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換列表法對(duì)陣圖競(jìng)賽問(wèn)題，涉及體育比賽常識(shí)火柴棒問(wèn)題移動(dòng)火柴棒改變圖形個(gè)數(shù)移動(dòng)火柴棒改變算式，使之成立智力問(wèn)題突破思維定勢(shì)某些特殊情境問(wèn)題解題方法（結(jié)合雜題的處理）代換法消元法倒推法假設(shè)法反證法極值法設(shè)數(shù)法整體法畫(huà)圖法列表法排除法染色法構(gòu)造法配對(duì)法列方程方程不定方程不等方程另外補(bǔ)充說(shuō)明：在華校課本六年級(jí)中有“棋盤(pán)

11、上的數(shù)學(xué)”三講，其實(shí)是找規(guī)律類(lèi)型，知識(shí)點(diǎn)涉及棋盤(pán)格，幾何，數(shù)論等，屬于綜合性問(wèn)題。學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理 學(xué)而思教材編寫(xiě)組 侍春雷前言小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過(guò)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國(guó)少年報(bào)社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡(jiǎn)明扼要，努力刻畫(huà)小學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹(shù)干。 概述計(jì)算四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧一般而言：加

12、減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)增減括號(hào)的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如：估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法比較大小通分通分母通分子跟“中介”比利用倒數(shù)性質(zhì)若，則cba.。形如：，則。定義新運(yùn)算特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式：1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n數(shù)論奇偶性問(wèn)題奇奇=偶 奇奇=奇奇偶=奇 奇偶=偶偶偶=偶 偶偶=偶位值原則形如：=100a+10b+c數(shù)的整除特征：整除數(shù)特 征2末尾是0

13、、2、4、6、83各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)整除性質(zhì)如果c|a、c|b，那么c|(ab)。如果bc|a，那么b|a，c|a。如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。如果c|b,b|a,那么c|a.a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb,使得a=bq+r當(dāng)r=0時(shí)

14、，我們稱(chēng)a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱(chēng)a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱(chēng)為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為ab=qr, 0rb a=bq+r6. 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2.pk約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2.pk那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為ab(mod m

15、) 若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿(mǎn)足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國(guó)剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)幾何圖形平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N

16、-2)180等積變形（位移、割補(bǔ)）三角形內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形公共部分的傳遞性極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變?cè)碇?-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補(bǔ)后去正反結(jié)合

17、立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V升水=V物測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開(kāi)圖 最短線路與展開(kāi)圖形狀問(wèn)題染色問(wèn)題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。典型應(yīng)用題植樹(shù)問(wèn)題開(kāi)放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系方陣問(wèn)題外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）4=外周長(zhǎng)數(shù)外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)列車(chē)過(guò)橋問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度差追及時(shí)間列車(chē)與人或騎車(chē)人或另一列車(chē)上的司機(jī)的相遇及追及問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)=速度差追及時(shí)間年齡問(wèn)題差不變?cè)黼u兔同籠假設(shè)法

18、的解題思想牛吃草問(wèn)題原有草量=（牛吃速度-草長(zhǎng)速度）時(shí)間平均數(shù)問(wèn)題盈虧問(wèn)題分析差量關(guān)系和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題逆推問(wèn)題 還原法，從結(jié)果入手代換問(wèn)題 列表消元法 等價(jià)條件代換行程問(wèn)題相遇問(wèn)題路程和=速度和相遇時(shí)間追及問(wèn)題路程差=速度差追及時(shí)間流水行船順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程共行全程數(shù)環(huán)形跑道行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速度和時(shí)間成反比。速度一定，路程和時(shí)間成正比。時(shí)間一定，路程和速度成正比。

19、鐘面上的追及問(wèn)題。 時(shí)針和分針成直線；時(shí)針和分針成直角。結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類(lèi)型。行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。計(jì)數(shù)問(wèn)題加法原理：分類(lèi)枚舉乘法原理：排列組合容斥原理：總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：總數(shù)量=A+B-AB抽屜原理：至多至少問(wèn)題握手問(wèn)題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛角、線段、三角形，長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形正方形分?jǐn)?shù)問(wèn)題量率對(duì)應(yīng)以不變量為“1”利潤(rùn)問(wèn)題濃度問(wèn)題倒三角原理例：工程問(wèn)題 合作問(wèn)題水池進(jìn)出水問(wèn)題按比例分配方程解題等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法例： 甲 + 乙 =100 甲乙=3 x 100-x 3x x解方程技巧 恒等變形二元一次

20、方程組的求解代入法、消元法不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度不等方程的分析求解找規(guī)律周期性問(wèn)題年月日、星期幾問(wèn)題余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d求項(xiàng)數(shù)： n=求和： S=等比數(shù)列求和： S=裴波那契數(shù)列策略問(wèn)題搶報(bào)30放硬幣最值問(wèn)題最短線路a.一個(gè)字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問(wèn)題算式謎填充型替代型填運(yùn)算符號(hào)橫式變豎式結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)數(shù)陣問(wèn)題相等和值問(wèn)題數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)幻方奇階幻方問(wèn)題：楊輝法 羅伯法偶階幻方問(wèn)題：雙偶階：對(duì)稱(chēng)交換法單偶階：同心方陣法二進(jìn)制二進(jìn)制計(jì)數(shù)法二進(jìn)制位值原則二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)

21、制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化二進(jìn)制的運(yùn)算其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）一筆畫(huà)一筆畫(huà)定理：一筆畫(huà)圖形中只能有0個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)；兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出；哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈多筆畫(huà)定理筆畫(huà)數(shù)=邏輯推理等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換列表法對(duì)陣圖競(jìng)賽問(wèn)題，涉及體育比賽常識(shí)火柴棒問(wèn)題移動(dòng)火柴棒改變圖形個(gè)數(shù)移動(dòng)火柴棒改變算式，使之成立智力問(wèn)題突破思維定勢(shì)某些特殊情境問(wèn)題解題方法（結(jié)合雜題的處理）代換法消元法倒推法假設(shè)法反證法極值法設(shè)數(shù)法整體法畫(huà)圖法列表法排除法染色法構(gòu)造法配對(duì)法列方程方程不定方程不等方程另外補(bǔ)充說(shuō)明：在華校課本六年級(jí)中有“棋盤(pán)上的數(shù)學(xué)”三講，其實(shí)是找規(guī)律類(lèi)型，知識(shí)點(diǎn)涉及棋盤(pán)格，幾何，數(shù)論等，屬于綜合性問(wèn)題。學(xué)而思

22、小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理 學(xué)而思教材編寫(xiě)組 侍春雷前言小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過(guò)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國(guó)少年報(bào)社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡(jiǎn)明扼要，努力刻畫(huà)小學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹(shù)干。 概述計(jì)算四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧一般而言：加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互

23、化繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)增減括號(hào)的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如：估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法比較大小通分通分母通分子跟“中介”比利用倒數(shù)性質(zhì)若，則cba.。形如：，則。定義新運(yùn)算特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式：1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n數(shù)論奇偶性問(wèn)題奇奇=偶 奇奇=奇奇偶=奇 奇偶=偶偶偶=偶 偶偶=偶位值原則形如：=100a+10b+c數(shù)的整除特征：整除數(shù)特 征2末尾是0、2、4、6、83各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)1

24、1奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)整除性質(zhì)如果c|a、c|b，那么c|(ab)。如果bc|a，那么b|a，c|a。如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。如果c|b,b|a,那么c|a.a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb,使得a=bq+r當(dāng)r=0時(shí)，我們稱(chēng)a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱(chēng)a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的

25、不完全商（亦簡(jiǎn)稱(chēng)為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為ab=qr, 0rb a=bq+r6. 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2.pk約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2.pk那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為ab(mod m) 若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以

26、m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿(mǎn)足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國(guó)剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)幾何圖形平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)180等積變形（位移、割補(bǔ)）三角形內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形公共部

27、分的傳遞性極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變?cè)碇?-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補(bǔ)后去正反結(jié)合立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形水中

28、浸放物體：V升水=V物測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開(kāi)圖 最短線路與展開(kāi)圖形狀問(wèn)題染色問(wèn)題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。典型應(yīng)用題植樹(shù)問(wèn)題開(kāi)放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系方陣問(wèn)題外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）4=外周長(zhǎng)數(shù)外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)列車(chē)過(guò)橋問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度差追及時(shí)間列車(chē)與人或騎車(chē)人或另一列車(chē)上的司機(jī)的相遇及追及問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)=速度差追及時(shí)間年齡問(wèn)題差不變?cè)黼u兔同籠假設(shè)法的解題思想牛吃草問(wèn)題原有草量=（牛吃速度-草長(zhǎng)速度）時(shí)間平均數(shù)問(wèn)題盈虧問(wèn)題分析差量關(guān)系和

29、差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題逆推問(wèn)題 還原法，從結(jié)果入手代換問(wèn)題 列表消元法 等價(jià)條件代換行程問(wèn)題相遇問(wèn)題路程和=速度和相遇時(shí)間追及問(wèn)題路程差=速度差追及時(shí)間流水行船順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程共行全程數(shù)環(huán)形跑道行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速度和時(shí)間成反比。速度一定，路程和時(shí)間成正比。時(shí)間一定，路程和速度成正比。鐘面上的追及問(wèn)題。 時(shí)針和分針成直線；時(shí)針和分針成直角。結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類(lèi)

30、型。行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。計(jì)數(shù)問(wèn)題加法原理：分類(lèi)枚舉乘法原理：排列組合容斥原理：總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：總數(shù)量=A+B-AB抽屜原理：至多至少問(wèn)題握手問(wèn)題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛角、線段、三角形，長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形正方形分?jǐn)?shù)問(wèn)題量率對(duì)應(yīng)以不變量為“1”利潤(rùn)問(wèn)題濃度問(wèn)題倒三角原理例：工程問(wèn)題 合作問(wèn)題水池進(jìn)出水問(wèn)題按比例分配方程解題等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法例： 甲 + 乙 =100 甲乙=3 x 100-x 3x x解方程技巧 恒等變形二元一次方程組的求解代入法、消元法不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度不等方程的分析求解找規(guī)律

31、周期性問(wèn)題年月日、星期幾問(wèn)題余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d求項(xiàng)數(shù)： n=求和： S=等比數(shù)列求和： S=裴波那契數(shù)列策略問(wèn)題搶報(bào)30放硬幣最值問(wèn)題最短線路a.一個(gè)字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問(wèn)題算式謎填充型替代型填運(yùn)算符號(hào)橫式變豎式結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)數(shù)陣問(wèn)題相等和值問(wèn)題數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)幻方奇階幻方問(wèn)題：楊輝法 羅伯法偶階幻方問(wèn)題：雙偶階：對(duì)稱(chēng)交換法單偶階：同心方陣法二進(jìn)制二進(jìn)制計(jì)數(shù)法二進(jìn)制位值原則二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化二進(jìn)制的運(yùn)算其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）一筆畫(huà)一筆畫(huà)定理：一筆畫(huà)圖形中只能有0個(gè)或

32、兩個(gè)奇點(diǎn)；兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出；哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈多筆畫(huà)定理筆畫(huà)數(shù)=邏輯推理等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換列表法對(duì)陣圖競(jìng)賽問(wèn)題，涉及體育比賽常識(shí)火柴棒問(wèn)題移動(dòng)火柴棒改變圖形個(gè)數(shù)移動(dòng)火柴棒改變算式，使之成立智力問(wèn)題突破思維定勢(shì)某些特殊情境問(wèn)題解題方法（結(jié)合雜題的處理）代換法消元法倒推法假設(shè)法反證法極值法設(shè)數(shù)法整體法畫(huà)圖法列表法排除法染色法構(gòu)造法配對(duì)法列方程方程不定方程不等方程另外補(bǔ)充說(shuō)明：在華校課本六年級(jí)中有“棋盤(pán)上的數(shù)學(xué)”三講，其實(shí)是找規(guī)律類(lèi)型，知識(shí)點(diǎn)涉及棋盤(pán)格，幾何，數(shù)論等，屬于綜合性問(wèn)題。學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理 學(xué)而思教材編寫(xiě)組 侍春雷前言小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)

33、大綱建設(shè)尤其必要，不過(guò)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國(guó)少年報(bào)社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡(jiǎn)明扼要，努力刻畫(huà)小學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹(shù)干。 概述計(jì)算四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧一般而言：加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序運(yùn)算定

34、律的綜合運(yùn)用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)增減括號(hào)的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如：估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法比較大小通分通分母通分子跟“中介”比利用倒數(shù)性質(zhì)若，則cba.。形如：，則。定義新運(yùn)算特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式：1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n數(shù)論奇偶性問(wèn)題奇奇=偶 奇奇=奇奇偶=奇 奇偶=偶偶偶=偶 偶偶=偶位值原則形如：=100a+10b+c數(shù)的整除特征：整除數(shù)特 征2末尾是0、2、4、6、83各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）

35、的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)整除性質(zhì)如果c|a、c|b，那么c|(ab)。如果bc|a，那么b|a，c|a。如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。如果c|b,b|a,那么c|a.a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb,使得a=bq+r當(dāng)r=0時(shí)，我們稱(chēng)a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱(chēng)a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱(chēng)為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為ab=qr, 0rb a=bq+r6.

36、唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2.pk約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2.pk那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為ab(mod m) 若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)

37、差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿(mǎn)足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國(guó)剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)幾何圖形平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)180等積變形（位移、割補(bǔ)）三角形內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形公共部分的傳遞性極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=

38、S4S3 或者S1S3=S2S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變?cè)碇?-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補(bǔ)后去正反結(jié)合立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V升水=V物測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開(kāi)圖 最短線路與展開(kāi)圖形狀

39、問(wèn)題染色問(wèn)題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。典型應(yīng)用題植樹(shù)問(wèn)題開(kāi)放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系方陣問(wèn)題外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）4=外周長(zhǎng)數(shù)外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)列車(chē)過(guò)橋問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度差追及時(shí)間列車(chē)與人或騎車(chē)人或另一列車(chē)上的司機(jī)的相遇及追及問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)=速度差追及時(shí)間年齡問(wèn)題差不變?cè)黼u兔同籠假設(shè)法的解題思想牛吃草問(wèn)題原有草量=（牛吃速度-草長(zhǎng)速度）時(shí)間平均數(shù)問(wèn)題盈虧問(wèn)題分析差量關(guān)系和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題逆推問(wèn)題 還原法，從結(jié)果入手代換問(wèn)題 列表消元法 等價(jià)條件代換行程

40、問(wèn)題相遇問(wèn)題路程和=速度和相遇時(shí)間追及問(wèn)題路程差=速度差追及時(shí)間流水行船順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程共行全程數(shù)環(huán)形跑道行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速度和時(shí)間成反比。速度一定，路程和時(shí)間成正比。時(shí)間一定，路程和速度成正比。鐘面上的追及問(wèn)題。 時(shí)針和分針成直線；時(shí)針和分針成直角。結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類(lèi)型。行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。計(jì)數(shù)問(wèn)題加法原理：分類(lèi)枚舉乘法

41、原理：排列組合容斥原理：總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：總數(shù)量=A+B-AB抽屜原理：至多至少問(wèn)題握手問(wèn)題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛角、線段、三角形，長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形正方形分?jǐn)?shù)問(wèn)題量率對(duì)應(yīng)以不變量為“1”利潤(rùn)問(wèn)題濃度問(wèn)題倒三角原理例：工程問(wèn)題 合作問(wèn)題水池進(jìn)出水問(wèn)題按比例分配方程解題等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法例： 甲 + 乙 =100 甲乙=3 x 100-x 3x x解方程技巧 恒等變形二元一次方程組的求解代入法、消元法不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度不等方程的分析求解找規(guī)律周期性問(wèn)題年月日、星期幾問(wèn)題余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d

42、求項(xiàng)數(shù)： n=求和： S=等比數(shù)列求和： S=裴波那契數(shù)列策略問(wèn)題搶報(bào)30放硬幣最值問(wèn)題最短線路a.一個(gè)字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問(wèn)題算式謎填充型替代型填運(yùn)算符號(hào)橫式變豎式結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)數(shù)陣問(wèn)題相等和值問(wèn)題數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)幻方奇階幻方問(wèn)題：楊輝法 羅伯法偶階幻方問(wèn)題：雙偶階：對(duì)稱(chēng)交換法單偶階：同心方陣法二進(jìn)制二進(jìn)制計(jì)數(shù)法二進(jìn)制位值原則二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化二進(jìn)制的運(yùn)算其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）一筆畫(huà)一筆畫(huà)定理：一筆畫(huà)圖形中只能有0個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)；兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出；哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈多筆畫(huà)定理筆畫(huà)

43、數(shù)=邏輯推理等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換列表法對(duì)陣圖競(jìng)賽問(wèn)題，涉及體育比賽常識(shí)火柴棒問(wèn)題移動(dòng)火柴棒改變圖形個(gè)數(shù)移動(dòng)火柴棒改變算式，使之成立智力問(wèn)題突破思維定勢(shì)某些特殊情境問(wèn)題解題方法（結(jié)合雜題的處理）代換法消元法倒推法假設(shè)法反證法極值法設(shè)數(shù)法整體法畫(huà)圖法列表法排除法染色法構(gòu)造法配對(duì)法列方程方程不定方程不等方程另外補(bǔ)充說(shuō)明：在華校課本六年級(jí)中有“棋盤(pán)上的數(shù)學(xué)”三講，其實(shí)是找規(guī)律類(lèi)型，知識(shí)點(diǎn)涉及棋盤(pán)格，幾何，數(shù)論等，屬于綜合性問(wèn)題。學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理 學(xué)而思教材編寫(xiě)組 侍春雷前言小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過(guò)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象，為此，本人參考

44、了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國(guó)少年報(bào)社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡(jiǎn)明扼要，努力刻畫(huà)小學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹(shù)干。 概述計(jì)算四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧一般而言：加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)增減括號(hào)的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如：估算

45、求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法比較大小通分通分母通分子跟“中介”比利用倒數(shù)性質(zhì)若，則cba.。形如：，則。定義新運(yùn)算特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式：1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n數(shù)論奇偶性問(wèn)題奇奇=偶 奇奇=奇奇偶=奇 奇偶=偶偶偶=偶 偶偶=偶位值原則形如：=100a+10b+c數(shù)的整除特征：整除數(shù)特 征2末尾是0、2、4、6、83各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（

46、或11或13）的倍數(shù)整除性質(zhì)如果c|a、c|b，那么c|(ab)。如果bc|a，那么b|a，c|a。如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。如果c|b,b|a,那么c|a.a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb,使得a=bq+r當(dāng)r=0時(shí)，我們稱(chēng)a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱(chēng)a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱(chēng)為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為ab=qr, 0rb a=bq+r6. 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2.pk約數(shù)

47、個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2.pk那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為ab(mod m) 若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B

48、=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿(mǎn)足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國(guó)剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)幾何圖形平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)180等積變形（位移、割補(bǔ)）三角形內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形公共部分的傳遞性極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2S1

49、S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變?cè)碇?-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補(bǔ)后去正反結(jié)合立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V升水=V物測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開(kāi)圖 最短線路與展開(kāi)圖形狀問(wèn)題染色問(wèn)題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。典型應(yīng)用題植樹(shù)問(wèn)題開(kāi)放型與

50、封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系方陣問(wèn)題外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）4=外周長(zhǎng)數(shù)外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)列車(chē)過(guò)橋問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度差追及時(shí)間列車(chē)與人或騎車(chē)人或另一列車(chē)上的司機(jī)的相遇及追及問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)=速度和相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)=速度差追及時(shí)間年齡問(wèn)題差不變?cè)黼u兔同籠假設(shè)法的解題思想牛吃草問(wèn)題原有草量=（牛吃速度-草長(zhǎng)速度）時(shí)間平均數(shù)問(wèn)題盈虧問(wèn)題分析差量關(guān)系和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題逆推問(wèn)題 還原法，從結(jié)果入手代換問(wèn)題 列表消元法 等價(jià)條件代換行程問(wèn)題相遇問(wèn)題路程和=速度和相遇時(shí)間追及問(wèn)題路程差=速度差追及時(shí)間流水行船順?biāo)俣?船速+

51、水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程共行全程數(shù)環(huán)形跑道行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速度和時(shí)間成反比。速度一定，路程和時(shí)間成正比。時(shí)間一定，路程和速度成正比。鐘面上的追及問(wèn)題。 時(shí)針和分針成直線；時(shí)針和分針成直角。結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類(lèi)型。行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。計(jì)數(shù)問(wèn)題加法原理：分類(lèi)枚舉乘法原理：排列組合容斥原理：總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：總數(shù)量=A

52、+B-AB抽屜原理：至多至少問(wèn)題握手問(wèn)題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛角、線段、三角形，長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形正方形分?jǐn)?shù)問(wèn)題量率對(duì)應(yīng)以不變量為“1”利潤(rùn)問(wèn)題濃度問(wèn)題倒三角原理例：工程問(wèn)題 合作問(wèn)題水池進(jìn)出水問(wèn)題按比例分配方程解題等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法例： 甲 + 乙 =100 甲乙=3 x 100-x 3x x解方程技巧 恒等變形二元一次方程組的求解代入法、消元法不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度不等方程的分析求解找規(guī)律周期性問(wèn)題年月日、星期幾問(wèn)題余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d求項(xiàng)數(shù)： n=求和： S=等比數(shù)列求和： S=裴波那契數(shù)列策略問(wèn)題搶報(bào)30放硬幣最值問(wèn)題

53、最短線路a.一個(gè)字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問(wèn)題算式謎填充型替代型填運(yùn)算符號(hào)橫式變豎式結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)數(shù)陣問(wèn)題相等和值問(wèn)題數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)幻方奇階幻方問(wèn)題：楊輝法 羅伯法偶階幻方問(wèn)題：雙偶階：對(duì)稱(chēng)交換法單偶階：同心方陣法二進(jìn)制二進(jìn)制計(jì)數(shù)法二進(jìn)制位值原則二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化二進(jìn)制的運(yùn)算其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）一筆畫(huà)一筆畫(huà)定理：一筆畫(huà)圖形中只能有0個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)；兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出；哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈多筆畫(huà)定理筆畫(huà)數(shù)=邏輯推理等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換列表法對(duì)陣圖競(jìng)賽問(wèn)題，涉及體育比賽常識(shí)火柴棒問(wèn)題移動(dòng)火柴棒改變

54、圖形個(gè)數(shù)移動(dòng)火柴棒改變算式，使之成立智力問(wèn)題突破思維定勢(shì)某些特殊情境問(wèn)題解題方法（結(jié)合雜題的處理）代換法消元法倒推法假設(shè)法反證法極值法設(shè)數(shù)法整體法畫(huà)圖法列表法排除法染色法構(gòu)造法配對(duì)法列方程方程不定方程不等方程另外補(bǔ)充說(shuō)明：在華校課本六年級(jí)中有“棋盤(pán)上的數(shù)學(xué)”三講，其實(shí)是找規(guī)律類(lèi)型，知識(shí)點(diǎn)涉及棋盤(pán)格，幾何，數(shù)論等，屬于綜合性問(wèn)題。學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理 學(xué)而思教材編寫(xiě)組 侍春雷前言小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過(guò)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國(guó)少年報(bào)社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒

55、假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡(jiǎn)明扼要，努力刻畫(huà)小學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹(shù)干。 概述計(jì)算四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧一般而言：加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)增減括號(hào)的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如：估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法比較大小通分通分母通分子跟“中介”比利用倒數(shù)性質(zhì)若，則cba.。

56、形如：，則。定義新運(yùn)算特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式：1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n數(shù)論奇偶性問(wèn)題奇奇=偶 奇奇=奇奇偶=奇 奇偶=偶偶偶=偶 偶偶=偶位值原則形如：=100a+10b+c數(shù)的整除特征：整除數(shù)特 征2末尾是0、2、4、6、83各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)整除性質(zhì)如果c|a、c|b，那么c|(ab)。如果bc|a，那么b|

57、a，c|a。如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。如果c|b,b|a,那么c|a.a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb,使得a=bq+r當(dāng)r=0時(shí)，我們稱(chēng)a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱(chēng)a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱(chēng)為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為ab=qr, 0rb a=bq+r6. 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2.pk約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2.pk那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(

58、n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為ab(mod m) 若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)

59、的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿(mǎn)足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國(guó)剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)幾何圖形平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)180等積變形（位移、割補(bǔ)）三角形內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形公共部分的傳遞性極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE

60、：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變?cè)碇?-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補(bǔ)后去正反結(jié)合立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V升水=V物測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開(kāi)圖 最短線路與展開(kāi)圖形狀問(wèn)題染色問(wèn)題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。典型應(yīng)用題植樹(shù)問(wèn)題開(kāi)放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系方陣問(wèn)題外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）4=外周長(zhǎng)數(shù)外