matlab與統(tǒng)計(jì)回歸分析

1、一Matlab作方差分析方差分析是分析試驗(yàn)（或觀測）數(shù)據(jù)的一種統(tǒng)計(jì)方法。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中，經(jīng)常要分析各種因素及因素之間的交互作用對研究對象某些指標(biāo)值的影響。在方差分析中，把試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總波動（總變差或總方差）分解為由所考慮因素引起的波動（各因素的變差）和隨機(jī)因素引起的波動（誤差的變差），然后通過分析比較這些變差來推斷哪些因素對所考察指標(biāo)的影響是顯著的，哪些是不顯著的?！纠?】（單因素方差分析）一位教師想要檢查3種不同的教學(xué)方法的效果，為此隨機(jī)地選取水平相當(dāng)?shù)?5位學(xué)生。把他們分為3組，每組5人，每一組用一種方法教學(xué)，一段時間以后，這位教師給15位學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)考，成績見下表1。問這3種教學(xué)方

2、法的效果有沒有顯著差異。表1學(xué)生統(tǒng)考成績表方法成績甲7562715873乙7185689290丙7379607581Matlab中可用函數(shù)anova1（.）函數(shù)進(jìn)行單因子方差分析。調(diào)用格式：p=anova1（X）含義：比較樣本mxn的矩陣X中兩列或多列數(shù)據(jù)的均值。其中，每一列表示一個具有m個相互獨(dú)立測量的獨(dú)立樣本。返回：它返回X中所有樣本取自同一總體（或者取自均值相等的不同總體）的零假設(shè)成立的概率p。解釋：若p值接近0(接近程度有解釋這自己設(shè)定)，則認(rèn)為零假設(shè)可疑并認(rèn)為至少有一個樣本均值與其它樣本均值存在顯著差異。Matlab程序：Score=7562715873;8185689290;737

3、9607581;P=anova1(Score)輸出結(jié)果：方差分析表和箱形圖ANOVATableSourceSSdfMSFProbFColumns604.93332302.46674.25610.040088Error852.81271.0667Total1457.733314ColumnNumber由于p值小于0.05，拒絕零假設(shè)，認(rèn)為3種教學(xué)方法存在顯著差異。例2（雙因素方差分析）為了考察4種不同燃料與3種不同型號的推進(jìn)器對火箭射程（單位：海里）的影響，做了12次試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如表2所示。表2燃料-推進(jìn)器-射程數(shù)據(jù)表推進(jìn)器1推進(jìn)器2推進(jìn)器3燃料158.256.265.3燃料249.154.15

4、1.6燃料360.170.939.2燃料475.858.248.7在Matlab中利用函數(shù)anova2函數(shù)進(jìn)行雙因素方差分析。調(diào)用格式：p=anova2（X,reps）含義：比較樣本X中兩列或兩列以上和兩行或兩行以上數(shù)據(jù)的均值。不同列的數(shù)據(jù)代表因素A的變化，不同行的數(shù)據(jù)代表因素B的變化。若在每個行-列匹配點(diǎn)上有一個以上的觀測量，則參數(shù)reps指示每個單元中觀測量的個數(shù)。返回：當(dāng)reps=1（默認(rèn)值）時，anova2將兩個p值返回到向量p中。HOA:因素A的所有樣本（X中的所有列樣本）取自相同的總體；HOB:因素B的所有樣本（X中的所有行樣本）取自相同的總體。當(dāng)reps1時，anova2還返回第

5、三個p值：H0AB:因素A與因素B沒有交互效應(yīng)。解釋：如果任意一個p值接近于0,則認(rèn)為相關(guān)的零假設(shè)不成立。Matlab程序：disp1=58.256.265.3;;60.170.939.2;75.858.248.7;p=anova2（disp1,1）輸出結(jié)果：方差分析表ANOVATableSourceSSdfMSFProbFColumns157.59352.530.430590.73875Rows223.84672111.92330.917430.44912Error731.986121.9967Total1113.416711由于燃料和推進(jìn)器對應(yīng)的p值均大于0.05，

6、所以可以接受零假設(shè)H0A和H0B,認(rèn)為燃料和推進(jìn)器對火箭的射程沒有顯著影響。例3（雙因素方差分析）設(shè)火箭的射程在其它條件基本相同時與燃料種類及推進(jìn)器型號有關(guān)?，F(xiàn)在考慮4種不同的燃料及3種不同型號的推進(jìn)器，對于每種搭配個發(fā)射了火箭兩次，得數(shù)據(jù)見表3。問各自變量和自變量的交互效應(yīng)是否對火箭的射程有顯著影響？表3燃料-推進(jìn)器-射程數(shù)據(jù)表推進(jìn)器1推進(jìn)器2推進(jìn)器3燃料158.256.265.352.641.260.8燃料42.850.548.4燃料360.170.939.258.373.240.7燃料475.858.248.771.551.041.4Matlab程序：disp2

7、=58.252.649.142.860.158.375.871.5;50.570.973.258.251.0;65.360.851.648.439.240.748.741.4;p=anova2(disp2,2)輸出結(jié)果：方差分析表ANOVATableSourceSSdfMSFProbFColumns370.98082185.49049.39390.003506Rows261.675387.2254.41740.025969Interaction1768.69256294.782114.92886.1511e-005Error236.951219.7458Total263

8、8.298323曰些顯著。方差分析上機(jī)練習(xí)為研究廣告的效果考察4種廣告方式：當(dāng)?shù)貓?bào)紙（paper）、當(dāng)?shù)貜V播（radio）店內(nèi)銷售員（people）和店內(nèi)展示（display）的效果。共設(shè)有144個銷售點(diǎn)，每種廣告隨機(jī)抽取36個銷售點(diǎn)記錄銷售額，分布在6個地區(qū)的144個銷售點(diǎn)的銷售情況生成的數(shù)據(jù)集ADS見下表。數(shù)據(jù)集ADS中有3個變量：AD表示廣告的類型、AREA表示地區(qū)、SALES表示銷售額（單位：千元）請完成以下練習(xí)：（1）概括下列數(shù)據(jù)：用箱形圖、條形圖直觀地呈現(xiàn)四種廣告方式下銷售量的分布情況；計(jì)算四種廣告方式下銷售量的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、最大和最小值；進(jìn)行單因素方差分析：檢驗(yàn)四種廣告方式

9、下銷售量數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，方差是否相等；檢驗(yàn)四種廣告方式下的銷售量是否有顯著差異(a=0.01)；若四種廣告方式下的銷售量有顯著差異，指出哪些類型的廣告效果有顯著的不同？在設(shè)計(jì)廣告效果的試驗(yàn)時，雖然地區(qū)差異對銷售量的影響并不是我們感興趣的，但希望排除這一因素的影響。數(shù)據(jù)集ADS記錄了各個銷售點(diǎn)所在的地區(qū)AREA。試用雙因素方差分析方法分析銷售數(shù)據(jù)，并指出廣告方式和地區(qū)對銷售量是否有顯著影響(a=0.01,01)?廣告方式(AD)與地區(qū)(AREA)之間有無交互效應(yīng)？表ADS數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)廣告方式(變量:AD)銷售額(單位：千元)(變量SALES)地區(qū)1地區(qū)2地區(qū)3地區(qū)4地區(qū)5地區(qū)6當(dāng)?shù)貓?bào)紙7

10、557767775768194547087657962(paper)68758372638856866575666670868477806276627870當(dāng)?shù)貜V播6951907733791006168637673(radio)1006073688374547879837468757053737966815769656565店內(nèi)銷售員6367858087707564406751616450(people)58827862407670777562877077686155427165783783店內(nèi)展示5261617657336961664165584445(display)41448652606

11、943515058757552616052524563435560參考答案(1)箱形圖：boxplot(ads)結(jié)果：有異常值。(其它：略)(2)正態(tài)性檢驗(yàn)Paper：Hist(X1,6)12108642*0556065707580859095頻數(shù)直方圖分布的正態(tài)性檢驗(yàn)：normplot(X1)NormalProbabilityPlot均服從正態(tài)分布。單因素方差分析ANOVATableSourceSSdfMSFProbFColumns5866.083331955.361113.48318.8495e-008Error20303.2222140145.023Total26169.3056143P

12、=8.8495e-008FColumns1444.22225288.84441.95820.089763Rows5866.083331955.361113.25591.5637e-007Interaction11581577.20.523360.92341Erro5083Total26169.3056143從以上分析結(jié)果可知：0.05P1=0.0897630.1，地區(qū)對檢驗(yàn)水平有一定影響，但不顯著。P2=1.5637e-0070.010.1，地區(qū)和廣告方式對銷售量無交互效應(yīng)。二Matlab作回歸分析回歸分析的相關(guān)數(shù)學(xué)理論可以參見概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程，下面僅以示例說明如

13、何利用matlab處理回歸分析。1.一元線性回歸分析【例1】為了了解百貨商店銷售額x與流通費(fèi)率（反映商業(yè)活動的一個質(zhì)量指標(biāo)，指每元商品流轉(zhuǎn)額所分?jǐn)偟牧魍ㄙM(fèi)用）y之間的關(guān)系，收集了九個商店的有關(guān)數(shù)據(jù)，見下表1試建立流通費(fèi)率y與銷售額x的回歸方程。表1銷售額與流通費(fèi)率數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)銷售額x（萬元）流通費(fèi)率y11.57.024.54.837.53.6410.53.1513.52.7616.52.5719.52.4822.52.3925.52.2【分析】：首先繪制散點(diǎn)圖以直觀地選擇擬合曲線，這項(xiàng)工作可結(jié)合相關(guān)專業(yè)領(lǐng)域的知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行，有時可能需要多種嘗試。選定目標(biāo)函數(shù)后進(jìn)行線性化變換，針對變換后的線性目標(biāo)

14、函數(shù)進(jìn)行回歸建模與評價，然后還原為非線性回歸方程?！綧atlab數(shù)據(jù)處理】：【Stepl】：繪制散點(diǎn)圖以直觀地選擇擬合曲線x二10.513.516.519.522.525.5;y二7.02.32.2;plot（x,y,-o）輸出圖形見圖1。圖1銷售額與流通費(fèi)率數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖根據(jù)圖1，初步判斷應(yīng)以冪函數(shù)曲線為擬合目標(biāo)，即選擇非線性回歸模型，目標(biāo)函數(shù)為：y二axb(bF)沁0；模型方差的估計(jì)值2=竺=0.0012。n-2【注】：嚴(yán)格來講，模型評價工作應(yīng)在逆線性化變換后進(jìn)行；但是，若所建立的線性回歸方程不理想，則相應(yīng)的非線性回歸方程必定不理想?！維t

15、ep3】擬線性化變換求非線性回歸方程(若選擇為非線性模型)%逆線性化變換A=exp(b(1)B=b(2)運(yùn)行結(jié)果為：A=8.5173；B=-0.4259。即非線性回歸方程為：y=8.5173x-o.4259。2多元線性回歸模型(pl)：y=卩+卩x+卩x+卩x+8,戸N(0Q2)01122ppU求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程：y=P+Px+Px+Px01122pp統(tǒng)計(jì)量：總偏差平方和：SST=X(y-y)2，其自由度為f二n-1；iTi=1回歸平方和：ssr工(y-y)2，其自由度為f=p；iRi=1殘差平方和：SSE=丫(y-y)2，其自由度為f二n-p-1；iiEi=1它們之間有關(guān)系：SST=SSR+S

16、SE。多元回歸分析的相關(guān)數(shù)學(xué)理論可以參見多元數(shù)據(jù)分析，下面僅以示例說明如何利用Matlab作多元回歸分析。【例2】參見教材P294：10.1牙膏的銷售量?！鞠旅嬷幻枋鲞\(yùn)行程序的過程，應(yīng)該按照規(guī)定格式書寫報(bào)告】。符號說明：x：表示價格差；1x：廣告費(fèi)用；2y：銷售量?！維tepl】：繪制散點(diǎn)圖以直觀地選擇擬合曲線clearclcxl=-0.050.250.6000.250.200.l50.05-0.l50.l50.200.l00.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.l00.200.l00.500.60-0.0500.050.55;x2=5.506.757

17、.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.807.l07.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.756.80;y=7.388.5l9.527.509.338.288.757.877.l08.007.898.l59.l08.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.2l8.277.677.939.26;hl=figure;plot(xl,y,+);h2=figure;plot(x2,y,o);圖1y對xl的散點(diǎn)圖109.598.587.5755.

18、566.577.5圖2y對x2的散點(diǎn)圖分析圖1,可以發(fā)現(xiàn)，隨著xl的增加，y的值有比較明顯的線性增長趨勢；分析圖2,當(dāng)x增大時，y有向上彎曲的趨勢，可用二次多項(xiàng)式進(jìn)行逼近；因此可以選擇如下方程作為初步的回歸模型：y=卩+卩x+卩x+卩x2+8,N(u,02)0112232U【Step2】：模型求解(理論方法：最小二乘法)alpha=0.05;v=ones(length(x1),1)xlx2(x2.八2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,v,alpha)計(jì)算結(jié)果：b=17.32441.3070-3.69560.3486bint=5.728228.92060.68291

19、.9311-7.49890.10770.03790.6594r=-0.0988-0.0795-0.1195-0.04410.4660-0.01330.29120.2735-0.23510.1031-0.40330.17470.0400-0.15040.12840.1637-0.0527-0.1907-0.0870-0.0165-0.1292-0.3002-0.2933-0.1679-0.21770.11160.30350.06930.24740.2270rint=-0.52700.3294;-0.53090.3718;-0.51060.2716;-0.47310.3848;0.08130.85

20、07;-0.46090.4343;-0.13740.7197;-0.08700.6340;-0.59600.1258;-0.32800.5341;-0.81900.0125;-0.26180.6112;-0.40320.4832;-0.59330.2925;-0.32070.5775;-0.28410.6116;-0.48300.3776;-0.62480.2434;-0.53480.3609;-0.44230.4092;-0.56090.3024;-0.71810.1177;-0.72430.1377;-0.55480.2190;-0.64490.2095;-0.29940.5226;-0.

21、10370.7106;-0.37140.5099;-0.18070.6755;-0.18900.6430stats=0.905482.94090.00000.0490【Step3】結(jié)果分析回歸模型為：y=17.3244+1.3070 x3.6959x+0.3486x2122從結(jié)果數(shù)據(jù)來看，模型整體可用。但也有缺陷，可以改進(jìn)?！維tep4】銷售量的預(yù)測設(shè)需要預(yù)測的點(diǎn)為：x=(x,x,00102,x0p)則預(yù)測值為=0+0 x+0 x+0101202(c)ijpxp=(XtX)-1,竝(xx)(xx匕,x0ii0jjiji=1j=1x,i=1,2,pkix,i=1,2,nk=1則在x處的區(qū)間預(yù)測為

22、：0(np1)d*A)(1)(yt(np1)d*A,y+10(la)0I新的回歸模型為2【模型改進(jìn)】：當(dāng)兩個因素是不獨(dú)立時，引入交叉項(xiàng)xx,12y=0+0 x+0 x+0 x2+0 xx+80112232412alpha=0.05;v二ones(length(xl),l)xlx2(x2.2)(xl.*x2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,v,alpha)輸出結(jié)果：b=29.ll33ll.l342-7.60800.67l2-l.4777bint=l3.70l344.5252;l.977820.2906;-l2.6932-2.5228;0.2538l.0887;-2.

23、85l8-0.l037r=-0.044l;-0.l229;0.0299;-0.0745;0.384l;-0.0472;0.233l;0.0287;-0.066l;0.0297;-0.4372;0.l763;0.0356;-0.l382;0.l027;0.l270;0.0048;-0.l435;-0.l0l6;0.0050;-0.0389;-0.l334;-0.3272;-0.3274;-0.2l02;0.l4l2;0.3250;0.l096;0.2342;0.2455rint=-0.44250.3542;-0.54080.295l;-0.3l0l0.3698;-0.47360.3247;0.0

24、2450.7437;-0.46400.3695;-0.l6740.6337;-0.23690.2943;-0.375l0.2430;-0.369l0.4284;-0.8ll8-0.0627;-0.23060.5832;-0.37880.4499;-0.552l0.2757;-0.3l720.5226;-0.29l70.5456;-0.39440.4039;-0.54900.262l;-0.5l930.3l60;-0.39260.4026;-0.43600.3582;-0.50450.2378;-0.72l20.0667;-0.6326-0.022l;-0.60850.l88l;-0.23980

25、.5223;-0.04840.6984;-0.29880.5l8l;-0.l6500.6335;-0.l39l0.6302stats=0.920972.777l0.00000.0426結(jié)果分析：效果更好。3.逐步回歸方法要點(diǎn)：【Stepl】根據(jù)問題所屬專業(yè)領(lǐng)域的理論和經(jīng)驗(yàn)提出對因變量可能有影響的所有自變量；【Step2】計(jì)算每一個自變量對因變量的相關(guān)系數(shù)，按其絕對值從大到小排序；【Step3】取相關(guān)系數(shù)絕對值最大的那個自變量建立一元線性回歸模型，檢驗(yàn)所得回歸方程的顯著性，若檢驗(yàn)表明回歸效果則轉(zhuǎn)入【Step4】,若檢驗(yàn)表明回歸效果不顯著則停止建模；【Step4】進(jìn)行變量的追加、剔除和回歸方程的更

26、新操作。Matlab命令：【命令1】：stepwisefit【調(diào)用格式】：b,se,pval,inmodel,stats,nextstep,history=stepwisefit（x,y,paraml,value1,param2,value2,）【參數(shù)說明】：X：p個自變量的n個觀測值的nxp矩陣；Y:因變量的n個觀測值的nx1矩陣；penter:設(shè)置回歸方程顯著性檢驗(yàn)的顯著性概率上限，缺省值為0.05；premove：設(shè)置回歸方程顯著性檢驗(yàn)的顯著性概率下限，缺省值為0.10；display：用來指明是否強(qiáng)制顯示建模過程信息，取值為on（顯示，缺省設(shè)置）和off（不顯示）?！纠?】某種水泥在凝

27、固時放出的熱量（單位：卡/克）Y與水泥中的四種化學(xué)成分所占的百分比有關(guān)，現(xiàn)測得13組數(shù)據(jù)如下表：編號XXnXOX4Y172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4作回歸分析?！綧atlab程序】：clearclcloadhaldb,se,pval,inmodel,stats,nextstep,history=stepw

28、isefit(ingredients,heat,penter,0.10,display,off);%自變量的篩選和模型參數(shù)估計(jì)信息inmodel,b0=ercept,b%回歸方程顯著性整體檢驗(yàn)信息Allp=stats.pval,rmse=stats.rmse%回歸方程顯著性分別檢驗(yàn)信息P=stats.PVAL輸出結(jié)果：inmodel=1100；b0=52.5773；b=1.46830.66230.2500-0.2365；Allp=4.4066e-009；rmse=2.4063；P=0.00000.00000.20890.2054。結(jié)果分析：最優(yōu)回歸方程為y二52.5773+1

29、.4683x+0.6623x，回歸方程顯著性整體檢驗(yàn)12和分別檢驗(yàn)均為高度顯著，模型標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)為2.4063?！久?】：stepwise【調(diào)用格式】：stepwise（x,y,inmodel,penter,premove）【說明】：創(chuàng)建多元線性回歸分析的逐步回歸法建模的交互式圖形環(huán)境?！緢D形界面說明】：窗口1：CoefficientswitherrorBars繪出各個解釋變量回歸系數(shù)的估計(jì)，圓點(diǎn)表示點(diǎn)估計(jì)值，橫線表示置信區(qū)間（有色線段表示90%置信區(qū)間，黑色線段表示95%置信區(qū)間）。窗口的右側(cè)給出回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值（Coeff）、顯著性檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量的值（t-test）和顯著性概率p值（p

30、-val）.窗口2：ModelHistory該窗口繪出的圓點(diǎn)表示歷次建模的模型標(biāo)準(zhǔn)差a的估計(jì)。兩個窗口中間輸出的是當(dāng)前模型的有關(guān)信息，包括：Intercept：模型截距（常數(shù)項(xiàng)）的估計(jì)；RMSE:模型標(biāo)準(zhǔn)差a的估計(jì)；R-square:可決系數(shù)；Adj-R-sq：校正可決系數(shù)；F：模型整體性檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量的值；p：模型整體性檢驗(yàn)的顯著性概率。窗口I右側(cè)的三個按鈕：NextStep:在回歸方程中按相關(guān)系數(shù)絕對值大小逐次引入解釋變量，如無解釋變量可引入時，按鈕不可用；AllSteps：直接給出“只進(jìn)不出方式建模的最終結(jié)果（注意，此時的回歸方程未必是最優(yōu)回歸方程）；Export：選擇向Workspac

31、e傳輸?shù)挠?jì)算結(jié)果（有關(guān)變量名可由用戶自定義）stepwise（ingredients,heat,1111,0.05,0.10）;三matlab作相關(guān)分析一、相關(guān)系數(shù)要初步研究變量之間的隨機(jī)性關(guān)系，我們就要清楚，研究的對象是二元或多元的隨機(jī)向量，利用的是成對觀測數(shù)據(jù)。首先繪制一張散點(diǎn)圖，直觀上大致判斷兩兩變量之間是否存在某種關(guān)系。MATLAB命令(散點(diǎn)圖)：gscatter-兩個變量的散點(diǎn)圖.用法：gscatter(x,y)lsline-在散點(diǎn)圖上增加最小二乘擬合線.用法：lslinegplotmatrix-矩陣散點(diǎn)圖。用法：gplotmatrix(x,y)。其中x,y都是矩陣，行數(shù)相同。例如:

32、x=normrnd(0,1,100,3);y=normrnd(1,2,100,2);gplotmatrix(x,y)*;t撫.曦*養(yǎng)*+*:*金A，*+-22-202-202如果認(rèn)為兩個變量之間存在著某種直線關(guān)系，我們可以用相關(guān)系數(shù)來刻畫這種關(guān)系。首先引入如下樣本相關(guān)系數(shù)的概念：對二元總體(X，Y)的樣本(x,yi),i二12,n，定義樣本相關(guān)系數(shù)為苴中S2二1工(X-X)2,S2X0niY0二1工(Y-Y)2ni分別為X和Y的樣本方差,i=1i=11,_-s2y=工（X.X）a-Y）叫x與y之間的樣本協(xié)方差。這是一個重要統(tǒng)計(jì)XYniii-i量，與總體相關(guān)系數(shù)P（X,Y）相對應(yīng)。那么，怎樣充分

33、發(fā)揮這個統(tǒng)計(jì)量的作用呢？下面我們講講如何利用它對總體相關(guān)系數(shù)p：=p（X,Y）作假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)。原假設(shè)為H0：P二；對立假設(shè)為H1:P豐0-在原假設(shè)成立的情況下，可以證明下面的統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-2的t分布:t=r所以給定檢驗(yàn)水平a，可得原假設(shè)的否定域lltlt（n-Ia/2MATLAB命令：corrcoef用法：r,p,rlo,rup=corrcoef（x）其中：x矩陣；r：相關(guān)矩陣；p：p-值;rlo：置信下限；rup:置信上限二、偏相關(guān)分析基本描述：控制其它變量的情況下研究兩個變量之間的線性關(guān)系.因變量自變量J.自變量2*.原假設(shè):兩個變量之間的偏相關(guān)系數(shù)為，、MATLAB命令：p

34、artialcorr用法：RHO,PVAL=PARTIALCORR（X,Z）X是由多個變量的樣本值構(gòu)成的矩陣，Z是由控制變量構(gòu)成的矩陣，RHO是偏相關(guān)系數(shù)矩陣，PVAL是對應(yīng)的p-值。例：財(cái)政收入預(yù)測問題：財(cái)政收入與國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝凇⒕蜆I(yè)人口、固定資產(chǎn)投資等因素有關(guān)。下表列出了1952-1981年的原始數(shù)據(jù)，試對各因素之間的關(guān)系進(jìn)行初步分析。年份國民收工業(yè)總農(nóng)業(yè)總總?cè)丝诰蜆I(yè)人固定資產(chǎn)財(cái)政入（億元）產(chǎn)值（億元）產(chǎn)值（億元）口（萬人）投資（億元）收入（億元）19525983494615748220729441841953586455475587962136489216195

35、4707520491602662183297248195573755852961465223289825419568257155566282823018150268195783779857564653237111392861958102812355986599426600256357195911141681509672072617333844419601079187044466207258803805061961757115643465859255901382711962677964461672952511066230196377910465146917226640852661964943125058470499