有關(guān)二重積分計(jì)算及應(yīng)用本科論文

1、.-. z.*：201021140309200222200*2*40*. 本科生畢業(yè)論文論文題目：二重積分的計(jì)算與應(yīng)用研究甘泉院系：數(shù)理學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)： 201003 指導(dǎo)教師：春潮2014年 5 月8日-. z.NO：2010211403092008200*2*40*200*2*40*Huanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic：Double Integral Calculation and Its Application Author： GANQuan College：College of Mathematics and P

2、hysicsSpecialty：Mathematics and Applied MathematicsClass： 201003Tutor：LIU ChunchaoMay 8th,2014-. z.重聲明本人所呈交的畢業(yè)論文設(shè)計(jì)是本人在指導(dǎo)教師春潮的指導(dǎo)下獨(dú)立研究并完成的除了文中特別加以標(biāo)注引用的容外，沒有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)和侵權(quán)行為，本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承當(dāng)特此重聲明！指導(dǎo)教師手寫簽名：論文作者手寫簽名：2014年5月8日-. z摘要二重積分在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用，二重積分可用于求解空間立體體積和曲面面積。在物理力學(xué)中，二重積分也有著不可代替的作用。本文給

3、出二重積分的概念及根本性質(zhì)，在此根底上總結(jié)了二重積分的七種比擬常見的計(jì)算方法與計(jì)算技巧：利用直接坐標(biāo)系計(jì)算、利用變量特?fù)Q法計(jì)算、利用極坐標(biāo)系計(jì)算、利用函數(shù)的奇偶性和區(qū)域?qū)ΨQ性計(jì)算、利用格林公式計(jì)算、利用輪換法計(jì)算、利用二重積分的幾何意義計(jì)算，還研究了一些二重積分在物理力學(xué)、計(jì)算空間立體體積、計(jì)算曲面面積、計(jì)算曲線積分和曲面積分等方面的應(yīng)用問題。關(guān)鍵詞：二重積分；計(jì)算方法；計(jì)算技巧；應(yīng)用-. zAbstractThe double integral is widely used in practice, the double integral can be used to solve the t

4、hree-dimensional volume and surface area. In mechanics, the double integral also has an irreplaceable role. This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven mon calculation method of double integral and calculation skills:using direct coordinate sy

5、stem to calculate, using variable replacement method to calculate, using the polar coordinate to calculate, using function and regional symmetry to calculate, using the parity of green formula to calculate, using the method of rotation to calculate, using the geometric meaning of double integral to

6、calculate, also studies on some practical problems about the double integral such as physical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.Key words: double integral；putational methods；putational skills；app

7、lication -. z目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc18861 第1章緒論 PAGEREF _Toc18861 1 HYPERLINK l _Toc5103 1.1選題背景 PAGEREF _Toc5103 1 HYPERLINK l _Toc5236 1.2選題意義 PAGEREF _Toc5236 1 HYPERLINK l _Toc20151 1.3研究現(xiàn)狀 PAGEREF _Toc20151 1 HYPERLINK l _Toc8046 1.4研究思路 PAGEREF _Toc8046 2 HYPERLINK l _Toc22008 第2章 二重積

8、分的根本計(jì)算方法 PAGEREF _Toc22008 3 HYPERLINK l _Toc699 2.1二重積分的定義與性質(zhì) PAGEREF _Toc699 3 HYPERLINK l _Toc27649 2.2利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 PAGEREF _Toc27649 4 HYPERLINK l _Toc10124 2.3利用變量替換法計(jì)算二重積分 PAGEREF _Toc10124 6 HYPERLINK l _Toc5218 2.4利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分7 HYPERLINK l _Toc17938 第3章 特殊二重積分的計(jì)算技巧 PAGEREF _Toc17938 10 HYPE

9、RLINK l _Toc7575 3.1利用函數(shù)奇偶性與區(qū)域?qū)ΨQ性計(jì)算 PAGEREF _Toc7575 10 HYPERLINK l _Toc27990 3.2利用格林公式計(jì)算 PAGEREF _Toc27990 12 HYPERLINK l _Toc26790 3.3利用輪換法計(jì)算 PAGEREF _Toc26790 12 HYPERLINK l _Toc2937 3.4利用二重積分的幾何意義計(jì)算 PAGEREF _Toc2937 13 HYPERLINK l _Toc15623 第4章 二重積分的應(yīng)用 PAGEREF _Toc15623 14 HYPERLINK l _Toc25709

10、4.1計(jì)算曲面的面積 PAGEREF _Toc25709 14 HYPERLINK l _Toc23322 4.1.1曲面由顯函數(shù)給出的情形 PAGEREF _Toc23322 14 HYPERLINK l _Toc11046 4.1.2曲面由參數(shù)方程給出的情形 PAGEREF _Toc11046 14 HYPERLINK l _Toc28344 4.2計(jì)算平面薄片的重心 PAGEREF _Toc28344 15 HYPERLINK l _Toc22799 4.3計(jì)算平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 PAGEREF _Toc22799 16 HYPERLINK l _Toc19029 4.4計(jì)算平面薄片對(duì)質(zhì)

11、點(diǎn)的引力 PAGEREF _Toc19029 17 HYPERLINK l _Toc14169 4.5計(jì)算空間立體體積 PAGEREF _Toc14169 17 HYPERLINK l _Toc16487 4.6計(jì)算曲線積分 PAGEREF _Toc16487 18 HYPERLINK l _Toc7974 4.7計(jì)算曲面積分 PAGEREF _Toc7974 18 HYPERLINK l _Toc18778 第5章 完畢語20 HYPERLINK l _Toc17830 致 21 HYPERLINK l _Toc25192 參考文獻(xiàn)22.-. z.第1章緒論1.1選題背景二重積分是數(shù)學(xué)分析中

12、的重要容，它上承接著定積分，下引出三重積分和曲線積分、曲面積分.它在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多個(gè)科學(xué)都有極其廣泛的應(yīng)用.函數(shù)的二重積分是數(shù)學(xué)分析中的重要容，它涉及到多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，并起著至關(guān)重要的作用.然而在計(jì)算函數(shù)二重積分的過程中，由于計(jì)算和函數(shù)比擬繁瑣，因此按照二重積分的定義計(jì)算二重積分有很大的局限1.計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，特別是MATLAB等數(shù)學(xué)計(jì)算軟件的迅猛普及為二重積分的開展和應(yīng)用開辟了廣闊的前景.然而計(jì)算函數(shù)二重積分往往比擬復(fù)雜和繁瑣，因此，研究二重積分的計(jì)算不僅很有必要，而且不斷尋找簡(jiǎn)便的算法仍然是二重積計(jì)算方面的重要課題2.對(duì)于二重積分的應(yīng)用主要表達(dá)在求曲線積分，曲面積分，曲面面積和物理

13、學(xué)中的一些平面薄板的重心坐標(biāo)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力等問題，利用二重積分可以巧妙解決這些問題，因此二重積分的計(jì)算與應(yīng)用在物理學(xué)當(dāng)中，尤其是在數(shù)學(xué)分析里是一門不可缺少的重要知識(shí)3.1.2選題意義二重積分的計(jì)算和應(yīng)用研究在高等數(shù)學(xué)研究中具有重要意義，對(duì)于二重積分的研究不僅僅表達(dá)在理論上，與其相關(guān)的幾何模型和物理模型也在被討論研究.二重積分的研究雖然以前也有不少人研究過，但多數(shù)人只是理論上研究，在實(shí)際應(yīng)用中的研究還比擬少，比方在求物體的重心，以及引力等，甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)中方面相關(guān)深入的研究比擬狹窄4.在有些應(yīng)用當(dāng)中，我們會(huì)遇到一些二重積分根本運(yùn)算問題，即在給定的被積函數(shù)和積分區(qū)域比擬特殊時(shí)，計(jì)算二重積分

14、，此時(shí)計(jì)算量就會(huì)很大.因此，不斷尋找簡(jiǎn)便的算法便成為二重積分運(yùn)算方面的重要課題.1.3研究現(xiàn)狀采用層進(jìn)式教學(xué)法可以由淺入深的讓學(xué)生輕松掌握這種積分的算法.是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，計(jì)算較為繁瑣，有的二重積分需要一定的技巧才能求出，二重積分的計(jì)算方法主要是在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系下將二重積分化為二次積分，進(jìn)而要利用兩次定積分計(jì)算此二重積分，但是*些二重積分化為二次積分后計(jì)算仍相當(dāng)困難，這時(shí)，我們就要采用特殊的算法計(jì)算5.文獻(xiàn)1介紹了二重積分的開展及其相關(guān)應(yīng)用；215主要介紹了二重積分的一些計(jì)算方法和相關(guān)性質(zhì)定理；1626主要介紹了一些二重積分在力學(xué)方面的一些應(yīng)用.兆順探究了直角坐標(biāo)系下二重積分的

15、計(jì)算；毅探究了利用變量替換與極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算；娟探究了利用函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算；赫探究了利用格林公式來計(jì)算二重積分，本文在此根底上還探究了一下利用輪換法，格林公式，二重積分的幾何意義來計(jì)算一些特殊的二重積分913.1.4研究思路通過查看圖書與學(xué)校電子閱覽室里的有關(guān)二重積分計(jì)算的資料，最終分析決定主要研究以下幾個(gè)方面：1二重積分的根本計(jì)算方法；2二重積分的特殊計(jì)算方法； 3二重積分的應(yīng)用. 根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的不同特征熟練采用不同的計(jì)算方法求二重積分.上述介紹的幾種方法不一定全是最簡(jiǎn)單的，也不是獨(dú)立存在的，有時(shí)還需要相互配合使用.總之，在二重積分計(jì)算過程中

16、要充分運(yùn)用被積函數(shù)和積分區(qū)域的特征尋求最正確計(jì)算方法，這對(duì)于知識(shí)的在聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法的能力需要在實(shí)踐中逐步提高.本課題最終將到達(dá)的目標(biāo)：根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的計(jì)算方法；利用二重積分的一些性質(zhì)來解決實(shí)際問題.第2章 二重積分的根本計(jì)算方法2.1二重積分的定義與性質(zhì)設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù)，假設(shè)對(duì)任給的正數(shù)，總存在*個(gè)正數(shù)，使對(duì)于的任何分割，當(dāng)它的細(xì)度0)處的單位質(zhì)量的引力解：由對(duì)稱性，引力必在軸方向上，因此 故(其中是引力常數(shù).4.5計(jì)算空間立體體積由二重積分的幾何意義知，當(dāng)時(shí)，表示以平面上的區(qū)域?yàn)榈?，以?/p>

17、頂?shù)那斨w的體積，因此利用二重積分計(jì)算空間立體體積的關(guān)鍵在于找曲頂柱體的底與頂.例19 求兩個(gè)底面半徑一樣的直交圓柱所圍立體的體積.解：設(shè)圓柱底面半徑為，兩個(gè)圓柱方程為與.利用對(duì)稱性，只求出在第一卦限局部的體積，然后再乘以即得所求的體積.第一卦限的立體是以為曲頂，以四分之一圓域?yàn)榈椎那斨w，所以，于是.4.6計(jì)算曲線積分 對(duì)平面閉曲線上的對(duì)坐標(biāo)曲線的積分，當(dāng)比擬簡(jiǎn)單時(shí)，常?？紤]通過格林公式化為二重積分來計(jì)算.例20 計(jì)算曲線積分，其中是沿圓周，逆時(shí)針方向. 解：利用格林公式計(jì)算此積分，記所圍的區(qū)域?yàn)椋瑒t有.4.7計(jì)算曲面積分第一型曲面積分可化為二重積分來計(jì)算：定理7 設(shè)有光滑曲面，為上的連

18、續(xù)函數(shù)，則.例21 計(jì)算第一型曲面積分，其中為平面在第一卦限里的局部.解：，則，.第二型曲面積分也可化為二重積分來計(jì)算：定理8 設(shè)是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)這時(shí)的法線方向與軸正向成銳角，則有 .類似地，當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時(shí)，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè).當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時(shí)，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè).例22 計(jì)算第二型曲面積分，其中是由平面和所圍的四面體外表并取外側(cè)為正向.解：由對(duì)稱性知，原式.-. z第5章完畢語本次的畢業(yè)論文是對(duì)大學(xué)四年學(xué)習(xí)的一個(gè)總結(jié).在歷時(shí)將近半年的時(shí)間里，在查找資料，準(zhǔn)備開題和論文設(shè)計(jì)過程中，遇到了許

19、許多多的問題，在遇到問題，分析問題和解決問題的過程中，論文也慢慢地成型，雖然在*些細(xì)節(jié)上還是比擬粗糙，但總體上還是到達(dá)了根本的研究要求，根本可以解決一些常見的二重積分的計(jì)算這一問題，為二重積分的計(jì)算提供一個(gè)參照.當(dāng)然，在具體求解一個(gè)二重積分的計(jì)算時(shí)，根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)采用不同的計(jì)算方法是求二重積分的關(guān)鍵.上述介紹的幾種方法不一定全是最簡(jiǎn)單的，也不是獨(dú)立存在的，有時(shí)還需要相互配合使用.總之，在二重積分的求解過程中要充分運(yùn)用條件選擇最正確計(jì)算方法，這對(duì)于溝通積分各局部容之間的聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法的能力需要在實(shí)踐中逐步提高.-. z致在這里首先要感我

20、的指導(dǎo)教師春潮.在畢業(yè)論文的完成過程中，教師在百忙之中查閱和修改本論文，給予了很多悉心的指導(dǎo)，對(duì)論文的修改給予了很多細(xì)致的建議，給予了很多完善論文的啟發(fā).教師這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，讓我肅然起敬，同時(shí)深厚的理論水平也讓我受益匪淺.在指出論文中存在的問題和提供建立性修改意見的同時(shí)，也不忘鼓勵(lì)我發(fā)揚(yáng)長處，不忘指導(dǎo)我將所學(xué)知識(shí)充分運(yùn)用，要不斷更新自己的知識(shí)體系，這些讓我很受欣慰和鼓舞，在這里，學(xué)生真誠地對(duì)教師表示深深的感謝與意.通過這一階段的學(xué)習(xí)和研究，終于解決一些問題，其中消耗了很多精力和時(shí)間，但本次論文是大學(xué)對(duì)即將走進(jìn)社會(huì)的我們的一次知識(shí)和能力的綜合考驗(yàn)，這將是鼓勵(lì)我去創(chuàng)造的一個(gè)起點(diǎn)，會(huì)永遠(yuǎn)鼓勵(lì)著我

21、前進(jìn).最后，還是要再次衷心地感這些日子以來給予我?guī)椭乃薪處煟笥押屯瑢W(xué)們，你們！-. z參考文獻(xiàn)1 林曙，黎詣遠(yuǎn)微積分M：高等教育，20052 華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析(下)M：高等教育，20013 玉璉，傅沛仁數(shù)學(xué)分析講義M：高等教育，20014 郭運(yùn)瑞高等數(shù)學(xué)M：西南交通大學(xué)，20105 甄海燕二重積分的計(jì)算方法J商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，2012，12(5)：86886 振來數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精粹(下) M*：*科學(xué)技術(shù)，20097 費(fèi)定暉，周學(xué)圣吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(6)M：科學(xué)技術(shù)， 20038 德新高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題指導(dǎo)M：大學(xué)，20099 兆順談二重積分的計(jì)算J教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，16(2)：71010 毅簡(jiǎn)化二重積分的方法J技術(shù)師學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，17(10)：596111 娟利用對(duì)稱性、奇偶性計(jì)算二重積分J*職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報(bào)，2012，14(6)： 687012 赫幾種特殊類型二重積