瑞利法和彈簧剛度系數(shù)

1、上次內(nèi)容回顧：簡諧振動和能量法講述的內(nèi)容第二章 自由振動2.3 瑞利法 2.4 彈簧剛度系數(shù) 123 瑞利法 在前面的討論中，都假設(shè)彈簧總的質(zhì)量是可以忽略不計(jì)的。這樣的簡化，在許多實(shí)際問題中可能已經(jīng)足夠準(zhǔn)確了。但在有一些工程問題中彈簧本身的質(zhì)量可能占系統(tǒng)總質(zhì)量的一定比例，而不能被忽略。如果忽略這部分彈簧的質(zhì)量，將會導(dǎo)致計(jì)算出來的固有頻率偏高。如何考慮彈簧本身的質(zhì)量，以確定其對振動頻率的影響，瑞利(Rayleigh)提出了一種近似方法，它運(yùn)用能量原理，把一個(gè)分布質(zhì)量系統(tǒng)簡化為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對系統(tǒng)頻率的影響考慮進(jìn)去，得到相對準(zhǔn)確的固有頻率值。2 現(xiàn)以圖所示的質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)為例

2、說明瑞利法的應(yīng)用。在應(yīng)用瑞利法時(shí)，必須先假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的振動形式，設(shè)彈簧在振動過程中變形是均勻的，即彈簧在連接質(zhì)量塊的一端位移為x，彈簧(處于平衡位置時(shí))軸向長度為l，則距固定端u處的位移為 。因此，當(dāng)質(zhì)量塊m在某一瞬時(shí)的速度為 時(shí)，彈簧在u處的微段du的相應(yīng)速度為 。3設(shè)為彈簧單位長度的質(zhì)量，則彈簧微段du的動能為整個(gè)彈簧的動能為 而整個(gè)系統(tǒng)的總動能為質(zhì)量塊m的動能與彈簧質(zhì)量的動能之和。在質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)最大動能為4系統(tǒng)的勢能將仍和忽略彈簧質(zhì)量時(shí)一樣為由Tmax=Umax可得對于簡諧振動，代入得式中，l為彈簧的總質(zhì)量?？梢姀椈少|(zhì)量對于頻率的影響相當(dāng)于在質(zhì)量m上再加13彈簧質(zhì)量的等值

3、質(zhì)量，這樣就可以把彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)的固有頻率的影響考慮進(jìn)去。5 應(yīng)用瑞利法求解系統(tǒng)自由振動的固有頻率時(shí)，所假定的振動形式越接近實(shí)際的振動形式，所得近似值就越接近準(zhǔn)確解。實(shí)踐證明，以靜變形作為假定的振動形式，所得近似解與準(zhǔn)確解比較，一般來說誤差是很小的。例2.3-1設(shè)一均質(zhì)等截面簡支梁，如圖所示，在中間有一集中質(zhì)量m，如把梁本身質(zhì)量考慮在內(nèi)，試計(jì)算此系統(tǒng)的固有頻率和梁的等效質(zhì)量。6 解：假定梁在自由振動時(shí)動撓度曲線和簡支梁中間有集中靜載荷mg作用下的靜撓度曲線一樣。由材料力學(xué)可知，位于距支座距離x處的任一單元的位移表達(dá)式為式中，ym為中點(diǎn)撓度。根據(jù)材料力學(xué)有7 設(shè)為梁單位長度的質(zhì)量，整個(gè)梁的動能為

4、可見梁的等效質(zhì)量為因?yàn)槭呛喼C振動，設(shè)則8系統(tǒng)的最大總動能為而梁的最大彈性勢能仍為由Tmax=Umax得得9式中，k為梁的彈簧剛度，對于簡支梁帶有中間集中質(zhì)量時(shí)102.4 彈簧剛度系數(shù)1、定義：使彈簧產(chǎn)生單位變形所需要的力或力矩。2、不同受力情況下的彈簧剛度系數(shù)的確定拉伸: 扭轉(zhuǎn):彎曲:其中：E彈性模量； G剪切彈性模量； d、D簧絲、簧圈直徑； n彈簧圈數(shù)。113、等值彈簧剛度系數(shù)的確定并聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧K1K2mK1K2m12 在振動系統(tǒng)中常常不是單獨(dú)使用一個(gè)彈性元件，而是串聯(lián)或并聯(lián)幾個(gè)彈性元件加以使用。這時(shí)需要把組合的彈簧系統(tǒng)折算成一個(gè)“等效”的彈簧，其等效彈簧的剛度應(yīng)該和原來的組合彈簧系統(tǒng)

5、的剛度相等，即等效剛度。 下面以兩個(gè)串聯(lián)和并聯(lián)的彈簧為例，說明組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度的計(jì)算方法。13 如圖所示是兩個(gè)串聯(lián)彈簧，剛度系數(shù)分別為k1和k2，求B端垂直方向的剛度時(shí)，在B端加一垂直力，每個(gè)彈簧都拉伸，伸長分別為F/k1和F/k2。B點(diǎn)的位移為兩個(gè)彈簧的總伸長，即由此，B點(diǎn)的等效剛度系數(shù)為1415也可以寫成從上式可以看出，兩個(gè)串聯(lián)彈簧的等效剛度比原來兩個(gè)彈簧的剛度都要小，也就是說，串聯(lián)彈簧使系統(tǒng)中的彈簧剛度降低。 如果有n個(gè)彈簧串聯(lián)，剛度系數(shù)分別為是k1、k2、.kn，則等效剛度系數(shù)k應(yīng)滿足關(guān)系式16 如圖所示是兩個(gè)并聯(lián)彈簧，連接兩彈簧的剛性桿在彈簧變形過程中保持水平，求B端垂直方向的剛度時(shí)，在B端加垂直力F。這時(shí)兩個(gè)彈簧均伸長xB。但兩個(gè)彈簧所受的力不相等，分別為是k1xB和k2xB。根據(jù)靜力平衡條件得所以B點(diǎn)的等效剛度為可見并聯(lián)彈簧系統(tǒng)的剛度是原來彈簧剛度的總和，比原來各彈簧的剛度都要大。1718 如果有n個(gè)彈簧并聯(lián)，其彈簧剛度系數(shù)分別為k1，