時間序列的季節(jié)調(diào)整分解和平滑方法

1、 第二章 經(jīng)濟時間序列的 季節(jié)調(diào)整、分解與平滑 本章主要介紹經(jīng)濟時間序列的分解和平滑方法。時間序列分解方法包括季節(jié)調(diào)整和趨勢分解，指數(shù)平滑是目前比較常用的時間序列平滑方法。1 經(jīng)濟指標的月度或季度時間序列包含4種變動要素：長期趨勢要素T、循環(huán)要素C、季節(jié)變動要素S 和不規(guī)則要素I。長期趨勢要素 (T ): 代表經(jīng)濟時間序列長期的趨勢特性。循環(huán)要素 (C ): 是以數(shù)年為周期的一種周期性變動。季節(jié)要素 (S ): 是每年重復出現(xiàn)的循環(huán)變動，以12個月或4個季度為周期的周期性影響，由溫度、降雨、每年中的假期和政策等因素引起。季節(jié)要素和循環(huán)要素的區(qū)別在于季節(jié)變動是固定間距（如季或月）中的自我循環(huán)，而

2、循環(huán)要素是從一個周期變動到另一個周期，間距比較長且不固定的一種周期性波動。不規(guī)則要素 (I ): 又稱隨機因子、殘余變動或噪聲，其變動無規(guī)則可循，這類因素是由偶然發(fā)生的事件引起的，如罷工、意外事故、地震、水災、惡劣氣候、戰(zhàn)爭、法令更改和預測誤差等。 經(jīng)濟時間序列的分解2圖1 我國工業(yè)總產(chǎn)值的時間序列 Y 圖形 圖2 工業(yè)總產(chǎn)值的趨勢循環(huán)要素 TC 圖形 圖3 工業(yè)總產(chǎn)值的季節(jié)變動要素 S 圖形 圖4 工業(yè)總產(chǎn)值的不規(guī)則要素 I 圖形 3季節(jié)調(diào)整的概念 季節(jié)性變動的發(fā)生，不僅是由于氣候的直接影響，而且社會制度及風俗習慣也會引起季節(jié)變動。經(jīng)濟統(tǒng)計中的月度和季度數(shù)據(jù)或大或小都含有季節(jié)變動因素，以月份

3、或季度作為時間觀測單位的經(jīng)濟時間序列通常具有一年一度的周期性變化，這種周期變化是由于季節(jié)因素的影響造成的，在經(jīng)濟分析中稱為季節(jié)性波動。經(jīng)濟時間序列的季節(jié)性波動是非常顯著的，它往往遮蓋或混淆經(jīng)濟發(fā)展中其他客觀變化規(guī)律，以致給經(jīng)濟增長速度和宏觀經(jīng)濟形勢的分析造成困難和麻煩。因此，在進行經(jīng)濟增長分析時，必須去掉季節(jié)波動的影響，將季節(jié)要素從原序列中剔除，這就是所謂的“季節(jié)調(diào)整” (Seasonal Adjustment)。 42.2.1 X-11季節(jié)調(diào)整方法 1954年美國商務部國勢普查局(Bureau of Census，Depart- ment of Commerce)在美國全國經(jīng)濟研究局(NBE

4、R)戰(zhàn)前研究的移動平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基礎上，開發(fā)了關(guān)于季節(jié)調(diào)整的最初的電子計算機程序，開始大規(guī)模地對經(jīng)濟時間序列進行季節(jié)調(diào)整。此后，季節(jié)調(diào)整方法不斷改進，每次改進都以X再加上序號表示。1960年，發(fā)表了X-3方法，X-3方法和以前的程序相比，特異項的代替方法和季節(jié)要素的計算方法略有不同。1961年，國勢普查局又發(fā)表了X-10方法。X-10方法考慮到了根據(jù)不規(guī)則變動和季節(jié)變動的相對大小來選擇計算季節(jié)要素的移動平均項數(shù)。1965年10月發(fā)表了X-11方法，這一方法歷經(jīng)幾次演變，已成為一種相當精細、典型的季節(jié)調(diào)整方法 2.2 經(jīng)濟時間序列的季

5、節(jié)調(diào)整方法5 X-11方法是基于移動平均法的季節(jié)調(diào)整方法。它的特征在于除了能適應各種經(jīng)濟指標的性質(zhì)，根據(jù)各種季節(jié)調(diào)整的目的，選擇計算方式外，在不作選擇的情況下，也能根據(jù)事先編入的統(tǒng)計基準，按數(shù)據(jù)的特征自動選擇計算方式。在計算過程中可根據(jù)數(shù)據(jù)中的隨機因素大小，采用不同長度的移動平均，隨機因素越大，移動平均長度越大。X-11方法是通過幾次迭代來進行分解的，每一次對組成因子的估算都進一步精化。正因為如此，X-11方法受到很高的評價，已為歐美、日本等國的官方和民間企業(yè)、國際機構(gòu)(IMF)等采用，成為目前普遍使用的季節(jié)調(diào)整方法。62.2.2X12季節(jié)調(diào)整方法 美國商務部國勢普查局的X12季節(jié)調(diào)整程序是在

6、X11方法的基礎上發(fā)展而來的，包括X11季節(jié)調(diào)整方法的全部功能，并對X11方法進行了以下3方面的重要改進： (1) 擴展了貿(mào)易日和節(jié)假日影響的調(diào)節(jié)功能，增加了季節(jié)、趨勢循環(huán)和不規(guī)則要素分解模型的選擇功能； (2) 新的季節(jié)調(diào)整結(jié)果穩(wěn)定性診斷功能； (3) 增加X12-ARIMA模型的建模和模型選擇功能。 7 X12季節(jié)調(diào)整方法的核心算法是擴展的X11季節(jié)調(diào)整程序。共包括4種季節(jié)調(diào)整的分解形式：乘法、加法、偽加法和對數(shù)加法模型。注意采用乘法、偽加法和對數(shù)加法模型進行季節(jié)調(diào)整時，時間序列中不允許有零和負數(shù)。 加法模型 (2.2.1) 乘法模型： (2.2.2) 對數(shù)加法模型： (2.2.3) 偽加

7、法模型： (2.2.4) 1季節(jié)調(diào)整的模型選擇8例2.1 利用X12加法模型進行季節(jié)調(diào)整 圖2.1a 社會消費品零售總額原序列 圖2.1b 社會消費品零售總額的TC序列 圖2.1c 社會消費品零售總額 I 序列 圖2.1d 社會消費品零售總額的 S 序列 9 由每天經(jīng)濟活動的總和組成的月度時間序列受該月各周的影響，這種影響稱為貿(mào)易日影響（或周工作日影響）。例如，對于零售業(yè)在每周的星期一至星期五的銷售額比該周的星期六、星期日要少得多。因此，在某月如果多出的星期天數(shù)是一周的前五天，那么該月份銷售額將較低；如果多出的星期天數(shù)是一周的星期六、星期日，那么該月份銷售額將較高。又如，在流量序列中平均每天的

8、影響將產(chǎn)生“月長度”影響。因為在每年中二月份的長度是不相同的，所以這種影響不可能完全被季節(jié)因素承受。二月份殘留的影響被稱為潤年影響。3貿(mào)易日和節(jié)假日影響（1）貿(mào)易日影響10 Young(1965)討論了浮動貿(mào)易日的影響，Cleveland and Grupe(1983)討論了固定貿(mào)易日的影響。貿(mào)易日影響和季節(jié)影響一樣使得比較各月的序列值變得困難，而且不利于研究序列間的相互影響。由于這個原因，當貿(mào)易日影響的估計在統(tǒng)計上顯著時，通常在季節(jié)調(diào)整之前先把貿(mào)易日的影響從序列中剔除。在調(diào)整的內(nèi)容中，形成了又一個分解要素：貿(mào)易日要素 D。 在X12季節(jié)調(diào)整中，假設貿(mào)易日影響要素包含在不規(guī)則要素中，即不規(guī)則要

9、素的形式是 ID，假設已從原序列 Y 中分解出 ID。然后用回歸分析求出星期一，星期二，星期日的相應權(quán)重，從而可以將 ID 分解為真正的不規(guī)則要素 I 和貿(mào)易日要素 D。 11 美國的圣誕節(jié)、復活節(jié)及感恩節(jié)等節(jié)假日對經(jīng)濟時間序列也會產(chǎn)生影響。例如，圣誕節(jié)的影響可以增加當周或前一周商品的零售額，或者是降低特定工廠在圣誕節(jié)前幾天的產(chǎn)量。在X12方法中，貿(mào)易日和節(jié)假日影響可以從不規(guī)則要素中同時估計得到。在X12方法中，可以對不規(guī)則要素建立ARIMAX模型，包括貿(mào)易日和節(jié)假日影響的回歸變量，而且還可以指明奇異值的影響，并在估計其他回歸影響的同時消除它們。注意EViews中的節(jié)假日調(diào)整只針對美國，不能應

10、用于其他國家。 （2）節(jié)假日影響的調(diào)整12 X12方法是基于移動平均法的季節(jié)調(diào)整方法。它的一個主要缺點是在進行季節(jié)調(diào)整時，需要在原序列的兩端補欠項，如果補欠項的方法不當，就會造成信息損失。X12 - ARIMA方法是由X12方法和時間序列模型組合而成的季節(jié)調(diào)整方法。通過用ARIMA模型 (autoregressive integrated moving Average) 延長原序列，彌補了移動平均法末端項補欠值的問題。 建立ARIMA(p, d, q)模型，需要確定模型的參數(shù)，包括單整階數(shù)d；自回歸模型(AR)的延遲階數(shù)p；動平均模型(MA)的延遲階數(shù)q。也可以在模型中指定一些外生回歸因子，建

11、立ARIMAX模型。對于時間序列中的一些確定性的影響（如節(jié)假日和貿(mào)易日影響），應在季節(jié)調(diào)整之前去掉。4X12 - ARIMA模型13 外部影響調(diào)整包括附加的外部沖擊(addtive outlier，AO)和水平變換(level shift，LS)。附加的外部沖擊(AO)調(diào)整是指對序列中存在的奇異點數(shù)據(jù)進行調(diào)整，水平變換(LS)是指對水平上發(fā)生突然變化的序列的處理。5外部影響調(diào)整圖2.2 經(jīng)濟時間序列水平變換示意圖 14通過對ARIMAX模型中的回歸方程添加外部沖擊和水平變換回歸變量，可以處理奇異點數(shù)據(jù)和在水平上發(fā)生突然變化的序列。在對序列進行預調(diào)整的同時得到外部影響調(diào)整是X12-ARIMA模型

12、的特殊能力。 在奇異點t0的外部沖擊變量： (2.2.26) 在水平位移點t0的水平變換變量： (2.2.27) 15 TRAMO(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)用來估計和預測具有缺失觀測值、非平穩(wěn)ARIMA誤差及外部影響的回歸模型。它能夠?qū)υ蛄羞M行插值，識別和修正幾種不同類型的異常值，并對工作日變化及復活節(jié)等特殊回歸因素及假定為ARIMA過程的誤差項的參數(shù)進行估計。SEATS(Signal Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模

13、型來對時間序列中不可觀測成分進行估計。 這兩個程序往往聯(lián)合起來使用，先用TRAMO對數(shù)據(jù)進行預處理，然后用SEATS將時間序列分解為趨勢要素、循環(huán)要素、季節(jié)要素及不規(guī)則要素4個部分。2.2.3 TRAMO/SEATS方法16 本節(jié)主要介紹利用EViews軟件對一個月度或季度時間序列進行季節(jié)調(diào)整的操作方法。在EViews工作環(huán)境中，打開一個月度或季度時間序列的工作文件，雙擊需進行數(shù)據(jù)處理的序列名，進入存放時間序列的工作表中，在序列窗口的工具欄中單擊Proc按鈕將顯示菜單：2.2.4 季節(jié)調(diào)整相關(guān)操作 (EViews軟件)17 1. Census X12方法 EViews是將美國國勢調(diào)查局的X12

14、季節(jié)調(diào)整程序直接安裝到EViews子目錄中，建立了一個接口程序。 EViews進行季節(jié)調(diào)整時將執(zhí)行以下步驟： 1給出一個被調(diào)整序列的說明文件和數(shù)據(jù)文件； 2利用給定的信息執(zhí)行X12程序； 3返回一個輸出文件，將調(diào)整后的結(jié)果存在EViews工作文件中。 X12的EViews接口菜單只是一個簡短的描述， EViews還提供了一些菜單不能實現(xiàn)的接口功能，更一般的命令接口程序。 18 調(diào)用X12季節(jié)調(diào)整過程，在序列窗口選擇Procs/Seasonal Adjustment / Census X12，打開一個對話框： X12方法有5種選擇框，下面分別介紹。19 一、季節(jié)調(diào)整選擇（Seasonal Aju

15、stment Option） X11方法（X11 Method） 這一部分指定季節(jié)調(diào)整分解的形式：乘法；加法；偽加法（此形式必須伴隨ARIMA說明）；對數(shù)加法。注意乘法；偽加法和對數(shù)加法不允許有零和負數(shù)。 季節(jié)濾波(Seasonal Filter) 當估計季節(jié)因子時，允許選擇季節(jié)移動平均濾波（可能是月別移動平均項數(shù)），缺省是X12自動確定。近似地可選擇(X11 defaul)缺省選擇。需要注意如果序列短于20年，X12不允許指定315的季節(jié)濾波。 20 存調(diào)整后的分量序列名（Component Series to save） X12將被調(diào)整的序列名作為缺省列在Base name框中，可以改變序

16、列名。在下面的多選鈕中選擇要保存的季節(jié)調(diào)整后分量序列，X12將加上相應的后綴存在工作文件中： 最終的季節(jié)調(diào)整后序列（SA）； 最終的季節(jié)因子（SF）； 最終的趨勢循環(huán)序列（TC）； 最終的不規(guī)則要素分量（IR）； 季節(jié)/貿(mào)易日因子（D16）； 假日/貿(mào)易日因子（D18）； 趨勢濾波（Trend Filter (Henderson)） 當估計趨勢循環(huán)分量時，允許指定亨德松移動平均的項數(shù)，可以輸入大于1和小于等于101的奇數(shù)，缺省是由X12自動選擇。21 二、ARIMA選擇（ARIMA Option） 點擊ARIMA Option標簽，可出現(xiàn)下列對話框： X12允許在季節(jié)調(diào)整前對被調(diào)整序列建立一個

17、合適的ARIMA模型。22 (1) 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換（Data Transformation） 在配備一個合適的ARMA模型之前允許轉(zhuǎn)換序列： (1) 缺省是不轉(zhuǎn)換； (2) Auto選擇是根據(jù)計算出來的AIC準則自動確定是不做轉(zhuǎn)換還是進行對數(shù)轉(zhuǎn)換； (3) Logistic選擇將序列 y 轉(zhuǎn)換為 log(y/(1-y)，序列的值被定義在0和1之間； (4) Box-Cox power選擇要求提供一個參數(shù) ，做下列轉(zhuǎn)換：23 (2) ARIMA說明(ARIMA Spec) 允許在2種不同的方法中選擇ARIMA模型。 Specify in-line 選擇 要求提供ARIMA模型階數(shù)的說明（p d q）(

18、P D Q) p 非季節(jié)的AR階數(shù) d 非季節(jié)的差分階數(shù) q 非季節(jié)的MA階數(shù) P 季節(jié)AR階數(shù) D 季節(jié)差分階數(shù) Q 季節(jié)MA階數(shù) 24 缺省的指定是“(0 1 1)(0 1 1)”是指季節(jié)的IMA模型： L是滯后算子，這里季節(jié)差分是指 (1Ls )yt = yt yts ，季度數(shù)據(jù)時s =4；月度數(shù)據(jù)時s =12。下面是一些例子： 注意在模型中總的AR、MA、和差分的系數(shù)不超過25；AR或MA參數(shù)的最大延遲為24；在ARIMA因子中的最大差分階數(shù)不超過3。 25 Select from file 選擇 X12將從一個外部文件提供的說明集合中選擇ARIMA模型。EViews將利用一個包含一系

19、列缺省模型指定說明的文件（X12A.MDL）： (0 1 1)(0 1 1) * (0 1 2)(0 1 1) X (2 1 0)(0 1 1) X (0 2 2)(0 1 1) X (2 1 2)(0 1 1) 缺省說明用“*”表示，除最后一個外，中間的用“X”結(jié)尾。有2個選擇： Select best 檢驗列表中的所有模型，選一個最小預測誤差的模型，缺省是第一個模型。 Select by out-of-sample-fit 對模型的評價用外部樣本誤差，缺省是用內(nèi)部樣本預測誤差。26 (3) 回歸因子選擇（Regressors） 允許在ARIMA模型中指定一些外生回歸因子，利用多選鈕可選擇常

20、數(shù)項，或季節(jié)虛擬變量，事先定義的回歸因子可以捕捉貿(mào)易日和節(jié)假日的影響。 三、貿(mào)易日和節(jié)假日影響 可以在進行季節(jié)調(diào)整和利用ARIMA模型得到用于季節(jié)調(diào)整的向前/向后預測值之前，先去掉確定性的影響（例如節(jié)假日和貿(mào)易日影響）。首先要選擇（Ajustment Option）是否進行這項調(diào)整？，確定在那一個步驟里調(diào)整：在ARIMA步驟，還是X-11步驟？ 27 Trading Day Effects消除貿(mào)易日影響有2種選擇，依賴于序列是流量序列還是存量序列（諸如存貨）。對于流量序列還有2種選擇，是對周工作日影響進行調(diào)整還是對僅對周日-周末影響進行調(diào)整。存量序列僅對月度序列進行調(diào)整，需給出被觀測序列的月天

21、數(shù)。 Holiday effects 僅對流量序列做節(jié)假日調(diào)整。對每一個節(jié)日，必須提供一個數(shù)，是到這個節(jié)日之前影響的持續(xù)天數(shù)。 Easter 復活節(jié) Labor 美國、加拿大的勞工節(jié)，九月第一個星期一 Thanksgiving 感恩節(jié)（在美國為11月第4個星期4；加拿大為10月第2個星期1） Christmas 圣誕節(jié) 注意這些節(jié)日只針對美國，不能應用于其他國家。28 四、外部影響(Outlier Effects) 外部影響調(diào)整也是分別在ARIMA步驟和X11步驟中進行。然而，必須在X11步驟中作了貿(mào)易日/節(jié)日調(diào)整，才能在X11步驟中做外部調(diào)整，而且只能做附加的外部調(diào)整； 在ARIMA步驟中有

22、4種外部調(diào)整： 附加的外部調(diào)整； 水平變換； 暫時的水平變化； 彎道影響。 29 五、診斷（Diagnostics） 這項選擇提供了各種診斷： 季節(jié)因素的穩(wěn)定性分析（Stability Analysis of Seasonals） Sliding spans 移動間距 檢驗被調(diào)整序列在固定大小的移動樣本上的變化； Historical revisions 歷史修正檢驗被調(diào)整序列增加一個新觀測值，即增加一個樣本時的變化。 其他診斷（Other Diagnostics） 還可以選擇顯示各種診斷輸出。30 2. X11方法 X-11法是美國商務部標準的季節(jié)調(diào)整方法(乘法模型、加法模型)，乘法模型適用

23、于序列可被分解為趨勢項與季節(jié)項的乘積，加法模型適用于序列可被分解為趨勢項與季節(jié)項的和。乘法模型只適用于序列值都為正的情形。 31 如果在季節(jié)調(diào)整對話框中選擇X-11選項，調(diào)整后的序列及因子序列會被自動存入EViews工作文件中，在過程的結(jié)尾X-11簡要的輸出及錯誤信息也會在序列窗口中顯示。 關(guān)于調(diào)整后的序列的名字。EViews在原序列名后加SA，但也可以改變調(diào)整后的序列名，這將被存儲在工作文件中。 需要注意，季節(jié)調(diào)整的觀測值的個數(shù)是有限制的。X-11只作用于含季節(jié)數(shù)據(jù)的序列，需要至少4整年的數(shù)據(jù)，最多能調(diào)整20年的月度數(shù)據(jù)及30年的季度數(shù)據(jù)。 323. 移動平均方法 X-11法與移動平均法的最

24、大不同是：X-11法中季節(jié)因子年與年有可能不同，而在移動平均法中，季節(jié)因子被假設為是一樣的。 33 Tramo(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)是對具有缺失觀測值，ARIMA誤差、幾種外部影響的回歸模型完成估計、預測和插值的程序。 Seats(Signal Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型的將可觀測時間序列分解為不可觀測分量的程序。這兩個程序是有Victor Gomez 和Agustin Maravall 開發(fā)的。 當選擇了P

25、ross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 時，EViews執(zhí)行外部程序，將數(shù)據(jù)輸給外部程序，然后將結(jié)果返回EViews。 4. tramo/Seats方法 342.3 趨勢分解 本章第2節(jié)介紹的季節(jié)調(diào)整方法可以對經(jīng)濟時間序列進行分解，但在季節(jié)調(diào)整方法中，趨勢和循環(huán)要素視為一體不能分開。本節(jié)專門討論如何將趨勢和循環(huán)要素進行分解的方法。測定長期趨勢有多種方法，比較常用的方法有回歸分析方法、移動平均法、階段平均法(phase average，PA方法)、HP濾波方法和頻譜濾波方法（frequency (band-pass) filer， BP濾波）。本節(jié)主要介紹HP濾

26、波方法。 352.3.1 Hodrick-Prescott（HP）濾波 在宏觀經(jīng)濟學中，人們非常關(guān)心序列組成成分中的長期趨勢，Hodrick-Prescott濾波是被廣泛使用的一種方法。該方法在Hodrick and Prescott(1980) 分析戰(zhàn)后美國經(jīng)濟周期的論文中首次使用。我們簡要介紹這種方法的原理。設Yt是包含趨勢成分和波動成分的經(jīng)濟時間序列，YtT是其中含有的趨勢成分， YtC是其中含有的波動成分。則 (2.3.1) 計算HP濾波就是從Yt中將YtT 分離出來 。36 一般地，時間序列Yt中的不可觀測部分趨勢YtT常被定義為下面最小化問題的解： (2.3.2)其中：c(L)是延

27、遲算子多項式 (2.3.3) 將式(2.3.3)代入式(2.3.2)，則HP濾波的問題就是使下面損失函數(shù)最小，即 (2.3.4)37 最小化問題用c(L)YtT2 來調(diào)整趨勢的變化，并隨著 的增大而增大。這里存在一個權(quán)衡問題，要在趨勢要素對實際序列的跟蹤程度和趨勢光滑度之間作一個選擇。 = 0 時，滿足最小化問題的趨勢等于序列Yt； 增加時，估計趨勢中的變化總數(shù)相對于序列中的變化減少，即 越大，估計趨勢越光滑； 趨于無窮大時，估計趨勢將接近線性函數(shù)。一般經(jīng)驗地， 的取值如下： 38 HP濾波的運用比較靈活，它不象階段平均法那樣依賴于經(jīng)濟周期峰和谷的確定。它把經(jīng)濟周期看成宏觀經(jīng)濟波動對某些緩慢變

28、動路徑的偏離，這種路徑在期間內(nèi)單調(diào)地增長，所以稱之為趨勢。HP濾波增大了經(jīng)濟周期的頻率，使周期波動減弱。 39 使用Hodrick-Prescott濾波來平滑序列，選擇Procs/ Hodrick Prescott Filter出現(xiàn)下面的HP濾波對話框： 首先對平滑后的序列給一個名字，EViews將默認一個名字，也可填入一個新的名字。然后給定平滑參數(shù)的值，年度數(shù)據(jù)取100，季度和月度數(shù)據(jù)分別取1600和14400。不允許填入非整數(shù)的數(shù)據(jù)。點擊OK后，EViews與原序列一起顯示處理后的序列。注意只有包括在當前工作文件樣本區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)才被處理，平滑后序列區(qū)間外的數(shù)據(jù)都為NA。 40 例2.2 利

29、用HP濾波方法求經(jīng)濟時間序列的趨勢項T 利用HP濾波方法求中國社會消費品零售總額月度時間序列和中國GDP季度時間序列的趨勢項。圖2.4 實線表示GDP序列、 虛線表示趨勢T序列圖2.5 實線表示社會消費品零售總額、 虛線表示趨勢T序列 41 例2.2 利用HP濾波方法求潛在產(chǎn)出和產(chǎn)出缺口 設Yt為我國的季度GDP指標，利用季節(jié)調(diào)整方法將GDP中的季節(jié)因素和不規(guī)則因素去掉，得到GDP_TC序列。本例的潛在產(chǎn)出Y*,即趨勢利用HP濾波計算出來的YtT來代替，GDP的循環(huán)要素Yt序列由式(2.3.6)計算：(2.3.6)圖2.6 藍線表示GDP的 TC序列、紅線表示趨勢序列圖2.7 GDP的循環(huán)要素

30、 序列 42 圖2.7顯示的GDP的循環(huán)要素YtC序列實際上就是圍繞趨勢線上下的波動，稱為GDP缺口序列。它是一個絕對量的產(chǎn)出缺口。也可以用相對量表示產(chǎn)出缺口，本例用Gapt來表示相對產(chǎn)出缺口，可由下式計算得到： (2.3.7) 圖2.8 通貨膨脹率(紅線) 產(chǎn)出缺口 (藍線)432.3.2 指數(shù)平滑 指數(shù)平滑是可調(diào)整預測的簡單方法。當只有少數(shù)觀測值時這種方法是有效的。與使用固定系數(shù)的回歸預測模型不同，指數(shù)平滑法的預測用過去的預測誤差進行調(diào)整。下面，我們對 EViews中的指數(shù)平滑法作簡要討論。44 要用指數(shù)平滑法預測，選擇Procs/Exponential Smoothing 顯示如下對話框

31、 45 1平滑方法 在5種方法中選擇一種方法。 2平滑參數(shù) 既可以指定平滑參數(shù)也可以讓EViews估計它們的值。要估計參數(shù)，在填充區(qū)內(nèi)輸入字母e，EViews估計使誤差平方和最小的參數(shù)值。如果估計參數(shù)值趨于1，這表明序列趨于隨機游走，最近的值對估計將來值最有用。要指定參數(shù)值，在填充區(qū)內(nèi)輸入?yún)?shù)值，所有參數(shù)值在0-1之間，如果你輸入的參數(shù)值超出這一區(qū)間，EViews將會估計這個參數(shù)。 46 3平滑后的序列名 可以為平滑后的序列指定一個名字，EViews在原序列后加SM指定平滑后的序列名，也可以改變。 4估計樣本 必須指定預測的樣本區(qū)間（不管是否選擇估計參數(shù)）。缺省值是當前工作文件的樣本區(qū)間。EV

32、iews將從樣本區(qū)間末尾開始計算預測值。 5季節(jié)循環(huán) 可以改變每年的季節(jié)數(shù)（缺省值為每年12個月、4個季度）。這個選項允許預測不規(guī)則間距的數(shù)據(jù)，在空白處輸入循環(huán)數(shù)。47 單指數(shù)平滑的預測對所有未來的觀測值都是常數(shù)。這個常數(shù)為 （對所有的k0）, T 是估計樣本的期末值。要開始遞歸，我們需要 和 的初值。EView使用原來觀測值的均值來開始遞歸。Bowermen和OConnell（1979）建議 值在0.01到0.03之間較好。也可以讓EViews估計使一步預測誤差平方和最小的 值。 48 1.單指數(shù)平滑（一個參數(shù)） 這種單指數(shù)平滑方法適用于序列值在一個常數(shù)均值上下隨機波動的情況，無趨勢及季節(jié)要素。yt 平滑后的序列 計算式如下 , , t = 2, 3, , T其中: , 為平滑因子。 越小， 越平緩，重復迭代，可得到 由此可知為什么這種方法叫指數(shù)平滑，y 的預測值是 y 過去值的加權(quán)平均，而權(quán)數(shù)被定義為以時間為指數(shù)的形式。49 2.雙指數(shù)平滑（一個參數(shù)） 這種方法是將單指數(shù)平滑進行兩次（使用相同的參數(shù)）。適用于有線性趨勢的序