2721相似三角形的判定

1、第27章 相似27.2 相似三角形27.2.1相似三角形的判定平行線分線段成比例定理請分別度量l1 , l2, l3在l 上截得的兩條線段AB, BC和在l 上截得的兩條線段DE, EF的長度, AB： BC與DE：EF相等嗎？ABCDEFl1l2l3ll 結(jié)論：AB： BC=DE：EF平行線分線段成比例定理任意平移l3 , 再量度AB, BC, DE, EF的長度, 它們的比值還相等嗎？ ABCDEFl1l2l3ll 結(jié)論：AB： BC=DE：EF 事實上，當(dāng)l1 /l2 / l3時，都可以得到 ，還可以得到 ， ，ABCDEFl1l2l3 ll等等.上下全上下全上下上下 想一想：通過探究，

2、你得到了什么規(guī)律呢？三條平行線截兩條直線,所得到的對應(yīng)線段的比相等.歸納平行線分線段成比例定理：ABCDEFl1l2l3ll( )思考如果把圖中l(wèi)平移使兩條直線相交，交點A(D)剛落到l1上，能得到什么結(jié)論？依據(jù)是什么？ 在ACF中，BECF，則有等等比例式.l1l3ll ABCDEl2在ABC中，DEBC，交AB、AC于點D、E，則所截得的對應(yīng)線段成比例ADEBCl3在ABC中，DEBC，交AB、AC的延長線于點D、E，則所截得的對應(yīng)線段成比例ABCDEFl1l2l3ll思考如果把圖中l(wèi)平移使兩條直線相交，交點B(E)剛落到l1上，能得到什么結(jié)論？依據(jù)是什么？ 在BCF中，ADCF，則有等等

3、比例式.( )l2l3ABCDEl1ll ABCDE在ABC中，DEBC，交AB、AC的反向延長線于點D、E，則所截得的對應(yīng)線段成比例l1l3ll 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.ABCDEl2推 論l2l3ABCDEl1ll ABCDE平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.新知應(yīng)用例1 如圖，在ABC中，DEBC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD. AE=3. 解AC=4，EC=1， DEBC， AD=2.25， BD=0.75.新知應(yīng)用 例2 如圖所示，如果D，E，F(xiàn)分別在OA，OB，OC上，且DFAC，

4、EFBC求證：ODOAOEOB 證明： DFAC，EFBCABCDEF一、平行線分線段成比例定理： 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例. （關(guān)鍵要能熟練地找出對應(yīng)線段）二、要熟悉該定理的幾種基本圖形ABCDEF課堂小結(jié)三、注意該定理在三角形中的應(yīng)用相似三角形 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形. ABCEDF相似的表示方法符號： 讀作：相似于在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形在ABC和ABC中，如果：AA，BB，CC，我們就說ABC與ABC相似，如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？ABCABC活動1 相似三角形及相關(guān)概念A(yù)BCABC記作ABCABCk就是它們的相似比A

5、BCA1B1C1A =A1，B =B1，C =C1，AB : A1B1 =BC : B1C1 =AC : A1C1 = k當(dāng)時，則ABC 與A1B1C1 相似，記作ABC A1B1C1. 要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.注意 相似比AB : A1B1 =BC : B1C1 =AC : A1C1 = k時，ABCA1B1C1則ABC 與A1B1C1 的相似比為 k .或A1B1C1 與ABC 的相似比為 .如圖，在ABC中，點D是邊AB的中點，DEBC，DE交AC于點E ，ADE與ABC有什么關(guān)系？?思考ABCDE我們通過相似的定義證明這個結(jié)論活動2直覺告訴我們，ADE與ABC相似AB

6、CDE改變點D在AB上的位置，繼續(xù)觀察圖形，進(jìn)一步思考ADE與ABC是否存在著相似關(guān)系 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似證明：過點E作EF/AB，交BC于點FDE/BC,DF/AB（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所得的對應(yīng)線段成比例）四邊形DEFB是平行四邊形，F(xiàn)ADEABC學(xué)習(xí)三角形全等時，我們知道，除了可以通過證明對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等來判定兩個三角形全等外，還有判定的簡便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）類似地，判定兩個三角形相似時，是不是對所有的對應(yīng)角和對應(yīng)邊都要一一驗證呢？類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判斷兩個三角形相似呢

7、？活動3不需要能探究1在一張方格紙上任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個三角形的對應(yīng)角，它們相等嗎？這兩個三角形相似嗎？與鄰座交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論這兩個三角形是相似的.證明：在線段AB（或它的延長線）上截取ADAB，過點D作DEBC，交AC于點E，根據(jù)前面的結(jié)論可得ADEABC同理 DEBCADEABCABCABCABCDEABC要證明ABCABC，可以先作一個與ABC全等的三角形，證明它與ABC相似，這里所作的三角形是證明的中介，把ABC與ABC聯(lián)系起來如圖在ABC和ABC中， 求證： ABCABC由此我們得到利用三邊判定三角形相似的

8、方法：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似ABCABCABC ABC 類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不能通過兩邊和夾角來判斷兩個三角形相似呢？問 題探究探究2利用刻度尺和量角器畫ABC和ABC，使AA ， 和 都等于給定的值k，量出它們的第三組對應(yīng)邊BC和BC的長，它們的比等于k嗎？另外兩組對應(yīng)角B與B，C與C是否相等？改變A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？實際上，我們有利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的方法：等于kB =BC =C改變k的值具有相同的結(jié)論ABCABCAAABC ABC如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角

9、形相似類似于證明通過三邊判定三角形相似的方法，請你自己證明這個結(jié)論已知：如圖， ABC和 ABC中，A =A，AB：ABAC：AC求證：ABC ABC 證明：在ABC 的邊AB、AC（或它們的延長線）上別截取ADAB，AEAC，連結(jié)DE，因A =A，這樣ABC ADE DE/BC ADE ABC ABC ABC ABCABCDE對于ABC和ABC，如果 BB，這兩個三角形一定相似嗎？試著畫畫看?思考 不 一 定 相 似根據(jù)下列條件，判斷ABC與ABC是否相似，并說明理由：（1）A120，AB7cm，AC14cm， A120，AB3cm，AC6cm；（2）AB4cm，BC6cm，AC8cm B1

10、2cm，BC18cm，AC21cm解：（1）又 AA ABCABC（2）ABC與ABC的三組對應(yīng)邊的比不等，它們不相似例1兩三角形的相似比是多少？要使兩三角形相似，不改變AC的長，AC的長應(yīng)當(dāng)改為多少？1.根據(jù)下列條件，判斷ABC與ABC是否相似，并說明理由： （1）A=40，AB=8，AC=15 A =40，AB =16，AC =30 （2）AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm AB =16cm，BC =12.8cm，AC =25.6cm解：(1)A=AABCABC 練 習(xí)ABCABC（2）2. 圖中的兩個三角形是否相似？152520274540ABCDE45543630ACB=EC

11、DACBECD對應(yīng)邊的比不相等圖中兩個三角形不相似解：（1）（2）3.要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，它的另外兩條邊長應(yīng)當(dāng)是多少？你有幾個答案？方案(1)解：設(shè)另外兩條邊長分別為x , y3.要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，它的另外兩條邊長應(yīng)當(dāng)是多少？你有幾個答案？解：設(shè)另外兩條邊長分別為x , y方案(2)3.要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，它的另外兩條邊長應(yīng)當(dāng)是多少？你有

12、幾個答案？解：設(shè)另外兩條邊長分別為x , y方案(3) 觀察兩副三角尺如圖，其中同樣角度（30與60，或45與45）的兩個三角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的一般地，如果兩個三角形有兩組對應(yīng)角相等，它們一定相似嗎？ 一定相 似觀 察作ABC和ABC，使得AA，BB，這時它們的第三個角滿足CC嗎？分別度量這兩個三角形的邊長，計算 ，你有什么現(xiàn)？探究ABCABC滿足：C = CABCABC探究 把你的結(jié)果與鄰座的同學(xué)比較，你們的結(jié)論一樣嗎？ ABC和ABC相似嗎？一樣ABC和ABC相似如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似如圖，已知ABC和ABC中，A=A,

13、 B=B， 求證: ABCABC證明：在ABC的邊AB（或延長線）上，截取AD=AB，過點D作DE/BC，交AC于點E，則有ADEABCADE=B, B=BADE=B又A=A,AD=ABADEABCABCABCABCDEABC例2 如圖，弦AB和CD相交于O內(nèi)一點P，求證PAPBPCPD證明：連接AC、BD A和D都是弧BC 所對的圓周角， AD同理 CB PACPDB即 PAPBPCPDABCDOP解： A= A,ABD=C, ABD ACB , AB : AC=AD : AB, AB2 = AD AC. AD=2, AC=8, AB =4.例3. 已知:如圖,ABD=C，AD=2, AC=

14、8，求AB. 1. 底角相等的兩個等腰三角形是否相似？頂角相等的兩個等腰三角形呢？證明你的結(jié)論BACBAC已知：等腰ABC AB = AC 和等腰ABC ，AB=AC 且有B=B, 求證:ABCABC證明：等腰三角形 AB=AC B=CABCABC 等腰三角形 AB=AC B=CB=B,C=C 練 習(xí)已知:等腰ABC 中AB=AC 和 ABC 有AB=AC， 并且A=A, 求證:ABCABC證明： ABC中AB=AC，B =C 2B =180A同理 ABC中AB=AC，B =C 2B =180A又 A=A B=B, ABCABCBACBAC2. 如圖，RtABC中，CD是斜邊上的高，ACD和CBD都和ABC相似嗎？證明你的結(jié)論12ACDABCCBDABC證明：ACB=ADC=90又 A = A=90 ACDABCCDB=ACB=90B = B = 90 CBDABC思考已知：ABCA1B1C1.求證：你能證明嗎？可要仔細(xì)喲！HLABCA1B1C1RtA