空間幾何體外接球和內(nèi)切球

1、方法技巧專題3空間幾何體外接球和內(nèi)切球【一】高過外心空間幾何體(以 P ABCD為例)的高過底面的外心(即頂點(diǎn)的投影在底面外心上)：(1)先求底面 ABCD的外接圓半徑 r ,確定底面 ABCD外接圓圓心位置 O ;(2)把O垂直上移到點(diǎn)O,使得點(diǎn)O到頂點(diǎn)P的距離等于到 A、B、C、D的距離相等，此時(shí)點(diǎn) O是幾何體外接球球心；(3)連接OA,那么R OA ,由勾股定理得：R2 r 2 OO TOC o 1-5 h z 1、已知正四棱錐 P ABCD的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上，PA AB 2,則球O的表面積為()A. 2B. 4C 8D. 162、在三黏t P ABC中.PA PB PC 2.

2、 AB AC 1, BCJ3 ,則該三棱錐的外接球的表面積為 HYPERLINK l bookmark105 o Current Document c164A. 8B. _C32/ 3D. HYPERLINK l bookmark107 o Current Document 3327【二】高不過外心高不過心一頂點(diǎn)的投影不在底面外心上，以側(cè)棱垂直于底面為例：題設(shè)：已知四棱錐 P ABCD , PA 底面ABCD(1)先求底面 ABCD的外接圓半徑 r ,確定底面 ABCD外接圓圓心位置 O ;(2)把O垂直上移到點(diǎn)O ,使得 OO 1PA 此時(shí)點(diǎn)O是幾何體外接球球心；2(3)連接OA,那么R O

3、A,由勾股定理得：R2 r2 OO 2 r2 ( P&.1、長(zhǎng)方體A? ? ? ? Ai? i? 1? 1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且A? =?, A?=1 ,則球的表面積為.2、已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為3,外接球表面積為16 ,則正三棱柱 ABC AB1C1的體積為（C. -9343、已知P , A , B , C , D是球O的球面上的五個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD 為梯形，AD /BC , AB DC AD 2BC PA 4 , PA面ABCD,則球O的體積為（A,空B,空334、已知三棱柱 ABC A B C的側(cè)棱與底面垂直,1 1 1C. 16 2D. 16AA BC

4、2, BAC1二則三棱柱 ABC A B C外接球的1 114體積為（）A 12 . ,3C-6j3d.乖5、四棱錐P ABCD的底面為正方形ABCD ,9一的同一球面上，則 PA的長(zhǎng)為（）2A. 3B. 26、四棱錐A BCDE的各頂點(diǎn)都在同一球面上，AB= CB= BE= ED= 2,則此球的表面積等于（A. 25B. 24PA 底面 ABCD , AB2 ,若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為_ 1C. 1D. _2AB 底面BCDE ,底面 BCDE為梯形，BCD 60 ,且) HYPERLINK l bookmark53 o Current Document C. 20D. 16a2 b2

5、c2R 2O的表面上，則此球的表面積為18,則這個(gè)球的體積為【三】長(zhǎng)（正）方體外接球1、長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心：體對(duì)角線的中點(diǎn)；2、正方體的外接球半徑：R a （a為正方體棱長(zhǎng)）；233、長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a, b, c ,外接球的半徑:1、若一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為 4, 3, 2的長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球 2、已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為3、如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是4、棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD A1B1c1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球 O的表面上，E, F分別是棱AA1 , 口口1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為

6、（2A 2【四】棱柱的外接球B. 1D- .2直棱柱外接球的求法一漢堡模型1.補(bǔ)型：補(bǔ)成長(zhǎng)方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長(zhǎng)方體相同2.作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理d1 a1)第一步：求底面外接圓的半徑:r（ a為角A的對(duì)邊）；2 sin A2)第二步：由勾股定理得外接球半徑:r2 （h）2 （h為直棱柱側(cè)棱高度）2直三棱柱ABC A1B1C1中，已知A? T ? ?, A? = 3 , ? ? = 4 , AA1 = 5 ,若三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上則該球的表面積為2、直三棱柱ABC A1B1cl的所有棱長(zhǎng)均為？糜,則此三棱柱的外接球的表面積為（A. 12B. 16C

7、. 28D. 36且球的表面積是 40 , AB AC AA ,3、設(shè)直三棱柱 ABC A1B1cl的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,BAC 120,則此直三棱柱的高是【五】棱錐的外接球類型一：正棱錐型（如下圖1,以正三棱錐為例，頂點(diǎn) P的投影落在 ABC的外心上）1)求底面外接圓半徑：r 1 a （a為角A的對(duì)邊）；2 sin A2)求出AH2_r,求出棱錐圖度h3PHP PAAH3)由勾股定理得外接球半徑：R Joh|22AHJh R2 (2r)2 .3p圖1圖2類型二：側(cè)棱垂直底面型（如上圖2）2）棱錐高度h 1aPA ；1）求底面外接圓半徑：r HD a （a為角A的對(duì)邊）；2 sin A一

8、一2 h 23）由勾股定理得外接球半徑 ：R ：r （_）2類型三：側(cè)面垂直于底面-切瓜模型題設(shè)二平面FdFl平而歷ABLBC 為小陶直役）留一步、由圖知珠心口必為32出的外。.即AA4在大闡面上,先求出小腐面 直桂業(yè)7的長(zhǎng)；第二米,在A/S勺大小為7D. 3兀A. _ Tt315、四面體 SABC 中，AC BC , SA平面ABC , SA J6，AC 7 , BC J3 ,則該四面體外接球的表 TOC o 1-5 h z 面積為（） HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 3216A. B.C. 16D. 32【六】墻角型途徑1 :正四面體、

9、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體.途徑2:同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長(zhǎng)方體和正方體.途徑3:若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.途徑4 :若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.”2 h2 c2、 一， 一，一一、墻角型外接千半徑：R h_c-（a, h,c分別是長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)度）1、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（A._2_3)D. 4 32、已知四面體 A? ? ?的四個(gè)面都為直角三角形，且 A? T平面？ ? ? , A?

10、 = ?=? ? = ?,若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球0的表面上，則球0的表面積為（）3n? 3n4 . 3n1? n3、已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被兩個(gè)平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是正視圖現(xiàn)圖便視圖 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark151 o Current Document A. 24B. 20C. 16D. 12 HYPERLINK l bookmark153 o Current Document 4、在三麴隹P - ABC中，PA PB PC 1, PA、PB、PC兩兩垂直，則三棱錐 P ABC的外接球的表面 積為（）A.

11、 12B. 6C 4D. 3【七】空間幾何體內(nèi)切球愿沒：求任意三械雄晌內(nèi)切球半徑（尋體板法）第一巾、先求出四個(gè)表面的而花的整個(gè)柞體的誄和:1、正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2 J6,正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切.求球的表面積與體積.2、若三棱錐 A BCD中，AB CD 6,其余各棱長(zhǎng)均為 5 ,則三棱錐內(nèi)切球的表面積為則該幾何體的外接球半徑與內(nèi)切球3、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，三視圖都為腰長(zhǎng)為 2的等腰直角三角形,半徑之比為（） TOC o 1-5 h z 4、球內(nèi)切于圓柱，則此圓柱的全面積與球表面積之比是（）B . 2 :1C . 3: 2【八】球與幾何體各棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性