教師三項(xiàng)基本功

1、數(shù)學(xué)教師的“三項(xiàng)基本功”鄭毓信（2012，4）簡介1965年畢業(yè)于江蘇師范學(xué)院（現(xiàn)蘇州大學(xué)）數(shù)學(xué)系；曾在中學(xué)長期任教；現(xiàn)為南京大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師。1992年起享受政府特殊津貼。主要研究領(lǐng)域：數(shù)學(xué)哲學(xué)；科學(xué)哲學(xué)；數(shù)學(xué)教育與科學(xué)教育。已出版著作28部，發(fā)表論文300多篇。背景課改十年的總結(jié)與反思：“立足專業(yè)成長，關(guān)注基本問題?！保?010）進(jìn)一步的思考：一線教師如何實(shí)現(xiàn)自己的專業(yè)成長？一個(gè)相關(guān)的問題數(shù)學(xué)教師是否應(yīng)當(dāng)具有自己特殊的基本功？ 數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功：（1）善于舉例； （2）善于提問；（3）善于比較與優(yōu)化。這方面的具體工作鄭毓信，“數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功”，人民教育，2008年第18

2、、19、20期連載，并已被收入“人民教育創(chuàng)刊60周年系列叢書”。鄭毓信，數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功，江蘇教育出版社，2011必要的提醒 面對(duì)任一新的主張或時(shí)髦潮流，我們都應(yīng)冷靜地思考：什么是這一主張或口號(hào)的主要內(nèi)涵？這一主張或口號(hào)能為我們提供什么新的啟示和教益，特別是，具有怎樣的現(xiàn)實(shí)意義？什么是其固有的局限性或可能的消極后果？基本認(rèn)識(shí)“三項(xiàng)基本功”集中反映了數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)（教育）的特殊性。“三項(xiàng)基本功”不應(yīng)被理解成單純的技能；恰恰相反，只有聯(lián)系深層次的教學(xué)思想和教育思想我們才能真正理解它們的內(nèi)涵和意義。我們并應(yīng)聯(lián)系自己的個(gè)性特征創(chuàng)造性地對(duì)此加以應(yīng)用。 一、“善于舉例”與數(shù)學(xué)教學(xué)從“什么是數(shù)學(xué)”談起？

3、一個(gè)基本論點(diǎn)：“數(shù)學(xué)：模式的科學(xué)”（mathematics：the science of patterns）數(shù)學(xué)所反映的不是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)。 進(jìn)一步的分析數(shù)學(xué)基本特性：抽象性?！吧朴谂e例”的兩個(gè)具體涵義：（1）如何能為抽象的數(shù)學(xué)概念舉出適當(dāng)?shù)膶?shí)例？（2）如何能夠幫助學(xué)生由具體實(shí)例抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念？學(xué)習(xí)心理學(xué)研究的相關(guān)結(jié)論“概念定義”與“概念意象”的必要區(qū)分。概念意象的多元性：它“由所有的相關(guān)實(shí)例、反例、事實(shí)和關(guān)系組成?！保ňS納與赫什科威茲，1980）（1）什么是“適當(dāng)?shù)睦印?？?biāo)準(zhǔn)之一：相對(duì)于學(xué)生的可接受性；標(biāo)準(zhǔn)之二：典型性，即是能為相

4、應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象提供必要的基礎(chǔ)。這方面的一個(gè)基本事實(shí)：舉例并非一件易事。例1 “范例教學(xué)法”（R. Davis)為了幫助學(xué)生掌握負(fù)數(shù)的概念，特別是有理數(shù)的運(yùn)算（如4 - 10 = ?），教師采用了一個(gè)裝有豆子的口袋，再在桌上擺上一些豆子。教師先在口袋中裝入4 棵豆子，同時(shí)在黑板上記下“4”這樣一個(gè)數(shù)字；然后從口袋中拿出10棵豆子，這時(shí)黑板上就出現(xiàn)了“4 - 10”這樣一個(gè)算式。教師接著提問：（1） 現(xiàn)在口袋里的豆子與一開始相比是變多還是變少了？（2） 少了多少？ 相關(guān)的分析這些實(shí)物和動(dòng)作對(duì)于學(xué)生來說都是十分熟悉的。好的“認(rèn)知基礎(chǔ)”并應(yīng)具有這樣的性質(zhì)：它能“自動(dòng)地”指明相關(guān)概念的基本性質(zhì)或相關(guān)的運(yùn)算

5、法則。這就是指，借助于這一實(shí)例學(xué)生可以順利地作出相應(yīng)的發(fā)現(xiàn)。如學(xué)生在此顯然就可借助所說的實(shí)例順利地實(shí)行 4 - 10、5 8等運(yùn)算，而無須依賴于對(duì)相應(yīng)法則的機(jī)械記憶。例2 “植樹問題”的教學(xué)我們應(yīng)當(dāng)如何看待“植樹問題”的教學(xué)：這一問題所發(fā)揮的究竟是案例的作用、還是應(yīng)當(dāng)集中于“三種情況”的區(qū)分以及相關(guān)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用？“模式的建構(gòu)”比“三種情況”的區(qū)分”更加重要，這也就是指，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)更加關(guān)注如何能以“植樹問題”為背景抽象出普遍的數(shù)學(xué)模式：“分隔問題”。 （2）如何幫助學(xué)生由實(shí)例抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念？關(guān)鍵之一：去情境；一個(gè)辯證的關(guān)系：范例的作用與必要的抽象；相關(guān)理論：“變式理論”（“概念變

6、式”）。核心思想：如何通過適當(dāng)?shù)淖兓瘞椭鷮W(xué)生掌握相關(guān)概念的本質(zhì)?！案拍钭兪健钡闹饕獌?nèi)容：（1）“標(biāo)準(zhǔn)變式”與“非標(biāo)準(zhǔn)變式”： 教學(xué)中不應(yīng)局限于平時(shí)經(jīng)常用到的一些實(shí)例，而應(yīng)有意識(shí)地引入一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”，從而就可防止學(xué)生將相關(guān)實(shí)例的一些非本質(zhì)特性誤認(rèn)為概念的本質(zhì)特性。（2）“概念變式”與 “非概念變式”：“非概念變式”大致地就相當(dāng)于“反例”，這也就是指，除去“正例”以外，我們?cè)诮虒W(xué)中還應(yīng)給出若干“反例”，這樣通過對(duì)照就可幫助學(xué)生更好掌握概念的本質(zhì)。例 “認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”引入：“分蛋糕”。教師并通過簡短討論引出了這樣一個(gè)結(jié)論：“將一個(gè)蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2?！眴栴}：如何以“變式理論”（概念變

7、式）為指導(dǎo)設(shè)計(jì)教學(xué)從而幫助學(xué)生較好掌握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)？（1） 分割的對(duì)象顯然未必一定要是蛋糕，也可以是紙片或別的什么東西；對(duì)于分割對(duì)象的外形我們也不應(yīng)作任何限制：它們既可以是圓形，也可是方形或任何其它形狀。（2）對(duì)分割方法也可作出一定變化。如就長方形紙片的分割而言，可以橫著折，也可以豎著折，還可鈄著折；另外，除去各個(gè)“正例”以外，我們也應(yīng)引入一定的“反例”，如按照中位線分割的梯形等 （3）作為進(jìn)一步的抽象，我們又應(yīng)由1/2逐步擴(kuò)展到1/3，1/4，乃至2/3，3/4，。從而，如果仍然集中于“將一個(gè)蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2”這一論述，我們就可以說，除去分割的對(duì)象與方法以外，我們也應(yīng)對(duì)“平均

8、分成兩份”中的“兩份”以及所說的“每份”作出適當(dāng)變化。（4）這事實(shí)上也可被看成“非標(biāo)準(zhǔn)變式”的一個(gè)實(shí)例，即分配的對(duì)象也可以是2個(gè)蛋糕、3個(gè)蛋糕，而未必一定要是1個(gè)蛋糕容易看出，這一變化事實(shí)上也就意味著我們已經(jīng)將分析的著眼點(diǎn)由“（平均）分配”這一實(shí)際活動(dòng)轉(zhuǎn)移到了部分與整體之間的關(guān)系，后者并就意味著對(duì)于分?jǐn)?shù)本質(zhì)更為深入的認(rèn)識(shí)。新的重要發(fā)展：由“變式理論”到“多元表征理論”傳統(tǒng)的研究：主要集中于如何能夠通過適當(dāng)?shù)呐e例幫助學(xué)生較好掌握概念的本質(zhì)（單一表征）。新的認(rèn)識(shí)：更加強(qiáng)調(diào)概念內(nèi)在表征（概念意象）的多元性，以及各方面的必要互補(bǔ)與思維的靈活性一些相關(guān)的提法布魯納（1964）的三種意象形式：動(dòng)作的、圖像

9、的，和符號(hào)的；Lesh & Laudan（1983）的“五個(gè)維度”：實(shí)物操作，圖像，日常語言，符號(hào)語言、現(xiàn)實(shí)情景。 必要的概括教學(xué)中應(yīng)當(dāng)很好處理形式與非形式之間的關(guān)系。特別是，我們既應(yīng)高度重視由實(shí)例向嚴(yán)格定義的必要過渡，同時(shí)又應(yīng)適當(dāng)?shù)摹暗问健?，并高度重視認(rèn)識(shí)活動(dòng)的復(fù)雜性（多元性）與整合性。一些具體的教學(xué)建議（1）視覺形象與符號(hào)表征的必要互補(bǔ)：當(dāng)前應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)的環(huán)節(jié)：“教師用手勢(shì)說明自己的表征；或者教師使用空間表征，比如代數(shù)學(xué)習(xí)中的箭頭說明自己的表征；教師并有意識(shí)地促使學(xué)生建構(gòu)和運(yùn)用表征；教師要求學(xué)生以手臂、手指或身體移動(dòng)等展現(xiàn)表征的肌體運(yùn)動(dòng)；”（普雷斯梅杰，2006） （2）日常語言與數(shù)學(xué)語言

10、的必要互補(bǔ)教學(xué)中不應(yīng)停留于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言，而應(yīng)注意應(yīng)用日常語言對(duì)相關(guān)內(nèi)容作出必要的解釋。這事實(shí)上也就是比喻與類比何以在數(shù)學(xué)教學(xué)中同樣具有廣泛應(yīng)用的重要原因，教師并應(yīng)要求學(xué)生用自己的語言說出對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，甚至是感受。關(guān)鍵：我們既應(yīng)對(duì)學(xué)生的非正規(guī)解釋持接受與理解的態(tài)度，同時(shí)又應(yīng)注意維護(hù)數(shù)學(xué)的正式意義。 例 正方形的認(rèn)識(shí)教師：“什么是正方形？”學(xué)生：“方方正正就是正方形?！苯處煟骸笆裁词欠椒秸?？”學(xué)生：“就是四邊相等?！苯處熢诤诎迳袭嫵隽庑?，問：“這個(gè)圖形是否是正方形？”學(xué)生：“不是，因?yàn)樗徽?。”教師又在黑板上畫一個(gè)矩形，問：“這是否正方形？”學(xué)生：“不是！因?yàn)檫@個(gè)圖形不方?！苯處煂W(xué)生回答

11、得正確的結(jié)論寫在黑板上，回答不正確的不寫，最后加以補(bǔ)充總結(jié)，抽象出正方形的定義。（3）操作性認(rèn)識(shí)與結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)的必要互補(bǔ)當(dāng)前應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)的環(huán)節(jié)：活動(dòng)的內(nèi)化；由操作性認(rèn)識(shí)向結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)的必要過渡。相關(guān)的論述：“對(duì)概念教學(xué)，課改以后更為強(qiáng)調(diào)概念的生成，這是正確的。但不能忽視對(duì)概念本身的分析，這可是基本功?！保愑烂?，2008）更為一般的分析具體內(nèi)涵：“為了理解一個(gè)概念，一般說，一是正反舉例；二是扣住定義的關(guān)鍵詞語；三是注意特殊情況；四是與有關(guān)概念進(jìn)行比較，找出概念的區(qū)別和聯(lián)系。” （陳永明，2008）更為一般的論述：概念的生成、分析與組織。數(shù)學(xué)活動(dòng)的兩個(gè)基本形式（1）概念的生成、分析與組織；（2）問題的提

12、出與解決。舉例與“問題解決”“要求學(xué)習(xí)者解決問題時(shí)，必須通過提供相關(guān)案例向?qū)W習(xí)者提供他們不具備的經(jīng)驗(yàn)通過在學(xué)習(xí)環(huán)境中展示相關(guān)案例，向?qū)W習(xí)者提供了一系列的經(jīng)驗(yàn)和他們可能已經(jīng)建構(gòu)的與這些經(jīng)驗(yàn)有關(guān)的知識(shí)，以便與當(dāng)前的問題進(jìn)行對(duì)比?！保▎碳{森 ）相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)“我提倡一題一課，一課多題一節(jié)數(shù)學(xué)課做一道題目，以一道題為例子講解、變化、延伸、拓展，通過師生互動(dòng)、探討、嘗試、修正，最后真正學(xué)到的是很多題的知識(shí)?！保ɡ畛闪迹?010）更為一般的主張“雙基教學(xué)”的必要發(fā)展：基本技能，不應(yīng)求全，而應(yīng)求變；基礎(chǔ)知識(shí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。例 回到“植樹問題”問題：教學(xué)中是否應(yīng)當(dāng)特別重視“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都

13、不種”這樣三種情況的區(qū)分，并要求學(xué)生牢牢地記住相應(yīng)的計(jì)算法則（“加一”、“不加不減”、“減一”），從而在面對(duì)新的類似問題時(shí)就能不假思索地直接應(yīng)用？有益的思考就“植樹問題”而言，在現(xiàn)實(shí)中是否真的只有“兩端都種”、“只種一端”、“兩端都不種”這樣三種情況？ 對(duì)于其它的可能情況我們又是否也應(yīng)要求學(xué)生總結(jié)出相關(guān)類型，并牢牢記住相應(yīng)的“規(guī)律”（“加二”、“減二”、“乘二”、“除二”）？ 插入：一個(gè)“反例”教學(xué)中的“病態(tài)現(xiàn)象”（施銀燕，小學(xué)教學(xué)，2011年第4期）：“小明踢球，從3時(shí)踢到5時(shí)，他踢了幾小時(shí)？”我的孩子有得3小時(shí)的，通過數(shù)數(shù)就能檢驗(yàn)出是錯(cuò)誤的，他們卻深信不疑：我們學(xué)過植樹問題，5-3+1=3

14、?！辈煌慕Y(jié)論所謂的“加一”、“減一”等法則都是針對(duì)具體情況作出的變化從而，在此所需要的就不是“規(guī)律的應(yīng)用”；而是思維的靈活性，也即如何能夠通過基本模式的適當(dāng)變化適應(yīng)變化了的情況?；仡櫍夯痉▌t的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求變！ 小結(jié)“善于舉例”的主要意義即是有利于真正實(shí)現(xiàn)“理解學(xué)習(xí)”。相關(guān)的研究不應(yīng)局限于如何能夠針對(duì)具體的教學(xué)內(nèi)容選擇出適當(dāng)?shù)摹袄印?，而?yīng)更加重視如何很好地去處理數(shù)學(xué)的形式方面與非形式方面之間的關(guān)系?；炯寄艿膶W(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求變。二、“善于提問”與數(shù)學(xué)教學(xué)1. “問題”對(duì)于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊重要性。（1）從數(shù)學(xué)的角度看：數(shù)學(xué)發(fā)展的基本模式：問題問題解決新的研究問題 。這就是

15、指，“問題”可以被看成數(shù)學(xué)研究活動(dòng)的實(shí)際出發(fā)點(diǎn)。每個(gè)數(shù)學(xué)分支并都具有自己特殊的基本問題，相應(yīng)的理論正是圍繞這些問題得到建立的。（2）從教學(xué)的角度看教學(xué)活動(dòng)實(shí)現(xiàn)”雙中心”的關(guān)鍵。中國數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)優(yōu)秀傳統(tǒng)：“教師試圖獲得一種平衡，教學(xué)也就變得既以學(xué)生為中心又以教師為中心。”（ 馬飛龍， “什么是好的教學(xué)？”，人民教育，2009年第8期） 國際上的相關(guān)研究“那些自詡為絕對(duì)真理的建議，無論認(rèn)為教學(xué)應(yīng)當(dāng)完全以學(xué)生為中心，還是認(rèn)為教學(xué)應(yīng)當(dāng)完全由教師主導(dǎo)，都得不到研究的支持，因此不應(yīng)當(dāng)遵循。采取何種教學(xué)方法應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體情況來決定?！保绹鴶?shù)學(xué)咨詢委員會(huì)最終報(bào)告）進(jìn)一步的思考在教學(xué)中如何才能真正做到既尊重學(xué)

16、生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體作用，同時(shí)又能充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用？一些相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)“河南省濮陽市第四中學(xué)教學(xué)改革紀(jì)實(shí)” （人民教育，2009年第6期） ：“老師和學(xué)生都應(yīng)以問題為中心進(jìn)行雙向的互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)雙主體的雙互動(dòng)?！薄斑|寧省調(diào)兵山市教育內(nèi)涵發(fā)展紀(jì)實(shí)”，人民教育，2011年第20期）：“2003年教育局提出以問題為中心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)， 經(jīng)過8年摸索和實(shí)踐，形成教學(xué)模式，2011年正式命名為問題引導(dǎo)教學(xué)法?！保?）聚焦數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中調(diào)動(dòng)學(xué)生好奇心、上進(jìn)心的一個(gè)有效手段。教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)善于提出既有一定挑戰(zhàn)性、同時(shí)又與學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng)的問題，從而就能很好調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心，積極地去進(jìn)行學(xué)習(xí)，包括深入地

17、去進(jìn)行思考。必要的提醒：對(duì)于“問題情境”的正確理解“問題情境”不應(yīng)簡單地被等同于“生活情境”。一個(gè)有益的分析： 關(guān)于“情境設(shè)計(jì)” 與“啟發(fā)性導(dǎo)入”的比較。（張奠宙，2010）相關(guān)的論述中國的數(shù)學(xué)課堂中有許多獨(dú)特的導(dǎo)入方式，除了現(xiàn)實(shí)“情境呈現(xiàn)”之外，還包括“假想模似”、“懸念設(shè)置”、“故事陳述”、“舊課復(fù)習(xí)”、“提問誘導(dǎo)”、“習(xí)題評(píng)點(diǎn)”、“鋪墊搭橋”、“比較剖析”等手段。從學(xué)生的日常生活情境出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，只能是啟發(fā)性“導(dǎo)入”的一種加強(qiáng)和補(bǔ)充，不能取消或代替“導(dǎo)入”教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置。 “導(dǎo)入的價(jià)值和實(shí)行的辦法是要思考的問題”教學(xué)中的關(guān)鍵如何很好地去處理教學(xué)的“預(yù)設(shè)性”與“生成性”之間的關(guān)系，也即

18、如何能夠圍繞核心問題去進(jìn)行教學(xué)，同時(shí)又能使之真正成為學(xué)生自己的問題，包括針對(duì)學(xué)生的具體情況作出必要的調(diào)整？例1 “異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)（吳正憲） 教師出示了這樣3道題：1/4 + 7/12=？ 1/4 + 5/6=？ 1/4 1/7=？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囎?。學(xué)生做完訂正后，老師又提了這樣幾個(gè)問題：問題1：這3道題同學(xué)們都把異分母轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意什么？問題2：轉(zhuǎn)化的目的是什么？問題3：通過計(jì)算，你認(rèn)為異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法是什么？問題4：在計(jì)算時(shí)要注意什么問題？例2 “百分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)（黃愛華） 教學(xué)中教師首先要求學(xué)生自由地提出各種與百分?jǐn)?shù)直接相關(guān)的問題；但與“放任自流”不同，

19、教師通過對(duì)學(xué)生提出的問題進(jìn)行梳理歸納出了以下幾個(gè)問題：問題1：什么是百分?jǐn)?shù)的意義？問題2：百分?jǐn)?shù)有什么好處？問題3：在什么情況下用百分?jǐn)?shù)？問題4：百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)比較有什么不同？2. 聚焦數(shù)學(xué)思維現(xiàn)實(shí)分析：重視課堂提問是中國數(shù)學(xué)教學(xué)的又一重要特色。存在的問題：“問題”多而不精。方向：努力增強(qiáng)課堂提問的“啟發(fā)性”。例 韋達(dá)定理的教學(xué)兩種不同的提問方式和教學(xué)設(shè)計(jì)：（1）先列表讓學(xué)生填充，然后問：你認(rèn)為根與系數(shù)有什么關(guān)系？（2）直接問：什么是一元二次方程的主要成分？在一元二次方程的根與系數(shù)可能存在什么樣的關(guān)系？如何去作出發(fā)現(xiàn)？又應(yīng)如何去證明？ 方程 X1X2X1 +X2X1 X2X2X -12 = 0X

20、2 6X +5 = 0X2 2X -35 = 0“啟發(fā)性”的基本涵義既有一定的啟示意義，即是有利于促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展；但又非對(duì)于學(xué)生的硬性規(guī)范，而是有一定的開放性或自由度，也即能給學(xué)生的獨(dú)立思考留下充分的空間。更為一般的論述“教師的工作是通過向?qū)W生問他們應(yīng)當(dāng)自己問自己的問題來對(duì)學(xué)習(xí)和問題解決進(jìn)行指導(dǎo)。這是參與性的，不是指示性的；其基礎(chǔ)不是要尋找正確答案，而是針對(duì)專業(yè)的問題解決者當(dāng)時(shí)會(huì)向自己提出的那些問題?！保ò屠寂c達(dá)菲）“像數(shù)學(xué)家那樣去提出問題、分析問題、解決問題”。核心思想：“善于提問”與“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”。數(shù)學(xué)教育的重要生長點(diǎn)。什么是一堂好的數(shù)學(xué)課？應(yīng)當(dāng)超越知識(shí)的教學(xué)并努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教

21、育的“三維目標(biāo)”。核心：用思維方法的分析帶動(dòng)具體知識(shí)的教學(xué)，并通過思維方法的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成相關(guān)的“情感態(tài)度與價(jià)值觀”。數(shù)學(xué)教學(xué)的適當(dāng)定位：智性教學(xué)。插入：教師的三個(gè)境界僅僅停留于知識(shí)的層面：教師匠；能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維：智者；無形的文化熏陶：大師！“善于提問”與數(shù)學(xué)地思維（1）：聚焦“問題解決”波利亞的貢獻(xiàn)：波利亞：“問題解決”現(xiàn)代研究的主要奠基者。代表性著作：怎樣解題；數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)；數(shù)學(xué)與猜想。主要工作：“數(shù)學(xué)啟發(fā)法” （解題策略）的研究實(shí)質(zhì)：“一些定型的問題和建議”。解題過程的四個(gè)步驟：（1）弄清問題；（2）擬定計(jì)劃；（3）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；（4）回顧。（1）“弄清問題”。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)

22、是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 例 “找次品問題”的教學(xué)問題：如果243個(gè)產(chǎn)品（螺絲釘）中有一個(gè)次品（較輕），用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？教學(xué)中的兩個(gè)關(guān)鍵：（1）如何幫助學(xué)生很好地理解題意？（2）特殊化方法的適當(dāng)應(yīng)用。 具體化（1）弄清條件。什么是天平的主要特點(diǎn)？對(duì)于所需檢驗(yàn)的產(chǎn)品、特別是次品我們知道些什么？ （2）明確目標(biāo)。什么是“至少稱幾次能保證將把它找出來”的準(zhǔn)確涵義？ 教學(xué)建議第一，教學(xué)中不應(yīng)停留于詞語的分析，而應(yīng)通過實(shí)例使學(xué)生獲得切實(shí)的體驗(yàn)。 第二，就所說的特例而言，我們并可首先圍繞日常生活中經(jīng)

23、常會(huì)想到的一些問題去組織學(xué)生進(jìn)行討論，如“如果運(yùn)氣好的話，只要稱幾次就可以了？”“如果有幾種不同的稱法，這幾種方法中哪一種方法最好？”關(guān)鍵教學(xué)中必須超越日常生活過渡到數(shù)學(xué)思維，后者又不僅是指用數(shù)學(xué)語言去逐漸取代日常語言，包括由不精確的語言逐步過渡到精確的表述，更是指這樣一種思維方式：我們?cè)诖怂P(guān)注的已不是現(xiàn)實(shí)中究竟會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況，而是如何能夠基于各種可能性的綜合思考得出普遍性的結(jié)論。對(duì)于波利亞的“超越”背景：20世紀(jì)80年代的改革運(yùn)動(dòng)：“問題解決”實(shí)踐中的問題：為什么學(xué)了“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”學(xué)生還是不會(huì)解題？認(rèn)識(shí)的重要發(fā)展：除去“解題策略”以外，我們還應(yīng)高度重視其它的一些環(huán)節(jié)，特別是，元認(rèn)知的發(fā)

24、展，正確觀（信）念的養(yǎng)成。聚焦“元認(rèn)知”：一項(xiàng)比較研究不成功的解題者往往采取“盲目干”的作法，即是不加思考地采取某一方法或解題途徑，或總是在各種可能的“解題途徑”之間徘徊，而對(duì)自己在干什么、特別是為什么要這樣干始終缺乏明確的認(rèn)識(shí)；另外，在沿著某一解題途徑走下去時(shí)，又往往不能對(duì)自己目前的處境作出清醒的評(píng)估并由此而作出必要的調(diào)整，卻只是“一股勁地往前走”，直至最終陷入了僵局而一無所措。“好的解題者”在采用某一方法或解題途徑前能對(duì)各種可能性進(jìn)行仔細(xì)的考慮；在整個(gè)解題過程中也能始終作到“心中有數(shù)”，即清楚地知道自己在干什么和為什么要這樣干；他們并能對(duì)目前的處境作出清醒的自我評(píng)估，從而就能夠及時(shí)作出必要

25、的調(diào)整；即使出現(xiàn)了錯(cuò)誤他們也不會(huì)輕易地拋棄已有的工作，而是力圖從中吸取有益的成分；最后，在成功地解決了問題以后，他們又能自覺地對(duì)所已進(jìn)行的工作作出回顧，特別是深入地思考是否還存在更為有效的解題途徑 相應(yīng)的教學(xué)措施元認(rèn)知：對(duì)于自身所從事的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的自我意識(shí)、自我評(píng)估與及時(shí)調(diào)整。元認(rèn)知與“教師的適當(dāng)提問”：什么？為什么？如何？更高的目標(biāo)：幫助學(xué)生養(yǎng)成相應(yīng)的提問習(xí)慣?！吧朴谔釂枴迸c數(shù)學(xué)地思維（2）：努力提高學(xué)生提出問題的能力 “問題解決”這一數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)的又一重要啟示或教訓(xùn)。關(guān)鍵：“取得解答，繼續(xù)前進(jìn)?！焙诵模焊叨戎匾晫W(xué)生提出問題能力的培養(yǎng)。 從數(shù)學(xué)思維的角度看數(shù)學(xué)家們總是不滿足于某些具體結(jié)果或

26、結(jié)論的獲得，而是希望能夠獲得更為深入的理解，后者不僅直接導(dǎo)致了對(duì)于嚴(yán)格的邏輯證明的尋求，也促使數(shù)學(xué)家積極地去從事進(jìn)一步的研究，如在這些看上去并無聯(lián)系的事實(shí)背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實(shí)能否被納入某個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？等等；數(shù)學(xué)家們也總是希望能達(dá)到更大的簡單性和精致性，如是否存在更為簡單的證明？能否對(duì)相應(yīng)的表述方式（包括符號(hào)等）作出改進(jìn)？等等。 兩個(gè)基本認(rèn)識(shí)（1）應(yīng)當(dāng)同樣重視學(xué)生解決問題能力與提出問題能力的提高。（2）正如“解題策略”的學(xué)習(xí)，學(xué)生提出問題能力的提高也有一個(gè)后天學(xué)習(xí)的過程，我們并應(yīng)深入地去研究相應(yīng)的“提問策略”?，F(xiàn)實(shí)中應(yīng)當(dāng)注意糾正的現(xiàn)象：（1）滿足于“簡單模仿”；（2）將“創(chuàng)

27、新”等同于“標(biāo)新立異”。例 “提問與“從眾”（祝家林）相關(guān)信息：故事書每套12元，連環(huán)畫每套15元，科學(xué)書每套18元。原題：買5套故事書和2套連環(huán)畫，一共要付多少錢？解答：125+152=60+30=90（元）提問與“模仿”教師：誰還能再提一個(gè)問題？（1）買3套故事書和5套連環(huán)畫，一共要付多少錢？ （2）買4套故事書和3套連環(huán)畫，一共要付多少錢？（3）買2套故事書和6套連環(huán)畫，一共要付多少錢？關(guān)鍵教師在這方面應(yīng)當(dāng)發(fā)揮重要的指導(dǎo)作用，即如通過對(duì)于學(xué)生所提出的各種問題的及時(shí)評(píng)價(jià)作出必要的引導(dǎo)；另外，教師在教學(xué)中也應(yīng)切實(shí)起到“身傳言教”的作用。加強(qiáng)自身學(xué)習(xí)的必要性。提出問題的具體策略一般化。 求變（

28、加大難度）。 反向思維（focus backward）例1 回到“找次品問題”原先的問題：如果243個(gè)螺絲釘中有一個(gè)次品較輕，用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？一般化：如果n個(gè)螺絲釘中有一個(gè)次品較輕，用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？求變（1） 如果事先只知道“次品重量不一樣”，而不是“次品較輕”，結(jié)果有什么不同？（2）如果事先知道有兩個(gè)次品，而不是只有一個(gè)次品較輕，結(jié)果有什么不同？例2 錢幣問題（反向思維）原題：試計(jì)算出3個(gè)5角的硬幣與4個(gè)1元的硬幣的總面值。 問題1：如何用5角的硬幣與1元的硬幣合成5元5角？問題2：能否完全用5角的硬幣合成5元5角？問題3：能否完全用1元的硬幣合成5元

29、5角？問題4：如果用5角與1元的硬幣合成5元5角，怎樣搭配可以使得所使用的硬幣的數(shù)目最少？不同的視角：“提出問題”與學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)相應(yīng)的提問策略：（1）為什么？（2）同與不同？（3）回頭看。小結(jié)“善于提問”的基本意義之一即是有利于學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。這并直接關(guān)系到了教學(xué)中如何能夠很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)的“雙中心”。 三、“善于優(yōu)化”與數(shù)學(xué)教學(xué) 1. “優(yōu)化”對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性。應(yīng)有的思考：什么是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展過程的主要形式，是“同化”還是“順應(yīng)”？有益的視角：語文教學(xué)反照下的數(shù)學(xué)教學(xué)“如果說語文教學(xué)是一種以情感帶動(dòng)知識(shí)學(xué)習(xí)的情知教學(xué)，那么，數(shù)學(xué)教學(xué)就主要是以知貽情”，即

30、是希望通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“幫助學(xué)生養(yǎng)成一種新的精神；一種新的認(rèn)識(shí)方式；一種新的追求；一種不同的美感；一種深層次的快樂：由智力滿足帶來的快樂；一種新的情感：超越世俗的平和；一種新的性格：善于獨(dú)立思考，不怕失敗，勇于堅(jiān)持?！?相關(guān)的結(jié)論數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是一個(gè)文化繼承的過程，特別是，我們即應(yīng)清楚地看到數(shù)學(xué)思維與相應(yīng)的“情感、態(tài)度與價(jià)值”的后天獲得性。相關(guān)的理論分析數(shù)學(xué)發(fā)展的兩個(gè)不同方向：“水平方向”上的發(fā)展，與“垂直方向”上的發(fā)展。“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是一個(gè)連續(xù)過程，它必須重新組織、重新認(rèn)識(shí)，有時(shí)甚至要與以前的知識(shí)和思考模式真正決裂?！?（M. Artique，2004）插入：一個(gè)值得思考的問題“學(xué)生主動(dòng)探究”作為

31、一種教學(xué)方法是否有其一定的局限性或適用范圍？進(jìn)一步的結(jié)論應(yīng)當(dāng)明確肯定“優(yōu)化”對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性，反對(duì)放任自流。具體涵義：（1）顯性層面：方法的改進(jìn)；結(jié)論的推廣；更好的表述方法的引入；（2）隱性層面，觀念的更新，新的品格的養(yǎng)成；例 學(xué)生的“規(guī)律性錯(cuò)誤”有理數(shù)乘除法教學(xué)中經(jīng)?？梢钥吹降囊粋€(gè)現(xiàn)象：盡管兩個(gè)問題具有完全相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，學(xué)生卻采用了不同的運(yùn)算去進(jìn)行求解：（1）某種奶酪的售價(jià)為每公斤28元，5公斤這樣的奶酪售價(jià)是多少？（2）某種奶酪的售價(jià)為每公斤27.5元，0.92公斤這樣的奶酪售價(jià)是多少？ 分析大多數(shù)學(xué)生正是通過先前的學(xué)習(xí)逐漸形成了關(guān)于乘除運(yùn)算的一些觀念，特別是，由于學(xué)生在開始學(xué)習(xí)

32、乘除法時(shí)所接觸到的都是自然數(shù)，因此就很容易形成以下的觀念：“乘法總是使數(shù)變大，除法則總是使數(shù)變小?！?相關(guān)的結(jié)論這正是數(shù)學(xué)教學(xué)中所說的“優(yōu)化”的一個(gè)重要涵義：我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生及時(shí)糾正各種不恰當(dāng)或錯(cuò)誤的觀念，包括對(duì)知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)等作出必要的調(diào)整與發(fā)展。 2. 教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)“優(yōu)化”？關(guān)鍵：應(yīng)使“優(yōu)化”成為學(xué)生的自覺行為，而不是外部的強(qiáng)制規(guī)范。一些特別重要的環(huán)節(jié)：（1）多元化；（2）比較；（3）反思。進(jìn)一步的分析（1）多元化應(yīng)當(dāng)被看成優(yōu)化、特別是比較的必要前提。從而，我們?cè)诮虒W(xué)中就不應(yīng)為了“多元化”而多元化，更不是越多越好！比較的主要功能：誘發(fā)反思與總結(jié)，從而就能自覺地實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。 例1 “問題解決

33、”的教學(xué)（解題策略：畫圖）問題：動(dòng)物車展，第一天賣了65輛車，第二天銷量增加了1/5，問：第二天賣了多少？教學(xué)重點(diǎn)：畫圖策略相關(guān)的思考為了促進(jìn)學(xué)生間的積極互動(dòng)，我們?cè)谡n堂上是否應(yīng)當(dāng)充分展示各種不同的畫法，即是讓更多學(xué)生向其它學(xué)生展示自己的畫法，如直接畫65個(gè)小圈，畫5個(gè)圈去代表65輛車，等等？教學(xué)中的常態(tài)上來展示的學(xué)生越多，效果似乎就越差：大多數(shù)學(xué)生對(duì)于其它學(xué)生所采取的方法往往視而不見，根本不予關(guān)心，更不用說與自己的方法進(jìn)行比較。 回顧：教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)第一，加強(qiáng)比較；第二，通過比較誘發(fā)反思與總結(jié)，從而使得優(yōu)化真正成為學(xué)生的自覺行為。例2 “估算教學(xué)實(shí)錄”（吳正憲） 引入（1）：“青青和媽媽一

34、起到超市購物，一共買了五種商品，媽媽帶了200元錢，不知夠不夠？”。引入（2）：“曹沖稱象：六次稱石頭所得出的重量分別為328、346、307、377、398和352斤。大象大概重多少？”教學(xué)實(shí)錄（1）教師以實(shí)例為背景并通過實(shí)際估算和交流總結(jié)清楚地展示了估算方法的多樣性。幾種不同的估算方法：生1采取了所謂的“小估”、即是往小里估的方法3006=1800；生2采取了大估、也即往大里估的方法： 4006=2400：也有學(xué)生（生3）堅(jiān)持認(rèn)為精確計(jì)算要比估算好。 教學(xué)實(shí)錄（2）師：“我們繼續(xù)研究，精確值是2108千克。同學(xué)們，看著這個(gè)精確計(jì)算的結(jié)果，再看看同學(xué)們估的結(jié)果：2400，2100，2080，

35、1800此時(shí)此刻，你想對(duì)剛才自己的估算結(jié)果作一點(diǎn)評(píng)價(jià)或思考嗎？”生1：“我估的是1800。我覺得我估得太少了，那些數(shù)當(dāng)中有一個(gè)是398，我把它估成300了，與實(shí)際結(jié)果差的就遠(yuǎn)些了，現(xiàn)在我覺得應(yīng)該估成400就更好了，我估少了?！睅煟骸澳愫苌朴谒伎迹鋵?shí)你估的結(jié)果已經(jīng)可以了，但是你還能在與他人的比較中發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)行調(diào)整，老師為你這種精神而感動(dòng)?！睅煟骸按蠊涝谀哪?？你一定由感而發(fā)，說說看?！鄙骸拔腋杏X我估大了。我把307這樣的數(shù)看成400了，估得有些遠(yuǎn)了。如果縮小一點(diǎn)，可能就估得準(zhǔn)一點(diǎn)。我很佩服湊調(diào)估，人家在估算中還能調(diào)整調(diào)整，這樣估比較接近準(zhǔn)確值?！睅煟骸捌鋵?shí)你已經(jīng)很不錯(cuò)了，你不僅主動(dòng)地反思自己

36、結(jié)果離得遠(yuǎn)了點(diǎn)，更讓我感動(dòng)的是你還在反思中發(fā)自內(nèi)心地去欣賞別人，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們好的方法，這樣學(xué)習(xí)進(jìn)步會(huì)更快?！睅煟骸昂昧?，同學(xué)們，你們做出了很好的自我評(píng)價(jià)。那么，用精算的那兩個(gè)同學(xué)你們算對(duì)了嗎？”生3：“我覺得這些數(shù)相加的確不是很好算，再說求大象的體重，沒有必要精算。我那樣一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的算太麻煩了，太慢了。這時(shí)用估算還是比我的方法好?！睅煟骸澳惆l(fā)現(xiàn)這里就問你大象大概重多少不需要精算，估算就得了唄，是吧？（生1點(diǎn)頭）感謝你！”從教學(xué)的角度看教師在必要時(shí)并可通過適當(dāng)?shù)呐e例與提問促進(jìn)學(xué)生的總結(jié)與反思?！叭?xiàng)基本功”的辯證關(guān)系：優(yōu)化是目標(biāo)；適當(dāng)?shù)呐e例與提問則是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的有效手段。進(jìn)一步的分析（2）背景

37、：時(shí)代所賦予教育的一個(gè)重要使命，即應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神（與實(shí)踐能力）。應(yīng)有的認(rèn)識(shí)：創(chuàng)新標(biāo)新立異！核心：創(chuàng)新一定是一種“優(yōu)化”（創(chuàng)新的合理性）！當(dāng)前的一個(gè)缺失兩種不同的思考方式：即興型的思考與長時(shí)間的思考。當(dāng)前教學(xué)中的一個(gè)常見問題：集中于即興型思考能力的培養(yǎng)。應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的長時(shí)間思考。相關(guān)的論述“我認(rèn)為思考問題的態(tài)度有兩種：一種是花費(fèi)較短時(shí)間的即席思考型；一種是較長時(shí)間的長期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據(jù)思考的對(duì)象自由自在地分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人。但是，現(xiàn)在的教育環(huán)境不是一個(gè)充分培養(yǎng)長期思考型的環(huán)境。沒有長期思考型訓(xùn)練的人，是不會(huì)深刻地思考問題的。無論怎樣訓(xùn)練即席型思考

38、，也不會(huì)掌握前面談過的智慧深度?！保◤V中平佑）進(jìn)一步的分析（3）另一應(yīng)當(dāng)防止的傾向：強(qiáng)制的統(tǒng)一；恰恰相反，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)允許一定的“路徑差”與“時(shí)間差”，同時(shí)又應(yīng)堅(jiān)持“優(yōu)化”這樣一個(gè)目標(biāo)。一些相關(guān)的提法：“教師不要太聰明”；“道法自然”；“不著痕跡的引導(dǎo)”。教學(xué)工作藝術(shù)性的又一重要體現(xiàn)。（4）必要的提醒除去所已提及的各個(gè)方面，我們并應(yīng)從更為廣泛的角度理解“優(yōu)化”的涵義?！罢Z言”的優(yōu)化：特別是，相對(duì)于由“非數(shù)學(xué)語言”向純粹的“數(shù)學(xué)語言”的過渡這一顯性涵義以外，我們還應(yīng)看到詞語的擴(kuò)展、功能的強(qiáng)化（更加精確、強(qiáng)大，以及由單純的交流過渡到論證的功能），直至語言基本性質(zhì)的變化（“非個(gè)性化”、“客觀化”與“標(biāo)準(zhǔn)化”，歐內(nèi)斯特語），等等。小結(jié)“優(yōu)化”正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本形式。我們并應(yīng)聯(lián)系數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)更為深入地理解“優(yōu)化”的特殊重要性。我們?cè)诮虒W(xué)中并應(yīng)努力使之成為學(xué)生的自覺行為，而并非外部的強(qiáng)制規(guī)范。總結(jié)：數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功：（1）善于舉例； （2）善于提問；（3）善于比較與優(yōu)化。注意三者的辯證關(guān)系，并能結(jié)合自己的個(gè)性特征創(chuàng)造性地加