分析力學試題與標答

1、武漢理工大學考試試題紙A卷）課程名稱分析力學專業(yè)班級工力0901、02、1001、02、03題號-一一-二二三四五六七八九十總分題分102030151015100備注:學生不得在試題紙上答題（含填空題、選擇題等客觀題）、試推導質(zhì)點系理想約束情況下的動力學普遍方程，并寫出解析表達式。（10分）x二、已知均質(zhì)桿AB和AB桿重為P和P，不計112212各處摩擦，試用虛位移原理求平衡時aB角應滿足的關(guān)系。（20分）三、均質(zhì)圓柱體半徑R,質(zhì)量為M,沿直線軌道做無滑動滾動，在圓心用鉸鏈連接一長為l的剛性桿OA，不計桿的質(zhì)量，桿的A端有一質(zhì)量為m的小球,構(gòu)成一單擺。試用拉格朗日方程求系統(tǒng)的運動微分方程，并寫

2、出其初積分。（30分）四、具有水平軌道的管子可繞鉛直軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m的小球無摩擦地沿管子滑動。管子的轉(zhuǎn)動慣量為J=mR2，作用在小球上的力具有勢函數(shù)V（r）。試用哈密頓正則方程建立系統(tǒng)的運動微分方程。（15分）五、質(zhì)量為m的物體放在光滑水平面上，剛性系數(shù)為k的彈簧水平放置，一端與物塊相連，另一端固結(jié)在豎直墻面上，試由哈密頓原理求物體的振動微分方程。（10分）hA六、圖示均質(zhì)桿OA長l=3m，質(zhì)量為m=2kg；O為鉸鏈，A端連一彈簧，剛度系數(shù)為k=4N/m。彈簧原長為l0=1.2m，h=3.6m。試用勢力場質(zhì)點系的平衡條件求平衡時的角度3,并討論平衡的穩(wěn)定性。（15分）tanP（2分）21、2、

3、武漢理工大學教務處試題標準答案及評分標準用紙課程名稱分析力學（A卷）解：質(zhì)系n個質(zhì)點，第i個質(zhì)點質(zhì)量m：,主動力合力耳，約束反力FNi，由達朗伯原理F+F+F=0iNigi給質(zhì)點系一虛位移，第i質(zhì)點的虛位移為5r，i由虛位移原理（F+F+F）-5r=0iNigii對上式求和工（F+F+F）-5r=0iNigii理想約束情況下工F-5r=0Nii于是有工（F+F）-5r二0或工（Fma）-5r二oigiiiiii解析表達式為Y（X-mx）-5x+（Y一my）-5y+（Z一mz）-5z=iiiiiiiiiiii解：以系統(tǒng)為研究對象，單自由度，以a為廣義坐標。y=lsinay=lsinPC2C222

4、5y=11cosa5aC1215y=lcosP5PC222由虛位移原理一P5y一P5y=01C12C2-Plcosa5a-PLeosP5P=01222而lcosa+1cosP=L2兩邊求變分一lsina5alsinP5P=0即2lsina5卩=一才5asinP2(-Plcosa+Pl2cosPd122222sinP問二02V5a豐0lllsinaPcosa+P-2cosP=0222lsinP2慣性力Fgi=-mai（3分）（3分）（2分）（1分）0（1分）（4分）（4分）（2分）（4分）（2分）（2分）Ptana二牙4分）r3、解：系統(tǒng)有兩個自由度，以x、（p為廣義坐標x=x+1sin申y=_

5、lcos申AAx=x+19cos9AT=1Mx2+1J22yF=19Fsin9A()2+1m(x2+12(p2+21x9cos9)Or2以x軸為零勢能位置，V=-mg1cos931L=T-V=Mx2+m(x2+12(p2+2ix(pcos9)+mglcos942QL3=(M+m)x+m19cos94、-QL=ml29+mixcos9Q9QL=-m1x9sin9-mglsin9Q9dQLQL帶入拉格朗日方程丁)-=0有dtQqQqkk3(2M+m)x+m19cos9一mlcp2sin9=01(j)+xcos9+gsin9=0定常約束，保守系統(tǒng)，有能量積分31T+V=Mx2+m(x2+12(p2+

6、21x9cos9)-mglcos9=E42x為可遺坐標，有循環(huán)積分3(2M+m)x+m19cos9=C解：系統(tǒng)有兩個自由度，以管子轉(zhuǎn)角p、r為廣義坐標T=1J92+2m(r2+r292)=imr2+1m(R2+r2)92p=m(R2+r2)99Q99-=P9m(R2+r2)4分）（2分）（2分）（2分）（4分）（2分）（2分）（2分）（5分）（5分）（2分）（3分）（4分）QTp=m廠rQFH=T-T+V=1mr2+20211m(R2+r2)92+V(r)=(p2+22mrp29r2+R2)+V(r)2分）由哈密頓正則方程有QHp9=9Qpm(r2+R2)9QHQ9QHQppmp=rrp29Q

7、rm(r2+R2)2drQHdV0，穩(wěn)定位置。分）5、解：單自由系統(tǒng)，以彈簧伸長為廣義坐標，原長為零勢能位置L=T一V=mx2一kx222則哈密頓作用量為S=J12Ldtt由哈密頓原理，8S=0訂12Ldt=ft28Ldt=ft2mx8xdt-f12kx8xdt=0t式中t2J12x8xdt=x8xti=8則=0,12J2Ji-JJ2x8xdtJi2分）（2分）（2分）2分）（i分）ti故JJ2x8xdt=-JJ2x8xdtJttitiJJ2(mx+kx)8xdt=0ti其中8x是獨立的任意變量,mx+kx=0代回原式，有系統(tǒng)的微分方程為i分）6、解：單自由度，。為廣義坐標。設B處為重力零勢能點，彈簧原長為彈性勢能零勢能位置。AB=12+h2-2hlcos0V=mglcos0+k(AB-1)2220dVd0=sin0令空=0d0sin0=0,cos0=-mgl+khl(1-hllkhlk-mgl25丿=c2hl（2分）2分）（3分）因而有三個平衡位置0i=O02=兀，03=arcco