九年級(jí)數(shù)學(xué)-相似三角形經(jīng)典練習(xí)題及參考答案

1、相似三角形經(jīng)典練習(xí)題及參考答案例1從下面這些三角形中，選出相似的三角形.例2 已知：如圖，oABCH1, AE:EB果S AEF 6cm2,求 S CDF 1:2,求 AEF與 CDF的周長(zhǎng)的比，如例3 如圖，已知 ABDs ACE,求證：ABCs ADE .例4下列命題中哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？(1)所有的直角三角形都相似.(2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似.(4)所有的等邊三角形都相似.例5如圖，D點(diǎn)是ABC的邊AC上的一點(diǎn)，過D點(diǎn)畫線段DE使點(diǎn)E在ABC的 邊上，并且點(diǎn)D點(diǎn)E和ABC的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與 ABC相似.盡可能 多地畫出滿足條件的圖形，并

2、說明線段 DE的畫法.例6如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺， 站在距電線桿約30米的地方, 把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約 12個(gè)分畫恰好遮住電線桿，已知手臂 長(zhǎng)約60厘米，求電線桿的高.例7如圖，小明為了測(cè)量一高樓 MN勺高，在離N點(diǎn)20m的A處放了一個(gè)平面 鏡，小明沿NA后退到04,正好從鏡中看到樓頂 M點(diǎn)，若AC 1.5m,小明的眼 睛離地面的高度為1.6m,請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下樓房的高度（精確到 0.1m）.C AN例8格點(diǎn)圖中的兩個(gè)三角形是否是相似三角形，說明理由.例9根據(jù)下列各組條件，判定 ABC和ABC是否相似，并說明理由：(1)AB3.5cm, BC 2.5cm,CA

3、 4cm, A B24.5cm, B C17.5cm,C A 28cm.A35 , B 104 , C 44 , A 35 .(3)AB3, BC 2.6, B 48 , A B 1.5, BC1.3, B 48.例10如圖，下列每個(gè)圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用 字母表示出來，并簡(jiǎn)要說明識(shí)別的根據(jù).例11已知：如圖，在 ABC中，AB AC, A 36,BD是角平分線，試?yán)萌切?相似的關(guān)系說明AD2 DC AC .例12已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13,與其相似的 ABC的最大邊長(zhǎng)為26,求ABC的面積S.例13在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高

4、度，然后回來交流各自的測(cè)量方法.小芳的測(cè)量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處，這時(shí)目測(cè)旗桿頂部 A與竹 竿頂部E恰好在同一直線上，又測(cè)得G D兩點(diǎn)的距離為3米，小芳的目高為1.5 米，這樣便可知道旗桿的高.你認(rèn)為這種測(cè)量方法是否可行？請(qǐng)說明理由.例14.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在河的這一邊選點(diǎn) B和C,使AB BC,然后再選點(diǎn)E,使EC BC ,確定BC 與AE的交點(diǎn)為D,測(cè)得BD 120米，DC 60米，EC 50米，你能求出兩岸之間 AB的大致距離嗎？例15.如圖，為了求出海島上的山峰 AB的高度，

5、在D和F處樹立標(biāo)桿D5口 F 標(biāo)桿的高都是3丈，相隔1000步(1步等于5尺)，并且AB C濟(jì)DEF在同一平 面內(nèi)，從標(biāo)桿DCM后123步的G處，可看到山峰A和標(biāo)桿頂端C在一直線上， 從標(biāo)桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標(biāo)桿頂端E在一直線上.求山峰 的高度AB及它和標(biāo)桿CD的水平距離BD#是多少？(古代問題)例16如圖，已知 ABC勺邊AB= 2V3, AC= 2, BQi上白高AD=花.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)如果有一個(gè)正方形的邊在 AB上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在 AC BC上，求這個(gè)正方形的面積.BJJ相似三角形經(jīng)典習(xí)題答案例1.解、相似，、相似，、相似例2. 解ABCD 是平行四邊形

6、，AB/CD,AB CD, /. AEF s CDF ,又 AE:EB 1:2,AE:CD 1:3,AEF 與 CDF 的周長(zhǎng)的比是 1： 3.又 SL (1)2,Saef 6(cm2) , S cdf 54(cm2). S CDF 3例3分析 由于 ABD s ACE ,貝U BAD CAE ,因止匕BAC DAE ,如果再進(jìn) 一步證明幽CA,則問題得證.AD AE證明 : ABD s ACE ,. BAD CAE .又 BAC BAD DAC ,DAE DAC CAE , BAC DAE .ABD s ACE, 在ABC和ADE中,AB AC AD AE .AB BAC ADE,- ADA

7、l，ABCs ADE例4.分析（1）不正確，因?yàn)樵谥苯侨切沃?，兩個(gè)銳角的大小不確定，因此 直角三角形的形狀不同. 也不正確，等腰三角形的頂角大小不確定，因此等腰三角形的形狀也不同.（3）正確.設(shè)有等腰直角三角形 ABG口 ABC ,其中C則 A A 45 , B B 45 ,設(shè) ABC的三邊為 a、b、C, ABC的邊為a、b、 則 a b,c V2a,a b ,c J2a ,ABCs ABC .對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊都成（4）也正確，如 ABC與ABC都是等邊三角形, 比例，因止匕 ABCs ABC .答：（1）、（2）不正確.（3）、（4）正確.-6 -畫法略.例6.分析 本題所敘述的內(nèi)容可

8、以畫出如下圖那樣的幾何圖形，即 DF 60厘米 0.6米，GF 12 厘米 0.12 米，CE 30米，求 BC 由于 ADF s AEC DF ”， EC AC又ACFs ABC, .匹GF,從而可以求出BC的長(zhǎng).EC BC解 AE EC,DFEC, ADF AEC, DAF EAC ,ADF s AEC .DF AFEC AC又 GF EC,BC EC, /. GF / BC, AFGACB, AGF ABC ,AGF s ABC ,AFACDFEcGFBC又DF 60厘米 0.6米，GF 12厘米 線桿的高為6米.0.12米，EC 30米，BC 6米.即電例7.分析 根據(jù)物理學(xué)定律：光線

9、的入射角等于反射角，這樣， BCA與MNA 的相似關(guān)系就明確了.解 因?yàn)?BC CA, MN AN, BAC MAN ,所以 BCA s MNA .所以 MN:BC AN: AC,即 MN :1.6 20:1.5,所以 MN 1.6 20 1.5 21.3 (m).說明 這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)很巧妙，省卻了使用儀 器測(cè)量的麻煩.例8.分析 這兩個(gè)圖如果不是畫在格點(diǎn)中，那是無法判斷的.實(shí)際上格點(diǎn)無形 中給圖形增添了條件一一長(zhǎng)度和角度.解在格點(diǎn)中DE EF,AB BC,所以 E B 90 ,又 EF 1,DE 2,BC 2, AB 4.所以里 正 1 .所以 DEF s ABC

10、.AB BC 2說明 遇到格點(diǎn)的題目一定要充分發(fā)現(xiàn)其中的各種條件，勿使遺漏.例9.解3.5cm1 BC24.5cm 7, BC2.5cm1 CA17.5cm 7CA4cm 128cm 7所以 ABCs ABC ；(2)因?yàn)?C 180 A B 41 ,兩個(gè)三角形中只有 A 另外兩個(gè)角都不相等，所以 ABC與ABC不相似；因?yàn)锽 B,黑黑所以ABC相似于ABC-例10.解 （1） ADEs ABC 兩角相等;ADEs ACBCDEs CABEABs ECDABDs ACBABDs ACB兩角相等；兩角相等；兩邊成比例夾角相等;兩邊成比例夾角相等;兩邊成比例夾角相等.例11.分析 有一個(gè)角是65的

11、等腰三角形，它的底角是72 ,而BD是底角 的平分線，CBD 36 ,則可推出ABCs BCD,進(jìn)而由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成 比例推出線段之間的比例關(guān)系.證明 A 36 , AB AC, ABC C 72 .又 BD平分 ABC,ABD CBD 36 .AD BD BC,且 ABCs BCD,BC: AB CD : BC ,BC .S 1AC BC AB CD , /.2 AD AC CD .說明（1）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，這是判斷兩個(gè)三角 形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些 邊是對(duì)應(yīng)邊.（2）要說明線段的乘積式ab cd,或平方式a2 bc, 一般都是證明

12、比例 式，亙d,或b a,再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式.c b a c例12分析 由ABC的三邊長(zhǎng)可以判斷出 ABC為直角三角形，又因?yàn)?ABCsABC ,所以ABC也是直角三角形，那么由 ABC的最大邊長(zhǎng)為26,可以求 出相似比，從而求出 ABC的兩條直角邊長(zhǎng)，再求得 ABC的面積.解 設(shè) ABC的三邊依次為，BC 5, AC 12, AB 13,貝U AB2 BC2 AC2, /. C 90 .又ABCs ABC，.二 C C 90 .BC AC AB 13 1 -BCACAB 26 2又 BC 5, AC 12,BC 10, AC 24 .11 24 10 1202例13.分析

13、判斷方法是否可行，應(yīng)考慮利用這種方法加之我們現(xiàn)有的知識(shí)能否求出旗桿的高.按這種測(cè)量方法，過F作FG AB于G,交CE于H可知AGF sEHF ,且GF HE EM求，這1可求得 AG故旗桿AB可求.解 這種測(cè)量方法可行.理由如下：設(shè)旗桿高AB x.過F作FG AB于G交CE于H （如圖）.所以 AGF s EHF .因?yàn)?FD 1.5,GF 27 3 30,HF 3,所以 EH 3.5 1.5 2, AG x 1.5.由 AGF s EHF，得空 GF ,即 上5 30 , EH HF23所以x 1.5 20 ,解得x 21.5 （米）所以旗桿的高為21.5米.說明 在具體測(cè)量時(shí)，方法要現(xiàn)實(shí)、

14、切實(shí)可行.例 14.解： ADB EDC, ABC ECD 90 ,BD ECCD管100 （米），AB BDABDS ECD,至 D,AB EC CD答：兩岸間AB大致相距100米.例 15.答案：AB 1506米，BD 30750步,（注息:八 DGKC AK,KECDFHFEAK .)例16.分析：要求BC的長(zhǎng)，需畫圖來解，因AB ACS大于高AD那么有兩種 情況存在，即點(diǎn)D在BC上或由D在BC的延長(zhǎng)線上，所以求BC的長(zhǎng)時(shí)要 分兩種情況討論.求正方形的面積，關(guān)鍵是求正方形的邊長(zhǎng).解：（1）如上圖，由ADL BC由勾股定理得BD= 3,所以 BC= BADC= 3+1=4.如下圖，同理可求BD= 3, DC= 1,-9 -BC D所以 BOBD-CD= 3-1 = 2.(2)如下圖，由題目中的圖知BC= 4,且AB2 AC2 (2V3)2 22 16, BC2 16, AB2 AC2 BC2.所以 ABO直角三角形.由AEF是正方形，設(shè) 0= x,則FC= 2x,.G/ AB.也FC即x JA